$B$
型コクセター群に付随するフォック空間
Marek Bozejko, Wiktor Ejsmont,
長谷部高広
$*$概要
$B$型コクセター群の全フォック空間への作用を定義し，そこから現れる
2
つのパラ
メータによって全フォック空間を変形する．それに伴って変形された生成消滅作用
素とその交換関係を定義計算し，さらに場の作用素を調べる．特に真空ベクトルに
関する場の作用素の確率分布は
q-
マイクスナーポラチェック多項式に対応する．本
稿は論文 [BEH]
の日本語による解説となっており，証明の詳細については省略するこ
とが多い．
1
研究に至るまで
:
対称群によるフォック空間の
$q$変形
本稿で現れるヒルベルト空間の無限直和は全て代数的直和とし，内積の入った完備でな
いノルム空間と考える．
$H$
を可分なヒルベルト空間とする．内積
$\rangle$は右線形とする．まず全フォック空間
$\mathcal{F}(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}H^{\otimes n}, H^{\otimes 0}=\mathbb{C}\Omega$
(1.1)
を導入する．ここで
$\Omega$はノルム
1 のベクトルであり，真空ベクトルと言う．ボソンフォッ
ク空間
$\mathcal{F}_{B}(H)$とフェルミオンフォック空間
$\mathcal{F}_{F}(H)$は全フォック空間の部分空間と見るこ
とができる．すなわち互換
$\pi_{i}=(i, i+1)$
,
$i=1$
,
.
.
. ,
$n-1$ に対して
$H^{\otimes n}$上の作用素を同じ
記号
$\pi_{i}$を用いて
$\pi_{i}(x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n})=x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{i+1}\otimes x_{i}\otimes\cdots\otimes x_{n}$
,
(1.2)
と定義し，これを拡張して対称群
$S_{n}$の
$H^{\otimes n}$への左作用を定義すれば，
$\mathcal{F}_{B}(H)=\{f=(f_{n})_{n=0}^{\infty}\in \mathcal{F}(H)|\forall n\in \mathbb{N}, \forall\sigma\in S_{n}, \sigma(f_{n})=f_{n}\}$
,
(1.3)
$\mathcal{F}_{F}(H)=\{f=(f_{n})_{n=0}^{\infty}\in \mathcal{F}(H)|\forall n\in \mathbb{N}, \forall\sigma\in S_{n}, \sigma(f_{n})=sign(\sigma)f_{n}\}$,
(1.4)
と表すことができる．パラメータ
$q\in[-1, 1]$
を用いたこれらの
3
つのフォック空間の補間
が統計力学の文脈で議論された
[FB70]
が，具体的な物理現象への応用の有無については
筆者は知らない．本稿では述べないが
$q$が絶対値
1
の複素数の時にもフォック空間が構成
されていて
[BLW12], こちらは統計力学においてエニオンと呼ばれる粒子
(
あるいは場
)
と
関係している．
$*$アドレス
:
thasebe@math.sci.hokudai.ac.jp
所属
:
〒
060-0810
札幌市北区北
10
西
8,
北海道大
学大学院理学研究院数学部門
パラメータ
$q\in[-1, 1]$
による変形として
q-
フォック空間を初めて数学的に定義したのは
Bozejko
と
Speicher [BS91]
であり，その後は物理学よりも作用素環論，作用素空間論の文
脈で多くの研究がある
[B97, BKS97, BS94,
GS14,
N04,
R05, S04].
$q$変形のアイデアは全
フォック空間の内積を変形するというものである．まず全フォック空間上の
(
変形前の
)
内
積を以下で定義する:
$\langle x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{m}, y_{1}\otimes\cdots\otimes y_{n}\rangle=\delta_{m,n}\prod_{i=1}^{n}\langle x_{i}, y_{i}\rangle$
(1.5)
次に
(
右側
)
生成作用素を
$r^{*}(x)(x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n})=x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n}\otimes x, n\geq 1$
,
(1.6)
$r^{*}(x)\Omega=x$
(1.7)
と定義する．左側生成作用素を用いるのが慣例だが，右側にするメリットがある．それは
後述の
(2.12) が成り立ち，
(2.7)
がより見やすくなることである．消滅作用素
$r(x)$
は内積
に関する
$r^{*}(x)$
の共役とする．すなわち
$r(x)(x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n}):=\overline{\langle x_{n)}x\rangle}x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n-1}, n\geq 2$
,
(1.8)
$r(x)x_{1}:=\overline{\langle x_{1},x\rangle}\Omega$
,
(1.9)
$r(x)\Omega=0$
.
