2008年 度 日本 数 学 会 賞 秋 季 賞 受 賞 講 演 量 子 情 報 の 数 学 的 基 礎:量 子 測 定 理 論 と 量 子 集 合 論 小 澤 正 直 (名 大 ・情 報) 1 は じめ に 物 理 学 の 諸 分 野 は,数 学 と密 接 に 結 び つ い て い て,そ れ ぞ れ の 分 野 に お け る基 本 原 理 に は,ほ と ん ど の 場 合,異 論 の 余 地 の な い 数 学 的 表 現 が 与 え ら れ て い る. 従 って,あ る 分 野 に 属 す る理 論 的 な 主 張 が 正 しい か ど うか の 判 断 は,実 験 で 検 証 す る 以 前 に,そ の 主張 が 基 本 原 理 か ら数 学 的 に 正 しい 推 論 に よ って 導 か れ た か ど うか を検 証 す る こ とで 行 わ れ る.こ の よ う な,基 本 原 理 の 数 学 的 定 式 化 を十 分 な 厳 密 性 の も と で 系 統 的 に 進 め る とい う の が,ヒ ル ベ ル トが23の 問 題 の 第6番 目 の 問 題 と して 提 唱 し た 物 理 学 の 公 理 化 で あ る. 一般 に,量 子 力 学 の 公 理 化 は,1932年 のvon Neumnnの 『量 子 力 学 の 数 学 的 基 礎 』 とい う著 書[35]で 完 成 さ れ た と考 え られ て い る.確 か に,1980年 代 ま で, 非 相 対 論 的 量子 力 学 に 関 す る 問 題 で,こ の 公 理 系 が 不 備 で あ る こ とが 原 因 で 決 着 の つ か な か っ た 問 題 は な か っ た と言 っ て よ い で あ ろ う.し か し,1980年 代 に 起 き た 重 力 波 の 検 出 限 界 を 巡 る 論 争 に お い て,多 くの 物 理 学 者 が 論 争 の 結 果 的 に 誤 っ た 側 に 回 っ た こ と は,こ の 公 理 系 の 不 備 を 明 ら か に した と言 え る で あ ろ う.も ち ろ ん,von Neumannの 公 理 系 は,い わ ゆ る コペ ンハ ー ゲ ン解 釈 と呼 ば れ る 標 準 的 な 理 解 を そ の ま ま 数 学 的 に 厳 密 に 定 式 化 した もの で あ る の で,公 理 系 の不 備 は, そ の 理 解 に 不 備 が あ っ た と言 い 替 え る こ とが で き る. 量 子 力 学 で は,「測 定 」 とい う概 念 が 重 要 な 役 割 を果 た して い る が,von Neumann の 公 理 化 に お い て 「測 定 の 理 論 」 は 未 完 の ま ま残 され た.von Neumannが 公 理 化 した 最子 力 学 は,対 象 を あ る 状 態 に 準 備 し,そ の 対 象 が 既 知 の 相 互作 川 を受 け た 後,度 だ け 特 定 の 物 理量 を 測 定 す る と い う実 験 に お い て は,そ の 正 し さ が 完 壁 に 検 証 さ れ る もの で あ っ た が,次 々に 時 間 的 な 経 過 に そ っ て 測 定 を 繰 り返 す 場 合 に,そ の 測 定 値 を 正 し く予 測 す る こ とに 関 し て は 不十 分 で あ っ た. そ れ で 長 い こ と問 題 が 起 こ ら な か っ た の は,そ の よ う な継 続 的 な 測 定 を 理 論 と 比 較 で き る ほ ど精 密 に 行 う実 験 技 術 が な か っ た た め で あ るが,1960年 の レー ザ ー の 発 見 以 後 に 進 歩 し た 量 子 制 御 技 術 に よ り,そ の よ うな 実 験 の プ ロ ジ ェ ク トが 可 能 に な りつ つ あ り,そ の こ と か ら量子 情 報 技 術 に 関 す る様 々 な 提 案 が 生 まれ て き た.そ の 最 も 初 期 の 典 型 が 重 力 波 検 出 プ ロ ジ ェ ク トで あ っ た.当 時,重 力 波 検 出
は,巨 大 な 結 晶 を 共 振 さ せ て 検 出 す る共 振 器 型 検 出 器 と,進 行 方 向 に 垂 直 な 面 内 に レ ー ザ ー 干 渉 計 を 配 置 し,潮 汐 力 に よ る 直 交 す る 光 路 長 の 差 の 変 化 を 検 出 す る 干 渉 計 型 検 出 器 が 提 案 さ れ て い た.共 振 器 型 検 出 器 を 推 進 す るBraginsky[2]や Caves[4]ら に よ っ て,量 子 非 破 壊 測 定 法 が 提 案 さ れ,干 渉 計 型 検 出 器 に は,標 準 量 子 限 界(SQL)と い う感 度 の 限 界 が 存 在 し,共 振 器 型 検 出 器 に は,そ の よ うな 感 度 の 限 界 が 存 在 しな い と い う 説 が 提 唱 さ れ た.