ケーラー多様体の3次元全臍的CR部分多様体について
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(2) . 北海道教育大学紀要 (第2部A) 第46巻 第2号. 平成8年2月. lof Hokka ido Un 1ouma iver i ion(Sect tyofEducat i IA) VOI s on l .46 .2 ,No. F Iめ印園げ1 9 96. 0 n 3-di ly ui l icaI ・nensionaltotal ヒ nbi. CR-submani foldsin. a. Kaehler ian mani fold. lzumi H ASEGAWA Tomoji ABE* Kenichi FUJ I I** , , ,. Yukihiko oKUYAMA*** and Kimi take sATO**** Ma l山emat ics Laboratol r y ,SaPporo camPus Hokkaido Univers i ion ty of Educat Sapporoo 02. *Sapporo‐Kous iSen ior HighSchoo l e ホ率Touryo semor HighSchoo l ***To t山okuj山国or High Schoo l ****Tou tm se国or Hi ghSchooI. Abstract. Le iona ltota l ly u t ルイ be a 3‐市立 l ical proper CR‐ foldin a Kaehl i ian・nan ld Aイ. VVe i fo l ens jmbi subman er igate whenthe mean curvature vector 〆 o invest f 財 in 財 i l l l f Mri 1 spara ) e sofharmon 1ccuぱvature .l ,then(. 肌i i i san e×セins t ly csphere ofconstantcwa 2 t t )財i sahomo故et eandadkni csasakians ructwe ur stotal ,or( i l ly tねe Riemannian product of a holomorphi face and a total ly real curVe‐ VVe a c andloca l geodes c s印ご so iderthesame question under other curvature condi ions cons t ‐. 1.lntroduction s‐ De 4 ] proved a classification theorem for totally umbilicaI CR‐ shlnukh and s‐1 ‐ Husain [ foldin a Kaehler ian mani fold. Wァ lowing form: submani e arrangedtheirtheorem inthefol Theorem. A( f 4 ] ] ]) 7 8 c .[ ‐ ,[ ,[. L8z 財. 影 α” ”(≧4 ) ‐露 伽eれsi o”〆 ゎ彰妙 “ コ 脚屍Z北郷 か飾影γ CR‐. 1 ( ) 肌 奮 励 窃加硲た め脳だ αd粥鰯効8 α 加 伽o劫窃た S僻αた如7 zsか躍 如〆 β ‐ ( 2 )▲肌 奮 わ加砂 gBodesic α“〆 Zocα物 功β Rig勧2”7 Z07 2 2P7Dd”ci q fα 励め伽oゆゐfc 賜る“靭れ斬メメ α〃〆. α. . Therefore we have 廿l lowing efol. Problem. LeZ 賜 ろ Z i cαZ P〆 e α 3‐di鎚8獲”わ”メ カ2捌 か ”コ削ろi s”卿珍 {鰯 祈り財 物 α 比αe賜e“”7 と めeγ CR‐ 2 . 1n our previous paper [7] we prove ,. (1).
(3) . 1 I 1 . HASEGAWA ,T‐ABE ,Y.oKUYAMAand K.SATO ,K‐FUJ. 108. Theorem B. 乙鷲 肌 彰 α3 ‐燐粥e筋力%〆. わ加妙 ”伽鰯成〆 かの戊γ CR‐s“鰯 間“斬り煽. す〃 α 瓦解 賜8締α”. . ions i ive answers under weakened assumPt ln せ l rmat e PrE渇ent PaPer, we givesome aff ‐. M‐A‐Bashirtriedtosolve 鉱eaboveproblem,buthisproofgivenin [1] tumedto beimcomplete.. 2. Prel iminarles foldin 肌. ionalsubmani Let Mrbe a rea12:碗‐dimens ionaI Kaehler ian mani fold and 財 an 〃-dimens. Wedenoteby <. h Ri l lasthatinduced on 財,andby/thealmost icof 肌 as we r , > t e emannan met. ion ▽ inducesthe Riemannian comlection complex stnlcture on 肌‐ The Riemanniancormect. ▽ on 肌. ion ▽1 in 丁↓ 肌 obeying the Gauss and 汎ァeingarten formulas andthe normalcom・ect. 2 1 ) ( .. ▽xy = ▽xY +o(又, Y) ,. 