(1.10)
生成消滅作用素は有界作用素であり，
$\Vert r(x)\Vert=\Vert r^{*}(x)\Vert=\Vert x\Vert$となることが容易に確か
められる．また
$r^{*}:Harrow \mathbb{B}(\mathcal{F}(H))$は線形，
$r$:
$Harrow \mathbb{B}(\mathcal{F}(H))$は反線形になっている．
全フォック空間の内積を変形するため，
$q$-
対称化作用素
$P_{q}^{(n)}$:
$H^{\otimes n}arrow H^{\otimes n}$を定義する:
$P_{q}^{(n)}= \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{l(\sigma)}\sigma, n\geq 1$
,
(1.11)
$P_{q}^{(0)}=I$
.
(1.12)
ここで
$\ell$$(\sigma$ $)$は対称群上の長さ関数である．すなわち
$\sigma$を互換
$\pi_{i}=(i, i+1)(1\leq i\leq n-1)$
の積として表すとき，その表示は一意ではないが，現れる互換の個数が最小になるように
表示したとき，その個数を
$\ell(\sigma)$と定義する．そして全フォック空間上の
$q$-
対称化作用素
$P_{q}= \bigoplus_{n=0}^{\infty}P_{q}^{(n)}$
(1.13)
を定義する．このときボソンフォック空間
$=Ran(P_{1})$
, 全フォック空間
$=Ran(P_{0})$
,
フェル
ミオンフォック空間
$=Ran(P_{-1})$
である．
Bozejko
と
Speicher
の結果
[
$BS94$
, Theorem 2.1] から，
$q\in[-1, 1]$
のとき
$P_{q}^{(n)}\geq 0$であ
り，特に
$q\in$
(-1,1) なら
$P_{q}^{(n)}>0$
(
スペクトルが
$0$を含まない)
である．そこで新しい内
積を
$\langle f, g\rangle_{q}=\langle f, P_{q}g\rangle, f, g\in \mathcal{F}(H)$
(1.14)
と定義する．この内積を考えた全フォック空間を
$q-$
フォツク空間という．生成作用素を
$a_{q}^{*}(x)=r^{*}(x)$
,
消滅作用素
$a_{q}(x)$を内積
$\rangle_{q}$に関する
$a_{q}^{*}(x)$の共役と定義すると，これら
は
$q\neq 1$
のとき有界作用素になり，以下の
$q$-交換関係が成り立つ:
$a_{q}(x)a_{q}^{*}(y)-qa_{q}^{*}(y)a_{q}(x)=\langle x, y\rangle I$
.
(1.15)
2
$(\alpha, q)$
-
フォック空間，生成・消滅作用素
2.1
定義
q-
フォック空間は対称群の全フォック空間への作用をうまく利用して定義した．対称群
は
$A$型のコクセター群であるから，次に
$B$
型コクセター群を考えてみよう．以下では
$B$型コクセター群の全フォック空間への作用を定義し，それを用いてフォック空間の変形を
定義する．まず基本的な概念の準備をする．
$2n$
個の整数の集合
$\{\pm 1, . . . , \pm n\}$上の全単射
$\sigma$
で
$\sigma(-k)=-\sigma(k)$
,
$1\leq k\leq n$
を満たすもの全体を
$B$
型コクセター群といい，
$\Sigma(n)$と表
す．
$B$
型コクセター群
$\Sigma(n)$は
$n$個の互換
$\pi_{0}=(1, -1)$
,
$\pi_{i}=(i, i+1)$
,
$i=1$
,
.
.
.
,
$n-1$
で
生成され，自然に対称群亀を部分群として含んでいる．
まず
$\Sigma(n)$の
$H^{\otimes n}$への作用を定義したい．そのためには
$\pi_{0}$の作用を定義する必要が
ある．そのためにヒルベルト空間
$H$
は自己共役な対合を持つと仮定する．これは恒等
写像でも良い．あるいは
$H$
が正規直交基底
$(e_{i})_{i\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}}$で張られている
(有限次元ならば
$(e_{i})_{i\in\{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm n\}}$で張られている
)
ならば，
$H$
上の対合を
$\overline{e_{i}}:=e_{-i}, i\in \mathbb{Z}\backslash \{O\}$と定義することもできる．
$H$
上の自己共役な対合-
に対して，
$\pi_{0}(x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n})=\overline{x_{1}}\otimes x_{2}\otimes\cdots\otimes x_{n}, n\geq 1$
(2.1)
と定義する．
(1.2)
と
(2.1)
によって
$\Sigma(n)$の
$H^{\otimes n}$への作用が定義される．
次に
q-
フォック空間の場合のように内積の変形を導入したい．そこで
$\Sigma(n)$の元
$\sigma$を
$\sigma=\pi_{i_{1}}\cdots\pi_{i_{k}},$ $0\leq i_{1}$
,
. .