し か し,Yuen[38]は 標 準量 子 限 界 の 導 出 に 疑 問 を 投 げ か け,収 縮 状 態 測 定 と い う新 し い 測 定 法 を 提 案 して,標 準 量 子 限 界 が 打 破 で き る と主 張 した. 本 講 演 で は,は じめ にvon Neunaannの 公 理 系 に つ い て 述 べ て か ら,こ の 論 争 の 顛 末 に つ い て 紹 介 し,そ の 結 果,von Neumannの 公 理 系 が ど の よ うに 修 正 さ れ た の か を 解 説 す る.そ して,こ の 新 しい 量 子 力 学 の 公 理 系 の も とで,古 い 公 理 系 で は 不 正 確 な 数 学 的 表 現 が 与 え られ て い たHeisenbergの 不 確 定 性 原 理 の 新 し い 数 学 的 表 現 が 得 られ る こ と を 示 し,そ こ か ら導 か れ る 量 子 計 算 の 精 度 の 限 界 に つ い て 述 べ る.最 後 に,量 子 力 学 の 基 本 原 理 を 更 に 深 め る た め に有 望 な ア プ ロ ー チ と して 現 在 開 発 中 の 量 子 集 合 論 に つ い て 紹 介 す る. 2 von Neumannの 公 理 系 von Neumann[35]に よ る公 理 系 は 次 の よ うに 定 式 化 で き る. 公 理1.(状 態 と 物 理 量 の 定 義)各 量 子 力 学 系 にHilbert空 間 が 対 応 し,状 態 は そ の 密 度 作 用 素(正 値 で 跡 が1の 作 用 素)で 表 現 さ れ,物 理 量 は そ の上 の 自 己 共 役 作 用 素 で 表 現 さ れ る. 公 理2.(統 計 公 式)状 態 ρ に お い て 物 理 量Aを 測 定 す れ ば,測 定 値xの 確 率 分 布 は
(2.1)
で 与 え ら れ る.(こ こ で,Δ は 数 直 線 上 の ボ レル 集 合,EAはAの ス ペ ク トル 測 度 を表 す.) 公 理3.(時 間 発 展 の 公 式)時 刻tとt＋Tの 間,ハ ミル トニ ア ンHを 持 つ 系 の 時 刻tに お け る 状 態 が ρ(t)な ら ば,時 刻t＋Tに お け る状 態p(t＋T)は(2.2)
で 与 え られ る 。(ここ で,hは 所 与の 単位 系 に お け るPlanck定 数 を2π で 割 っ た 値 で あ る.) これ らの 公 理 の も とで,過 去 の 状 態 か ら未 来 の 測 定 結 果 が 確 率 的 に予 測 で き る. しか し,そ の 予 測 は,例 き りの 測 定 に 関 し て 有 効 で,同一 の 系 に 測 定 を 何 回 もく り返 す 場 合 に は 測 定 後 の 状 態 を き め る 公 理 が 必 要 で あ る.そ の た め に,従 来, 次 の 公 理 が 採 用 され て き た. 公 理5A.(測 定 公 理)状 態 ρ に お い て 離 散 的 物 理 量Aを 測 定 して,測 定 値 が x＝xで あ れ ば,測 定 直 後 の 状 態 ρ{x＝x}は
(2.3)
で 与 え ら れ る. こ の 測 定 公 理 は,von Neumann-Ludersの 射 影 仮 説 と も呼 ば れ る[9]. 3 von Neumannの 測 定 モ デ ル 測 定 公 理 は,理 想 的 な 測 定 に 関 す る 記 述 で あ る が,被 測 定 量 が 連 続 スペ ク トル を も つ 場 合 に は 適 用 で き な い.von Neumam[35]は,位 置 測 定 の 例 と し て,次 の よ うな モ デ ル を 示 して い る. 測 定 対 象Sは あ る直 線 上 を 運 動 す る 質 点 で,そ の 位 置 をx,運 動 量 をpxと す る.測 定 対 象 は,時 刻tか らt＋ Δtま で 装 置 内 の プ ロ ー ブ と相 互 作 用 し,時 刻 t＋ Δtに 対 象 は装 置 か ら 自由 に な る とす る.von Neumannの モ デ ル で は,プ ロ ー ブPは 対 象 と同 様 に 一 次 元 運 動 を す る 質 点 で,そ の 位 置 をy,運 動 量 をpyと し, 測 定 値 を 与 え る メ ー タ は,プ ロー ブ の 位 置yと す る.こ こで,対 象 と プ ロ ー ブ の 測 定 相 互 作 用 は,(3.4)
で 与 え られ(KΔt＝1),時 間 間 隔(t,t＋ Δt)に お け る 対 象 と プ ロ ー プ の 合 成 系 の 時 間 発 展 は,ユ ニ タ リ作 用 素U＝e-ixpy/hで 表 さ れ る.測 定 直 前 の 対 象 と プ ロー ブ の 波 動 関 数 を ψ(x),ζ(y)と し て,Schrodinger方 程 式 を 解 く と,測 定 直 後 の 合 成 系 の 波 動 関 数 Ψ ＝U(ψ◎ ζ)は,(3.5)
