165
多倍長計算を適用した精度保証数値計算
徳島大学工学部
坂口 秀雄
(Hideo Sakaguchi)
Faculty
of
Engineering,
University
of
Tokushima
九州大学情報基盤センター
渡部 善隆
(Yoshitaka Watanabe)
Computing and
Communications
Center, Kyushu
University
徳島大学工学部
今井 仁司
(Hitoshi IMAI)
Faculty
of
Engineering, University of Tokushima
1
はじめに
最近のコンピューターやネットワーク技術の発展によって,
強力なコンピューター利用環
境を容易に得ることができる
.
高速なネットワークに繋がった様々な
$\mathrm{P}\mathrm{C}$で構成される
PC
クラスターによって
, それは実現される
.
$\mathrm{P}\mathrm{C}$において一般的なオペレーティングシステ
$\Delta$
は Linux である
.
この
Linux
をインス
\vdash --
$l\triangleright$する際に
PVM[4]
は自動的にインストーノレされ
,
並列計算を行う環境を得られる
.
このような環境を使うことで,
大規模な数値計算を簡単に
行うことが可能である
.
このような背景から, 我々は
,
スペクトル選点法
[2]
と多倍長計算
[11] を用いたある種の数
値計算を行った
.
この数値計算は任意に誤差を小さくすることを可能とする
[10].
一つの成
功例として逆問題に対して直接的に数値計算を行ったものがある
[7,
8,
9].
第一種積分方程
式を正則化せずに二通りの方法で解いた
.
一つ目が
,
積分に対して離散化を行う
.
これは
,
一般的なアプローチであるが,
数値解が厳密解にゆっくりと収束する
$[7, 8]$
. 二つ目は,
未知
の解に対して離散化を行うが,
このアプローチは一般的ではない
.
しかし
, スペクトル精度
が得られることは驚きである [9].
逆問題を離散化するとたちが悪くなることはよく知られて
いる
. それで
,
収束スピードの違いを調べるために精度保障付き数値計算が必要になる
.
こ
のことが,
我々の動機である
.
離散化された問題はテスト問題として後で述べる
.
我々は精度保障付き数値計算を
$\mathrm{P}\mathrm{C}$クラスターを用いた並列計算環境で行った.
これは,
多倍長計算が多くの計算機リソースを必要とするからである
.
多くの多倍長計算用のライブ
ラリー (FMLIB
[16], exffib[3]
など
)
は,
web
サイトからダウンロードしたあと簡単
$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{I}\mathrm{J}$
用する
ことができる
.
いくつかのライブラリー (MPFI[5, 15]
など
)
は多倍長精度で区間演算を実
現している
.
並列計算は
PVM
や
MPI[6]
などを用いること行うことが可能である.
いくつか
のライブラリー (ScaLAPACK
$\zeta 1]$など
)
はすでに
,
並列計算が可能になっている
.
このよう
に,
並列化した精度保障付き数値計算を行うには多くの選択肢と組み合わせがある
.
しかし
ながら,
簡単に利用できたり,
$\mathrm{P}\mathrm{C}$クラスターでの利用には制限がある
.
もし,
Linux
がイン
ス
\vdash --]
されていれば
, PVM
も自動的にインスト
$-l\triangleright$
されている,
FMLIB+t
ソースファイ
ルで公開されているので,
インスト
–)
はとても簡単である
,
したがって
,
我々は連立一次
{?}
式を
\Phi
$\text{く}$ための並列化した
$\text{精}$E
保障付き数値
\equiv =\dagger {?}
のための多倍長
{?}‘B
の区間演算ライブ
ラリーを
FMLIB
と
PVM
を利用して開発した
. 連立一次方程式を解くことは, 微分方程式
や積分方程式の数値計算において本質的なことである
.
$.\text{さ}$らに,
これらの方程式が非線形で
あれば,
ニュートン法を用いて繰り返し解くことになる
.
我々のライブラリーは
$\mathrm{P}\mathrm{C}$クラス
ターに適しており
,
我々はライブラリーを逆問題や他の問題の離散化した問題に適用した
.
2
テスト問題
我々はテスト問題として以下の連立一次方程式を考える.
