変 位 変位とは 物体中のある点が変形後に 別の点に異動したときの位置の変化で あり ベクトル量である 変位には 物体の変形の他に剛体運動 剛体変位 が含まれている 剛体変位 P(x, y, z) 平行移動と回転 P! (x + u, y + v, z + w) Q(x + d x, y + dy,

変 位

変位とは，物体中のある点が変形後に 別の点に異動したときの位置の変化で あり，ベクトル量である． 変位には，物体の変形の他に剛体運動 （剛体変位）が含まれている． 剛体変位： 平行移動と回転 P(x, y, z) _P!_{(x + u, y + v, z + w) 点 P の変位： (u, v, w)} Q(x + dx, y + dy, z + dz) Q!(x + dx + u + du, y + dy + v + dv, z + dz + w + dw) 点 Q の変位：(u + du, v + dv, w + dw) u + du = u + ∂u ∂x dx + ∂u ∂y dy + ∂u ∂z dz v + dv = v + ∂v ∂x dx + ∂v ∂y dy + ∂v ∂z dz w + dw = w + ∂wdx + ∂wdy + ∂wdz P，Qのように近接する２点間 の伸び，回転から固体の変形 を論じることができる． ひずみ成分

ひずみ（垂直ひずみ）

真直棒の引っ張り圧縮の場合

!

x

x

x + !x

元の長さ

!

x

!

x + u(x)

x + !x + u(x) + !u(x)

変位 変形後の長さ

!

x

!

!

x

x

x

x + u(x)

x + !x + u(x) + !u(x)

x + !x

元の長さ 変形後の長さ

ε(

x) =

"

x

!

_{− "x}

"

x

=

!

"

x + "u(x)

"

− "x

"

x

=

"

u(x)

"

x

垂直ひずみ ひずみ （変位の導関数）

ε

=

du

dx

ひずみ（垂直ひずみ）

B A C D D! B! C! A! 変形前 変形後 B   x + dxy z   → B"   x + dx + u + (∂u/∂x)dx_{y + v + (∂v/∂x)dx} z + w + (∂w/∂x)dx   dsx = !" 1 + ∂u ∂x #₂ + " ∂v ∂x #₂ + " ∂w ∂x #₂ dx ε_x = dsx − dx dx = !" 1 + ∂u ∂x #₂ + " ∂v ∂x #₂ + " ∂w ∂x #₂ − 1 ≈ ∂u ∂x （微小変形のとき）

ひずみ（垂直ひずみ）

B A C D D! B! C! A! 変形前 変形後 垂直ひずみ ε_x = ∂u ∂x ε_y = ∂v ∂y ε_z = ∂w ∂z

ひずみ（工学剪断ひずみ）

剪断ひずみ（工学剪断ひずみ） ねじり試験によって，剪断応力と関係づけられる． θ₁ ≈ tan θ₁ = ! v + ∂v ∂x dx " − v dx = ∂v ∂x θ₂ ≈ tan θ₂ = ! u + ∂u ∂y dy " − u dy = ∂u ∂y γ_xy = θ₁ + θ₂ = ∂u ∂y + ∂v ∂x dx dy

ひずみ（回転）

z 軸まわりの回転角の平均 ω_z = 1 2 ! ∂v ∂x − ∂u ∂v " x 軸まわり，y 軸まわりの回転角の平均も同様に求められ，結局，次のようにな る． （変形に関与しない剛体回転分） ω_x = 1 2 ! ∂w ∂y − ∂v ∂z " ω_y = 1 2 ! ∂u ∂z − ∂w ∂x " ω_z = 1 2 ! ∂v ∂x − ∂u ∂y "

変位の増分 (du, dv, dw)

du = ∂u ∂x dx + ∂u ∂y dy + ∂u ∂z dz = ∂u ∂x dx + ! 1 2 " ∂u ∂y − ∂v ∂x # + 1₂ " ∂u ∂y + ∂v ∂x #$ dy + ! 1₂ " ∂u ∂z − ∂w ∂x # + 1₂ " ∂u ∂z + ∂w ∂x #$ dz = εxdx + " −ωz + 1₂γxy # dy + " ω_y + 1 2γzx # dz      du dv dw      =    ε_x γ_xy/2 γ_zx/2 γ_xy/2 ε_y γ_yz/2 γ_zx/2 γ_yz/2 ε_z         dx dy dz      +    0 _−ωz ω_y ω_z 0 −ω_x −ωy ωx 0         dx dy dz      dv，dw についても同様に求められ，次のようになる． ひずみテンソル 回転テンソル （２階のテンソルの座標変換則を満足する．）