2 2 ) ( -. exα = ‐A x + ▽ α. α. ie ld α on ルイ,where ぴisthesecond hindamentalform fortangentvectorf i lds ご e , Y andnormalvectorf ‐ イ and 月 L he VVeingarten ぱlap With resPectto α related as on ル αt. 2 3 ( ) .. < o α, Y) , α 〉=く Aα;, y 〉.. fold 財 i f An %-dimens ionalsubmani ssaidto be わ加妙 “粥屍Zた錫 i. 2 4 ) ( ‐. o(x, Y)=く 又, Y 〉 “,. ) 融, ed仇e粥 伽 wh熊 〆- ★ 他 縦 ぴ. i f l d f財i l o n 財‐Fon 磯1 例 の醐 隙 加 o yumbm 副 subman. 2 2 2)taketheform 1 ions( ) and( 脳,theequat . . ▽xy = ▽xy+ < ×, Y > “, 2 5 ) ( . 6 (2 ) ‐. ▽xα = - < α, “ >.× + ▽↓×α.. fold ルイ are given by ly umbi l icalsubmani ifortotal ionsof Gauss and Codazz Theequat 2 7 ( ) ‐. < 元(X,Y)Z, w > ~ 2{く g Z 〉く x w 〉 - < ズ Z >< g w >} - - =く R(x,Y)Z, w 〉 +=“ , ,. and. 2 8 ( ) 〈 毅 x,Y)z, α 〉=く g z 〉< ▽ ‐. 〆, α 〉 - く x, z 〉く ▽ヤ“, α 〉. ld α on 班,where 尺 denotesthe Riemal ie fortangentvectorf lnian i lds X, 彩 る W and normalvectorf e. イ. curvature tensor ofA i fold 財 i led an g%Z“れs ly u l icalsubmani fthe mean cu1rature veCtor 〆 is A total c 叩姦8陀 i scal コ □ nbi ↓ =o) l lel i ( nonzero and para e . . ‐ ,▽ ” A subma簿fold 肌in 脳 「i ssaidtobea CR-s“ろ鰍 鰯 所oZdifα1ereexisttwoorthogonalcomplementary Ls di ibut ions D and D‐ str at孟刀 = uch 化ー id to be a わ加 妙 ・s sa. ↓ fD = {0}( D and孟刀↓ (Ti 肌. l resp ‐ D = {0}) ,then 肌. lowsthat dim fold tfol 彩〆 ( resp‐ 九〆の呪のり為化)submani . l. D. = even. and the. ‐ i L 財 under L 1 肌 = 孟力 士 金 E where E istheinvariantsubbundleof 7i 1 tsas r normalbundle TI M spl 4. Z A CR‐submanifoldissaidto be力m姥γif D ≠ {0} and D一 ≠ {0}‐ VVe preparet lowing lelr hefol l 1nas: Lemmal( f 1 ] ]) z 朗 ら8α ゎ 如 か “粥鰯Zた錫 CR‐ sの”如%前 駆 物 α 瓦解ゑを“伽 鰍鰯 的 雌 肌‐ c ‐ Le ‐[ ,[7 . (2).
(4) . 109. FOLDs ToTmン . L IQ且 CR-SUBMANI LY UMB. d i% ” 瓦解 塀β“”“ Lemma 2( f 1 z 朗 らe α ゎz捌か 燭碗屍耽溺 P〆 ] ]) と め8γ CR‐秘め粥励 めZ c .[ . L8 ,[7 ぁ8” ▽ も 厳=0 im D↓ =1 伽α y E D L,云 伽“脆 溺 廟. ザ d . Lemma3( f Z df 4 ] ]) 7 り α“がり扇 肌. c ”” 瓦解 賜多血%“の .[ ‐ 乙好 財 彰 α 勿2耀か 粥碗屍耽溺 CR‐賜る“賜物頻 ,[. グ dim Di≧ 2, 挽8れ ” E E. 扉““脳γ粥o惚, ザ 朋 声 かゆ8 挽靭 肌 ZS ZO錫 か ぎBodesic‐ . . 3. 3‐dimensionaltota foI C胸 l ly uu n nb辻icaI CR‐ submani Let 財 be a 3‐dimens l foldin a Kaehler fold ionaltotal ly umbi icalproper CR‐ ian mani submani. 財‐. Then dim D = 2 and dim D↓ =1‐ Let{Xヱ ズ y} be an orthonormalframefield.on 財 satisfying X E D and y E DI. Since メ ミ 孟刀工 and dim p↓ = 1, we can put ” = カ ソロ where 力:= <”, ノy >- Therefore we have. 3 1 ( ) ‐. 