$Au=b$
,
$A=(a_{i,j}),$
$u=(u_{i}),$
$b=(b_{i})$
,
$\mathrm{i},j=1,2,$
$\cdots,$
$M$
.
テスト問題
1
典型的なたちが悪い例として
$A$
が以下の
Hilbert
行列の場合
.
$a_{i,j}= \frac{1}{\mathrm{i}+j-1}$
,
$\mathrm{i},j=1,2,$
$\cdots,$
$M$
,
$b=A(1, \cdots, 1)^{T}$
.
テスト問題
2
$M=N+1$
.
たちの良い例として
$A$
が以下のように与えられる場合
.
$a_{1,1}=-a_{1,N+1}= \frac{2N^{2}+1}{6}$
,
$a_{1,j+1}= \frac{(-1)^{j}}{\sin_{2\overline{N}}^{\dot{L}^{\pi}}\sin_{2\overline{N}}^{L^{\pi}}}$
,
$j=1,2,$
$\cdots,$
$N-1$
,
$a_{i+1,j+1}=\{$
$\frac{2}{3Nc_{j}}\sum_{k=2}^{N}\frac{(-1)^{k}}{c_{k}}k^{2}(k^{2}-1)\cos\frac{kj\pi}{N}$
,
$i=N,$
$j=1,2,$
$\cdots,$
$N$
,
$- \frac{(-1)^{i+j}}{2c_{j}\sin^{2}\frac{i\pi}{N}}\{\frac{\cos\frac{i\pi}{N}}{\sin\frac{(i+j)\pi}{2N}\sin\frac{(i-j)\pi}{2N}}$
$+ \frac{1}{\sin^{2}\frac{(i+j)\pi}{2N}}+\frac{1}{\sin^{2\mathrm{L}^{i-}\Delta j\underline{\pi}}2N}\}$
,
$i\neq j$
,
$i=1,2,$
$\cdots,$
$N-1,$
$j=1,2,$
$\cdots,$
$N$
,
$- \frac{1}{2\sin^{2}\frac{i\pi}{N}}\{\frac{1+\cos^{2}\frac{i\pi}{N}}{\sin^{2}\frac{i\pi}{N}}+\frac{2N^{2}+1}{3}\}$
$
$i=j=1,2,$
$\cdots,$
$N-1$
,
$c_{0}=c_{N}=2$
,
$c_{j}=1$
,
$j=1,2,$
$\cdots,$
$N-1$
,
$b=A(0, -2, \cdots, -2)^{T}$
,
ここで
,
$N$
はスペクトル選点法の次数とする
.
A
は次の境界値問題を
Chebyshev-Gauss-Lobatto
選点
$x_{i}= \cos\frac{i\pi}{N},$
$i=0,1,$
$\cdots,$
$N$
を用いたスペクトル選点法によって離散化して得
られる行列である
.
$u_{xx}(x)=-2$
in
(-1,
1),
$u(-1)=0$ ,
$u_{x}(!)=0$
厳密解は
$u(x)=-(x+1)(x-3)$
である.
$N\geqq 2$
の場合,
離散化問題には打切り誤差は含ま
れない. したがって、
大きな
$N$
に対して
$Au=b$
の厳密解
$u^{exac}$
は
187
となる.
このような適切な境界値問題に対して
, 厳密解が多項式でない場合
,
数値誤差は
$146\cross 10^{-4995}$
になる
[10].
テスト問題
3
$M=N+1$ . 孟が以下のように与えられる場合
.
$a_{i+1,j+1}= \sum_{k=0,k\neq 1}^{N}\frac{2}{Nc_{k}c_{j}}e^{x_{i}y_{j}}\cos\frac{jk\pi}{N}\cdot\frac{1+(-1)^{k}}{1-k^{2}}$
,
$\mathrm{i},$
$j=0,1,$
$\cdots,$
$N$
,
$x_{i}=y_{i}= \cos\frac{\mathrm{i}\pi}{N},$
$\mathrm{i}=0,1,$ $\cdots,$
$N$
,
$b=A(1, \cdots, 1)^{T}$
$A$
は次の第一種積分方程式
$[7, 8]$
を
Chebyshev-Gauss-Lobatto
選点を用いたスペクトル選点
法によって離散化して得られる行列である
.