ひずみテンソルとひずみ成分

ひずみテンソル ひずみ成分    ε_x γ_xy γ_zx γ_xy ε_y γ_yz γ_zx γ_yz ε_z    ε_{i j} = 1 2(ui, j + u j,i) =    ε_x γ_xy/2 γ_zx/2 γ_xy/2 ε_y γ_yz/2 γ_zx/2 γ_yz/2 ε_z    =      ∂u ∂x 1 2 ' ∂u ∂y + ∂v ∂x ( 1 2 ' ∂u ∂z + ∂w ∂x ( 1 2 ' ∂v ∂x + ∂u ∂y ( ∂v ∂y 1 2 ' ∂v ∂z + ∂w ∂y ( 1 2 ' ∂w ∂x + ∂u ∂z ( 1 2 ' ∂w ∂y + ∂v ∂z ( ∂w ∂z      ≡    ε_xx ε_xy ε_xz ε_yx ε_yy ε_yz ε_zx ε_zy ε_zz    =    ε_xx ε_yx ε_zx ε_xy ε_yy ε_zy ε_xz ε_yz ε_zz    対称，２階のテンソル テンソルではない

体積ひずみ

B A C D D! B! C! A! 変形前 変形後 変形が小さいとき，変形後の体積は V ! _{≈ (1 + εx}) dx × (1 + ε_y) dy × (1 + ε_z) dz = (1 + εx + εy + εz + εxεy + εyεz + εzεx + εxεyεz) dxdydz V = dxdydz 変形前の体積は 体積ひずみは，２次以上の微小項を省略すると e = V! _V− V = εx + εy + εz

偏差ひずみ

垂直ひずみの各成分から，平均垂直ひずみを引いたものを偏差ひずみと呼 ぶ．平均垂直ひずみは体積ひずみの３分の１である． ¯ε = 1₃(ε_x + ε_y + ε_z) = 1 3e    ε_x γ_xy γ_zx γ_xy ε_y γ_yz γ_zx γ_yz ε_z    =    ε_x − 1₃e γ_xy γ_zx γ_xy ε_y − 1₃e γ_yz γ_zx γ_yz ε_z − 1₃e    + 1₃    e 0 0 0 e 0 0 0 e    偏差ひずみ 平均垂直ひずみ 偏差ひずみは，ひずみ成分のうち体積変化を除いたものとなっている．塑 性変形は体積変化なしで生じるので，塑性変形においては偏差ひずみが重 要な役割をする．

変位とひずみのまとめ

•

変位．変形と剛体変位（平行移動と回転）

•

垂直ひずみ

•

工学剪断ひずみ

•

回転

•

変位増分とひずみテンソル，回転テンソル

•

ひずみテンソルとひずみ成分の関係

•

体積ひずみ

•

偏差ひずみ

応力‒ひずみ関係式

真直棒の引張り・圧縮

σ_y = σ_z = τ_xy = τ_yz = τ_zx = 0

σ

_x

= Eε

_x

x 材料の性質は，方向によらない． 変形は小さい． 引っ張り（   ）のときにはy方向とz方向には縮む．すなわちσ_x > 0 ε_y != 0, ε_z != 0 Eをヤング率（縦弾性係数）と呼ぶ．

σ

_x

σ

_x は ε_y, ε_z ε_x とは符号が逆で， に比例する．すなわち，ε_x ε_y = −νε_x, ε_z = −νε_x 変形前後で，真直棒は真っ直ぐであり，剪断ひずみ成分はすべて0．  をポアソン比という．ν

x (A) (B) 次の図(B)のように真直棒の側面をローラー支持（x 方向には自由に変形 できるが y 方向と z 方向には変形できないように拘束）して，図(A)と 同じ応力で引っ張る場合，図の(A)の場合と比べて，x方向のひずみはど うなるか？応力とひずみの関係（ひずみの比例定数）はどうなっている か?

