1
研 究 論 文】 UDC ：691，
32 日本建築 学 会 構造系 論 文報 告 集 第 347 号・
昭和 60 年1月 コン
ク
リ
ー
ト
強度
に
関
す る
確率破 壊
モ
デ
ル
と そ
の
特 徴
．
正 会員 正 会 員 正 会 員小
谷
山
阪
川
田
義
恭
和
夫
＊雄
＊ ＊夫
＊ ＊ ＊ §1．
ま え がき筆 者らは， 先に セ メ ン ト系 複 合 材 料の破 壊過程 を安 定 し た微小ク ラック の発 生
・
累 積 過 程と不安定な ク ラック の 発生・
進展過 程と に大別し，
これ らの 過 程 をそ れ ぞ れ2
状態 1段 階マル コ フ確 率 過 程モデル とA ．
M ．Hasofer
の提 案し た定 常 確 率 過 程モ デル1）に よっ て近似し た確 率 破 壊モ デル （以下，Model −
1と略記す る）を提 案し た2）。
ま た，一
連の実験によっ て そ の提 案モデル の妥 当性を確 め た3）。
しか し，
既 提 案モ デル では， 幾 何学的に非均 質 なコ ン ク リー
トの場 合には その非均質性に応じて， また 曲げ破 壊や圧 縮 破 壊などの破 壊形 式に 応じて， 本 来 材 料 定 数 とみ なされて い るパ ラ メー
タ （後で示すβ〉の値 を 変 化させ なけれ ば ならない という欠点 が あっ た。 そのた め， 本報で は， 上記の安 定し た 微 小 ク ラッ ク の発 生・
累 積 過 程 を， さ らに初 期ク ラッ クの発 生に至るまでの過 程 と微 小ク ラッ ク の累 積 過程とに分類し，
その欠 点 を 除去 し た よ り合 理 的な確 率 破 壊モデル を提案す る と と もに， その特徴につ い て検 討し た。 §2．
確 率 破 壊モデル既報Z〕 では， セ メ ン ト系 複 合 材 料の強 度の確 率 統 計 性 質 を
，
図一1
（a）に示 す 結 合モ デルを用いて表し， 理 論 式の誘 導 を 行っ た。
また，
この確 率破壊モ デル （Model
−
1）に よ る理 論 値 と実験 値 との比較の際，
安 定した微 小ク ラック の発 生・
累 積の 過程が容 易に識 別で きる場 合 に は， 不 安 定ク ラ ッ ク の発 生・
進展開 始 応 力に至るまで の破 壊 過 程は， 少な く と も初期 ク ラック の発 生ま で の過 程と安 定し た微 小ク ラ ック の累積過程の3
状 態2段 階マ ル コ フ確 率過程の問 題と して取 扱う必 要のあること を指 摘した3）。
本 報で は ， こ の点 を 考 慮し て，
図一
1 （b
）に 示す よ う な結合モデル を用い て既 提 案の確 率 破 壊モデル の 改 善 を試み る。 2．
1 安 定し た微 小ク ラッ クの発生・
累積 過 程に関 す る基 礎 式 コ ンク リー
トの破 壊を多 段 階マ ルコ フ確率過 程論に基 づい て定式 化す る た めに は，
通常試 験 体が単 位 時 間 当た りに状 態i
か ら状 態i
＋1
へ 変化する 遷移確 率 （μt，
1 ． 、 （t）〉を，μ、，i．i（t）
＝
M・
L
、・
σ f’…・
………・
……・
…・
・
一 ・
（1） で定義し て，・、ω
一
explイ
・一 （t
）d
・1
・・（t
）・
一 ・
…
（・）研ω
イ 〔
・1−
1，
i（・｝・
exp［
．
fti
・・．
，・・（・）一
・。・，漁］
睇 ）〕
…一… …・
・
（・） ただし， U，（t）；
1，
U
，（O
）＝0
， i； 2，
3，
…，
n，
n十1 を解く必 要がある4） 。 こ こに，P
‘（t
）：時 刻t
におい て状 態i
に ある確 率，
m ：試 験体の 体 積，
L‘：状 態i
に お け る試 験 体の内 部 構 造に関 連す る値4） ， β：材 料 定 数，
