第
章
微分方程式
“ ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した ”という有名な逸話があります。 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると、重力が働くと始め 静止しているものが動き出して、そのスピードはどんどん大きくなる、つまり速度の変化が現 れることがわかります。 速度 は一般に時間と共に変化します。速度の瞬間的変化の割合 を加速度といい で定義しましょう。 速度が変化する，つまり加速度が でなくなるためにはその原因があり、ニュートンはそれが 質量をもつ物質に働く力のせいであることを見抜いたわけです。質量は重さのもとになる量で、 同じ大きさの力を受けても質量が大きいと速度は変化しにくく，質量が小さいと速度はたやすく 変化することから、加速度は物体に働く力に比例し、物体の質量 に反比例する と ニュートンは考えました。ここで、比例定数 が になるように力の単位をとると と表 されます。これが有名な「ニュートンの運動方程式」です。この式を速度を用いて のように表しましょう。力 が既知のとき、‘ 未知の関数 の導関数を含む方程式 ’は積分 を用いて解くことができます。その結果として，速度 は時間の関数として既知になります。 このような方程式を微分方程式といいます。ニュートンはこの方程式を重力に適用して、地球 は太陽の周りを楕円軌道を描いて回っていることを力学的に示しました。微分方程式の基礎
原始関数と不定積分
関数 が与えられたとき となるような関数 を の原始関数といいます。 が の原始関数で、 が定数のとき、 も の原始関数となります。 を の原始関数の つとすれば、任意の原始関数は、 の形にかけます。これを の不定積分といい、 であらわします。したがって、 原始関数と不定積分 （ は積分定数） 次に重要な初頭関数の積分の公式をあげておきます。 初頭関数の積分公式 （証明） ～ は省略。 とおく。 とおく。 ∴ ■例題 次の不定積分を求めよ。 （解答） とおく。 ■ 【問題 】次の不定積分を求めよ。 【問題 】次の不定積分を求めよ。
変数分離形
変数分離形 （または ）の解は次の不定積分で与えられる。 （証明）解を とする。 ∴ 置換積分法によって、この左辺は に等しいから、 ■ 例題 次の微分方程式を解け。 （解答） のとき、 ∴ は積分定数） ∴ ∴ は でない任意の定数） のとき、 は微分方程式に代入すると、 となり成り立つ。 以上から求める解は、 は任意の定数） ∴ は積分定数） ∴ ∴ は任意の定数） ■ 一般に微分方程式の解は、なにか条件をつけない限り一意的には定まらなりません。このように、任意の 定数を含む一般的な解を、微分方程式の一般解といいます。これに対してもとの微分方程式に、例えば例題 の問題に、 という条件をつければ、 ∴ となって、解は一意的に定まります。このような条件を初期条件といい、初期条件が与えられて一意的に定 まる解のことを特殊解といいます。 【問題 】次の微分方程式を解け。 【問題 】次の微分方程式を解け。同次形
同次形 の解は従属変数の から への変換 すなわち （同次形の変数変換） を行うことで変数分離形の微分方程式に変換される。 さらに、 を満たす定数 が存在すれば、 も解となる。 （証明）従属変数の から への変換 すなわち を行えば、 ∴ よって、 のとき、 ∴ のときは、変数分離形 となる。 の形の解がある場合、 となり、 は変数変換とみなせない。この形の解をうる には、同次形の微分方程式に代入して、 この方程式を満たす定数 が存在すれば、その にたいして も解となる。 ■ 例題 次の微分方程式を解け。 （解答） すなわち とおくと、 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴∴ は任意の定数で 次に、 の解があるか調べます。 ∴ ∴ よって求める解は、 は任意の定数で すなわち とおくと、 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 次に、 の解があるか調べる。 ∴ ∴ これは において、 のときにあたる。 よって求める解は、 ■ 例題 の のように、一般解に含まれない解を微分方程式の特殊解といいます。 【問題 】次の微分方程式を解け。 【問題 】微分方程式 を解け。