47vX = んX, AルJX ニ ルノズ,. Awy ニん▽. Us ing(3 i l 仇 1 ) ‐ , wecan eas y see at. 2 3 ) ( -. ▽xy = んJx,. ▽JXV = -れ又,. ▽vy = ○ ,. and. 3 3 ( ) ‐. ‐ ▽~JV = ▽うxJV = ▽もJ V =0 .. Us ing Lemma 2 and( 3 3 ) ‐ , we have. o= ▽も“= ▽も( れJV)=(Vん )JV+ん▽もJV=(Vん )JZ from which. 3 4 ( ) .. Vた = 0 .. Lemma 4.. V(又た)=. 九一c ) (Jx)ん. 3 5 ) ( -. V( (ノx)ん )=(九一c )×ん “れe“ じ:;< ▽yx, Jx >. Proof ing ( 4 3‐ ) . Us , we have. y(xた)= 彰 又1九=(▽vx 一 ▽xy)九= -( 九一c ) (Jx)ん and. y( (Jx)ん )= 霞 Jx]ん =(▽vJx - ▽JズV)九 =(ル ーc)×九. Le1mlna 5 .. 2 γ(又, Jx) に く 元(x,Jx)Jx, x >= 〒(D)十 九 γ(x, の に〈 R(x, の “ × 〉= 〆. 3 6 ( ) .. γ(Jx, V):=< 元(Jx,V)質 Jx 〉= 〆 s(J又,v)=< 元(x,Jx)“ × 〉= -×九. s(x,V)=〈 R(Jx,x)“ Jx 〉=(Jx)ん S(x,Jx)=〈 R(騨 x)Jx, V 〉=O S(x,x)=〒(D)十2ん2 S(Jx,Jx)=〒(D)十2ん2 s(“ V)=2ん2. 2 ( 〒(D)十3ん ) r=2 (3). {. □.
(5) . 110. 1 ‐ HASEGAWA ,T.ABE , K‐FUm,Y‐OKUYAMA and K.SATO. W脳“ γ(D) 〆8%所鍋 劫βseメカ%〆 c“勿α彰だ. け. 財 力γ 卿わ粥oゆゐZ 云わ” ゆα〃〃司 り cs ec. × α72メヱヱ. i i 27 8 Proof ) and(2 ) ‐ For example . , we obta n ,usng(. . . 〈 元(“ ×)ズ, V 〉 =< 兄(“ ×)×,V 〉+ くび(x,x) ,ぴα V)> =< 兄(“ × Mx, Jy 〉 +〆 = ん2, and. ZX)JX, V >= ん2 < 兄(質t . ‐ Therefore ini ion ofthe 家 cCitensor s of A4 t we have ,by def. s (耳 V)=〈 元(“ ×)×, V > + 〈 兄(耳 Jx)J又, V >=2ん2.. …□. leli fand onlyi f γ- Remark・ Thelastequat ion of( 3 6)saysthat三 はle mean cu]rature 〆 i s paral ‐. 2γ(D)i s constant. ′to be cy霧c ・加 川Z捌 け S Let 財 be a Riemann・an mani fold and sthe Riccitensorof 肌. Si ssaid isf ies sat. ) (Z Z)+(▽Y町(Z ) (W Y)=o wS , W)+(▽zs fortangent vectorf i l ds W e ,Z Z on 肌. Theorem 6 . L餅 肌 彰 α 3‐燐伽8欄ゎ”〆. d i〃 ” 瓦解 賜e〆αれ わ如妙 ”粥虎Z北郷 Pm鰹γ CR- s物”卿”的Z. h Proof ic paral lel ‐ Since Siscycl , we ave. 0=(▽xs ) (質 V)十2 (▽vs) (x, V) = ▽xs(“ V)-2S(▽xg v)十2▽vs(X, V)-2駅▽v又, V) 3 7 ( ) .. =2ん{2x九一s(Jx, の}+2v( (Jx)九 )一2cs(Jx, y) =6れ(xた )十2 (義一c )×九十2c (xん) =8九(xた ). and. 0=(▽Jxs) (耳 V)十2(▽vs) (ノx, V) - 3 8 ( ) ‐. = ▽JXS(質 V)-2S(▽Jxg y)十2▽vs(Jx, V)一2S(▽vJx, V) =2ん{2(Jx)為十 s(x, の}ー2+ v(xれ )十2cs(又, y). 九 九一c Jx) 九 Jx) ( =6ん ( ) ( ( )十2 ( ) ( (Jx)九 )十2 c =8ん ( (Jx)九 ) . le lby vi 3 From ( ) 3 4 8 3 rtueof(3 7 ) ) )and(3 . . . Thereforethe meancurvature “ isparal . ‐ . ,( ,れisconstant. □ Thefol lowing corol laryi ]‐ 7 s proved bythesame way as Theorem 5i n[ Corol lary 7 . 乙の 肌 彰 α3‐燐伽8絡め%〆. わ加妙 ”粥鰯Zたの Pのめ好 C兄 賜ろ“伽”帆メメ 勿 α 冗α8賜e“α7 z. . ( 1 ). 肌 2S α72 錆云雑然た. ( 2 ). 助 命 わ加 妙 gBodes化 α7 メロ” ”%〆 α わ加物 2Pのび“cf qf α 卿わ粥oゆたた 跳ク 2d Z ocα砂 劫8 尺乾 物2れ物α7. め 脳 鰯 α所牌端物g α 姦o雛o豹窃た 鼠鴻αた彰% sfr”〆“鰯‐. Theorem 8 . L鋳 朋 彰 α. i 燐 粥8%s o%〆. わ加物 ”粥屍励磁 P〆ゆ8γ CR‐ s“鰯伽れ物 財 物 α 瓦解 賜e糊α 7 2. (4).