σ ：公 称 応 力。
い ま，
載荷速 度 （の を一
定，
す な わち 時 刻t
にお け る公 称 応 力 （σ（t））が σ（t）＝
δ・
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4） で表され るものと して，
3 状態2
段 階マ ル コフ確 率 過 程 問題 を考え る と，
応 力 σ の下で試 験体が状 態1 （未 破 壊 ） お よび状tw
2 （初 期ク ラッ クの発 生 開 始 点 ｝にある確 率 （P〔σ）お よびPs
（σ）｝は，
式 （1）〜
（4） よ り，
そ れ ぞ れ次の よ うに求ま る。 … ）一 ・・p
｛
譯
i
鉾
詑 ・｝
…・
………・
・
……
（・）6
舎
寓 名古 屋 大 学 教 授・
工博 ＃ 三重 大 学 教 授・
工博 牌 ゆ 名 古屋 大 学 助 手 （昭 和 59 年 4 月 11日原 稿 受理 日．
昭 和 59年8月7日 改 訂原 稿 受 理日，
討論 期 限 昭 和 60 年 4 月 末日｝【
「
lO卩
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‘
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ゆ
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ラ
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」
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ヒ
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」
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”
paga口
L
、
「
1畢
5 ＾vc「
／
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・
＝
t／
’
t’
5．
S畢
et／
A
・
e・
−
U／‘
し…
d
6
〔a） 3状態 2段 階 破壊過程 （b） 4状 態3段 階 破 壊過程 モデル （Model−
1） モ デ ル （Model−
2＞ 図一
1 コ ンク リー
トの結 合モデル一 18
一
Ps…
一
詐
。1［
exp瞬
i
紗
1i−
exp｛
群
雛
詑弓
］
………・
（・） し た がっ て，
この とき試 験体が状 態3 〔不 安 定ク ラック の発生開 始点 ）にある確率 （Pu
（a））は， P。（σ）＝
1−
IP
（σ）＋P試σ）ト・
一 ………・
…・
・
・
…
（7 ） の関係より，
次式で与え ら れ る。
P・
1
・・−
1一
誰
、， exp｛
喬
罕
1
紗
1｝
・
意
exp｛
盪罕
i
静
1｝
・
…・
・
（・） た だ し，
L1＝ ・L，の場 合は，Pu
…−
1−
｛
1＋諞
渉
診 1｝
exp｛
僻
缶
囲
・
・
…・
…・
…・
……
（8）’
とな る。
また， 不 安 定クラックの発 生 開 始 点の確 率 密 度 分 布 関 数 （q。（σ））は次の よ う に な る。 L，キL2の場合：q・（・・一
諤
与
髭
・［
exp鵬 静
・｝
−
ex帰
罕
i
鈴
・｝
］
……・
・
一 …
（・）L
，＝L2
の場合 ：q・…一
歯
（
m・
L
， σ）
2 σ一 expl譯
1
静
・｝
…
tS・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
《9）’
2．
2 不 安 定クラッ クの進 展 過 程 に関する基 礎 式 不 安 定ク ラックの発 生・
進 展過程で は，一