とな る.従 っ て,時 刻t＋ Δtに メ ー タyを 測 定 し て,測 定 値aを 得 る 確 率 密 度 は,(3.6)
で あ り,こ の と き の 測 定 直 後 の 対 象 の 波 動 関 数 ψaは,(3.7)
で 与 え られ る.4 Heisenbergの 不 確 定 性 原 理 1927年 にHeisenberg[6]は,有 名 な ガ ン マ 線 顕 微 鏡 の 思 考 実 験 で,位 置 の 測 定 精 度 ΔQと 運 動 量 の 擾 乱 の 大 き さ ΔPの 間 に
(4.8)
と い う関 係 が あ る こ と を 示 し,こ れ は 正 準 交 換 関 係[Q,P]＝ihの 数 学 的 帰 結 で あ る と述 べ て,形 式 的 証 明 を 試 み て い る.そ の 証 明 に は,ガ ウ ス 型 波 動 関 数 の 位 置 の標 準 偏 差 σ(Q)と 運 動 量 の 標 準 偏 差 σ(P)の 積 が 一 定 の 下 限 を 持 つ とい う事 実 が 利 用 さ れ て い る.こ の 関 係(4.9)
は,直 ち にKennard[8]に よ っ て 任 意 の 波 動 関 数 に 対 し て 証 明 さ れ た.こ の 不 等 式 は,1929年 にRobertson[32]に よ っ て,(4.10)
と任 意 の 物 理 量A,Bに 一 般 化 さ れ た.こ こで,〈 … 〉は 期 待 値 を 表 す.そ の 後, 多 く の 教 科 書 で は,Robertsonの 不 等 式(4.10)を 不 確 定 性 原 理 と呼 ぶ よ う に な り,そ の 数 学 的 証 明 の あ と で,こ の 不 等 式 の 物 理 的意 味 は 位 置 を 正 確 に 測 定 す れ ば す る ほ ど,そ れ に 反 比 例 して 運 動 量 が 大 き く乱 さ れ る こ とで あ る とい う説 明 が な さ れ,前 述 の ガ ンマ 線 顕 微 鏡 の 思 考 実 験 が 引 き 合 い に 出 され る. しか しな が ら,不 等 式(4.9)が 測 定 に お け る 測 定 精 度 と擾 乱 の 関 係 を 表 して い な い こ とは,標 準 偏 差 の 概 念 が 測 定 装 置 の 存 在 と 無 関 係 に,い わ ば被 測 定 系 の 状 態 だ け か ら決 ま る 概 念 で あ る こ とか ら明 らか で あ ろ う.実 際Heisenbergの 証 明 は,次 の よ う な もの で あ っ た.Heisenbergは,暗 黙 の うち に 次 の 仮 定 を お い て い る. (P)測 定 精 度 ΔQで 位 置 を 測 定 した 直 後 の 状 態 は,標 準 偏 差 が σ(Q)≦ ΔQ を 満 た す. この 仮 定 の も とで,不 等 式(4.9)か ら,σ(P)≧h/2ΔQが 得 ら れ,精 度 の よ い 測 定 を す れ ば,測 定 後 の 運 動 量 の 標 準 偏 差 が そ れ に 反 比 例 して 人 き くな るの は,測 定 に よ る 運 動 量 の 擾 乱 の 大 き さ ΔPが(4.8)を 満 た す た め で あ る と結 論 して い る. この 証 明 で 用 い られ た 仮 定(P)は 正 し くな い.こ の こ とは,1980年 代 に な って, 重 力 波 の 検 出 に 不 確 定 性 原 理 か ら導 か れ る検 出 限 界 が 存 在 す る か とい う 問 題 を巡 る 論 争 の 中 で 明 ら か に な った.以 下 で は,そ の 論 争 と測 定 の 限 界 を 表 す 不 確 定 性 原 理 の 正 しい 定 式 化 に つ い て 解 説 す る.5 自 由 質 点 の 位 置 の 反 復 測 定 に 関 す る 標 準 量 子 限 界 自 由 質 点 の 位 置 の 反 復 測 定 に 関 す る標 準 量子 限 界(SQL)は,通 常 次 の よ う に 述 べ ら れ る:時 間 間 隔Tで 自由 質 点mの 位 置xを2回 反 復 して 測 定 す る と,2回 口 の 測 定 の結 果 は(hT/m)1/2よ り小 さ い 不 確 定 さ で 予 言 す る こ と が で き な い.干 渉 計 型 重 力 波 検 出 器 は,自 由 質 点 で あ る鏡 の 位 置 の 継 続 測 定 と見 な さ れ る の で, これ か ら,干 渉 計 型 重 力 波 検 出 器 の 感 度 の 限 界 が 導 か れ た. 標 準 的 な 議 論[2,4]で は,t＝0を 最 初 の 測 定 の 直 後 の 時 刻 と し,t＝Tを 次 の 測 定 の(直 前 の)時 刻 と し て,Robertsonの 不 等 式(4.10)が 位 置 と運 動 量 の 不 確 定 さ σ(x(0)),Q(p(0))に 適 用 さ れ る.そ の 結 果,xの 分 散 は 次 の よ う に 増 加 す る と さ れ る.