$\int_{-1}^{1}e^{xy}u(y)dy=f(x)$
ここで
,
$f(x)$
は与えられた関数である.
この非適切な問題に対して, 数値計算は成功してい
る
$[7, 8]$
しかしながら
,
数値解の収束性はとても遅くなっている
テスト問題
4
$M=N+1$
.
$A$
が以下のように与えられる場合
$a_{i+1,j+1}= \sum_{k=0}^{N}\frac{2}{Nc_{k}c_{j}}T_{k}(y_{j})I_{ki}$
,
$\mathrm{i},$$j=0,1,$
$\cdots$
,
$N$
,
$I_{ki}= \oint_{-1}^{1}e^{x_{i}y}T_{k}(y)dy=\{$
$e^{x_{i}}(d_{k,0}+d_{k,1}+\cdots+d_{k,k})$
$-e_{0}^{-x_{i}},(d_{k,0}-d_{k,1}+\cdots+(-1)^{k}d_{k,k})$
,
$x_{i}\neq 0$
,
$k=1$
,
$x_{i}=0$
,
$\frac{1+(-1)^{k}}{1-k^{2}}$
,
$k\neq 1$
,
$x_{i}=0$
,
$T_{k}(y)=C_{k,0}+C_{k,1}y+C_{k,2}y^{2}+\cdots+C_{k,k}y^{k}$
:
$k$
次の
Chebyshev
多項式,
$d_{k,k}= \frac{1}{x_{i}}C_{k,k}$
,
$d_{k,j}= \frac{C_{k,j}-(j+1)d_{k,j+1}}{x_{i}}$
,
$j=k-1,$
$k-2,$
$\cdots,$
$1,0$
,
$b=A(0, -2, \cdots)-2)^{T}$
.
$A$
はテスト問題
3 と同じ積分方程式から得られる行列であるが
, Chebyshev-Gauss-Lobatto
選点を用いたスペクトル選点法の
$u(y)$
に対する積分への適用の仕方が異なる
[9].
この離散
3
我々のライブラリーと数値計算結果
我々は連立一次方程式
$(Au=b)$
を解くための精度保障付き数値計算に必要な区間演算ラ
イブラリーを多倍長精度で開発した
. 我々のライブラリーはガウスの消去法を用いていて,
反復法は用いていない
.
これは,
行列
$A$
の性質が分からなかったり
,
たちが悪かったりする
ためである
. 区間演算
[14] が我々のライブラリーの本質である
.
また,
多倍長計算を行うた
めに
Fortran
の多倍長パッケージである
FMLIB
を用いた.
FMLIB
では
,
浮動小数点数の丸
めの方向を制御することが可能である. 我々のライブラリーは適当な
$\mathrm{P}\mathrm{C}$クラスターで並列
計算を行えるように
PVM
を用いて並列化されている
.
テスト問題
1-4
の我々のライブラリーを用いた数値計算結果はそれぞれ
,
図
1-4
で示す
.
こ
こで
,
$I_{\max}$
,
err
は次のように定義する.
$I_{\max}= \max 1\leq i\leq M|\underline{u}_{i}-\overline{u}_{i}|,\hat{u}_{i}=(\underline{u}_{i}, \overline{u}_{i})$
in Figs. 1-4,
$err=\{$
$1 \leq i\leq M1\leq i\leq M\max_{\max}|u_{i}-1||u_{i}-u_{\mathrm{i}}^{exac}’|$,
in Figs.
$31$
,
2, 4,
in Fig. 3,
ここで
,
$\hat{u}_{i}$は区間である
.
$\mathrm{s}\int_{-1}$$-,(\mathrm{n}---0^{\cdot}\backslash \backslash \cdot\backslash \cdot\backslash \backslash \backslash .\backslash .\backslash \backslash \cdot....\cdot$ $u_{0}..250’arrow.- \mathrm{M}\cdot 2\alpha \mathrm{b}\mathrm{I}\cdot\prime w.-\cdot\sim \mathrm{h}’\cdot 50\cdot\cdot.\cdots$
$\backslash ^{\Xi}\circ \mathrm{R}$
$.\mathrm{m}\mathrm{o}\backslash \backslash :\backslash \cdot\cdot..\backslash \backslash \backslash \cdot.\backslash \backslash \backslash _{\backslash }\cdot..\backslash \theta$
bl-b{
$\cdot$stl
$\cdot-.arrow$z\mbox{\boldmath$\alpha$}lhf
Iulmr
$\cdot$$=$
$\underline{\circ 6}D$
$.1\alpha \mathrm{n}$
$\backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \cdot$
-$\underline{\circ \mathrm{b}}D$
$\backslash \backslash :.\backslash \backslash \cdot$
:
$- 1\alpha \mathrm{n}$digit
number
digit
number
$\langle$
$\mathrm{a})I_{\max}$
without
numerical
verification.
