スラ ッファ標準体系 の収束性 について
一 どの ように して現実 の体 系か ら標 準体 系 をつ くりあげ るのか一
経済学教室 ヽ水1.は
じめ に 『商品による商品の生産』のなかでスラッファがつ くりあげた標準体系は,そ
のきっかけは生涯 リカー ドをなやませつづけた「不変の価値尺度J問
題 にたいするひとつの解決策 として提出された ものであったが,か
れの解決策の「結合生産物」 として,
リカー ド経済学を構成す る要石 ともよべ る「賃金一利潤の相反関係」を簡潔なかたちであらわ した「賃金一利潤フロンティアJを
結果 とし てもたらすことになった(1ち そのさい,か
れは,標
準体系の定義 と数値例 とを示 したあとで,生
産に かんする現実の諸条件から標準体系の存在 と一意性がつねに保証 されるばか りか,Vゝつで も現実の 体系を標準体系に変換することができることを示唆 している。 ところが,現
実の体系か ら標準体系をつ くりあげる手法 は,『商品による商品の生産』のなかでは, 第37節で「標準体系への変形 はつねに可能である」 というタイ トルのもと,難
解な文章のかたちで 述べ られているにすぎない。そこで,本
稿では,い
くぶんあいまいに表現 されているスラッファの 変形手続 きを,産
業連関分析の手法を利用 して,非
負行列 としての投入係数行列 にかんする反復解 を求める漸化式 としてとらえなおすことにより,か
れの変形手続 きにたいするひ とつの解釈 をあた えることにしょう。2.経
済 の生産 活 動 にか ん す るス ラ ッフ ァの数 値 例 いま,経
済を構成する産業 は鉄 。石炭・小麦の二つであ り,そ
れ らは,そ
れぞれ,つ
ぎのような 生産活動 をお こなってい る もの とす る。 聖 田鉄 産 業 投 入 産 出 石 炭 産 業 投
入
喀
3_堪
・
ゼ
投入
ほ
_暮
_堪
士
ー 産出 鉄
0ト
ン 石 炭 450ト ン をヽ麦 0ク ォーター 小 麦 産 業 産 出'ξ
蜜
201)と―
夕
_
表 か らあ き らか な よ うに,こ
の経済全体 の総労働 時間 は16時 間で あ るが,あ
らた に この16時 間 を 労働 の測定単位 として定義 しなおせ ば,経
済全体 の総労働 量 が1単位 にな るよ うに あ らわす こ とが で きて,ス
ラ ッフ ァ自身 の表現 90トンの鉄+ 120ト ンの石炭+ 60ク
ォーターの小麦+3/16の労働→180ト ンの鉄 50トンの鉄+ 125ト ンの石炭+ 150ク ォーターの小麦+5/16の労働→450ト ンの石炭 40トンの鉄+ 40ト
ンの石炭+ 200ク ォーターの小麦+8/16の労働→480クォーターの月ヽ麦 総 計180 285 410 1
を得 る②。 さ らに,産
業連 関分析 の手法 に したが えば,こ
の よ うな経済活動 を/1+ノ =,1, (2.1)
′1=1 (2.2)
とい う産業連 関表 のかたちで あ らわす こ ともで きる。 ただ し,使
用 され てい る言己号 は,/:投
入行列,ォ :産出行列,ノ :純生産物 ベ ク トル, チ:労働投入ベ ク トル, であ り,ス
ラッファの数値例で は, /= 1 1:l i:1 211 :集計ベ ク トル, それぞれ,洋
1葛
吋
4群￨,ガ
1瑶
軸 呻 6帥針卜
t!}
になる。すなわち,投
入行列 ズ や産 出行列 方の第 ゲ行第 ブ列 の成分 は,そ
れぞれ,第
ブ産業が投入 もし くは産 出す る第 ゲ生産物 の数量 をあ らわ し,また,経済全体 にかん して産出が投入 をうわ まわ る 量 をベ ク トル表示 したものが純産物ベ ク トル タである。同様 に,各
産業で投入 され る労働量 を一覧 表のかたちであらわ した ものが,労働投入ベ ク トル チである。なお,そ の成分がすべて1に等 しいべ ク トル 1を 集計ベ ク トル とい うが,こ
のよび名 は,演
算 を定義で きる任意の行列 に右側 か らこのベ鳥取大学教育学部研究報告 人文・ 社会科学 第 42巻 第
1号 (1991) 39
ク トル をか けた結果 が,じ
つ は,こ
の行列 の成分和 を各行 ご とに求 め る演算 に対応 してい るか らで あ る。 したが って,(2, 1),(2. 2)の
両式 は,そ