(6) . 111. ToTALLY I L I CAL CR-SUBMAN I FoLDs .UMB. Z Z 8 勧2%的 姫 川. ザ 朋 ゐ げ 加 伽o”た c僻む鱗“だ,云膨れ 劫8 粥”“c“勿α加だ りgdw β ゐ 卿 mZ ‐扉”“彰〆粥oだ,. 財 声 げ の篠加”fc好むα加惚 = ”. ザ メ ≠0, 劫β“. =2 ‐. Proof l ゴ nonic curvature, we have . Since 轟々is ofhar. 0=(▽xs ) (” V)-(▽vs ) (x, V) 3 9 ( ) ‐. = ▽xs(耳 V)-2S(▽×騨 V)- ▽vs(x, V)十S(▽vx, V) =2ん{2Xん‐ S(JX, V} }ー V( (JX)ん )+ 鮎(JX, V) =6ん(ズん)‐(九一c )X九-c (Xん ) =5ん(ズん). and. 0=(▽JズS) (質 V)-(▽vs) (Jx, V) = ▽Jxs(耳 V)-2S(▽Jxg v)- ▽vs(JX, V)十 S(▽vJx, V) 3 10 ( ) ‐. た十s(x, V) =2M2 (Jx) }+V(ズリ ーcs(又, V) ルーc ん =6ん ( (Jx)ん )-( ) ( (Jx)九 )-c ( (J又) ) =5ん( (Jズ)九 ) .. le lby virtue From ( 4 10 3 3 9 3 ) )and( ) sconstant‐ Therefore 値 e mean curvature vector “ is paral ‐ ‐ ‐ ,( ,乾i. 3 3 ) of( . ‐ Since 力isconstant , we have. o=(▽vs) (x, J又)-(▽×の(Jx, V) = -S(▽vX, Jx)- S(x, ▽vJズ)- ▽xs(Jx, V)十 S = 一αs(x, y)一 九s(“. Zx, V)十 S(Jx, ▽xv) xt. 2 V)十九 〒 (D)十2ん ( ). = 厨(D) , f 財 isnottotal lygeodes ic inspaceby vi l l : san Einste whereα:=< ▽ズX,/X >. Therefore ue ,i , men 財 i l ionaI Einste insPacei tis wel l lna 5 ‐known 化lat3‐dimens of Lell s of constant cu1 ature 姦2 -l .. □. A Riemannlan mani fold 肌 issaidto be のれ f 位e Riemannian metr ic < , > of 肌 i ら を )〆“ リ ムメリ 月冴 i s latedto a Riemannian met = E lyre ic < , >。 whichi i lyf lat( col ormal r e slocal ‐ . , < ,> = 〆 < , >。 ,where. fis a function on. 財) l fold 財 isconformal lyf ti ionaIRiemann1an mani lat ‐known that3‐dimens s wel .l. i fand onlyi f. ) (w z) 弓 { (wr )<” z〉-(Yr )〈 w z 〉} ) (g z)-(▽Ys (▽ws fortangent vectorf i lds e. W ,Z. Z on 肌.. Theorem 9 d i% α 瓦解 賜8刈α“ s“鰯欄%的Z . L鋳 財 彰 α 3‐燐 粥8%sZo”〆 あわ妙 “粥屍虎雄Z かの庇γ CR‐. 云 Z Z 粥 伽 所メメ 肌‐ ザ 肌 禽 の”吻γ粥α妙 九の 鰯〆 γのり 禽 の硲加”る 劫 鎚 免8 粥卿% 錫γ卿 加だ 鑑c oγ” 禽PαmZ 8 . 2 E”“脳γ粥oだ, ヴ ” ≠ 0, 劫e” 肌 鴬 q 加川 郷 = 1 1 f のれs 伽勿α “ 〆 ‐ Proof ly f lat and γのり constant, we have sconformal ‐ Since 財 i. 11 3 ( ) ‐. 』 (▽が) (耳 の-(▽ 馴 x , の-をxr =2ん(xん). and. 3 12 ( ) ‐. 』 (▽Jxの(耳 v)-(▽vs ) (Jx, v)-を(J み =2九 ( (Jズ)の. (5).
