スライド 1

５.５

.２

画像の間引き

５．１ 線形変換

５．２ アフィン変換

５．３ 同次座標

５．４ 平面射影変換

５．５ 再標本化

1. 画素数の減少による表現能力の低下 画像の縮小、変形を行う際、 結果画像の 入力画像の

画素数

画素数

＜

この場合、結果画像により表現しきれない入力画像 の情報が、結果画像に「偽の模様」として現れるが 現れてしまう。

この現象は「エイリアシング現象」という。 Aliasing Distortion

２．標本化定理 画像の一行にN個の画素がある場合、表現できる最大 周波数はN/2である。 入力画像の一行にN個の画素があり、 結果画像の一行にM個の画素があるとする。（M<N) 入力画像が表現できる最大の周波数＝N/2 結果画像が表現できる最大の周波数＝M/2 入力画像にあり、結果画像により表現できない周波数 成分の周波数の範囲 M/2 ＜ ｆ ＜ N/2

３．縮小により表現できない高周波成分 画像の一行にN個の画素がある場合、表現できる最大 周波数はN/2である。 入力画像の一行にN個の画素があり、 結果画像の一行にM個の画素があるとする。（M<N) 入力画像が表現できる最大の周波数＝N/2 結果画像が表現できる最大の周波数＝M/2 入力画像にあり、結果画像により表現できない周波数 成分の周波数の範囲 M/2 ＜ ｆ ＜ N/2

４．理想的なローパスフィルター 周波数特性： 空間特性： 画像座標系： G ｆ 1.0 M/2 -M/2 x M x M x g   sin ) (  i N M i N M i g   sin ) ( 

５．一般的なローパスフィルター 移動平均フィルター 面積＝ 画素 ガウスフィルター M N MN  M N e y x g y x 425 . 0 , 2 1 ) , ( 2 2 2 2       

６．画像縮小の手順

１．入力画像を４，５で紹介したフィルターで 処理する。

２．フィルタリングした画像を用いて、画像補間を行 い、縮小画像を作る。

８．画像縮小の例 入力画像

８．縦横それぞれ1/2に画像縮小の例 単純補間

８．縦横それぞれ1/2に画像縮小の例 単純補間

５．画像の幾何学変換

O _X Y        y x t t T ) , (x y ) ' , ' (x y        y x t y y t x x ' ' １ 画像領域の平行移動

) , (x₁ y₁ 左上の角と右下の角はそれぞれ の領域を水平方向に ，垂直方向に 平行 移動するために，その領域内の各画素に対 して、次のように処理するとよい。 ) , (x₂ y₂ ) , (x₁ y₁ (x₂, y₂) x t t_y , ); , ( ) , ( ' x t y t I x y x₁ x x₂ y₁ y y₂ I  _x  _y     

O X Y        y x k k K ) , (x y ) ' , ' (x y      y k y x k x y x ' ' ２ 画像領域の拡大・縮小

O X Y ) , (x y ) ' , ' (x y            cos sin ' sin cos ' y x y y x x ３ 画像領域の回転 ) , (x y

画像変形処理の処理手順

問題点：画像拡大処理と同様 （１）小数点座標

（２） 結果画像の全画素が処理される保証はない。

Digital Image Processing 2013 6/20

手順２： _{結果画像 I’←入力画像 I} 結果画像の各画素に対して ① _{その画素座標 (x’,y’) → 入力画像の座標(x’,y’)} ② 入力画像の(x,y)画素の値を変換後の画像 の(x’,y’)の画素に代入する I’(x’,y’) ← I(x,y)

結果画像の各画素を処理すると，このようになる

Digital Image Processing 2013 6/21

O X Y ) , (x y (x', y')       y y sy x x ' ' ４ _{せん断（スキュー＝skew）}



















t

dy

cx

y

t

by

ax

x

'

'

1.6 三角形領域から三角領域 図のように△ABCの領域の画像を別の△A’B’C’ への変換方法について考える。 O X A B’ B C A’ C’ Y

△ABCを△A’B’C’に変換するために、三角形の各 頂点は次のように変換する必要がある。 A ⇒ A’ B ⇒ B’ 或いは， C ⇒ C’ 2次元座標の線形変換式 には、6個のパラメータ           C C C C B B B B A A A A y y x x y y x x y y x x ' , ' ' , ' ' , '



















f

ey

dx

y

c

by

ax

x

'

'

'

'

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

がある。 A ⇒ A’ B ⇒ B’ 或いは， C ⇒ C’ の関係を2次元座標の線形変換式に代入すると、 に関する方程式が6個入手でき る。それらを解けば、 △A’B’C’ から△ABCへの 線形変換式が得られる。           C C C C B B B B A A A A y y x x y y x x y y x x ' , ' ' , ' ' , '

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

△ABCから△A’B’C’への変換パラメータ 2次元座標の線形変換式のパラメータを求める 頂点の対応関係より、次の二つの線形連立方 程式が得られる。 これらを解けば、 を求めることができる。               C C C B B B A A A x c b y a x x c b y a x x c b y a x ' ' ' ' ' '               C C C B B B A A A y f e y d x y f e y d x y f e y d x ' ' ' ' ' '

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

元の画像の変形したい画像の領域と

２．混合処理 複数枚の画像から1枚の画像を作る方法 方法： 結果画像の画素値は、複数入力画像の 同じ座標の画素値の積、和の組み合わせ C=ka*A + kb*B C: 結果画像の画素値 A： 入力画像１の画素値 B： 入力画像２の画素値 ka, kb： A、Bを混合するための係数

混合処理の例 例1： 画像１の3割と画像２の7割の混合 C=0.3*A + 0.7*B 例2： 不均一の白いカーテンの窓 C = k * A + (1-k) * B 1-k: カーテンの密度（不透明度）、場所によって 変化するため、一般的に、画像で表現する A: カーテンの模様の画像 B: 窓の外の風景の画像

3. Morphing処理

ある画像を徐々に別の画像に変化させる技術 キーとなるアイディア：

② 指定した対応点を使って、三角形分割を行い、 対応三角形を指定する

③ パラメータｋ（0.0～1.0)を使って，画像１ の三角形を画像２の三角形に徐々に変形させる 途中の三角形を求める p=k*p1+(1.0-k)*p2

④ 画像１の三角形から途中の三角形、 画像２の三角形から途中の三角形

への変形パラメータを計算し、画像１、２の 三角形からの変形した画像（2枚）を求める（A とB)

⑤ AとBを使って、混合処理により変形三角形 の画像を求める。

⑤ AとBを使って、混合処理により変形三角形 の画像を求める。 C = k * A + (1.0 - k) * B

１．画像の縮小処理を行う際、実際に補間処理により 画像を小さくする前に、入力画像をローパスフィ ルターで平滑化（ボカシ）するが、その必要性を 説明しなさい。 ２．画像の幾何学処理において，正しい結果が得られ るために、入力画像の各画素ではなく、結果画像 の各画素に対して一個ずつ処理しなければならな い理由を説明しなさい。

３．下記の画像を双線形補間法を用いて、次の式で定 義される幾何学変換を行いなさい。 x’= 3x + y y’= 4y X= 0 1 2 Y =0 ４ ８ ４ 1 ８ ４ ８ 2 ４ ８ ４ ４．問3と同様、ただし、最近傍補間法を用いなさい 。