(5.1)
こ こ か ら,SQLが 得 られ る. Yuen[38]は1983年 に この 標 準 的 な 議 論 に 重 大 な 不 備 が あ る こ とを 指 摘 した. 自 由 質 点 の 時 間 発 展 は,(5.2)
で 与 え られ る の で,時 刻Tに お け るxの 分 散 は,次 式 で 与 え ら れ る.(5.3)
こ こ で,δx＝x-<x>な ど とお い た.従 っ て,標 準 的 議 論 は この 式(5.3)の 最 後 の 項(相 関 項)が 非 負 で あ る こ とを 暗 黙 の う ち に 仮 定 して い る こ とに な る.負 の 相 関 項 を 持 つ 状 態 は,時 間 発 展 に よ っ て 波 束 が 収 縮 す る の で,収 縮 状 態 と呼 ば れ る.Yuenの 主 張[38]は 質 点 の 位 置 命 の 測 定 で,測 定 後 の 状 態 を 収 縮 状 態 に す る こ とが 可 能 で あ る とい う こ とで あ る.そ の よ う な 測 定 は,Heisenbergの 不 確 定 性 原 理(4.8)と 矛 盾 す る た め,実 現 可 能 か ど うか を 巡 っ て 論 争 が 起 き た. 6Cavesに よ るSQLの 擁 護 Yuen[38]の 提 案 が な され た 後,CavesはSQLに 関 す る更 に進 ん だ 分 析[3] を 発 表 して,SQLを 擁 護 す る 論 陣 を 張 っ た.そ こ で,彼 は 次 の よ う なSQLの 定 式 化 の 改 良 を 行 っ た:自 由 質 点mが そ の 位 置xの,同 一 の 測 定 装 置 に よ る,2 回 の 測 定 の 問,時 間Tに わ た っ て,ユ ニ タ リ な 時 間 発 展 を 受 け る とす る.こ の と き,第1回 の 可 能 な結 果 に つ い て 平 均 す る と,(hT/m)1/2よ り小 さ い 不 確 定 さ で, 第2回 の 測 定 結 果 を 予 測 す る こ とは で き な い.Caves[3]はvon Neumannの 測 定 モ デ ル に 対 し て,こ のSQLが 成 立 して い る こ と を 示 し,SQLの 妥 当 性 に 関 す る 発 見 法 的 証 明 を 与 え た.彼 の 論 点 は,測 定 装 置 が も つ 不 完 全 な 分 解 能 σ とい う概 念 に あ る.し か しな が ら,測 定 の 分 解 能 に 関 す る 彼 の 定 義 は 曖 昧 で あ り,結 果 的 に,前 述 の 仮 定(P)を お い た こ と に相 当 す る.こ の 仮 定 はvon Neumannの 測 定 モ デ ル で は 満 た さ れ て い る が,一 般 的 な 正 当 化 は 与 え られ て い な い. SQLの 定 式 化 の 改 良 に よ って,自 由 質 点 を 収 縮 状 態 に す る 測 定 とい うア イ デ ィ ア が 直 ち にSQLを 打 ち破 る とい うわ け に は い か な くな っ た.と は い って も,Caves の 発 見 法 的 証 明 を 免 れ る可 能 性 は 残 され て い る.仮 定(P)が 含 ま れ て い る か ら で あ る.に もか か わ らず,こ の 仮 定 を 免 れ る よ うな 測 定 の 実 現 可能 な モ デ ル を 構 成 す る こ とは,難 しい 問 題 に 思 わ れ た.そ こ で,Yuen[39]は,1986年 の 国 際 会 議 で 物 理 的 に 実 現 可 能 な 測 定 を 数 学 的 に 特 徴 づ け る とい う問 題 を 提 案 し た.次 節 で 解 説 す る よ う に,こ の 問 題 は1984年 に発 表 さ れ た 文 献[12]に よ っ て 既 に 解 決 し て い た の で あ る. 7 測 定 公 理 の 一 般 化 測 定 公 理 で 述 べ ら れ て い る 測 定 は,極 め て 限 定 さ れ て い て,次 の 問 題 点 が あ る.(1)連 続 ス ペ ク トル を も つ 物 理 量 に 公 理 を 一 意 的 に 拡 張 す る こ とが で き な い [12,14].(2)離 散 的 物 理 量 の 測 定 で も,公 理 を 満 た さ な い 測 定 が 存 在 す る(光 子 数 計 測 等).(3)測 定 値 が 被 測 定 系 の 物 理 量 の 値 とは 限 ら な い 測 定 が 存 在 す る(近 似 測 定 等).し た が っ て,こ れ ら の 場 合 を 含 む 物 理 的 に 可 能 な も っ と も 一 般 的 な 測 定 を 特 徴 付 け る公 理 に 拡 張 す る必 要 が あ る. Hilbert空 間H上 の 跡 族 作 用 素 の 空 間TC(H)上 の 線 形 変 換Tは,任 意 の 有 限 列A1,B1,…,An,Bn∈TC(G)に 対 して,次 の 条 件 を み た す と き 完 全 正 写 像 と呼 ば れ る.
(7.4)
縮小 的完 全正写 像 は,オ ペ レー シ ョン と呼 ばれ る.数 直線 の ボ レル集 合体B(R) で定 義 され,強 作用 素位 相 で 可算加 法 的な オペ レー シ ョン値の測 度Iで(7.5)
を み た す も の を イ ン ス トル メ ン トと い う.こ の 定 義 は文 献[12]で 導 入 され た.(イ ン ス トル メ ン ト とい う用 語 自体 は,Davies-Lewis[5]で 最 初 に 導 入 さ れ た.そ こ で は,完 全 正 値 性 の 代 わ りに 正 値 性 だ け が 要 求 さ れ た.)観 測 公 理 の 一 般 化 の 問 題 は,次 の 公 理 に よ っ て 解 決 さ れ た[11,12].公 理5B・(一 般 測 定 公 理)各 測 定 に は イ ン ス トル メ ン トが 対 応 し,状 態 ρ に お い て イ ン ス トル メ ン トIを も つ 測 定 を 行 え ば,測 定 値xの 確 率 分 布 は