(7) . 112. 1 IY筋4Aand K‐SATo JD , HASEGAWA ,T,ABE ,K,FU ,Y‐OKt. Therefore 兎isconstant s 仕l esame as 億e Proofof Theorem 8 . ThelastPart of 位e Proofi ‐. □. Thefol lowing corol laryisnow clear・ Corol lary lo . 乙の 財 彰 α. 霧 創のa a s o”〆 Z o加 妙 “ コ 鵜る満雄‘か節戊γ CR秘め雛脇“断り煽 ぎ ”α 瓦解た乾後物. “卿7 2祈 り躯 肌‐ ザ 朋 禽 の ザ 彰〆粥omc 賜れ ノ妨“だ “ (”)c D多め鰯り謬り 堀の α”〆 γ(D) の 熔解“も 物8% 財 禽 . ( 1 ) 肌 禽 伽 窃Z雑然た め 庇 だ け の那加%Z c僻むの““ = 〆 1 12 α%〆 鱗伽飴 α 卿伽ひ仇鍔元 sQs敏 如% . 2 ( ) 助 命 ZOZQ妙. i c αれd Z ocα妙 挽8 尺彰 鰍2%”海” Pメリメ“〆 〆 α み〆◇粥oゆた化 繊 坊α” α”〆 α わ加物 解odes. . REFERBNCES [1] M.A.Bash i =矧施m云わ“qf わ加妙 “粥霧Zた錫 CR-s“る“隙“的zぬ‐げ α Kα8煽げ 物物 的zd p物z r 2z彰 cね ,07 ‐Z燭た 肌α物‐ 65 1 1 5 一 1 2 0 1992 (N・s)51( ) )( - , [2] M‐A.Bash i ‘“ 鰍姻前Z i 1993 r ) s物”姻れ的Zぬ qf α 瓦解た dlntemat , 0れ 力緩む “粥る鏡伽Z CR‐ .j . Ma位‐Sc ‐16( ,405- 408 ‐ [3] A.Be IPubl ide i i jancu o伽窃か ザ CR‐賜る“伽“前‘肉 D.Re sh ng Company , Ge ‐ ,1986 q d nulm ands i [4]S 1986 n ) ‐1 .Husa ‐Desh . 上9( , 恥 耀か “粥 鰯お錫 CR‐賜ろ“伽れ的Zぬ qfα 瓦解賜g“勲雛 的 雌 にαおす 肌艦た , 425‐429 ‐ [5]1 1 i do to egawa 0加物 “粥鋭Zた〆 賜る鋤鰯 前Zぬ 初 S筋疎溺れク勲励 め‘ゐ,J ‐Has ‐Hokka ,T‐Abe ,Y‐okuyamaandK‐Sa ,7 Un i Sec 1988 ( t ( ) v .Ed ‐ ‐A)38 . ,39‐48 [6]1 H A dT b Z賜ろ鰍姻的Z偽 粥S節α厩物 鰍励2秀Zゐ J ido Un i Sec 加妙 a s e t a w aa n e ( v c 創ねα“伽胡Z o g c α ‐ . ‐ .Hokka ‐Ed ‐ , A)39( 1988 ) ‐ ,1‐8. [7]1 egawa 4 to appearin一山Dalele sbintificeale ‐Has ,0れ 勿如妙 “粥屍励磁 CR‐賜ろ“卿“豹‘偽 物 α 瓦解賜”彰” 鰍励めZ ” i i i“A1 Univers tat i ‐1 . Cuza dinlas ‐. [8] S.Yamagucm,H‐Nemotoahd N.Kawabata,猛打露 嫌Z め脳名鮒 15‐19 .. (6). 効 α 拓αゐ勿γ 勧姻 脆 弱 Mi i 1984 ) ch gan Mam.J.31( ,.
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