.
,
$i_{k}\leq n-1$
,
(2.2)
と表す．このような表示は一通りではないが，このような表示をした時の
$k$が最小になる
ようにしておく．このとき
$l_{1}(\sigma)=(2.2)$
の右辺に現れる
$\pi_{0}$の個数，
(2.3)
$l_{2}(\sigma)=(2.2)$
の右辺に現れる
$\pi_{i},$$1\leq i\leq n-1$
の個数
(2.4)
と定義する．また
$k$,
つまり
$l_{1}(\sigma)+l_{2}(\sigma)$のことを
$\sigma$の長さと言う．
$\alpha,$$q\in[-1, 1]$
に対して
$H^{\otimes n}$
上の
$(\alpha, q)$-
対称化作用素を
$P_{\alpha,q}^{(n)}= \sum_{\sigma\in\Sigma(n)}\alpha^{l_{1}(\sigma)}q^{l_{2}(\sigma)}\sigma, n\geq 1,$
(2.5)
$P_{\alpha,q}^{(0)}=I_{H\otimes 0}$
と定義する．ここで
$0^{0}=1$
という記法を採用しておくと，
$P_{0,0}^{(n)}=I_{H\otimes n}$となる．さらに
$P_{\alpha,q}= \bigoplus_{n=0}^{\infty}P_{\alpha,q}^{(n)}$
q-
フォック空間の場合と同様に
Bozejko, Speicher
の定理
[BS94, Theorem
2.1]
が使えて，
$P_{\alpha,q}\geq 0$
となる．また
$|\alpha|,$$|q|<1$
ならば
$P_{\alpha,q}^{(n)}$
のスペクトルの下限は
$0$より大きい．
$\alpha,$
$q\in[-1, 1]$
に対して以下のように (半)
内積の変形を定義する
:
$\langle f, g\rangle_{\alpha,q}:=\langle f, P_{\alpha,q}g\rangle, f, g\in \mathcal{F}(H)$
(2.6)
これは少なくとも
$q=\pm 1$
の場合には退化している．また
$\alpha,$$q\in$
(-1,1)
の場合には非退
化である．退化の問題を避けるために，以下では主に
$\alpha,$$q\in(-1,1)$
の場合について考える
が，多くの結果は極限を取ることによって
$|\alpha|=1$
または
$|q|=1$
の場合にも成り立つ．
定義 2.1.
$\alpha,$$q\in$
(-1,1),
$x\in H$
とする．内積
$\rangle_{\alpha,q}$
を備えた全フォツク空間
$\mathcal{F}(H)$を
$(\alpha, q)-$
フォック空間という．
$b_{\alpha,q}^{*}(x):=r^{*}(x)$を
$(\alpha, q)$-生成作用素といい，
$\rangle_{\alpha,q}$に関する
$b_{\alpha,q}^{*}(x)$
の共役
$b_{\alpha,q}(x)$を
$(\alpha, q)$-
消滅作用素という．
注意
2.2.
$[B12]$
において定義されている
$(q, t)-$
フォック空間と本稿の
$(\alpha, q)-$フオツク空間
は似ているが，異なるものである．
以上で定義した
$(\alpha, q)$-
対称化作用素，
$(\alpha, q)-$フォック空間，
$(\alpha, q)$-生成消滅作用素など
は
$\alpha=0$
のときには全て
$q$の場合と同じものになる．次節以降で述べる様々な結果のうち
ほとんどのものが
$\alpha$$=0$
の場合には
q- フォック空間に関する既知の結果になる．従って，
$B$
型コクセター群を考えることによって，
$A$型コクセター群の場合を一般化したと言うこと
ができる．
2.2
生成・消滅作用素の性質
消滅作用素をどのよう’
に計算すればよいのかを知りたい．そのために重要になるのが自
然な埋め込み
$\Sigma(n_{-}1)=\langle\pi 0$
,
. .
.
,
$\pi_{n-2}\rangle\subset\Sigma(n)=\langle\pi 0$,
. .
.
,
$\pi_{n-1}\rangle$に対応する
$P_{\alpha_{)}q}^{(n)}$の分解
である．
命題 2.3. 次の分解が
$H^{\otimes n}$上で成り立つ
:
$P_{\alpha,q}^{(n)}=(P_{\alpha,q}^{(n-1)}\otimes I)R_{\alpha,q}^{(n)}, n\geq 1$
.