れ ぞれ,純
生産物 の定義式,あ
るい は,ス
ラ ッフ ァに よる独 特 な労働 の測定単位 の採用 をあ らわす,た
ん な る,恒
等式 にす ぎない。 産業関連表 (2。1),(2.2)で
あ らわ され る現 実 の生産 活 動 は,投
入係数表示 を採用す る こ とに よ り,い
わ ゆ る レオ ンテ ィエ フ体 系 ない し産 出量体 系 χ=4χ
十ノ(2. 3)
Ъχ=1 (2. 4)
とて あ らわす こ ともで きる。 ここで,記
号 χ,4,角
は,そ
れ ぞれ産 出量ベ ク トル,投
入係数行列, 労働 投入係 数ベ ク トル とよばれ る もので あ り,つ
ぎの よ うに定義 され る。ア
=,1=t!:￨
駒=″ 1=161 ,互
=筋
_:= t l:￨チ i:l i:￨チ ::1 211チ::￨ ￨ , 3/180 5/450 8/480] 逆行列 の定義 に よ り,オ 1オ=/(ri単
位行列)が
成 り立 つ こ とに注意 すれ ば,(2.3),(2.4)
は,そ
れ ぞれ(2. 1),(2. 2)と
まった く同等 な,定
義 生 成立 す る恒 等 式 に帰着 す る こ とが わ か る(3)。3.ス
ラ ッ フ ァ に よ る標 準 体 系 の 定 義 と数 値 例 スラッファによれば,標
準商品 とは「 それ 自身の生産手段 の総量 と(同じ割合で合成 された),同
じ商品か らなる」ような「生産物 と生産手段 の双方が 自己同一的な合成商品」のことであ り14J,「標 準体系 において は,各
種 の商品が総生産手段 にはいるの と同 じ割合で生産 される」。いいかえれば, 「生産 された数量が生産で使 いはたされた数量 を超過す る比率が各商品について同 じである」 よう な仮想的な産 出量体系 を,ス
ラッファは標準体系 と名づ けている0。 これ らの引用文 はそのままで は,かれの意味す るところを把握す るのに一筋縄ではいかないので, ぶたたび,ス
ラ ッファの数値例 にたちかえろう。前節で検討 された三つの産業か らなる現実の経済 体系の生産活動 にかん して,産
業間の構成比率 をつ ぎのようにかえてみよう。すなわち,鉄
産業, 石炭産業,小
麦産業 の生産活動 を,そ
れぞれ, 1倍
, 3/5倍 , 3/4倍
した,仮
想的な経済体系 を かんがえる。これ らの経済活動か ら構成 され るあ らたな体系 は,ス ラッファの表記法 にしたがえば, 90トンの鉄+ 120トンの石炭+ 60ク
ォーターの小麦+ 3/16の
労働→180ト ンの鉄 30トンの鉄+ 75ト
ンの石炭+ 90ク
ォーターの小麦+ 3/16の
労働→270ト ンの石炭 30トンの鉄+ 30ト
ンの石炭+ 150クォーターの小麦+ 6/16の
労働→360クォーターの小麦 路合 言1 150 225 300 12/16 で あ る0。 この仮想 的 な体系 の もとで は,たしか に,すべ ての生産物 にかん して この経済 の総投入量 にたいす る産 出量 の比 率 は一定 の値 を保 ち,そ
れ らは 180 270 360 12 150 225 300 10 という共通の比率であらわせる。その結果,こ
の体系では,
どんな生産物で も20%の
物的剰余比率 を生みだす ことになる。 このことを,ス
ラッファはつぎのようにあらわしている。ち1+20/100)=180ト ンの鉄 1+20/100)=270ト ンの石炭 1+20/100)=360ク ォーターの小麦
(90+30+30)
(120+75+30) (60+90+150) スラッファによるこのような標準体系の定義 をさらに理解 しやす くするために,こ
れ らの数値例 を産業連関分析 の用語 に翻訳 しよう。かれの定義 に忠実 にしたが えば,標
準体系では, α途=″
(3.1)
が成 り立つ。 ここで,記
号/,′
は,前
節で使用 された もの と同一であ り,ま
た,α
=1羊￨,Z=￨:ケ
ニ
￨ である。すなわち,数
α はこの体系 の総投入量 にたいす る産 出量 の比率,も
しくは1+物
的剰余比 率の ことであ り,一
方,現
実の体系か ら標準体系 を導 き出すために各産業の構成比 を調整す る変換 率 を,一
覧表 のかたちで表示 した ものがベ ク トルzで