次の微分方程式を解け。 オランダの数学者 の提唱したロジスティック方程式 は正定数 を解け。 次の微分方程式を解け。 次の微分方程式を解け。
線形微分方程式
階線形微分方程式
階線形微分方程式 階線形微分方程式 の一般解は （ は任意の定数） （証明）まず同次方程式 を考える。 ∴ （ は任意の定数） ∴ （ ） も の解なので、同次方程式 の一般解は ∴ （ は任意の定数） ここで を の関数式 と考えた式 ∴ が与えられた微分方程式を満たすように を決定する（定数決定法）。 を与えられた微分方程式に 代入すると、 ∴ ∴ ∴ （ は任意の定数） ■ 例題 次の微分方程式を解け。 （解答） まず同次方程式 を考える。 ∴ （ は任意の定数） ∴ （ ） も の解なので、同次方程式 の一般解は ∴ （ は任意の定数） ここで を の関数式 と考えた式 ∴ が与えられた微分方程式を満たすように を決定する。 を与えられた微分方程式に代入すると、 ∴ ∴ ∴ （ は任意の定数） まず同次方程式 を考える。 のとき、 ∴（ ） のとき、与えられた微分方程式を満たす。これは において のときである。よって同次方程 式 の一般解は （ は任意の定数） ここで を の関数式 と考えた式 ∴ が与えられた微分方程式を満たすように を決定する。 を与えられた微分方程式に代入すると、 ∴ ∴ ∴ ∴ （ は任意の定数） ■ （別解） （ は任意の定数） ここで、 とおくと、 （ は任意の定数） ■ 【問題 】次の微分方程式を解け。 【問題 】次の微分方程式を解け。
階線形常微分方程式（同次方程式）
階線形微分方程式 階線形微分方程式 （ は定数） の固有方程式 の つの解を とするとき、一般解は が実数で、 ならば、 （ は任意の定数） ならば、 （ は任意の定数） ならば、 （ は任意の定数） （証明） まず微分方程式 （ は複素定数） を考えると、 ∴ ∴ （ は任意の定数） 固有方程式 が つの解を を持つので、 より、 は与えられた微分方程式の解である。同様にして も解となる。 とすると、 ∴ したがって、 ならば、 も方程式の解となり、これが一般解を与える。 ならば、一つの解は である。もう一つの解を得るために定数変化法を用いる。 とおいて、微分方程式に代入する。 ∴ ∴ （ は任意の定数） ∴ ならば、オイラーの関係によって、 （ ） ■回線形微分方程式 に対して、 次方程式 を微分方程式の特性方程式、特性方程式の解を特性解といいます。 階線形微分方程式 の一般解 は、一般に （ は任意の定数） の形をしています。とくに、 も も の解となります。このような解 を一般に基本解といいます。 例題 次の微分方程式を解け。 （解答） ∴ よって一般解は、 （ は任意の定数） ∴ よって一般解は、 （ は任意の定数） ∴ よって一般解は、 （ は任意の定数） ■ 【問題 】次の微分方程式を解け。
階線形常微分方程式（非同時方程式）
定数 と関数 が与えられたとき、 を定数係数 階線形常微分方程式といいます。特に のときを同次方程式、一般の場合を非同次方 程式といいます。 重ね合わせの原理 微分方程式 の解を 、 の解を とするとき、 は の解である。 （証明） ∴ ■ 一般に 階線形微分方程式の非同次方程式を求めることは簡単ではありませんが、特定の について は簡単な求め方が存在します。 未定係数法 の 次多項式 （ が特性方程式の 重解）の場合 次多項式 とおいて、微分方程式を見たすように係数を決定する。 の 次多項式 または が特性多項式 の 重解の場合） 次多項式 とおいて、微分方程式を見たすように係数を決定する。 例題 次の微分方程式の一般解を求めなさい。 （解答） ∴ より、基本解は とおく。 ∴ ∴ ∴ よって求める一般解は、 より、 は特性方程式の 重解と考え、 とおく。∴ ∴ ∴
より、 とおく。
■ 【問題 】次の微分方程式の一般解を求めよ。