般に か な り 顕 著な試 験 体の剛 性 低下 が生じ る た め，
状 態 変 化に対す る遷 移 確 率を求める際に は， クラックの発 生・
進 展に伴 う応 力 再 分 配の影 響 を考 慮し な け れ ば な ら ない。 また，
こ の よ うな破 壊 過 程は，
多段 階 確 率過程 問題 とし て取 扱 う 必要が あるが，
状 態 数の設 定 並 びに累 積損傷過程を 遷 移 確 率に反 映させ る方 法において は未解 決の問 題が多く 残っ て いる。 さら に，
設 定 状 態 数が増 加す る と，
式の展 開は非 常に複 雑とな る。
そ の た め， こ こで は，
既報 t〕と 同 様に金 属 材 料のぜい性 破 壊の際に観察さ れ る試験 体の 累積 損 傷の メカニ ズム を一
種の定 常 確 率過程 問題 と して 取扱っ たA ．
M ．
Hasofer
の モ デル 1）を 準 用 し，
その結 果 を単一
マ ル コフ確 率 過 程 問 題に置 換す る方 法につ い て検 討す る。A ．
M 。
Hasofer
の モデル は，
コ ン ク リー
トの破 壊 過 程 を対 数 時 間軸に対して，
近 似 的に比 率 θ の定 常 ボアソ ン過 程 と仮 定 し たことと等 価1） で あ る た め，
単一
マ ル コ フ確 率 過 程 問 題に置 換し た場 合の試 験 体 全体と して の遷 移 確 率 （万（t））は形 式上次のよ うになる。
潭（君）＝
θ・
t−
i＝
mu’
Lu’
t一
匸・
…・
…………・
…・
（10
） こ こ に，
Mu ：不 安 定クラ ッ クの進 展 過 程 を 支 配する 領 域の大き さに関 連 する値，Lu
：不安定クラッ ク の進 展 過 程 段 階に お け る試 験体の 内部構造に関 連 する値，t
；時間。
し た がっ て，
時刻 tにおい て試 験 体が不 安 定ク ラッ ク発生 開始点にあ る確 率 （Pu（t
）〉は次式で表さ れ る。
坑 ω
一
expぼ
耽・
塀一
id ・｝
……一 …
（．
11） こ こ に， tu：不 安 定ク ラッ ク発生開 始 時 刻。 上 式 中の 時 間 項 （t
お よびtu
＞を 式 （4
）を用い て応 力に置 換 す ると，
次 式が得ら れ る。
腓 exp
｛
−
M ・’
…1
・9
（
主 tu）
｝
−
exp｛
一
凪・
1
・9（
σ σu）
｝
一
（
σ σ u）
−
m・・Lu…………・
・
一 ………
（12
） ま た， 応 力σの 下で試 験 体 が破 壊し ている確率 （D
‘（σ）） は，D
・（・）−
1−
（
σ σu）
−
MwLu・
……・
………・
・
………
（13
） と な る。
さら に， 試 験体の 強 度の 確 率 密 度 分 布 関 数 （qCl〔σ））は次 式で与え ら れ る。
qd
（σ）＝
Mu’
Lu ’
σ黌thLu・
σ一
tM陣Lu＋1，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
14
）既 報2 ）中の式 （1）
，
（2）並 びに上記の式 （13 ），
（14
） とか ら明らか な よ うに，A ．
M．
Hasofer が提案し た確率 破 壊モデル は，
遷移確 率を式 （10
）で表し た場 合の単一
マ ル コ フ確率過程モ デル と形 式上一
致す る。
ま た，A ．
M ．
Hasofer
の モ デル では，
欠 陥 指 標 （の2｝の 中に包 含さ れ て瞹眛な も の と なっ て いた強 度の確 率 統 計性 質に 及 ぼ す試験体の大き さの影 響を，
単一
マ ルコフ確率過程 問題の場合に は独立して扱 うこ とが できる。
な お ， 遷 移 確 率 を式 （10