(b)
$I_{\max}$
with numerical verification.
$\alpha n$
$\mathrm{w}\mathrm{i}a_{\mathrm{b}1\mathrm{h}\mathfrak{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{c}A\mathrm{v}\iota\hslash r_{1c\mathrm{r}\mathrm{r}\mathfrak{n}}-}\mathrm{n}\mathrm{u}\iota \mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{c}*\mathfrak{l}\mathrm{w}\mathrm{n}r_{\mathrm{K}\cdot 1n\Uparrow*}$
,
$\backslash ^{\mathrm{g}}6\aleph.10(n8\alpha 1$ $\prime\prime\prime\prime\prime\prime$ $|\underline{\uparrow}\alpha\}$ $\mathrm{b}D$ $\alpha n$ $.16\alpha|$$\mathrm{w}\mathrm{i}a_{\mathrm{b}1\mathrm{h}\mathfrak{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{c}A\mathrm{v}\iota\hslash r_{1c\mathrm{r}\mathrm{r}\mathfrak{n}}-}\mathrm{n}\mathrm{u}\iota \mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{c}*\mathfrak{l}\mathrm{w}\mathrm{n}r_{\mathrm{K}\cdot 1n\Uparrow*}$
,
$\backslash ^{\mathrm{g}}6\aleph.|\underline{\uparrow}\alpha\}10(n8\alpha 1 \prime\prime\prime\prime\prime\prime’ \mathrm{q}\mathrm{J}\mathrm{k}\mathrm{k}.\cdot.)\iota s\mathrm{n}1?\alpha)17S0$
$\mathfrak{M}_{\mathfrak{n}\mathrm{u}\dot{\mathrm{r}}\mathrm{c}\theta \mathrm{m}\mathrm{f}\iota \mathrm{c}u\mathrm{o}\mathrm{n}.\cdot\prime-}^{\mathfrak{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}n\dot{\mathrm{n}}\Gamma 1\theta\cdot \mathfrak{v}_{1}\mathrm{o}\mathrm{r}}\nearrow-\prime\prime.$
.
$j/$
.,’
$\underline{\circ \mathrm{b}}0- 14(\mathrm{K}|$
$\nearrow’.’.\prime\prime\prime$
.
$\cdot$..
$\cdot$ $\underline{\mathrm{o}^{\mathit{0}}\mathrm{b}}.|\epsilon\alpha$}
.
$’.’\nearrow’$
’
’.,,
.
$\sim.16(n.’:1un’\nearrow’\cdot\prime\prime’$.18’
$0$ $’.\prime t$ $1\mathfrak{M}\prime\prime/$ $-\mathrm{z}\mathrm{r}_{50}$ $.19s\mathrm{o}_{50}$$1\alpha)$ $1\infty$ $\mathit{1}\omega$ $\mathrm{a}s\mathrm{o}$ ${\rm Im}$
’50
$\mathrm{z}\alpha|$$M$
$M$
(c)
$I_{\max}$
with
2000
digits.
(d)
err
with
2000
digits.