(2.7)
ここで
$R_{\alpha_{)}q}^{(n)}=1+ \sum_{k=1}^{n-1}q^{k}\pi_{n-1}\cdots\pi_{n-k}+\alpha q^{n-1}\pi_{n-1}\pi_{n-2}\cdots\pi_{1}\pi_{0}(1+\sum_{k=1}^{n-1}q^{k}\pi_{1}\cdots\pi_{k})$
(2.8)
証明．次のことが知られている
[Hum90, Section 1.10, Proposition]:
$\Sigma(n-1)\backslash \Sigma(n)$の
各右コセットの代表元で最小の長さを持つものがただ
1
つ存在する．
Stumbo
$[S00]$
の計
算によって，
$w(k)$
を
$\pi_{n-1}\cdots\pi_{1}\pi_{0}\pi_{1}\cdots\pi_{n-1}$の
$\epsilon$.
から
$k$番目までの文字列とすると (ただ
し
$w(O)=e)$
,
$\{w(k)|0\leq k\leq 2n-1\}$
がその代表元の集合になる．よって
$\Sigma(n)=$
$\bigcup_{k=0}^{2n-1}\Sigma(n-1)w(k)$
とコセット分解され，したがって任意の
$\sigma\in\Sigma(n)$
は
$\sigma=\sigma’w(k)$
,
$\sigma’\in\Sigma(n-1)$
,
$0\leq k\leq 2n-1$
と一意的に表示され，
$l_{i}(\sigma)=l_{i}(\sigma’)+l_{i}(w(k))$
,
$i=1$
,
2
が成
り立つ．
(2.8)
は
$R_{\alpha_{)}q}^{(n)}= \sum_{k=0}^{2n-1}\alpha^{l_{1}(w(k))}q^{l_{2}(w(k))}w(k)$
(2.9)
命題
2.3
によって消滅作用素を計算することができる．
命題 2.4.
$n\geq 1$
に対して次の等式が
$H^{\otimes n}$上で成り立っ
:
$b_{\alpha,q}(x)=r(x)R_{\alpha,q}^{(n)}$
.
(2.10)
証明．
$f\in H^{\otimes(n-1)},$
$g\in H^{\otimes n}$とすると
$\langle f,$$b_{\alpha,q}(x)g\rangle_{\alpha,q}=\langle b_{\alpha,q}^{*}(x)f,$$g\rangle_{\alpha,q}=\langle r^{*}(x)f,$ $g\rangle_{\alpha,q}=\langle r^{*}(x)f,$$P_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle$
(2.11)
$=\langle r^{*}(x)f, (P_{\alpha,q}^{(n-1)}\otimes I)R_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle=\langle f, r(x)(P_{\alpha,q}^{(n-1)}\otimes I)R_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle.$
ここで
$r(x)(P_{\alpha,q}^{(n-1)}\otimes I)h=P_{\alpha,q}^{(n-1)}r(x)h, h\in H^{\otimesn}$
(2.12)
が成り立つことに注意すると，
$\langle f, r(x)(P_{\alpha_{)}q}^{(n-1)}\otimes I)R_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle=\langle f, P_{\alpha,q}^{(n-1)}r(x)R_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle$
(2.13)
$=\langle f, r(x)R_{\alpha,q}^{(n)}g\rangle_{\alpha,q}.$ $\blacksquare$定理 2.5.
$N$
を個数作用素とする，つまり
$N(f)=nf, f\in H^{\otimes n}.$
このとき
$b_{\alpha,q}(x)=r_{q}(x)+\alpha\ell_{q}(\overline{x})q^{N-1}, x\in H,$
ここで
$r_{q}(x)(x_{1} \otimes\cdots\otimes x_{n})=\sum_{k=1}^{n}q^{n-k}\overline{\langle x_{k},x\rangle}x_{1}\otimes\cdots\otimes\check{x}_{k}\otimes\cdots\otimes x_{n}$
,
(2.14)
$\ell_{q}(x)(x_{1}\otimes\cdots\otimes x_{n})=\sum_{k=1}^{n}q^{k-1}\langle x, x_{k}\rangle x_{1}\otimes\cdots\otimes\check{x}_{k}\otimes\cdots\otimes x_{n}$
.
(2.15)
証明．命題
2.3,
2.4
を用いて計算すれば良い．
$\blacksquare$次に交換関係を計算する．
命題
2.6.