ある。 そうすると,ス
ラ ッファの標準体系がみたすべ き性質 をあ らわす上式 は,4?=β
T(3. 2)
という式 と同値であるか ら,け
っきょく,標
準体系 を導 き出す手続 きは,(3.2)で
あらわ され る 固有方程式の非負解 を求 めるとい う,一
般的な非負固有値問題 に帰着する。ただし, 4=´務 -1,β=1/2,9=″
である。 なお,標
準体系の産出量が じつ は行列4の
固有ベ ク トルであることか ら,このベ ク トルの任意 の 正スカラー倍 もまた(3,2)の
解 とな りうるので,ス
ラッファは,
とくに,こ
の体系の総労働投 入量が現実の体系のそれ と一致す るような規準化 を採用 してい る。すなわち, 駒?= 1
(3. 3)
ここで,か
れの特殊 な測定単位 の採用のため,現
実の総労働量が1単
位 になっていることに注意せ よ。 そして,ス
ラッファは,こ
のように規準化 を実行 したのち,標
準体系の純生産物 を標準商品の 測定単位 に採用 した うえで,こ れ を標準純生産物 または標準国民所得 とよんだ0。 したがって,かれ の数値例で は,さ
きのベ ク トル 歳 を16/12倍した ものが標準体系の産出量ベ ク トル?で
あ り,こ
の とき,標
準純生産物 は?4σ
=鰍
σ
=+・ +・
1繋
￨=
になる。ここで,数
Rは
,こ
れ までたびたび言及 して きた物的剰余比率の ことであ り,こ
れ をスラ ッファは標準比率 と名づ けている0。4.標
準体系 と反復解法
これ まで述 べ て きた ように,現
実 の産 出量体 系 χ=/1+ノ
, あ るい は,一
般 に レオ ンテ ィエ フ体 系 とよばれ る,そ
の投入係 数表示 χ=4χ
十ノ (4。1)
(4. 2)
鳥取大学教育学部研究報告 人文・社会科学 第42巻 第
1号 (1991) 41
のか た ちで あ た え られ る現 実 の デ ー タ に も とづ い て, した。 σ=(1+買 )4T
スラッファは,標
準体系 をつ ぎのように定義(4. 3)
ただし,労
働 の測定単位 にかんす るかれの特殊 な想定 と標準体系の規準化ルール によ り, ЪT=Ъ
χ=1 (4。
4)
が成 り立つ ことに注意せ よ。 一般 に,投
入係数行列4に
代表 され る生産体系が基礎的部門のみか ら構成 され,し
か も,これ ら のうち少な くともひ とつ,み
ずか らの生産物 を直接投入する部門が存在す るときには,
この行列 は プ リミティブな分解不能行列であることが知 られている(10。 この とき,(4, 3)式
の右辺 にあ らわ れる標準体系の産出量ベ ク トル σにか えて,規
準化 のルール(4.4)を
保 ちつつ,任
意 の半正ベ ク トル σ(ナ)を
代入 しようとも,漸
化式 σ(サ)=(1+■
)49(チー1), (4. 5)
駒σ(ナ)=1 (4. 6)
にしたがって,逐
次,修
正 した値 を代入す るプロセスを くりかえせば;ついには,極
限が,(4.3),
(4. 4)式
をみたす ようなベ ク トル σへ収束す ることもよ く知 られている(11ち すなわち, どのよ うなベ ク トル?(0)≧
0か
ら出発 しようとも,(4. 5),(4.6)で
あ らわ され る反復解の極 限 は,ス
ラッファの標準体系(4. 3),(4。
4)に
あ らわれる仮想的な産 出量ベ ク トル?に
収束す る。 なお,スラッファのあげた数値例が行列4の
みたすべ き性質 を満足 していることは,容
易 にわか る。じっさい,第 2節
で計算 した行列4は
正行列であるか ら,あ
きらかにプ リミティブな分解不能 行列である。また,かれの数値例で はノ≧0も成 り立つので,フ ロベニウスの定理 により,(4.3),
(4. 4)を
みたす正ベ ク トル σで,正
の物的剰余比率 を生みだす ものが存在す る。か。したがって, かれの例で は標準体系の存在 も保証 されている。 これ らの準備 をもとにして,次
節で は,い
よいよ,本
稿 の主題である,ス
ラッファ自身 による標 準体系の導出プロセスを検討す ることにしょう。5.ス
ラ ッ フ ァに よ る解 法 とそ の 定 式 化 はじめに,現
実の体系か ら標準体系 を導出す るプロセスにかん して,ス