(7.6)
で あ り,x∈ Δ が 生 起 す る とい う条 件 の も と で,測 定 直 後 の 状 態 ρ{x∈Δ}は(7.7)
で 与 え られ る. この 公 理 の整 合 性 を 示 す た め に,測 定 の 一般 的 な 数 学 モ デル を導 入 す る.Hilbert 空 間H(で 記 述 さ れ る系)に 対 す る測 定 過 程 と は,Hilbert空 間K,Kの 状 態 ベ ク トル ζ,π◎K上 の ユ ニ タ リ作 用 素U,K上 の 自己 共 役 作 用 素Mか ら な る4 つ 組(K,ζ,U,M)の こ と で あ る.Kは 測 定 装 置 の プ ロ ー ブ 系 の 状 態 空 間 を 表 し, ζ は プ ロー ブ 系 の 初 期 状 態,Uは 対 象 と プ ロ ー ブ の 相 互 作 用 に よ る 時 間 発 展,M は メー タ物 理 量 を 表 す.測 定 過 程(K,ζ,U,M)は,(7.8)
に よ っ て,イ ン ス トル メ ン トIを 定 義 す る.こ こ で,TrKはK上 の 部 分 跡 で あ る.こ の とき,イ ン ス トル メ ン トIは 測 定 過 程(K,ζ,U,M)で 実 現 可 能 で あ る と い う.こ の と き,次 の 定 理 が 得 ら れ る[11,12]. 定 理.(イ ン ス トル メ ン トの 表 現 定 理)任 意 の イ ン ス トル メ ン トIは,あ る 測 定 過 程(K,ζ,U,M)で 実 現 可 能 で あ る. B(R)上 の 正 作 用 素 値 測 度Π でΠ(R)＝1を み た す もの を 確 率 作 用 素 値 測 度(probability operator-valued measure, POVM)と 呼 ぶ.Iを イ ン ス トル メ ン トと
す る.I(Δ)の 共 役 変 換I(Δ)*は 有 界 作 用 素 の 空 間Γ(H)上 の超 弱 連 続 な 完 全 正
写 像 で あ り,各 Δ に 対 して,
(7.9)
とす る と,POVMΠ が 定 ま る.こ れ をIのPOVMと 呼 ぶ.逆 に,任 意 のPOVM
は あ る イ ン ス トル メ ン トのPOVMに な っ て い る.公 理5Bに,(7.9)の 関 係 を 代 入 す る と,次 の 定 理 が 得 られ る. 定 理.(一 般 化 統 計 公 式)各 測 定 に はPOVMが 対 応 し,状 態 ρに お い てPOVM Π を もつ 測 定 を す れ ば,測 定 値xの 確 率 分 布 は
(7.10)
で 与え ら れ る.対 応 す るPOVMが 物 理 量Aの ス ペ ク トル 測 度 で あ る 測 定 を 物 理 量Aの 測 定 と呼 ぶ.一 般 化 統 計 公 式 に,Π ＝EAと い う付 帯 条 件 を 付 け れ ば,公 理A2が 導 か れ る.Aを 離 散 的 物 理 量 とす る.任 意 の 跡 族 作 川 素 ρ に 対 し て,
(7.11)
と お く と,イ ン ス トル メ ン トIAが 定 義 さ れ る.こ れ を,物 理 量Aの 射 影 測 定 の イ ン ス トル メ ン トと呼 ぶ.こ の とき,IAのPOVMはEAで あ り,公 理5Bに I＝IAと い う付 帯 条 件 を つ け れ ば,公 理5Aが 導 か れ る. イ ン ス トル メ ン トに基 づ く測 定 理 論 は[11,12,14,13,15,17,20,21]な どで 展 開 さ れ て い る. 8 測 定 誤 差 と 擾 乱 Iをmbert空 間Hで 記 述 さ れ る 系Sに 対 す る イ ン ス トル メ ン ト と し, (K,ζ,U,M)を そ の 測 定 過 程 とす る.A,Bを 系Sの 物 理 量 とす る.状 態 ρ に お い て,イ ン ス トル メ ン トIで 物 理 量Aを 測 定 す る と きの,(平 方 根 平 均2乗) 誤 差 ε(A)と 物 理 量Bの(平 方 根 平 均2乗)擾 乱 η(B)が 次 の よ うに 定 義 さ れ る. ま ず,誤 差 作 用 素 と擾 乱 作 用 素 を(8.12)
と定 義 す る.平 均 誤 差 と平 均 擾 乱 は,(8.13)
と定 義 さ れ,誤 差ε(A)と 擾 乱 η(B)は,(8.14)
と定 義 され る.こ れ は,イ ン ス トル メ ン トだ け に 依 存 し,測 定 過 程 に よ らな い. 以 下,誤 差 と擾 乱 の 関 係 式(8.15)
をHeisenbergの 不 等 式 と 呼 ぶ.9 von Neumannの 測 定 モ デ ル と不 確 定 性 原 理 プ ロ ー ブ の 初 期 状 態 を ζ とす る と,von Neumamの 位 置 測 定 の モ デ ル は,測 定 過 程(L2(R),ζ,e-ixpy/h,y)に 対 応 し,イ ン ス トル メ ン トは
(9.16)
で 与 え られ る.こ の モ デ ル の 誤 差 作 用 素 と擾 乱 作 用 素 は,N(x)＝y(t),D(px)＝ -py(t)と な る の で ,測 定 の時刻 の プロー ブの 位置 と運動 量の標 準偏 差 を σ(y)及 び σ(py)のと す る と,Kennardの 不 等 式(4.9)か ら,(9.17)