次の微分方程式を解け。
次の微分方程式を解け。
次の微分方程式を解け。
完全微分方程式
偏微分
平面上の点 に対して、実数 が つ定まるような関数 を 変数関数といい、 で表し ます。 変数のグラフは一般的に曲線を表すことになります。 上の点 において、次のような極限を考えます。 を一定にして、 の関数 が において便可能なとき、つまり が存在するとき、 は点 で偏微分可能であるといいます。また、この極限値を に関する偏微 分係数といい で表します。同様にして、 に関する偏微分可能性、偏微分係数が定義されます。ま た、集合 の各点で に関して偏微分可能なとき、 は で偏微分可能であるといいます。 の各点 に、その点における に関する偏微分係数を対応させることにより得られる関数を の偏導関数といい、 で表します。同様にして に関する偏導関数を で表します。偏導関数を求めることを偏微分するといい、 とも書きます。 例題 次の関数を偏微分せよ。 （解答） ■ 【問題 】次の関数を偏微分せよ。全微分
変数関数 の微分係数 の定義は でした。この式を変形すると、 これを 変数に拡張しましょう。 全微分 関数 が点 において、 が成り立つとき、 は点 で全微分可能であるという。 また、領域 の全ての点で全微分可能であるとき、 を の全微分という。 関数 が全微分可能であるとは、点が から まで だけ微小変化した 時の の変化量 を と 次近似できることを表しています。 例題 関数 は全微分可能であることを示せ。また、全微分を求めよ。 解答 よって は全微分可能で ■ 【問題 】次の関数の全微分を求めよ。完全形
完全形 微分方程式 または において、ある関数 の全微分として、 と表せるとき、すなわち、 を満たす関数が存在する（完全形である）とき、この方程式の一般解は （ は任意の定数） （証明） の両辺を について微分すれば、 ゆえに、 をみたす は微分方程式の解である。 逆に、 が完全形の微分方程式の解であれば、 によって、任意の定数 に対して を 満たす。 ■ 完全形であるための条件 微分方程式 または が完全形であるための必要十分条件は （証明）（必要性の証明）与えられた微分方程式が完全形ならば、 を満たす関数 が存在するから、 （十分性の証明） が成り立つとき、 より、 （ は の任意の関数） とおくと、 より、 となるように、 を選ぶことができれば、微分方程式 は完全形である。 したがって、 は に無関係な だけの関数である。ゆえに、 が成り立つように、 を選ぶことができる。 ■例題 次の微分方程式を解け。 （解答） とおくと、 したがって、この微分方程式は完全形である。ゆえに、 を満たす関数 が存在する。 ∴ （ は の任意の関数） この両辺を について偏微分すれば、 ∴ ∴ （ は任意の定数） ∴ よって求める一般解は、 （ は任意の定数） ∴ （ は任意の定数） とおくと、 したがって、この微分方程式は完全形である。ゆえに、 を満たす関数 が存在する。 ∴ （ は の任意の関数） この両辺を について偏微分すれば、 ∴ ∴ （ は任意の定数） ∴ よって求める一般解は、 （ は任意の定数） ∴ （ は任意の定数） ■ 【問題 】次の微分方程式を解け。 例題 次の微分方程式を解け。 （解答） この方程式に をかける。 とおくと、
この微分方程式は完全形である。ゆえに、 を満たす関数 が存在する。 ∴ この両辺を について偏微分すれば、 ∴ ∴ （ は任意の定数） （ は任意の定数） したがって求める一般解は、 （ は任意の定数） この方程式に をかける。 とおくと、 この微分方程式は完全形である。ゆえに、 を満たす関数 が存在する。 ∴ この両辺を について偏微分すれば、 ∴ ∴ （ は任意の定数） （ は任意の定数） したがって求める一般解は、 （ は任意の定数） ■ 例題のように与えられた微分方程式が完全形でなくても、適当な関数 をかけて、 が、完全形になるとき、この を積分因子という。 【問題 】次の微分方程式を解け。 （ ）
次の関数を偏微分せよ。
関数 の偏微分係数 を求めよ。
次の関数の全微分を求めよ。
次の微分方程式を解け。