σ

_x

σ

_x x

σ

_x

σ

_x

σ

_x

= Eε

_x

σ

_x

= Eε

_x

？

G は E と に関係づけられる．単純剪断の状 態から考察すると，次の関係が得られる．

剪断応力と工学剪断ひずみの関係

A A C δ C! D D! l γ τ τ τ τ 工学剪断ひずみ： 剪断応力： γ γ ≈ tan γ = CC " AC = δ l τ 剪断応力と工学剪断ひずみの関係 τ = Gγ Gを横弾性係数（または剛性率，剪断弾性係 数）と呼ぶ． ν 2G = E 1 + ν

Hookeの法則（構成式）

ε_x = σx E − ν σ_y E − ν σ_z E = 1 + ν E σx − ν E (σx + σy + σz) ε_y = σy E − ν σ_x E − ν σ_z E = 1 + ν E σy − ν E (σx + σy + σz) ε_z = σz E − ν σ_x E − ν σ_y E = 1 + ν E σz − ν E (σx + σy + σz) γ_xy = τxy G = 2(1 + ν) E τxy γ_yz = τyz G = 2(1 + ν) E τyz γ_zx = τzx G = 2(1 + ν) E τzx

Hookeの法則（構成式）

マトリックスの形で書くと次のようになる． この式を次のように簡潔に書く． {ε} = [C] {σ } ただし，  ：ひずみベクトル，  ：応力ベクトル，[C]：ひずみ・応力マト リックスである． {ε} {σ }































ε

x

ε

_y

ε

z

γ

_xy

γ

_yz

γ

zx































=

1

E

















1

_{−ν −ν}

0

0

0

−ν

1

−ν

0

0

0

−ν −ν

1

0

0

0

0

0

0

2(1 + ν)

0

0

0

0

0

0

2(1 + ν)

0

0

0

0

0

0

2(1 + ν)















































σ

x

σ

_y

σ

z

τ

_xy

τ

_yz

τ

zx































Hookeの法則（構成式）

応力について解くと，次式が得られる． {σ } = [D] {ε} 簡潔に書くと， [D]は応力・ひずみマトリックスという．                σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_yz τ_zx                = _{(1+ν)(1−2ν)}E         1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂                        ε_x ε_y ε_z γ_xy γ_yz γ_zx               

Hookeの法則（構成式）

応力とひずみの個々の関係を具体的に書くと，次のようになる． σ_x = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! (1 − ν)ε_x + νε_y + νε_z" σ_y = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! νε_x + (1 − ν)ε_y + νε_z" σ_z = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! νε_x + νε_y + (1 − ν)ε_z" τ_xy = E 2(1 + ν)γxy τ_yz = E 2(1 + ν)γyz τ_yz = E 2(1 + ν)γyz

熱ひずみを伴う場合のHookeの法則

応力はひずみの弾性部分に比例するから                σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_yz τ_zx                = _{(1+ν)(1−2ν)}E         1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂                        ε_x − αT ε_y − αT ε_z − αT γ_xy γ_yz γ_zx                = _{(1+ν)(1−2ν)}E         1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂ 0 0 0 0 0 0 1−2ν₂                        ε_x ε_y ε_z γ_xy γ_yz γ_zx                − _1−2ναE                T T T 0 0 0               

Hookeの法則と応力テンソル・ひずみテンソル

ひずみをテンソル量で表す． ε_x = 1 + ν E σx − ν E (σx + σy + σz) ε_y = 1 + ν E σy − ν E (σx + σy + σz) ε_z = 1 + ν E σz − ν E (σx + σy + σz) ε_xy = 1 2γxy = 1 + ν E σxy ε_yz = 1 2γyz = 1 + ν E σyz ε_zx = 1 2γzx = 1 + ν E σzx 添字記号で書くと， ε_{i j} = 1 + ν E σi j − ν E δi jσkk

ε_{i j} = 1 + ν E σi j − ν E δi jσkk ε_mm = 1 + ν E σmm − ν E δmmσkk = 1 + ν E σmm − 3 ν E σkk = 1 + ν_E σ_kk − 3ν E σkk = 1 − 2ν E σkk = εkk σ_kk = E 1 − 2ν εkk ε_{i j} = 1 + ν E σi j − ν 1 − 2ν δi jεkk この式で，i=j=mと置くと， ひずみテンソルを応力テンソルで表した式 よって， この式をもとの式に代入して整理すると この式を について解くと，次の応力・ひずみ関係式が得られる． σ_{i j} = νE (1 − 2ν)(1 + ν)δi jεkk + E 1 + ν εi j をラメ (Lamé) の定数という． λ = _{(1−2ν)(1+ν)}νE , µ = G = _2(1+ν)E