）で表す ことの当 否につ い て は， 未 だ 理 論 的に は明 ら かに さ れてい ないが，
吉 本・
後 藤・
荻 野5 〕は，一
定 荷 重下にお け るモ ル タルは りの 破 壊 時 間に関する実 験 研 究によ り，
遷移確率は時間に独立で は な く時 間の経 過と ともに小さ く な るこ と を明ら かに して い る。
また，W
．
McCabe ・
R ．
M ．
Koerner・
A ．
E ．
LoadJr
．
6｝は，ク リー
プ載 荷 時の単 位 時 間当た り の アコ
ー
スティッ ク・
エ ミッ シ ョ ン （AE
＞の発生頻度と経 過 時 間との 関 係を両 対 数 グラ フ上で表 示し た場 合，AE
発 生 速 度は時 間の経 過 と ともに ほぼ直 線 的に減少し，
そ の直線の傾き は載 荷 応 力 レベ ル に か かわ らず約一LO
であ る と報 告し ており，
式 （10＞と定 量 的に も一
致す る。 これ は，
前 述の A，
M．
Hasofer
の確 率 破 壊モ デルが基 本 的には妥 当で あ ること を示 してい る。一
方，
単 調増 加 型 載 荷 時の試 験 体全 体 と し て の遷 移 確 率は， 式 （4
）お よ び式 （10）よ り，7Z
（t
）ocLu’
σ一
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
15
） と な り， 応 力 （σ）の増 大 と と もに遷 移確 率は低 下し，
在 来の確率破 壊モデル4 ）・
7L13 ）と 比 較して一
見 矛盾す る ように み え る
。
しか し，
こ れ は本 来 多 段 階 確 率 過 程と考え ら れ る不 安 定ク ラッ クの進 展 過 程 を， 見 掛け上， 2状 態 1段 階マ ル コ フ確 率 過 程 とみなした ためである。 すな わ ち，
遷 移 確 率は，
時 間 項を無 視す れ ば，一
般 的に応 力 依 存型核生成論の立 場か ら前掲の式 （1
）で表さ れ ること が多い た め， 上 式は， 寿（t） （Cu ’
σβ）σ一
1＝
L 缶σβ皿
1……・
…・
…・
……
（16） とな り， 通 常 考え られているβの範 囲 （＝
10−
30）では，
遷 移 確 率は応 力 （σ）の増 大と ともに増 大する ことにな る。
た だ し， 不 安 定ク ラッ ク の進 展 過 程は， 上述の よ う に多 段 階 確 率 過 程 と考え ら れるた め，
局 所 応 力の集 中 度 に関連す るパ ラメー
タL
もを，
不 安 定クラック の進 展 開 始 時点での値，
あ るい はこ の過程で の平 均 値と して定 義 す るの は厳 密で は な く，
こ の過 程の 内で 変 化 するパ ラ メー
タである もの とし て取扱う 必要が ある。
何 故な らば，
本 来 瓦 が定 数と み な せ る範 囲で状態数を設 定すべ き と ころ を，
疏 を変 数と して取 扱 うことに よっ て単 純 化し た ためである。A ．
M ，
Hasofer
の確率破壊モ デル は，
L急 σ一
β…
一
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−t…
（17） と 仮 定 し たこ と と 等 価で ある。 し た がっ て，A ．
M ．
Hasofer
の確 率 破 壊モ デル は，
ク ラッ クの進 展に対す る 拘 束が著し い場 合を対 象とし て い ると言え る。 2．
3 コ ン ク リー
ト強 度に関 する基 礎 式図
一1
（b
）に示し た結 合モデル の場 合， 2．
Z節で示し た不 安 定ク ラッ ク発 生 開 始 点の応 力 （σu ）は，
2．
1節で 示 した式 （9＞また は式 （9）’
の ような確 率 密 度 分 布 を もつ 確 率 変 数によって表 すこと ができ る。 すな わ ち，