169
$\aleph$
$\aleph\cdot 2mr\ltimes 1\propto 1$
:
$\sim^{\mathrm{S}}\mathrm{b}D\underline{\mathrm{O}\aleph 6}$ $.1^{\cdot}5\mathrm{t}\mathrm{n}|[\mathrm{n}s\alpha \mathrm{r}_{0},$
$\cdot|\backslash \backslash \backslash \backslash \dot{\vee}\backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash .\backslash _{\mathrm{s}_{\backslash }}^{8}\backslash \backslash .\backslash \backslash \backslash \backslash \mathrm{N}\cdot 250\aleph\cdot 2m^{1}r_{1}^{\mathrm{N}50}\ltimes \mathrm{i}\alpha\backslash \backslash \backslash .\backslash \backslash \cdot.-.\cdot..\cdot$
$\underline{\circ\infty\not\in 6\mathrm{H}}$
$.\cdot.\cdot 1^{\cdot}.8\{n14\alpha 12\alpha\}1\{\mathrm{x}\mathrm{x})4016\alpha|6\omega 2\alpha\},$ $\backslash ^{\aleph-S0}-\backslash \backslash \aleph\cdot \mathrm{z}\alpha\}\backslash ^{\aleph\cdot 1w\backslash }\backslash _{\backslash \backslash _{\backslash _{\backslash }}}^{\aleph\cdot 250-arrow}\cdot\backslash \cdot$ $\backslash$
-8 頭
$\backslash \cdot\backslash \backslash \backslash \cdot$
.zxx’
$.\mathrm{z}w_{0}204‘ n6\mathrm{m}8\alpha\}1\alpha \mathrm{n}|un1\mathrm{f}0\prime 6\infty$
tm
um
$.\mathrm{L}’ w_{0}u\mathrm{r}4\alpha \mathrm{l}\epsilon w$un
$\iota\alpha \mathrm{m}1m$
)
$1m1\iota\epsilon\omega 1\mathrm{a}w\mathrm{z}\alpha n$digit
number
digit number
(a)
$I_{\max}$
without numerical verification.
(b)
$I_{\max}$
with
numerica1
verifica-.
digit number
(b)
$I_{\max}$
with nunerical verification.
(All
lines coincide.)
$.\mathrm{a}m$
$\iota r\mathrm{s}\mathrm{o}$ $\mathrm{w}i0\mathrm{n}\mathrm{u}\iota \mathrm{m}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{d}\mathrm{v}\dot{\mathrm{r}}\zeta|\epsilon \mathrm{u}\infty-$
$u:\mathrm{l}\mathrm{h}\mathfrak{g}u\mathrm{t}\mathrm{m}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{c}\mathfrak{l}nn\Gamma\iota’ \mathfrak{n}\dot{\mathrm{r}}\mathfrak{l}\mathrm{h}\mathfrak{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{c}\dot{\mathrm{u}}_{\mathrm{w}n}r_{\kappa \mathrm{a}\omega \mathrm{n}}^{\mathrm{R}1!-}.\ldots$
.
$.\mathrm{z}‘ \mathrm{n}‘.2$
$\dot{\mathrm{r}}\iota \mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{u}-\cdot\theta nd\mathrm{f}\kappa.\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{t}}m\wedge$
$\prime’\backslash ..\vee/$ $4^{\xi}6\aleph$
.)
$\epsilon\alpha$)
$1\epsilon s\mathrm{o}$ $/^{\nearrow’}\cdot\prime\prime.’\prime^{\prime^{\prime’}}/’$ $\mathrm{q}\mathrm{J}\mathrm{k}\mathrm{I}$,
$-\cdot \mathrm{z}\iota \mathrm{n}l.62\mathrm{o}u.4$
/
$\cdot$,
$./^{\nearrow}/$’
$\underline{\mathrm{O}\mathrm{b}}0..’!)w1950\prime\prime^{\prime’}/’\prime\prime’\prime’\prime’\prime\prime\prime’/$ $\underline{\mathrm{o}\omega}.2^{\cdot}\alpha 152\mathrm{z}\alpha)4.82\alpha|5r^{r}.\cdot.\prime\prime\vee\prime\prime\prime.’\nearrow$’
$.2\alpha \mathrm{n}$.
.. .
...
.
$.\cdot.\mathrm{a}\alpha 1’,\cdot 8\mathrm{z}\alpha 5.4\mathrm{z}\alpha \mathrm{r}.\epsilon_{50}$
$.2\mathrm{o}s\mathrm{o}w$
$2so$
$\iota\alpha$’
150
$2\alpha\}$$2so$
$[]\alpha$
150
$\mathrm{z}w$$N$
$N$
(c)
$I_{\max}$
with
2000
digits.
(d)
err
with
2000
digits.
図
2.