以下の交換関係が成り立つ :
$b_{\alpha,q}(x)b_{\alpha,q}^{*}(y)-qb_{\alpha,q}^{*}(y)b_{\alpha,q}(x)=(x, y\rangle I+\alpha\langle x,\overline{y}\rangle q^{2N}.$
(2.16)
証明．定理 2.5 を用いて計算すれば良い．詳細は省略する．
$\blacksquare$注意
2.7. (1)
$\alpha=0,$
$q=1$
とする．この場合は
(2.16)
は
$CCR$
の一方の交換関係になる．
もう一方の交換関係
$b_{0,1}(x)b_{0,1}(y)-b_{0,1}(y)b_{0,1}(x)=0$
(2.17)
は
$\mathcal{F}(H)$上では成り立たず，内積
$\rangle_{0,1}$の退化した部分空間で
$\mathcal{F}(H)$を割ってボソン
退化した部分空間
$(=P_{0,-1}$
の核
$)$で
$\mathcal{F}(H)$を割ってフエルミオンフォック空間に縮めた
ときに
CAR
のもう一方の関係
$b_{0,-1}(x)b_{0,-1}(y)+b_{0,-1}(y)b_{0,-1}(x)=0$
(2.18)
が現れる．
$\alpha,$$q\in(-1,1)$
の場合には内積
$\rangle_{\alpha,q}$は非退化だから全フォック空間を割る
ことができず，おそらく
(2.17),(2.18)
の代わりになるような関係式は存在しないだろ
う．ただし
$q=\pm 1,$
$\alpha\in[-1, 1]$
の場合に
$P_{\alpha,q}^{(n)}$の核が具体的にどのように書けるか，ま
だ分かっていない．多少計算すると
$Ker(P_{\alpha,1})\supset \mathcal{F}_{f}(H)$,
$Ker(P_{\alpha,-1})\supset \mathcal{F}_{b}(H)$が成り
立つことは分かる．
$q=\pm 1,$
$\alpha\in[-1, 1]$
の場合にはこれらの核で
$\mathcal{F}(H)$を割った空間
上で何か新しい交換関係が得られるかもしれない．
(2)
$[B12]$
において類似の交換関係
$a_{q,t}(x)a_{q,t}^{*}(y)-qa_{q,t}^{*}(y)a_{q,t}(x)=\langle x, y\rangle t^{N}$
(2.19)
が現れている．
生成消滅作用素は有界作用素であるから，そのノルムの値が気になるところである．
生成消滅作用素のノルムに関して次の結果が成り立つが，証明は省略する．
定理
2.8.
$x\in H,$
$x\neq 0$
とする．
(1)
$-1<q\leq 0,$
$\alpha\langle x,$$\overline{x}\rangle\geq 0$ならば
$\Vert b_{\alpha,q}^{*}(x)\Vert_{\alpha,q}=\sqrt{\Vert x\Vert^{2}+\alpha\langle x,x}$
(2.20)
(2)
$-1<q\leq 0,$
$\alpha\langle x,$$\overline{x}\rangle<0$ならば
$\frac{||x\Vert}{\sqrt{1-q}}\leq\Vert b_{\alpha,q}^{*}(x)\Vert_{\alpha,q}\leq\Vert x\Vert$
.
(221)
(3)
$|\alpha|\leq q<1$
ならば
$\Vert b_{\alpha,q}^{*}(x)\Vert_{\alpha,q}=\frac{||x\Vert}{\sqrt{1-q}}.
(222)$
(4)
$0<q<\alpha\langle x,$
$\overline{x}\rangle/\Vert x\Vert^{2}$ならば
$\frac{||x\Vert}{\sqrt{1-q}}<\Vert b_{\alpha,q}^{*}(x)\Vert_{\alpha,q}\leq\sqrt{\frac{1+|\alpha|}{1-q}}\Vert x\Vert$
.
(2.23)
(5)
それ以外の場合は
3
場の作用素
3.1
場の作用素と
$q-$
マイクスナー．ポラチェック直交多項式
$\mathcal{F}(H)$上の作用素
$\phi_{\alpha,q}(x)=b_{\alpha,q}(x)+b_{\alpha,q}^{*}(x) , x\in H$
(3.1)
を場の作用素という．以下ではこの
$\phi_{\alpha,q}(x)$について調べていく．
まず直交多項式について簡単にまとめておく．
$\mathbb{R}$上の確率測度
$\mu$が全ての次数のモーメ
ントを持つとする．このとき
$L^{2}(\mathbb{R}, \mu)$の点列
$(1, t, t^{2}, t^{3}, \ldots)$
をグラムーシュミットの方法
で直交化し，多項式列
$(P_{0}(t), P_{1}(t), P_{2}(t), \ldots)$
,
$\deg P_{n}(t)=n$
を得る．ここで
$P_{n}(t)$のがの
係数は
1
になるようにしておく．このときある実数
$\beta_{n},$$\gamma_{n},$$n=1$
, 2,
3, . . .