が え ら る.従 っ て,von Neumamの 測 定 モ デ ル は,SQLを 満 た す だ け で な く, Heisenbergの 不 等 式(8.15)も 満 た して い る[25]. 10 収 縮 状 態 測 定 の モ デ ル Yuen[38]の 提 案 した 収 縮 状 態 測 定 は 次 の モ デ ル で 実 現 で き,実 際 にSQLが 打 破 さ れ る こ とが 示 さ れ た[16,18,19,22].測 定 対 象,プ ロー ブ,相 互 作 用 の 時 間 な ど,相 互 作 用 の 形 以 外 はvon Neumannモ デ ル と共 通 と し,相 互 作 用 は 次 の 形 で 与 え ら れ る とす る.(10.18)
この収 縮状 態測 定の モデ ル は,測 定 過程 に 対 応 す る.こ の と き イ ン ス トル メ ン トは,(10.19)
で 与 え ら れ る.こ の モ デ ル の 誤 差 作 川 素 と 擾 乱 作 川 素 は,N(x)＝0,D(px)＝ A -p y(t)-px(t)と な る.し た が っ て,(10.20)
と な る.よ っ て,こ の モ デ ル は,SQLを 満 た さ な い だ け で な く,Heisenbergの 不 等 式(4.8)も 満 た さ な い[25].11 普 遍 的 不 確 定 性 原 理 そ れ で は,任 意 の 測 定 で 成 立 す る 誤 差 と擾 乱 の 関 係 は ど の よ うな も の で あ ろ う か.次 の 定 理 が 一 般 的 に 成 立 す る[28,26,29]. 定 理.(普 遍 的 不 確 定 性 原 理)任 意 の イ ン ス トル メ ン トに 対 して,
(11.21)
が 成 立 す る.こ こで,〈 … 〉は 入 力 状 態 に お け る期 待 値 を 表 す.さ らに,平 均 誤 差 と平 均 擾 乱 が 対 象 の 状 態 に よ らな け れ ば,Heisenbergの 不 等 式 が 成 立 す る. 上 の 定 理 か ら,Heisenbergの 不 等 式 が 破 ら れ る次 の 二 つ の 典 型 的 な ケ ー ス が あ り,そ れ ぞ れ の ケ ー ス で 全 く新 しい トレー ドオ フ の 関 係 が 成 り立 つ. 1.η(B)＝0と な る 場 合,Aの 測 定 精 度 とBの 標 準 偏 差 の 間 に 次 の 関 係 が 成 り立 つ.(11.22)
2.ε(A)＝0と な る 場 合,Bの 擾 乱 とAの 標 準 偏 差 の 間 に次 の 関 係 が 成 り立 つ.(11.23)
前 者 を 無 擾 乱 測 定,後 者 を 無 雑 音 測 定 と呼 ぶ.収 縮 状 態 測 定 の モ デ ル(10.18) は,無 雑 音 測 定 の 例 で あ り,重 力 波 検 出 の 量 子 限 界 を 打 破 す る測 定 の 可 能 性 を 明 か に した. 12 Wigner-Araki-Yanaseの 定 理 の 定 量 化 1950年 代 か ら1960年 代 初 頭 に か け て,Wigner,荒 木,柳 瀬 に よ っ て,加 法 的 保 存 量 と非 可 換 な 物 理 量 の 測 定 に 測 定 装 置 の サ イ ズ に 依 存 す る 制 約 が あ る こ とが 明 ら か に さ れ[36,1,37],こ の 主 張 はWigner-Araki-Yanase (WAY)の 定 理 と呼 ば れ て い る.こ の 定 理 で 述 べ られ て い る保 存 則 の も とで の 測 定 精 度 の 限 界 に つ い て,無 擾 乱 測 定 に 関 す る不 確 定 性 関 係(11.22)か ら,一 つ の 定 量 的 表 現 が 得 られ る[23,27]. 定 理.(WAY定 理 の 定 量 化 公 式)測 定 過 程(K,ζ,U,M)に 対 して,対 象 の ヒ ル ベ ル ト空 間H上 の 物 理 量L1とK上 の 物 理 量L2が[U,L1＋L2]＝0か つ [M,L2]＝0を み た す な ら ば,対 象 の 物 理 量Aに 対 す る 測 定 誤 差 に 関 して,(12.24)
が 成 り立 つ. 式(12.24)か ら 明 ら か な よ う に,不 可 避 な 誤 差 は 装 置 系 が 持 つ 保 存 量 の 分 散 に 反 比 例 す る.精 度 の 高 い 現 実 の 装 置 は 巨 視 的 な サ イ ズ を持 ち,大 き な 保 存 量 を 貯 え て い る の で,こ の 限 界 を 免 れ て い る と考 え られ る.一 方,最 子 計 算 素 子 に よ る 集 積 回路 の 構 成 に お い て は,要 素 的 計 算 素 子 が 巨視 的 で な い 単 体 と して 高 い 精 度 で 機 能 す る か は 興 味 の あ る 問 題 で あ る 13 量 子 計 算 実 現 に 関 す る量 子 限 界 1994年 に お け るShor[33]の 量 子 ア ル ゴ リ ズ ム の発 見 以 来,量 子 計 算 機 が 物 理 的 に 実 現 可 能 か ど うか を 巡 っ て,活 発 な 研 究 が 進 め られ て い る.実 現 可 能 性 の 問 題 の 主 要 部 分 は,環 境 や 制 御 系 との 相 互 作 用 に 由 来 す る デ コー ヒー レ ン ス と呼 ば れ る雑 音 の 問 題 で あ る.前 述 のWigner-Araki-Yanaseの 定 理 か ら,量 子 状 態 制 御 一 般 に お い て,制 御 系 か ら の デ コ ー ヒー レ ン ス が 不 可避 で あ ろ う と考 え られ る理 由 と して,自 然 界 が も つ 保 存 法 則 が 考 え られ る. 