ラッファ自身 どのように 考 えていたのか を引用 しよう。 「われわれが考察 して きた型 の現実の経済体系 はいかなるもので も,つ
ね に標準体系 に変形で きるとい うことが,仮
想 の実験 によって示 され るだろう。 (そのような実験 は二つの型 の交替的なステップを含んでいる。 その一 つの型 は,諸
産業の割合 を変 えることか らな り,い
ま一つの型 は,生
産手段 として使用 され る数量 を変 えずに,すべての産業 によって生産 される数量 を同一比率で減ずることか らなる。) まず,そ
れぞれの基礎的商品について,厳
密 に補填 に必要な ものよ り大 きな数量が 生産 され るような仕方で、 その体系の諸産業 の割合 を調整す ることか ら始 めよう。 つ ぎに,雇
用 された労働 と生産手段 の数量 に手 を加 えることな く,次
々 にお こなわ れ る僅かな 'ヒ 例的なカ ッ トによってすべての産業 の生産物 をだんだん と減 じてゆ くも の と想像 しよう。このようなカ ッ トによって
,ど
れかひ とつの商品の生産が補填 に必要 な最低 の水準 にまで減ぜ られ るとす ぐに,(雇
用労働 の全体 を一定 に維持 しなが ら)再び各生産物 の 剰余がでて くるように,諸
産業 の割合 を再調整する。ある商品 に剰余が存在 し,欠
損 が まった く存在 しないか ぎ り,こ
の ことはつねに実行可能である。 全面的な補填が剰余生産物 を少 しも残 さず に,ち
ょうど可能 になるような程度 にま で生産物が減ぜ られ る点 に至 るまで は,各
生産物 について,こ
のようなテヒ例的なカ ッ トと剰余 の再設定 との交替 を続 ける。 この状態に達す るまで,あ
らゆる産業 の生産物が同 じ割合で切 りすて られたか ら, われわれ はい まや,各
産業 において生産 された数量 を均―の率で増力日させ ることによ って,
もとの生産条件 を復元す ることがで きる。他方,れ
われ は,諸
産業 によって達 成 された割合 を撹乱 しない。もとの生産条件 を復元す る均―の率 は 買 であ り,諸
産業 によって達成 された割合 は標準体系の割合である。3ち」 このように,ス ラッファの表現 はかな り難解 な うえに,い
くぶんあい まいで さえもある。そこで, で きるだけ忠実 にかれの意 を くんだ うえで,調
整 プロセスを厳密に定式化すれ ば,つ
ぎのようにな る。 引用のはじめの部分で,ス
ラッファは,調
整 プロセスがぶたっの交替的なステ ップか ら構成 され ることを述べている。すなわち, ステ ップI:正
の純生産物 を生みだす ように各産業 の割合 を調整す ること ステップH:生
産手段 の使用量 は不変 の まま生産量 を比例的 にカ ッ トす ること(1つ である。それで は,ス
ラッファが提唱す るこれ らぶたつのステップの意味するところを くわ しく検 討 してみよう。 はじめに,ス
テップIで
は,出
発点 とて,正
の純生産物 を生みだす ように産業間の構成比率 を変 更 しなければな らない。 けれ ども,ス
ラッファは,そ
の具体的な方法 にはなん ら触 れ ることな く, あいまいなまま残 している。 なるほ ど,現
実の体系が正の純生産物 を生みだしているときには,な
んの問題 もな く,た
だ単純 に出発点 には現実 の産 出量 を選ぶだけで よか ろう。 ところが,い
ずれか ひ とつの生産物が,
もっぱ ら中間生産物 としてのみ利用 され,剰
余 をまった く生 みださない ときに はどうであろうか。 この ときには純生産物 は半正ベ ク トルであるにすぎず,何
らかの方法で適切 な 性質 をもつ ように変換す る必要があろう。 じっさい,ス
ラッファの数値例 で は,鉄
産業 の純生産物 はゼロなのである。そ こで,こ
の問題 を解決す るために,投
入係数行列4が
プ リミティプな分解不 能行列であるとい う情報 を不U用することにしよう。 この とき,一
般 に,行
ア」4の
べ きで 4″>0
をみたす ものが存在す ることが知 られている(10。 そ こで,出
発点 になる産出量ベ ク トル として,あ
らたに,4統
を採用 しさえすれば,
この体系の純生産物 は,4物
-4r■lχ=4υ
>0