x

σ

_x （例） ひずみ・応力関係式で _{であるから，}τ_xy = τ_yz = τ_zx = 0 y方向とz方向の垂直ひずみが 0 であるから， γ_xy = γ_yz = γ_zx = 0 これらより，σ_y = σ_z = ν 1 − ν σx これらの値を ε_x = σx E − ν σ_y E − ν σ_z E よって， となる． に代入すると ε_{x =} (1 + ν)(1 − 2ν) E(1 − ν) σx ε_y = σy E − ν σ_x E − ν σ_z E = 0, εz = σ_z E − ν σ_x E − ν σ_y E = 0 E(1 − ν) (1 + ν)(1 − 2ν) ≥ E ここで，_{0 ≤ ν < 0.5} のとき， することで堅くなっていることが分かる． であるから，側面を拘束 σ_x = E(1 − ν) (1 + ν)(1 − 2ν)εx

平面ひずみ

面外方向には一様断面で，荷重は平面内のみで面外方向には一様， 変形が 平面内のみで発生し， 面外の変形が無視できる場合． σ_x = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! (1 − ν)ε_x + νε_y + νε_z" σ_y = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! νε_x + (1 − ν)ε_y + νε_z" σ_z = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! νε_x + νε_y + (1 − ν)ε_z" τ_xy = E 2(1 + ν)γxy, τyz = E 2(1 + ν)γyz, τyz = E 2(1 + ν)γyz ３次元問題の応力・ひずみ関係式は とすると ε_z = γ_yz = γ_zx = 0 σ_x = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! (1 − ν)ε_x + νε_y" σ_y = E (1 + ν)(1 − 2ν) ! νε_x + (1 − ν)ε_y" E ３次元の応力・ひずみ関係 式と同じ形．   は０でないことに注意！σ_z

平面応力

面外荷重がなく，面内荷重しか作用していない薄板のような場合は，平面 応力状態として問題を処理できる． ３次元問題の応力・ひずみ関係式で ３次元の応力・ひずみ関係 式と係数が異なる． σ_z = τ_yz = τ_zx = 0 とすると ε_z = −ν 1 − ν ! ε_x + ε_y" この関係をもとの３次元問題の応力・ひずみ関係式に代入すると， σ_x = E (1 + ν)(1 − ν)(εx + νεy) σ_y = E (1 + ν)(1 − ν)(νεx + εy) τ_xy = E 2(1 + ν)γxy 平面応力状態では面外ひずみが発生する．

平面応力（続き）

σ_x = E (1 + ν)(1 − ν)(εx + νεy) σ_y = E (1 + ν)(1 − ν)(νεx + εy) τ_xy = E 2(1 + ν)γxy ¯ν = ν 1 + ν , ¯E = (1 − ¯ν2)E 平面応力状態の応力・ひずみ関係式: ここで，次のように新しいポアソン比とヤング率を定義する． これらを用いると，次のように平面応力状態の応力・ひずみ関係式が平面 ひずみ状態の応力・ひずみ関係式と同じ形で表される． σ_x = ¯E (1 + ¯ν)(1 − 2¯ν) ! (1 − ¯ν)ε_x + ¯νε_y" σ_y = ¯E (1 + ¯ν)(1 − 2¯ν) ! ¯νεx + (1 − ¯ν)εy" = ¯E 平面ひずみ用の 解析プログラム がそのまま使え る！

体積弾性率

気体や流体の静水圧のような量として，弾性体においては平均応力を考え ることができる．平均応力は，次のように定義される． ¯σ = 1₃(σ_x + σ_y + σ_z) 平均応力は体積ひずみに比例し，比例定数を体積弾性率という．体積ひず みは        であることを思いだし，３次元の応力・ひずみ関係 式の垂直応力に関する３式を辺々加えると次式が得られる． e = εx + εy + εz σ_x + σ_y + σ_z = E 1 − 2ν (εx + εy + εz) ¯σ = E 3(1 − 2ν)e よって， K = E 3(1 − 2ν) を体積弾性率という． 等方線形弾性体の材料定数は２個であることが分かる．

応力‒ひずみ関係式のまとめ

•

真直棒の引っ張り・圧縮における応力とひずみの関

係，ヤング率（縦弾性係数），ポアソン比

•

工学剪断ひずみと剪断応力の関係，剪断弾性係数，ヤ

ング率・ポアソン比と剪断弾性係数の関係

•

Hookeの法則（構成式）

•

平面ひずみ

•

平面応力

•

体積弾性率