今回提 案の確 率 破 壊モデル （以 下，
Model−
2と略記す る） は， 常 用のマ ル コ フ確 率 過 程モ デル と，
不 安 定ク ラ ック の進 展・
連 結 過 程の よ うな累 積 損 傷 過 程を対象と し た確 率 破 壊モデル とを結 合し た もの ということ がで き る。 し たがっ て， 応 力 σ の下で試 験 体が破 壊している確 率 （D
（σ）〉は，
全 確 率の定 理 よりL
，キL2
の場 合，
式 （9
）お よ び式 （13 ）か ら次の よ うに求ま る。・（・）一
御
・）’
・・
｛・。）dau
− 1−
、鳬
，［
exp｛
喬罕
i
紗
ll・
［
豐
1
｝
黜 ・一
一・
r
（
筝
争
＋1
．群
言
誉
・ 一）
1
・
嵩
［
ex帰
帶
・州
・
際 劉
黜 σ一
一・
・（
計
・ ・，識
診 ・）
］
・
…・
・
（18・ ・ ご・， ・（z，P）一
∬
exp ← t）・
・ t−
・dt
・第 1種不完一
20
一
全 ガンマ 関 数 。 また，
L，＝
L，の場 合に は，
式 （9）’
お よ び式 （13）より，
・（・・キ
［
1
＋謁
囲
expl毒罕
1
静
｝
一
｛
讐
｝
讐 σ一
一・
r
（
Mu・
Lu
祝・
ム β＋、 ＋2
・te
＋1）∂・ ” ＋ 且）
−
tt
（18）・
と な る。
強度の 確率 密度分布関 数 （q（σ））は，
式 （9） ま たは式 ）’
お よ び式 （14）より，
それ ぞ れ次の よ うに表 される。
L
，キL2
の場合 ：・（・）
一
∬
・・（・）幅 ）d
・。一 飢 ゼ 恥 一 ・ …
｛
五缶
1｛
黜
1
｝
騨・
厂（
1
許
＋1，
嵩
捗
評 1）
−
L
銑
、際
劉
紳・
・（
讐
＋1，
識
評 ・）
］
・
・
…・
・
（19）L
，；L
，の場 合 ：・…
一
砿｛
（β ＋1）bm
・
L
，｝
黔 ・一
・MwLu ＋ ］）・
F（
紺
u ＋ ・・
驫
・…）
一 ・
一
・・9・ ’ さ ら に，
平 均 強 度 侮 ）は，
式 （9
），
式 （14
＞お よび 式 （19 ）， 並 びに式 （9
）’
，
式 （14
）お よ び式 （19
）t よ り次の よ うに求め ら れ る。
L
，キL2
の場 合 ： ・一
∬
｛
∬
… 繊｝
・u（au）dau
−
’n”
’
Lur（
ββ＋＋2
1
）
［
［
豐
学
L
，L
，− Ll
｛
lt
｛
zgL
）f
l
合 場 の ム ＝ ム L．
u 皿 σ＝
7rlu’
Lu−
1ue
＋1）’1
“T］
…………・
……
（・・）r
（
2β十3
β＋1
）
｛
騁
1
｝
th
−
（・・）・
ま た，
強 度の分散 （V2
）は，
式 （9 ），
式 （14）お よ び 式 （20 ）， 並びに式 （9 ）’
， 式 （14＞お よ び式 （20 ）’
を 用いて次のよ うに表さ れ る。 L1キL2
の場 合 ： ・イ ｛
∬
・・
qal・）・・｝
幅 ）・碗一
i2一
際 碧
1
鬥
畿
舞
、・
差
Llr（
β ＋3
β＋1）
一
（
Mu・
Lu Mu・
Lu − 1
）
2r2（
多
1
詈
）
］
一
｛
際呈
f
｝
論・
［
認
．
津
，・
。、皇
1L！
（
謂
）
（
皿鵬 ガ餌・
L
Lu
猛一
1）
’r
・（
錯
）
］
・
（
Mu’
Lu mu’
Lu−
1）
‘ 祀≒
ア・
（m ・・
Ll・
L ・）如
＋1）δ｝前
・（
ββ＋＋2
1）
………一
一
（21 ＞ L，＝L
，の場 合・』
［
讐 門
畿
夢
，・（
2β＋4 β＋1
）
一
（
m ゼLu η ！．
ゼL並一
1）
2r ・（
群
）
］
・
………
（21）’ なお，
これ までに提案さ れて い る コ ン ク リー