が存在して，三
項間漸化式
$tP_{n}(t)=P_{n+1}(t)+\beta_{n}P_{n}(t)+\gamma_{n-1}P_{n-1}(t)$
,
$n=0$
,
1,
2,
.
. .
(3.2)
が成り立つ．ここで
$P_{-1}(t)=0$
とする．係数
$\beta_{n},$ $\gamma_{n}$はヤコビパラメータといい，
$\gamma_{n}\geq 0$で
ある．実際，
$\gamma 0\cdots\gamma_{n}=\int_{\mathbb{R}}|P_{n+1}(t)|^{2}\mu(dt)$,
$n\geq 0$
が成り立つことが知られている．
定理
3.1.
$\alpha,$$q\in$
(-1,1),
$x\in H,$
$\Vert x\Vert=\langle x,$$\overline{x}\rangle=1$とする．
$\mu_{\alpha,q}$
を
$\phi_{\alpha,q}(x)$の真空ベクトル
に関する確率分布とする，すなわち
$\langle\Omega, \phi_{\alpha,q}(x)^{n}\Omega\rangle_{\alpha,q}=\int_{\mathbb{R}}t^{n}\mu_{\alpha,q}(dt) , n=0, 1, 2, 3\ldots$
(3.3)
を満たすとする．さらに
$(P_{n}^{(\alpha,q)}(t))_{n=0}^{\infty}$を
$\mu_{\alpha,q}$に付随する直交多項式とする．このとき三項
問漸化式は
$tP_{n}^{(\alpha,q)}(t)=P_{n+1}^{(\alpha,q)}(t)+[n]_{q}(1+\alpha q^{n-1})P_{n-1}^{(\alpha_{)}q)}(t)$,
$n=0$
, 1,
2,
. . .
(3.4)
となる．ただし
$P_{-1}^{(\alpha,q)}(t)=0,$ $P_{0}^{(\alpha,q)}(t)=1$とする．この直交多項式を
q-
マイクスナー．ポ
ラチェック多項式という．確率測度
$\mu_{\alpha,q}$は
$(-2/\sqrt{1-q}, 2/\sqrt{1-q})$
に台を持ちルベーグ測
度に関して絶対連続であり，以下の確率密度関数を持つ．
$\frac{d\mu_{\alpha,q}}{dt}(t)=\frac{(q;q)_{\infty}(\beta^{2};q)_{\infty}}{2\pi\sqrt{4/(1-q)-t^{2}}}\cdot\frac{g(t,1;q)g(t,-1;q)g(t,\sqrt{q};q)g(t,-\sqrt{q};q)}{g(t,i\beta;q)g(t,-i\beta;q)}$.
(3.5)
ここで
$g(t, b;q)= \prod_{k=0}^{\infty}(1-4bt(1-q)^{-1/2}q^{k}+b^{2}q^{2}$
り，
$(s;q)_{\infty}= \prod_{k=0}^{\infty}(1-sq^{k}) , s\in \mathbb{R},$
証明
(概略).
瑞を三項間漸化式
(3.4)
で定まる多項式，
$\mu$を確率密度関数
(3.5)
を持つ確率
測度とする．このとき
$\mu$に付随する直交多項式は
$P_{n}$であることが
[KLS10]
に載っている．
ただし
$\alpha>0$
の場合は
[KLSlO]
で取り扱われていないので，別に議論が必要になる．そこ
で
$\gamma$n:
$=[n+1]_{q}(1+\alpha q^{n})$
と置く．まず命題
2.3
を使って直接ノルムの計算をして
$|$回
$|$:,q
$=$$\gamma_{0}\cdots\gamma_{n-1}$
が分かる．このことから
$(\mathcal{F}(H), \Vert .\Vert_{\alpha,q})$の部分空間
$span\{x^{\otimes n}|n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}$
か
ら
$(L^{2}(\mathbb{R}, \mu), \Vert\cdot\Vert_{L^{2}})$への写像
$x^{\otimes n}\mapsto P_{n}(t)$が等長であることが分かる．さらに命題 2.4 を
用いると
$\phi_{\alpha,q}(x)x^{\otimes n}=b_{\alpha,q}^{*}(x)x^{\otimes n}+b_{\alpha,q}(x)x^{\otimes n}$
$=x^{\otimes(n+1)}+r(x)R_{\alpha,q^{X^{\otimes n}}}^{(n)}$
$=x^{\otimes(n+1)}+[n]_{q}x^{\otimes(n-1)}+\alpha q^{n-1}[n]_{q}\langle x, \overline{x}\rangle x^{\otimes(n-1)}$
$=x^{\otimes(n+1)}+[n]_{q}(1-\beta^{2}q^{n-1})x^{\otimes(n-1)}$
となる．このことと帰納法を用いて
$\langle\Omega,$$\phi_{\alpha,q}(x)^{n}\Omega\rangle_{\alpha,q}=\int_{\mathbb{R}}t^{n}\mu(dt)$,
$n\in \mathbb{N}$が分かる．
$\mu$はコンパクト台を持つのでモーメント問題は決定的であるから
$\mu_{\alpha,q}=\mu$となり，よって
疏
$=P_{n}^{(\alpha,q)}$である．
$\blacksquare$以下では
(弱)
連続性を用いて
$\mu_{\alpha,q}$のパラメータの範囲をを
$\alpha,$$q\in[-1, 1]$
まで拡張して
おく．
例
3.2.