現 在,量 子 計 算 素 子を 実 現 す る た め の プ ロ ジ ェ ク トの 背 景 に あ る パ ラ ダ イ ム は 以下 の よ うに 要 約 す る こ とが で き る[10]. (1)ス ピ ン1/2系 の ス ピ ン成 分 で1量 子 ビ ッ トを 表 現. (2)1量 子 ビ ッ トの 回 転 ゲ ー トと2量 子 ビ ッ トのCNOTを 物 理 相 互 作 用 で 実 現. (3)実 現 の 目標 精 度 は 誤 り確 率10-5-10-6. ス ピ ン 系 の上 の 任 意 の 回 転 や,CNOTは ス ピ ン を 保 存 しな い ユ ニ タ リ変 換 な の で,角 運 動 量 を 保 存 す る一 般 の 物 理 的 相 互 作 用 で 実 現 す る た め に は,WAY定 理 と 同 等 の 誤 差 が 生 じる と い う こ とが この パ ラ ダ イ ム か ら帰 結 され る[24].た だ し,量 子 ゲ ー トが 必 ず し も測 定 装 置 と同 じ役 割 を 果 た す と は 限 らな い し,SWAP ゲ ー トの よ う に 角 運 動 量 を 保 存 す る ゲ ー ト も存 在 す る の で,WAY定 理 を 定 量 化 した 不 等 式 か ら た だ ち に そ の よ う な 誤 り確 率 が 計 算 で き る とは 限 らな い が,い く つ か の ゲ ー トに つ い て,う まい 評 価 法 が 見 つ か って い る. 例 え ば,Hadamardゲ ー トは ス ピ ンの 方 向 を90度 変 換 す る ゲ ー トな の で,角 運 動 量 を 保 存 す る相 互 作 用 だ け で ア ダ マ ー ル ・ゲ ー トを 近 似 す る と,そ の 近 似 ゲ ー トと他 の ス ピ ン を 保 存 す る ゲ ー ト,例 え ば,ス ワ ップ ・ゲ ー トを 使 っ て,角 運 動 量(と りわ け,x成 分)を 保 存 す る 相 互 作 川 だ け で,σzを 近 似 測 定 す る 回 路 を 構 成 す る こ とが で き る.こ の 回 路 は,WAY定 理 の 定 量 化 公 式 の 仮 定 を み た す の で,不 等 式(12.24)が 得 られ る.こ の 測 定 誤 差 ε(σz)とHadamardゲ ー トの 誤 り確 率Peは,ε(σz)＝4Peの 関 係 を 満 た す.[A,L1]＝[σz,σx]＝2iσyお よ び
σ(L1)＝ σ(σx)≦1よ り,最 大 誤 り 確 率 は
(13.25)
を 満 た す[27].た だ し,L2＝Lxは 制 御 系 の 角 運 動 量 の 記 成 分(h＝2)を 表 す. 電 磁 場 を 制 御 系 とす る 場 合,制 御 系 の 状 態 は レー ザ ー 発 振 ・器か ら出 た コ ヒー レ ン ト光 で,ス ピ ン と の 双 極 子 相 互 作 用 で ス ピ ン 系 を 制 御 す る と考 え られ る の で, 円 偏 光 の 光 が 運 ぶ 角 運 動 量 とス ピ ンの 合 成 角 運 動 量 を 保 存 す る.そ こで,制 御 光 を 円 偏 光 を もつ 平 均 光 子 数 〈N〉の コ ヒー レ ン ト光 とす る と,と な り,次 の 不 等 式 が 得 られ る[27].(13.26)
同 様 の 評 価 が,CNOTゲ ー ト,Fredkinゲ ー ト,Toffoliゲ ー ト,NOTゲ ー トに つ
い て も成 り立 つ[24,7]. 14 量 子 集 合 論 1963年 に コ ー エ ン に よ っ て,連 続 体 仮 説 がZFC集 合 論 か ら 独立 な 命 題 で あ る こ とが 証 明 さ れ た.1966年 に ス コ ッ ト と ソ ロベ イ は,強 制 法 と呼 ば れ る コー エ ン の 証 明 法 を 集 合 論 の プ ー ル 代 数 値 モ デ ル に よ って 再 構 成 して,非 常 に 扱 い や す い 理 論 に書 き換 え た.1981年 に 竹 内 外 史[34]は,こ の ブ ー ル 代 数 値 モ デ ル の 構 成 法 を 量子 論理 に一 般 化 して,量 子 集 合 論 を 導 入 し た.以 下 で は,こ の 構 成 法 を 任 意 の完 備 オ ー ソ モ ジ ュ ラ ー 束Qに 拡 張 した モ デ ルV(Q)に つ い て 解 説 す る.こ れ は,2が 完 備 プ ー ル 代 数 の 場 合 に は,ス コ ッ トと ソ ロベ イ の プ ー ル 代 数 値 モ デ ル に 一 致 し,Qが量 子 論 理 の 場 合 に は,竹 内 外 史 の量 子 集 合 論 に 一 致 す る.ま た, Q＝2(＝{0,1})の 場 合 は,集 合 論 の 通 常 の2値 論 理 に よ る 解 釈 に 帰 着 す る. Qを 完 備 オ ー ソ モ ジ ュ ラ ー 束 と す る.Qを 真 理 値 の 体 系 とす る と き,⊥ は 否 定 の 真 理 値,∧ は 連言 の 真 理 値,Vは 選言 の 真 理 値 を 表 す.一 般 に,条 件 文 の 真 理 値 を 表 す 演 算 → は,多 義 的 で あ る が,本 稿 で は,a→b＝a⊥∨(α∧b)に よ っ て 定 義 す る. 集 合 論 のQ値 モ デ ル(Q値 集 合 論)V(Q)は,そ の 部 分 類Vα(Q)に 関 す る 次 の 超 限 帰 納 法 で 定 義 され る.(α は 順 序 数 を 表 わ し,Onは 順 序 数 の 全 体 を 表 す.) (i)(ii) (iii)極限 順 序 数 α に 対 して, V(Q)の 元 をQ値 論 理 に お け る集 合(Q値 集 合)と い う.こ の 定 義 か ら,Q値 集 合uはQ値 集 合 か ら な る集 合D(u)上 で 定 義 さ れ たQに 値 を もつ 関 数 で あ り,
u(x)は 近 似 的 に(性 質 の い いuに つ い て は)x∈uの 真 理 値 を 表 す.Q値 集 合 u,vに 対 して,原 子 命 題u＝vとu∈vの 真 理 値 が 次 の よ う に 定 め られ る.
