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高 等 学 校
数 学 科 学 習 指 導 案
県立教育センター 指導主事 諸藤孝則 導関数の応用(数学Ⅲ) １ 単元名 ２ 単元について (ここは教材観・生徒観・指導観について書くべきであるが，本指導案は特定の生徒を想定していないので，生徒観については割愛した。) 数学Ⅱまでで様々な関数のグラフの概形を学習しているが，凹凸や変曲点を押さえな いなど，正確でない部分も多い。ここでは，第二次導関数や関数の極限を用いることに より，これまで以上に正確なグラフを書くことができる。それを通して関数の考察を深 めることになる。特に，数学Ⅲのはじめに学習する極限の有用性を実感できる単元でも ある。いろいろな場面で極限を用いた考察を心掛けたい。また，この単元は小中高を通 して学習してきたグラフの締めくくりの部分と位置づけることも考えられる。できるだ け多くの種類の関数を取り上げて授業構成をしたい。その際，生徒の実態に合わせて， 効率よく学習できるよう内容の配列を工夫することが重要である。 ３ 単元の目標 ・グラフを正確に書くことを通して，極限の有用性を感じ，関数論に対する興味・関心 を深める （関心・意欲・態度）。 ・グラフを用いて，関数の特徴についての考察や，方程式・不等式についての考察がで きる （見方や考え方）。 ・第二次導関数を用いてグラフの特徴について判断したり，変曲点の座標を求めること ができる。また，関数の極限を用いて漸近線の方程式を求めたり，グラフの突き刺さ り方を判断することができる。それらを通して関数のグラフを正確に書くことができ る （表現・処理）。 ・平均値の定理の意味を直観的に理解できる （知識・理解）。 ４ 指導計画 次 内 容 時数 主な評価の観点 関 見 表 知 評価規準 １ 接線と法線 ２ ○ ○関数の考察に際し，そのグラフの接線や 法線の方程式を求めることができる。 ２ 平均値の定理 ２ ○ ○ ○平均値の定理を用いて，グラフの特徴を 考察できる。 ○平均値の定理の意味を直観的に理解でき る。 ３ 関数のグラフ ８ ○ ○ ○ ○グラフを正確に書くことに興味を持つ。 ○第二次導関数を利用して極大極小や曲線 本 時 1 8/ の凹凸を判断したり，変曲点の座標を求め たりすることなどができ，グラフを正確に 書くことができる。 ○関数の最大値・最小値をグラフを用いて 求めることができる。 ４ 方程式・不等式 ２ ○ ○グラフを用いて，さまざまな方程式・不 とグラフ 等式に関する考察ができる。 ５ 本時の目標 ・グラフを正確に書くことに興味を持つ。 ・第二次導関数を利用して曲線の凹凸を判断し，変曲点の座標を求めることができる。 ・導関数をもとに，グラフの突き刺さり方を判断することができる。−2− ６ 本時の指導過程 学習内容 ●指導過程・○学習活動 ▲留意点・△評価 ｙ＝ｘ −６ｘ ＋９ｘ ▲数Ⅱを想起させる。 （導入）15分 問１ 関 数 ３ ２ のグラフを 正確に書こう。 ・増加・減少 ●正確でないところはどこか，正確にするためには ▲結論を急がない。 ・極大・極小 どうしたらよいか，考えさせる。 ○考えを発表する。 ▲増減表を書く。 ▲極大極小の意味を確認す 問２ 関数ｙ＝３ ｘ２ のグラフを正確に書こ る。 う。 ●正確でないところはどこか，正確にするためには ▲あらゆる考えを取り上げ， どうしたらよいか，考えさせる。 凹凸の判断の必要性に焦 ○考えを発表する。 点 化 す る 。 △グラフを正確に書くこと （展開）40分 ● 傾 き の 変 化 に 着 目 し，第 二 次 導 関 数 を 利 用 し て，「曲 に興味を持てたか。 ・凹 凸 と 変 曲 点 線 の 凹 凸 」 を 判 断 し た り 「 変 曲 点 」 の 座 標 を 求 め た り， す る こ と に つ い て 整 理 す る 。 ○問１のグラフを，変曲点 △変曲点の座標を求めるこ を 押 さえ て 正確 に 修正す とができたか。 る。 ●問１のグラフの変曲点を ▲凹凸を加味した増減表を 確 認 す る 。 完 成 す る 。 ▲グラフの対称性にもふれ る。 ●問２のグラフをより正確に書き直すよう指示する。 ▲時間を十分与える。 ○どのように修正するか， ▲増減表に着目させる。 発 表 す る 。 △凹凸を判断できたか。 →予想される答え； 凹凸を調べる。 ○問２のグラフの凹凸を 確認して修正する。 ●原点あたりは正確か，問 △突き刺さり方が正確でな う て み る 。 いことに気付いたか。 ▲尖っている状態から考え ・突 き 刺 さ り 方 問；問２において，原点で微分可能かどう させる。 か。また，原点におけるグラフの突き刺 △突き刺さり方を判断でき さり方を調べよう。 たか。 ○考えを発表し，練り上げる。 ▲グラフの対称性も確認す ○グラフを修正する。 る。 △意欲的に取り組むか。 △「正確に」の意味を汲ん 練習；関数ｙ＝ｘ−２sinｘ(０≦ｘ≦２π) で い る か 。 のグラフを正確に書こう。 ▲時間がなければ，宿題に する。 ○練習に取り組む。 （まとめ）５分 ●本時の確認をする。
