様々なミクロ計量モデル†

様々なミクロ計量モデル

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担当： 長倉 大輔

（ながくらだいすけ）

様々なミクロ計量モデル

◼ カウントデータモデル 労働経済学などで扱うデータには連続変数ではなく離散 変数、特に非負の整数の値を取るデータが多い。例えば 、ある個人による通院の回数などは非負の整数のデータ である。このようなデータはカウントデータと呼ばれる。 そのような変数をその性質を考慮しないで、たとえば線 形回帰分析などを行うと、いろいろと不都合なことが起き る。以下ではこのようなデータを扱うのに適したミクロ計 量モデルを紹介する。

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◼ ポアソン分布 カウントデータのような非負の整数の値を取る離散型の 分布の代表的なものにポアソン分布_{がある。確率変数Y} がポアソン分布に従うとは、Yの確率関数が以下のよう に与えられる時である。 Pr(Y = y) = , y = 0, 1, 2, … ここで _{λ は正の実数である (整数ではないことに注意)。} この分布の期待値は _{λ で与えられ、分散も λ で与えられ} る。以下では確率変数 Y が パラメーター λ のポアソン分 exp( ) ! y y

 

−

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◼ ポアソン回帰モデル 前述のポアソン分布においては期待値は _{λ で一定であ} る。より柔軟性のあるモデルにしたい場合、特に説明変 数による影響を考えたい場合、この仮定は制約的である 。 例えば線形回帰分析などは、被説明変数 Y_i の期待値を 説明変数の線形の関数でモデル化していると考えること ができるが、同じような拡張をポアソン分布に対して行っ たものがポアソン回帰モデルと呼ばれるモデルである。

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線形回帰分析の時と同様に、ポアソン分布の期待値 _λ を説明変数の関数として表すことを考える。ただし λ は常に正の値をとらないといけないので、ポアソン回帰 モデルでは、それを考慮して λ_i = exp(β₀ + β₁X_1i + … + β_KX_Ki), のように定式化する。このように定式化すると _λi は各説 明変数 X_ki の値に依存して変わり、また X_kiの値によらず 正の実数をとる。λ_i の定式化としては、分析の目的に応 じて他の定式化を使用することも可能であるが、上記の 定期化が非常によく用いられる。

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よって非負の整数の値をとる被説明変数 Y_i に対するポア ソン回帰モデルは以下で与えられる。 Pr(Y_i = y) = , y = 0, 1, 2, …. λ_i = exp(β₀ + β₁X_1i + … + β_KX_Ki) λ_i の部分は log λ_i = β₀ + β₁X_1i + … + β_KX_Ki と書き直すこともできる。 exp( ) ! y i i y

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◼ 最尤法によるポアソン回帰モデルの推定 ポアソン回帰モデルは最尤法で簡単に推定できる。_{β =} [β₀, β₁, .. , β_K]T とすると、実現値 y₁, y₂, …., y_n が与えられた 下での、対数尤度関数は log L(β) λ_i = exp(β₀ + β₁X_1i + … + β_KX_Ki) によって与えられる。 1 1 1 1 log Pr( ) log ! n i i i n n n i i i i i i i Y y y y





= = = = = = = − + −









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最大化の1階の条件は である。ここで X_0i = 1 とする。この連立方程式は β につい て明示的には解けないので、ポアソン回帰モデルの最尤 推定値は数値的に求めることになる。 1 1 log ( ) 0, 0,..., n n ki i i ki i i k L X



y X k K



= =  = − + = = 





β

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例題1 ポアソン回帰モデル Y_i ~ Po(λ_i), λ_i = exp(β₀ + β₁ X_i) を考える。ここで X_i は i 番目の観測値に対する説明変数 である。 Y_i, i =1,…,n は λ_iが与えられたもとで互いに独 立であるとする。今、n = 3であり、X_i と Y_i の観測値として X₁= –1, X₂ = 1, X₃ = 1, y₁ = 5, y₂ = 4, y₃ = 3 が与えられた とする。この時、 _β0 と _β1の最尤推定値を求めなさい。

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◼ デュレーションモデル デュレーションモデル_{とは何らかのイベントが起こる(また} は終わる)までの時間を分析したい場合によく用いられる。 例えば、病気が治癒するまでの時間、製品が故障するま での時間、失業が続く期間、などの分析である。 デュレーション分析は生存時間分析などとも呼ばれる。

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◼ 生存関数 確率変数 T は非負の実数とする。ここで T はあるイベン トが続いた時間を表すと解釈しよう。T の分布関数 F(t) = Pr(T ≤ t) はこのイベントが続く時間が t 以下になる確率、言い換 えると(時点 0 から始まった) このイベントが時点 t まで に終わる確率を表している。 この時 S(t) = 1 – F(t) と定義される関数 S(t) は生存関数_{と呼ばれる。S(t)はこ} のイベントが続く時間が t より大きくなる確率、つまりこ