(1)
$\mu_{\alpha,1}$は正規分布
$\frac{1}{\sqrt{2(1+\alpha)\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2(1+\alpha)}}1_{\mathbb{R}}(t)dt$である．直交多項式
$P_{n}^{(0,1)}(t)$はエル
ミート多項式である．
(2)
$\mu_{0,0}$は標準ウィグナーの半円則
$(1/2\pi)\sqrt{4-t^{2}}1_{(-2,2)}(t)dt$
である．直交多項式
$P_{n}^{(0,0)}(t)$は第二種チェビシエフ多項式である．
(3)
$\mu_{\alpha,-1}$はベルヌーイ分布
(1/2)
$(\delta\sqrt{1+\alpha}+\delta_{-\sqrt{1+\alpha}})$である．
(4)
$\mu_{\alpha,0}$は自由マイクスナー分布
(
ケステン分布
)
である．
(5)
$\mu$-1,1
$=\delta_{0}$となるが，
$(\alpha, q)=(-1,1)$
の近傍においてうまくスケーリングを取ること
で非自明な確率測度を取り出すことができる．
$\alpha=-q^{2\tau},$ $\tau\in[0, \infty$) と置くと (3.4)
は
$tQ_{n}^{(\tau,q)}(t)=Q_{n+1}^{(\tau,q)}(t)+ \frac{1}{4}[n]_{q}[n+2\tau-1]_{q}Q_{n-1}^{(\tau,q)}(t)$
,
(3.6)
$Q_{n}^{(\tau,q)}(t)= \frac{P_{n}^{(\alpha,q)}(\lambda t)}{\lambda^{n}}, \lambda=2\sqrt{1-q}$
(3.7)
となる．さらに極限
$q\uparrow 1$を取れば
$tQ_{n}^{(\tau)}(t)=Q_{n+1}^{(\tau)}(t)+ \frac{1}{4}n(n+2\tau-1)Q$
紐 1
(
$t$)
,
(3.8)
となり，これはマイクスナー．ポラチェック多項式の三項間漸化式となる．対応する確
率測度は
(対称)
マイクスナー分布と呼ばれ，
$\frac{4^{\tau}}{2\pi\Gamma(2\tau)}|\Gamma(\tau+it)|^{2}1_{\mathbb{R}}(t)dt$(3.9)
である．
3.2
集合の分割と
$n$
点相関関数
ここでは場の作用素の
$n$点相関関数を計算する．計算結果を記述するために集合の分割
を用いる．
$[n]$
によって集合
$\{$1,
. . .
,
$n\}$を表すことにする．
$P_{i},$$i=1$
,
.
. .
,
$k$を集合
$[n]$
の空
でない部分集合で，互いに共通部分をもたず，かつ俺
ik
${}_{=1}P_{i}=[n]$
を満たすものとする．この
とき
$\pi=\{P_{1}, .
.
.