とな り,た
しかに正ベ ク トルになる。 これで,出
発点の産 出量ベ ク トルが得 られた。以下で は,記
号の単純化 のために,現
実 の体系の数量 をあ らわす記号 χ,夕 をもちいて,これ ら,出
発点 として採 用 されたベ ク トル4能
,4り
をあ らわす もの と約束 して も混乱 はないであろう。 なお,ス
ラッファ の数値例で は,投
入係数行列4は
正行列であるか ら,じ
つは,か
け算 は1回だけですみ(γ=1),
産出量ベ ク トル として4χか らはじめて よい。 このようにして得 られた出発点 となる産出量ベ ク トル χを利用 して,つ
づいて,ス
ラッファは,鳥取大学教育学部研究報告 人文 。社会科学 第42巻 第
1号 (1991) 43
ステ ップHで
は どの よ うな調整 方法 を提 唱 してい るので あ ろうか。 はじめに,す
で にス テ ップIの 手続 きか ら, χ-4χ
=ノ>0
をみたす産 出量 が あたえ られてい る。両辺 に第 ゲ単位 ベ ク トル οどを左 か らか けれ ば, χどゼJ4χ=夕ヶ>0
ここで,第
ゲ単位 ベ ク トル ιJと は,第 ゲ番 目の成分 だ けが1で
,残りの要素 はすべ て0の数値 か らな る行ベ ク トルの こ とで あ る。 そ こで,す
べ ての ゲにか ん して,min(幼 /分
4χ)=α (0) とおけば,す
べての ケについて, χど≧α(0)ι
J4χ α(0)>1
ただ し,α (0)は
各産 業 ご とに計 算 され たなかで最小 の物 的剰余比率 で あ るか ら,上
式 で は,す
く な くともひ とつ は等号 が成立 す る。 あ るい は,こ
の式 は, α(0)―Iχ≧4χ とあ らわす こともで きるが,じ
つ は, この表現 こそ,ス
ラッファがステ ップHと して提唱 している 手続 きに相 当す るものであることがわか る。 じっさい,
このステップで遵守 され るべ き原則 は,投
入量 を不変 に保 つたまま産 出量 を比例的にカッ トす ることであるが,た
しかに,上
式で は,こ
れ ら の原則がすべて守 られている。すなわち,一方で は,右
辺 にあ らわれる投入量 は4死 の まま不変であ り,他方,左辺で は,産 出量ベ ク トル χに共通の正数 α(0)1<1が
か けられ ることにな り,これ は, 原則 の後半部分 に提唱 された産出量 の比例的カッ トにあたる。なお,こ
のような比例的なカ ッ トに よって,あ
る商品の物的剰余 はゼロになる。 ここで,
もしも,す
べての商品の物的剰余がゼロにな り,上
式が等号で成立することになれば,す
でに標準体系 は導出されていて,9=χ
,賀=2(0)-1
とお くだけで問題 は解決す る。 そうではな くて,ひ
とつで も厳密な不等号が生 じるときには,ぶ
た たびステ ップ Iに もどって,剰
余 の再設定 をお こな う必要がある。 剰余 の再設定,す
なわち,す
べての生産物 に正 の剰余 を生 じるように出量ベ ク トル を調整す るこ とは,最
初 に示 したステップIの手続 きに準拠す るが,ず
っ と単純です らある。 とい うのは,以
前 の産出量 χに代 えて,こ
れに左か ら行列4を
かけた ものの α(0)倍
,9(1)=2(0)4χ
をもちい さえすればよいか らである。じっさい,行
ア14は
分解不能行列であるか ら各行 ごとに少 な くともひ とつ は正 の要素 をもつ ことに注意すれば(19,ノ>0と
あわせて,9(1)-4?(1)=α
(0)4(/-4)χ
tt α(0)Иッ>0
とな り,た しかに,あ らたな産出量?(1)を
基準 にすれば,すべての産業で正の剰余 を生む ことにな る。 なお,この改訂 された産 出量 σ(1)は,旧産出量 χの範囲内で最大 の斉― な物的剰余比率 をもた ら す ように,旧
出量 をカッ トした もの として,次
式maximize
α°subieCt tO
χ≧α04χ(5。
1)
の解 に対応す る制約式の右辺 にあらわれ る数量 α°4χ に等 しい。 じつさい,あ
きらかに α(0)は
この制約式 をみたすので,20の
最大性 により, αO≧α(0) 一方, か りとこ,α°>α (0) とすれ ば,α
(0)の