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◼ ハザード関数 Δt を任意の小さな値を表すとする。このイベントが続く 時間が t 以上 t + Δt 以下となる確率は Pr(t < T ≤ t + Δt ) = F(t + Δt) – F(t) である。これは無条件確率であることに注意しよう。今、 興味のある確率として、このイベントが_{時点 t まで続い} たという条件付きでさらに非常に小さな時間 _{Δt 続く確率} を考えたいとする。これは Pr(t < T ≤ t + Δt | T ≥ t ) = ( ) ( ) ( ) F t t F t S t +  −

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ここでこの条件付き確率と_{Δt の比} を考え、この比が Δt → 0 の時にどのように表せるか考 える。これは条件付き分布関数の点 t における(右から 極限を取った)傾きと解釈できる。T の確率密度関数を f(t) とすると、この極限は と表すことができる。これをハザード関数と呼ぶ。デュレ Pr( | ) ( ) ( ) 1 ( ) t T t t T t F t t F t t t S t   +   +  − =   0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) lim ( ) ( ) t F t t F t f t h t t S t S t  → +  − = = 

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◼ ウェイブル分布 T の分布として、ウェイブル分布を考える。ウェイブル分 布の分布関数は以下で与えられる。 F(t ; β, α) = 1 – exp(– (βt)α) ここで β > 0 である。よってその密度関数、生存関数、ハ ザード関数はそれぞれ f (t ; β, α) = αβαtα–1 exp( – (βt)α ) S(t) = exp(– (βt)α) h(t) = αβα tα–1

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◼ ウェイブル分布のハザード関数の性質 t が増加した時、ハザード関数が減少していく場合、負 のデュレーション依存があるといい、増加していく場合、 正のデュレーション依存があるという。またハザード関数 が t に依存しないときは デュレーション独立と呼ぶ。 ウェイブル分布場合は α < 1 ⇒ 負のデュレーション依存 α > 1 ⇒ 正のデュレーション依存 α = 1 ⇒ デュレーション独立 となる。

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◼ 対数正規分布 確率変数 Y の分布が対数正規分布_{であるとは log Y ~} N(μ, σ2) となる分布のことである。 ウェイブル分布のハザード関数は t についての単調関 数であり、やや制約的である。実際の分析では、ハザー ド関数が t が大きくなるにつれて、当初は増加するが、 次第に減少に転じるような場合がよく観測される。その ようなハザード関数はウェイブル分布のハザード関数で は表現できないため、他の分布を用いる必要がある。そ のような分布としてよく用いられるのが対数正規分布で ある。

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対数正規分布の分布関数、密度関数、生存関数、ハザ ード関数は で与えられる。ここで_{Φ(.)および} はそれぞれ標準正 1 ( ) (log ) F t t     = _ − _   1 1 ( ) 1 (log ) (log ) S t t  t        = − _ − _ =  −_ − _     1 1 ( ) (log ) f t t t       = _ − _  

(

)

(

)

(log ) / 1 ( ) (log ) / t h t t t       − =  − − (.) 

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◼ デュレーションモデルの最尤推定 T_i を i 番目のデュレーションで確率変数とする。また t_iを i 番目のデュレーションの観測値とする。T_i は X_i という 説明変数ベクトルで条件付けした場合、条件付きで独立 であるとし、その条件付き密度関数は f (t_i; X_i, θ) で与え られるとする。ここで _{θ は未知パラメーターベクトルであ} る。この時、一般的に尤度関数は と書け、これを最大化する未知パラメーター _{θ の値を求} めれば最尤推定値が得られる。 1

log ( )

log ( ;

, )

n i i i

L

f t

=

=

_

θ

X θ

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例えばウェイブル分布において i 番目の分布の β を β = β_i = exp(β₀ + β₁X_1i + … + β_KX_Ki) とすると、先ほどのウェイブル分布の密度関数より f (t_i; X_i, θ) = f(t_i; α, β₀, …, β_K) = αβ_iα t_iα–1 exp(–(β_iα t_iα)) である。ここで β_iα_{= exp(αβ} 0 + αβ1X1i + … + αβKXKi) であるので _γk = αβ_k とすれば f (t_i; X_i, θ) = f(t_i; α, γ₀, …, γ_K) = αβ_i t_iα–1 exp(– (β_i t_iα)) β_i= exp(γ₀ + γ₁X_1i + … + γ_KX_Ki)

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よってその対数尤度関数は β_i= exp(γ₀ + γ₁X_1i + … + γ_KX_Ki) で与えられる。 0 1 1 1

log ( , ,..., ) log log ( 1) log

n n n K i i i i i i i L    n    t t = = = = + _ + − _ − _

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例題2 対数正規分布の分布関数、密度関数、生存関数 、ハザード関数が前述のように得られることを確認しなさ い。 例題3 デュレーション T_i が log T_i ~ N(μ, σ2) の対数正規 分布に従っている時、T_i = t_i が観測された時の μ, σ₂につ いての対数尤度関数を書きなさい。