(i)
(ii)
集 合 論 の 論 理 式 φは 原 了論 理 式 と論 理 記 号￢,∧,∨,→,(∀x∈y),(∃x∈y)(∀x), (∃x)か ら構 成 さ れ る.特 に,量 化 記 号 と して(∀x∈y)お よ び(∃x∈y)の 形 の も の だ け を 含 む 論 理 式 を 有 界 論 理 式 と呼 ぶ.集 合 論 の 命題 φの 真 理 値 は 原 子 命 題 の 真 理 値 と次 の 規 則 に よ っ て 定 め られ る. に よ っ て 定 ま る. 2値 論 理 に も とづ く通 常 の 集 合 の 普 遍 類 をVと す る と,各a∈Vに 対 応 す るQ値 集 合aが 存 在 す る.実 際aはD(a)＝{x￨x∈a}か つx∈aな ら ばa(x)＝1と
な る も の と して 定 ま る.す る と,通 常 の 集 合a,b間 の 関 係 はQ値 集 合a,bの 間 の 関 係 と同 型 で あ る.つ ま り,a∈b,α∈b,a＝b,a≠bは そ れ ぞ れ[a∈b]＝1, [a∈b]＝0,[a＝b]＝1,[a＝b]＝0と 同 等 で あ る. こ う して で き る9値 集 合 論 で どん な 命 題 が 成 立 して い る か を 研 究 す る こ と は, 基 本 的 重 要 性 を も つ.2が 完 備 ブ ー ル 代 数Bの 場 合 は,ZFCの 定 理 か らV(B)で 真 な 命 題 へ の 次 の 移 行 原 理 が 成 り立 つ:論 理 式 φ(x1,…,xn)がZFC集 合 論 で 証 明 可 能 な ら,任 意 のu1,…,un∈V(B)に 対 して,[φ(u1,…,un)]＝1が 成 り立つ. Qが 分 配 的 で な い 場 合 に は,上 の 移 行 原 理 は成 立 しな い.た と え ば,等 号の 推 移 律,代 入 法 則 な どの 最 も基 本 的 な 性 質 で さ え一 般 に 成 立 しな い.し か し,命 題 間 の 同 時 決 定可 能 性 の 概 念 を 持 ち 込 む こ とに よ り,Q値 集 合 論 が 実 は 極 め て 豊 か な 構 造 を も っ て い る こ と が わ か る.Qの 部 分 集 合 で そ の 任 意 の2元 が 互 い に 交 換 可 能 で あ る もの を可 換 系 とい う.Q値 集 合u1,…,unに 対 して,こ れ らを 構 成 す る た め に用 い たQの 元 の 集 合 をL(u1,…,un)と す る.Qの 元pでL(u1,…,un)の す べ て の 元 と可 換 で,p∧L(u1,…,un)が 可 換 系 に な る 最 大 のpを∨(u1,…,un)で 表 す. す る と,一 般 の完 備 オ ー ソ モ ジ ュラ ー 束9に 対 して,次 の 移 行 原 理 が 成 立 す る:有 界 論 理 式 φ(x1,…,xn)がZFC集 合 論 で 証 明 可 能 な ら,任 意 のu1,…,un∈V(Q) に対 し て,[φ(x1,…,xn)]≧∨(u1,…,un)が 成 り 立つ[30,31]. V(Q)の 自然 数 の 全 体 はwに 対 応 し,有 理 数 の全 体 はQに 対 応 す る.V(Q)の 実 数 の全 体RQは,V(Q)で 定 義 さ れ る有 理 数 の デ デ キ ン ト切 断 の 全 体 と して 定 義 さ れ る.す る と,[R⊆RQ]＝1と な る.
Qが 状 態 空 間Hを もつ 量 子 力 学 系Sの 量 子 論 理(射 影 作 川 素 か ら な る 束)の と
き,[u∈RQ]＝1と な るuに 対 して,Eλ ＝[u≦ λ]は 射 影 作 用 素 の 族 と して 単
位 の 分 解 に な り,uは 白 己 共 役 作 川 素u＝ ∫RλdEλ と一 対 一 に 対 応 す る.よ っ て,
この 関 係 に よ りV(Q)の 実 数 と 最子 力 学 系Sの 物 理 量 が 一 対 一 に 対 応 す る.つ ま り,量 子 物 理 量 と は量 子 集 合 論 に お け る実 数 の こ と で あ り,「物 理量Aの 値 は λ以 下 で あ る 」 とい う観 測 命 題 の 真 理 値 は 量子 集 合 論 の 命 題A≦ λの 真 理 値[A≦ λ] の こ とで あ る.こ の こ とか ら,von Neumannの 公 理1と 公 理2を 量子 集 合 論 と い う よ り上 位 の 理 論 に 還 元 す る こ とが で き る.し た が っ て,量 子 集 合 論 に よ っ て 統 一的 に 量 子 力 学 の 解 釈 を 拡 張 す る こ と が で き,量 子 力 学 に お け る整 合 的 な 実 在 像 を 記 述 す る の に 重 要 な 役 割 を 果 た す こ とが 期 待 で き る.
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