定義 か ら,あ
る グにか ん して, 為=2(0)劣
4χ が成 し立 つので,行
列4の
分解 不能性 か ら 4χ>0に
な る こ とを考慮 すれ ば,け
っ きょ く, 狩≧αOιど4死>α(0)ιど4χ=為 とな り,矛
盾 。 したが って, αO=α(0) が成立 す るか らで あ る。 ところで,剰
余 の再設定 のための仕上 げ として,投
下労働量 を現実体 系 のそれ に一致 させ る必 要 が ある。 くりか え し述 べ てい る ように,ス
ラ ッフ ァに よる特殊 な測定単位 の採用 のため,現
実 の労 働 量 は1に等 しい。 したが って,い
ま求 めた?(1)を
改訂 して,さ
らに,規
準化 のルー ル ЪT(1)=1
を守 るよ うに しな けれ ばな らない。 そのために は,さ
きの?(1)を
ス カラー Ъσ(1)で
わ ってや る だ けで よいが,記
号 の繁雑化 をさけるために,
この ような規準化 をほ どこしたベ ク トル を,ふ
た た び,記
号?(1)で
あ らわ してお こう。 以上,ぶ
たつ の交替 的 なステ ップか らな る,こ の よ うな プロセスの くりか え しは,9(0)=χ
か ら 出発 す る漸化 式α
(サ)=min{●
(チ)/ιど
4σぢ
(サ)) (5.2)
●(サ+1)=α
(サ)4?(チ), (5. 3)
Ъ9(チ+1)=1 (5. 4)
のか たちに ま とめ られ る。 ここで,行
ア」4の
分 解不 能′性 と条件 π>0と
か ら,T(サ+1)>0で
あ る こ とに注意 せ よ。 また, 9(チ)-4σ
(サ)=2(サー1)4(r―
■)T(チー1) =Πα
(カー1)Aゥ
>0
た=1 であるか ら,α
(サ)>1と
な り,物
的剰余比率の正値条件 もみたされ る。 前節 の(4. 5),(4. 6)式
を考慮すれば,こ
の漸化式が,じ
っさいに,(4。3),(4. 4)
で定義 され るベ ク トル?に
収束す ることは,規
準化 の約束か ら,こ
の式が じつは, 船 →= =
(1+■)49(チ) (5. 5) ぬ(1+疋)4σ(オ) で あ る こ とに注意 すれ ば,オ
4也T(D=9,
オ
也
監α
(サ)=1+資
, 駒?=1
とな り,確
認 で き る。 なお,(4. 5),(4.6)式
で は,さ
きに述べたように,出
発点 となるべ きベ ク トルの要件 は, かな らず しも厳密 に正 の純生産物 を生みだす ような産出量ベ ク トルである必然性 はな く,た
んに, 純生産物 には半正であることが要請 され るにす ぎない。 したがって,ス
ラッファが出発点 に厳密な鳥取大学教育学部研究報告 人文 。社会科学 第 42巻 第
1号 (1991) 45
正値条件 を求めた ことは杞憂 にす ぎず,じ
つ は,は
じめか ら現実の体系 の純生産物ベ ク トル ノ≧0 を利用 して もよかったのである。 ただし,そ
のばあい,(5. 2)式
の計算 には正の剰余 を生みだす 産業 (これ はかな らず存在す る)だ
けをぶ くめる必要がある。 また,(5.5)式
をみればわか るよ うに,じ
つ は,係
数 α(サ)を計算す る必要す らな く,(5。3)に
代 えて,た
だ, ?(チ+1)=49(ナ
) とい う変換公式 を,あ
るい は,(5.4)と
あわせ れ ば,(5.5)の
代 わ りに,(5. 6)
船 →=#
“ ・n
をもちいさえすればよい。これ は,行
列Aに
代表 されるこの経済の産業構造 自体が,標
準体系 を暗 黙のうちに内包 していることを意味す る。 したがって,ま
さに,ス
ラ ッファがい うとお り, 「現実の どのような経済体系のなかにも縮尺的な標準体系が埋 め られてお り,不
必要 な部分 を削 りとることによって,あ
か るみに出す ことがで きる(17)」 わけである。6.お
わ りに 本稿で は,『商品による商品の生産』のなかでスラッファが,難
解 な文章 のかたちでい くぶんあい まいさを残 したまま示唆 していた,現
実の体系か ら標準体系 を導出す る手続 きを,線
形数学の手法 を利用 して厳密 さを失わない ように注意 を払いつつ,で
きるだけスラッファに忠実 に定式化 してみ た。その結果,か