, P_{k}\}$
を集合
$[n]$
の分割と言う．集合
$[n]$
の分割
$\pi$に対して
$\pi$の元のこと
をブロックと言う．また
$\pi$の対
(
または対プロツク
)
とは
$\pi$のブロック
$P$
で
$|P|=2$
となる
ものである．
$\pi$のシングルトンとは
$\pi$のブロック
$P$
で
$|P|=1$
となるものである．
$n$
が偶数のとき，
$[n]$
の分割
$\pi$の全てのブロックが対であるとき
$\pi$を対分割といい，対分
割全体の集合を
$\mathcal{P}_{2}(n)$を表す．
$\epsilon=(\epsilon(1), \ldots, \epsilon(n))\in\{1, *\}^{n}$
に対して
$\mathcal{P}_{1,2;\epsilon}(n)$を分割
$\pi\in \mathcal{P}_{1,2}(n)$で以下を満たすもの
全体とする
:
$\pi$を
$\pi=\{\{a_{1}, b_{1}\}, . . . , \{a_{k}, b_{k}\}, \{c_{1}\}, . . . , \{c_{m}\}\},$ $k,$$m\in \mathbb{N}\cup\{0^{\cdot}\},$$a_{i}<b_{i},$
$i\in[k],$
と表したとき，
$\epsilon(a_{i})=*,$ $\epsilon(b_{i})=1,$$1\leq i\leq k$
となり，かつ
$\epsilon(c_{i})=*,$$1\leq i\leq m$
となる．
さらに
$\mathcal{P}_{2_{1}\epsilon}(n)$ $:=\mathcal{P}_{1,2,\cdot\epsilon}(n)\cap \mathcal{P}_{2}(n)$と定義する．
集合の分割に関わる量をいくつか導入する．Pair
$(\pi)$によって分割
$\pi$の対全体の集合を
表し，
Sing
$(\pi)$によってシングルトン全体の集合を表す．
$Cr(\pi)$
によって
$\pi$の交差数を表す，
つまり
$Cr(\pi)=\#\{\{V,$
$W\}\subset\pi|$
ある
$i,$$j\in V,$
$k,$$l\in W$
が存在して
$i<k<j<l\}.$
$\pi$
のブロック砿
$W$
に対して，
$W$
が
$V$を覆うとは，ある
$i,$$i\in W$
が存在して
$i<k<j$
が任
意の
$k\in V$
に対して成り立つことをいう．
$\pi$のブロック
$V$に対して
$V$を覆う
$\pi$のブロッ
クの個数を
Coy(V) と表す．また SL(V)
によって
$V$より左側にある
$\pi$のシングルトンの
個数を表す．より正確には
Cov
$(V; \pi)$
,
SL
$(V; \pi)$
などと書くべきであるが簡単のため
$\pi$を
省略する．さらにシングルトンとそれを覆っているブロックの組の個数
$CS(\pi)=\#$
{
$(V, W)\in\pi\cross\pi|V$
はシングルトン，
$W$
は
$V$を覆う
}
を定義する．
記号として，
$x_{1},$$x_{n}\in H,$
$V\subset[n]$
のとき，
$V$を
$V=\{v_{1}, .
.
.
, v_{m}\},$
$v_{1}<\cdots<v_{m}$
と表
して
$x_{V}:=x_{v_{1}}\otimes\cdots\otimes x_{v_{m}}$
と定義する．もし
$V=\emptyset$ならば
$x_{V}:=\Omega$
と定義する．
以下では
$H_{\mathbb{R}}$を実ヒルベルト空間とし，
$H$
は
$H_{\mathbb{R}}$の複素化とする．
$H_{\mathbb{R}}$の元に対しては
$\langle x,$$y\rangle=\langle y,$$x\rangle$
が成り立つ．
定理
3.3.
$x_{1}$,
.
.
.
,
$x_{n}\in H_{\mathbb{R}},$ $\epsilon=$ $(\epsilon(1), . . . , \epsilon(n))\in\{1, *\}^{n}$とする．このとき
$b_{\alpha,q}^{\epsilon(n)}(x_{n})\cdots b_{\alpha,q}^{\epsilon(1)}(x_{1})\Omega$
証明は
$n$に関する帰納法による．
定理
3.3
によって場の作用素の
$n$点相関関数は次のように計算される．
系
3.4.
$x_{1}$, . . .
,
$x_{n}\in H_{\mathbb{R}}$に対して
$\langle\Omega,$$\phi_{\alpha,q}(x_{1})\cdots\phi_{\alpha,q}(x_{n})\Omega\rangle_{\alpha,q}$
$=\{\begin{array}{ll}\sum_{\pi\in\varphi_{2}(n)}q^{Cr(\pi)}\prod_{\{i,j\}\in\pi}(\langle x_{i}, x_{j}\rangle+\alpha q^{2Cov(\{i,j\})}\langle x_{i},\overline{x_{j}}\rangle) , n\in 2\mathbb{N},0, n\in 2\mathbb{N}-1.\end{array}$
特に
$\alpha=0$
の場合は
q-
フォック空間の場合に知られている公式が得られる
:
$\langle\Omega,$$\phi_{0,q}(x_{1})\cdots\phi_{0,q}(x_{n})\Omega\rangle_{0,q}=\{\begin{array}{ll}\sum_{\pi\in \mathcal{P}_{2}(n)}q^{Cr(\pi)}\prod_{\{i,j\}\in\pi}\langle x_{i}, x_{j}\rangle, n\in 2\mathbb{N},0, n\in 2\mathbb{N}-1.\end{array}$