テスト問題
2
の数値計算結果
lm
lr
$\mathrm{M}\cdot 50-$
$\aleph O\mathrm{O}--$
$,-^{\epsilon}\mathrm{H}\circ$ $s\mathrm{r}_{0}$. ..
.
$\cdot$$0\aleph\cdot 2\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{N}\cdot 2\mathrm{t}\mathrm{n}$
:.
$-^{\mathrm{s}_{\mathrm{t}}}6\aleph$
0
$\backslash$.
$.$.
$\cdot$ $\aleph\cdot.u\mathrm{o}$ $\mathrm{N}\cdot 1\infty$.
.
..
$s\alpha$
)
$\mathrm{N}-u$$\mathrm{O}\mathrm{w}\cdot\iota\alpha’-_{\mathrm{o}}$)
.
.
$\sim\backslash \sim$
.
.
$\backslash$ $\backslash \backslash _{\backslash _{\backslash }}$ $\underline{\mathrm{o}\omega}$.500
$\backslash _{\backslash \backslash }\backslash \sim\backslash \sim$
.
.
$.,$.
.
..
$\underline{\circ \mathrm{b}}D$
$.s\infty$
$\backslash \backslash \backslash \backslash ^{\backslash }\cdot\cdot\cdot$
.
$\backslash$$\cdot$
.
$1\mathrm{m}$)
$\backslash \backslash \backslash _{\backslash }\backslash \cdot\backslash$ $\cdot$
.
.
$\backslash _{\backslash }\backslash$
.
$\backslash \cdot$ $\backslash _{\mathrm{b}}\sim$ $\cdot$
.
$1\mathrm{m}$ $\backslash _{\backslash }$.
$\iota s\alpha$}
$\backslash \backslash$ $\cdot$.
$1S\ln$
$\backslash _{\backslash }\backslash$$.2\alpha \mathrm{n}$ $.\lrcorner^{*}\mathrm{X}\mathrm{X}).--$
$\cdot$- $\cdot\cdot$
–
$.\sim-$
$\cdot-$
$i-$
,–
,
$\mathrm{m}$–
0
$2\alpha’ m6\alpha 1$
$\aleph B\iota\alpha \mathrm{r}$}
$\downarrow \mathrm{m}1\triangleleft\infty$lffil
$\iota u\mathrm{n}2\{\mathrm{m}$digit
number
(b)
$I_{\max}$
with
numerical verification.
$.\mathrm{z}\alpha$
’
$\mathrm{V}f1\infty u\iota \mathfrak{n}\mathrm{u}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}n\dot{\mathfrak{n}}r_{1\mathrm{c}\mathrm{u}}‘ j\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{c}dn\dot{\mathrm{n}}\mathrm{f}\mathrm{c}\omega 0\mathrm{l}’.-.\prime\prime$
$.\cdot\prime 3\alpha\}14\alpha)$
Wltlru‘
$\mathrm{n}\mathrm{u}\dot{\mathrm{m}}\sigma d\mathrm{w}\mathrm{n}l1\epsilon \mathrm{A}0\mathrm{R}$
Vilb
$\mathrm{n}\mathrm{u}\dot{\mathrm{r}},\mathrm{c}\triangleleft\dot{\mathfrak{m}}r_{|\mathrm{c}}u|\alpha \mathrm{n}..-.\prime\prime\cdot’\cdot$,
$\prec m$
$\backslash ^{\xi}6\aleph-.8\infty 6\iota \mathrm{n}$
,
$\cdot$,
$\cdot$,”’.”
$\mathrm{k}\mathrm{k}\mathrm{q}$)
$..\iota sw|\epsilon\omega$ $\prime e,\cdot.\nearrow’’$$/’$
$\mathrm{b}D\underline{\circ}...’12\mathfrak{W}\mathfrak{l}4\alpha\}\alpha 10$,,
$\cdot$,,’
$\nearrow$.
$\underline{\circ \mathrm{b}}D$;
.
$i^{i}./’/\nearrow.\prime\prime./^{\nearrow}$ $.16\alpha$$\nearrow’/’$
.