れの提唱す る変形手続 きは,投
入係数行列 ■ を利用 して反復解 を求 めるもの とし て,(5。2),(5, 3),(5。
4)と
い う一組 の漸化式のかたちであわす ことがで きた。 これ らの 漸化式 によれば,たしかに現実の産出量体系 を代表す る投入係数行列4と
純生産物ベ ク トル タの情 報 を利用 して,現
実の体系か ら標準体系 を導 き出せ ることにな り,そ
の意味で,ま
さにスラッファ が述べているとお り,「現実の経済体系 はいかなるもので も,つ
ねに標準体系 に変形で きる」わ けで ある。 この とき,漸
化式 の初期ベ ク トル として は,か
な らず しもスラッファが求 めたようない くぶん厳 しい想定 を採用せず とも,任
意 の半正ベ ク トルで もよいのであるか ら,単
純 に,現
実の純生産物ベ ク トル タと 0を もちいて もよか ろう。そ うす ると,(5. 6)を
不暉用すれば, ;聰4,こ
σ
とな る。 た だ し,ス
ラ ッ フ ァ と は こ とな って,こ
ん どは, Ъノ三1 という規準化 を採用 しなければな らないが。 これ は興味深い表現である。 とい うの も,一
般 に,現
実体系の産出量ベ ク トル は, χ=夕十狗 +42ノ+43夕+…….+4ウ
十……・ とい う級数展開のかたちであ らわす こともで きるが,こ
の展開式の一般項 こそ,極
限を とれば,標
準生産物 としての資格 を りっぱに保持 してい るか らである。働。この表現か らも,「現実の どのような 経済体系のなか にも縮尺的な標準体系が埋 められている」 というスラッファの意図 を くみることがで きるか もしれない。 そうす ると
,標
準体系 とは,現
実の生産の くりか えしを極限にまで さかのぼ って投影 した もの として,あ
る意味で再生産活動 を蒸留 した もの とで もいえないだろうか。また
,産
出量改訂 プロセスの1ヴ
ァリアン トとして(5. 1)式
を示 したが,こ
の式が,じ
つ は,maximize
αwith respect to (2, 7) Subiect to
σ≧α4σという式 と酷似 しているの もお もしろい。 とい うの も
,後
者 の数理計画問題 の解 こそ標準体系なの だか ら。 しか も,こ
の数理計画問題 にはかな らず双対が随伴 し,そ
れ は,minimize
βwith respect to (β
,夕) subject to
少≦″4
という最小化問題 のかたちをとる。 そして,こ
れ らの係数のあいだには, α-1=β
-1=買
とい う関係が成 り立 ち,解少 は最大利潤率Rを
もた らす価格ベ ク トルであることもよ く知 られてい る。 そうすると,こ
のような価格ベ ク トルの導入 に対応 して,こ
ん どは,価
格ベ ク トルの改訂プロ セスを定式化で きそうである。 これ らの論点 は,稿
を改めて論 じよう。 また,本
稿で は,投
入係数行列4の
分解不能性 を仮定 して論 をすすめたが,こ
の仮定 をゆるめて 体系内に非基礎的生産物 をふ くむケースを考慮 して も,同
様 な議論 を展開で きよう。 さらに,こ
の 行列がインプ リミティブなばあいには極限ベ ク トルが存在 しな くなるが,
このようなケースで も, 時間平均 をとることによって,一
種 の収束性 を示す ことがで きるだろう。 江 (1)永田[4]参
照。 り)ス
ラッファ[9]訳
書31ページ参照。 俗)
投入係数行列4の
(が,ア)成分 は,通常の産業連関分析の定義 と同様 に,第ブ生産物 を 1単 位生産するた めに投入される第 ゲ生産物の平均数量 をあらわ している。これにたいして,労働 にかんしてスラッファが独 自 の測定単位 を採用 したため,労
働投入係数ベク トルは,産業連関分析の常会的な用法 とは異なって,その第 ′成分 を第,生産物 1単位あたりに投入されるスラッファの測定単位 にもとづ く労働量 として定義されている。 したがつて,通常の測定単位 にしたがった労働投入係数ベ ク トルを記号 ちであらわせば,本稿で定義 されるそ れ とのあいだには, 駒=ち/ち/ という対応がある。この式から(2. 4)力ゞ成立することはあきらかであろう。 スラッファ[9]訳
書30ページ参照。 (4) (5) (6) (7) (8) スラッファ[9]訳
書33ページ参照。 スラ ッファ[9]訳
書32ページ参照。 スラ ッファ[9]訳
書34ペー ジ参照。 スラッファ[9]訳
書33ページ参照。なお,厳密にいえば,一般 に「国民所得」 とは純生産物 を価格評価 し た数値 (スカラー)のことをさすので,この用法 は,いくぶん,ことばの濫用にお もえるか もしれないが, 価格ベク トルが どように変化 しようとも,また, どんな物価指数を採用 しようとも,標
準生産物 というこの 特殊な生産物の評価額 は実質上不変であるから,スラッファはこのような定義 をあたえたのであろう。 スラッファ[9]訳
書34ページ参照。 三階堂[5],[6],[7],あ
るいはゲール[1]参
照。 また,永田[2],[3]も
みよ。 三階堂[5],[6],[7]あ
るいはゲール[1]参
照。 また,永田[2],[3]も
みよ。 フロベニウスの定理については三階堂[5],[6],あ
るいは[7]参
照。 スラッファ[9]訳
書44∼45ページ参照。 ここでスラッファが述べているのは,生産手段の使用量4″は不変のまま,産出量 ″だけを,ヒ例的にカッ ト する手続 きである。 これは,スラッファがわわざ指摘 しているように,「仮想の実験」だか らこそで きるわざ ９ 側 側 ⑫ ⑩ 側鳥取大学教育学部研究報告 人文・社会科学 第 42巻 第
1号
(1991) である。置塩[8]で ,標
準体系 にかん してだけは収穫一定 の仮定が必要であると断定 してい るが,この指 摘 はス ラッファにたい して は厳 しす ぎるようにお もわれ る。事実,収穫一定 を仮定 しては,スラ ッファの変 形 ステ ップHを容易 には解釈す ることがで きないので はなか ろうか。 スラ ッファは,標準商品 を求 めるため に,あ くまで も「仮想的な実験Jとしてのみ産 出量 を調整 しているにす ぎな く,調整過程 のあ とに もさきに も現実 の体系がす こしで も動 くわ けで はない。 そ こで,わざわ ざ,スラッファは,『商品による商 品の生産』 の序文 のなかで,いの一番 に,収益法則 にかん して はどの ような仮定 もおれていない ことを開示 してい るわ けである。なお,本
稿 で は,線形数学 の手法 を利用す るため,スラ ッファ体系 を産業関分析 の用語 に翻訳 し て論 をすすめて きた。 ところが,スラッファ体系で は,ほん らい,産出量 はまった く変動 しないので,通
常 のレオ ンティエ フ体系 と同様 に現実 の産 出量が変動す る経済 を想定す ることはで きない。 したが って,本
稿 で使用 される投入係数行列4は
,あくまで も事後的 な定義式 にす ぎな く,これ らの係数 にしたが つて現実 の 産 出量 が変動す る とかんが えて はな らない。 10 三階堂 [6]93ペー ジ参照。10
か りに,ある行 の要素がすべてゼロであった とすれ ば, この行 に対応す る部門の生産物 は他 の どの産業 の生 産活動 に も投入物 として必要 とされない ことにな り, この部門の生産物 は非基礎的生産物 になって しまう。10
スラッファ[9]訳
書33ページ参照。10
この一般項4り は,絶対 的 には0に収束す るが,ベク トルの成分 の比率 を比較すれば,相対 的には?に収束 す る。 したが って,ベク トル を規準化すれ ば絶体的 に も σに収束す る。参考文献
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田聖二「安定行列 と価格一Leontief―Sraffa体 系における価格の収束性一J九州大学『経済学研究』第 52巻第 6号,1987年9[3]永
田聖二「Leontief―Sraffa体 系における非基礎的生産物―「自然価格」の存在 とその収東性一J九州大 学『経済学研究』第53巻第 3号,1987年 。[4]永
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三階堂副包『現代経済学の数学的方法一位相数学による分析入門―』岩波書店,1960年 。[6]
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