$- 19\alpha)\prime’i’/$
$.\cdot 2\mathrm{t}\mathrm{x}\mathrm{K}\}1\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{K}’,0$
$1\alpha)$ $\mathfrak{l}30$ $2\alpha\}$ $\mathrm{u}\mathrm{o}$
$.\mathrm{m}\alpha)5‘ 1$
$1\alpha)$
1”
$2\alpha$,
$u\mathrm{o}$$N$
$N$
(c)
$I_{\max}$
with
2000
digits.
(d)
err
with
2000
digits.
$\mathrm{t}\alpha n$
$1lm$
$\aleph\cdot’\alpha)u\cdot sa=$ $\aleph\cdot \mathrm{i}\mathrm{N}s\alpha 10--$
5
$‘ \mathrm{x}_{0}$’
:
$\tau\aleph-f\mathfrak{X}\aleph\cdot 2\alpha$}
$.$:
$\sim^{\Xi}\mathrm{d}\aleph$$SW$
;
:
$\aleph\cdot 25\Omega\aleph-2\infty$ $arrow$.
0
$\backslash \backslash \backslash _{\backslash }$$\mathrm{o}$
$s\infty$ $\backslash \backslash _{\backslash \backslash }\backslash$ $\backslash$
$\underline{\circ \mathrm{b}}\emptyset$ $s\mathrm{r}\mathrm{n}$
$\backslash _{\backslash }\sim$
.
$\backslash \backslash$$\backslash _{\sim}\sim\backslash -$
$\backslash$ $\cdot 1\mathrm{R}$
$\backslash \backslash _{\wedge}\backslash$ $1\mathfrak{m}$
$\backslash _{\sim}$ $\backslash \backslash \cdot$
.
$[s\alpha)$ $\backslash \backslash \backslash _{\backslash }\backslash \backslash$$\iota s\mathrm{r}n$
$\backslash _{\backslash }\backslash$
$\mathrm{r}$ $2(\mathrm{m}$
$4\mathrm{t}n$
un
$\mathrm{r}w$ $1\alpha \mathrm{n}$1200 1400
$16\ln$
$1u\mathrm{r}$20010
$\mathrm{Q}$20
$4\mathrm{t}n\iota\infty$$8\mathrm{t}\mathrm{n}|\alpha n12w14|n16\infty$
$1800$
$2000$
$\int_{\backslash ^{\Xi}}$
$sm$
$\tau\aleph\cdot I\mathfrak{X}\aleph\cdot 2\alpha\}$
:
$\sim^{\mathrm{g}}\dot{\mathrm{d}}$
$sw$
$\aleph\cdot 25\Omega \mathrm{N}\cdot \mathrm{A}arrow$.
$u$0
$0\backslash _{\backslash \backslash _{\backslash }};$:
$\mathrm{o}$
$\underline{\mathrm{O}\mathrm{b}}D$
$|\mathfrak{m}s\omega\backslash \backslash _{\backslash \backslash }\backslash \backslash _{\sim}\backslash \sim\backslash -\backslash _{\sim}\backslash \backslash$
$\underline{\circ \mathrm{b}}\emptyset$
$.1\mathrm{R}S\mathrm{t}\mathrm{n}$ $\backslash _{\backslash _{\backslash }}\sim\backslash _{\wedge}\backslash$ $\backslash \backslash$
$\backslash \backslash _{\backslash }\backslash \backslash$
$\iota s\mathrm{t}n$
$\backslash \backslash \cdot\backslash _{\backslash }\backslash$ $.\mathrm{l}s\alpha$
’
$\mathrm{r}_{40}$
un
$\mathrm{r}\omega 1\alpha \mathrm{n}\prime \mathrm{m}14\alpha$
}
$\mathrm{l}\epsilon\{\mathrm{n}1u\mathrm{r}2(*\mathrm{K})$ $2(\mathrm{m}_{\mathrm{O}}204‘ n\iota \mathrm{m}8\mathrm{t}\mathrm{n}|\alpha n1\mathrm{z}w14|n16\infty \mathrm{t}\epsilon\alpha’ 2\alpha n$digit
number
digit
number
(a)
$I_{\max}$
without
numerical verification.
(b)
$I_{\max}$
with numerical verification.
$\sim^{\mathrm{E}}\mathrm{S}.ml\iota \mathrm{n}$
.
$-\cdot-\cdot--\cdot\cdot-\cdot\cdot--\cdot\cdot--\cdots--.----’/^{\nearrow}\nearrow’\nearrow]’\prime\prime.\cdot$ $\overline{\mathrm{k}}\mathrm{q}\mathrm{J}\mathrm{g}..\cdot 1u\mathrm{n}15\alpha l|w\mathrm{o}$$/\prime\prime\prime\nearrow F$ $\underline{\mathrm{O}\mathrm{b}}D^{\cdot}.|2\mathrm{m}\downarrow \mathrm{m}$ $\prime\prime’\nearrow’.’$
.
$\cdot$ $\underline{\circ \mathrm{b}}D.17\infty$ $/^{\nearrow}$$/’$
$\swarrow/\swarrow$ $.14\infty$ $d\nearrow’.$,
$-.\cdot 2\alpha \mathrm{K})16\alpha’/18w^{\nearrow^{\prime’}}50^{\cdot}\iota.\alpha\}$
’ $-.19\mathrm{l}\mathrm{n}1\mathrm{m}\nearrow\downarrow\prime\prime.\prime^{\sim’}J’$
.uKl),u
1”
$w$
150
$1\infty$ $1s\mathrm{o}$ $\mathrm{z}\alpha$$N$
$N$
(c)
$I_{\max}$
with
2000
digits.
(d)
err
with
2000
digits.
図
4.
テスト問題
4
の数値計算結果
図
1(a),(b)
は桁数を増やしたときに行列サイズに対して区間の幅
$I_{\max}$
は同じ指数で指数
的に狭くなっていることを示している.
図
1
$(\mathrm{a})-(\mathrm{c})$
は精度保障付き数値計算が正当であるこ
とを示している.
図
1(d) は非区間の数値解の精度の振る舞いを示している
.
図
1
$(\mathrm{a})-(\mathrm{d})$
から
行列がたちが悪いことがわかり
,
多倍長計算が必要であることがわかる
.
一方
,
図
2
はテス
ト問題
2
のたちの良さを示している
. 特に図
$2(\mathrm{c})$
はこのことをよく表している
.
ここでもま
た,
精度保障す付き数値計算の正当性がわかる
.
図
3-4
は図
1
に似ている,
このことは,
テ
スト問題
3,4
がたちが悪いことと,
精度保障付き数値計算の正当性も意味している
.
図
$1(\mathrm{c})$
,
$2(\mathrm{c}),$
$3(\mathrm{c}),$
$4(\mathrm{c})$
は精度保障付き数値計算によって,
行列のたちの悪さを測ることが可能であ
ることを示している.
図
3
と
4
はあまり異なってはいない
.
このことは
,
異なる離散化法が
もとで数値解の収束スピードが異なることを意味している. もとの積分方程式の数値計算で
スペクトル精度がでているにもかかわらず
[9],
テスト問題
4
の行列がたちが悪いということ
171
$.\underline{\mathrm{a}\mathrm{q}}.\}\mathrm{m}\prime sw$$//\cdot.\cdot’.\cdot//$
$\dot{.}\sim\frac{\mathrm{t}6}{\mathrm{q}p}\xi\frac{\mathrm{c}}{\simeq}432p^{\prime’}/^{\prime’}’$’
$\hat{\vee\zeta\}\Re}\mathit{1}500]\iota\alpha$$\mathrm{d}i.‘ 1\mathrm{M}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{m}1\ln\propto m\cdot \mathrm{P}\mathrm{V}\mathrm{b}\mathrm{I}\mathrm{d}j\dot{\mathrm{r}}_{r^{\mathrm{v}}}1\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n}|\mathrm{b}\mathrm{m}m\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{P}\mathrm{b}\mathrm{P}\mathrm{v}\mathrm{b}\mathrm{t}arrow.\nearrow \mathrm{v}u^{\mathrm{t}}\cdot.\cdot--\vee\cdots$
’
$\mathrm{d}\mathrm{i}*^{j}\mathrm{t}\mathrm{n}1\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{v}\mathrm{b}’-t\mathrm{t}*i\mathrm{t}\mathfrak{n}\underline{\mathrm{u}\tau \mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{m}}\mathrm{K}-$
$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1\mathrm{m}$