ト強 度に 関す る確 率破 壊モ デル の う ち，
永 松 の モ デル 7）は Model−
2でL
，＝L
，かっLu ＝
。。 の場 合に相 当し，
ま た 三橋の モデルa ）はModel−
2を一
っ の断 面 要 素と仮 定し，
こ れ を直列に連結し た結 合モ デル （付 録一
1
参 照）でLI
キL，かつLu
＝ 。 。 と置い た場 合に相 当する。§
3．
確率破 壊モ デル の特徴 3
．
1 確 率 分 布 性 状 セメ ン トペー
ス トの引 張 破壊の よ う な比 較 的ぜい性 的 な破 壊 過 程を示す材 料の 強 度の 確 率 分 布は，Weibull
分 布に近い形 状を示すこと が 経験 的に知られ て い る。
横 堀 8〕は，
確 率 過 程 論の立場か ら ， 材 料の破 壊 過 程が単一
マ ルコ フ確 率 過 程，
す な わ ち， 完 全ぜい性 型とみな せ る場 合，
材 料強 度 の 確 率 分布が形 式 上Weibull
分 布に一
致 すること を 理論的に 明 ら か に し てい る。
しか し，
破 壊 過 程 が延 性的な金 属材 料で は， 強 度の 確 率 分 布 は， Weibull 分 布よ り も む し ろ対 数 正 規分布に近い形 状を 示 すこと が知ら れて いる。 コ ン ク リー
トの破 壊 過程は，
圧縮破 壊に限らず 多 少 と も漸 進 的であり，
かつ コ ンク リー
トの調合や載 荷 方 法な どに よっ て も相 違す る た め， 強度の確 率分布は， 上 記の Weibul1 分 布や対 数正規分布と も異なっ たものとな る。
こ こ で は， 今回提案の確 率破壊モデル （Model−2
）を用 い て，
コ ン ク リー
ト強 度の確 率 分 布 性 状に及ぼ す各 種 要 因の影響 を 検 討 す る。
図一2，
図一3
お よ び図一5
は，
強度の確 率分布形状に 及ぼ す各種パ ラ メー
タの 影響を，Weibul1
確率紙上に示 した もの である。
し たがっ て，
図 中の確率 分布曲線が線 形 となっ た場 合， 確 率 分 布は Weibul1 分 布に一
致 する 。 以 下，
それぞれにつ いて考 察 する。 （1） 破 壊 過 程の影 響 確 率 分 布 形 状に及ぼ す不 安 定ク ラッ ク の進 展 過 程に関 連す るパ ラ メー
タ（Lu
）の影響を示し た図一2
に よ れば，
Lu
の値が小さ く なっ て， 不 安 定クラッ ク の進 展 過 程が 断続 的と な る とと もに， 確 率 分 布 曲線は強 度の大 きい方 ヘ シフ ト し， かっ 高 強 度 領 域で の強 度の バ ラ ツキ も徐々 に増 大する。
ま た，
安 定し た微 小ク ラック の累 積 過 程を 無 視し たModel−1
の場 合には， 既 報 z）の よ うに，
低 強 度 領域にお ける確 率 分 布は勾 配が’
β＋1の ほ ぼ直線と な る が， 今回提 案のModel−
2の場 合に は，
確 率 分 布は，
低 強 度領域におい ても若 干の非 線 形 性 を示す。
図一3
は，Model
−
2適用時の強 度の確 率分布 形 状に及 ぼ す安定し た微 小ク ラックの累 積過 程に関連する パ ラ メー
タ （L
，〉の 影 響 を示 し たもの で ある。 こ の点にっ い て は，
すで に三橋4）が指 摘して い る ところであ る が，
一
般に LML ，の値が ユよりも 大きい場 合，
L，が小さ く 破 壊が延 性 的にな るに し た がっ て，
低 強 度 領 域の確 率 分 布 曲 線の傾き は徐々 に増 大し，
強 度の バ ラ ツキは減 少 す る が，
L2／L［の値が 1よりも小さい場合には，
L2
が 小 さ く な る ほど 確 率 分 布 曲 線は強 度の 大きい方ヘ シフ ト し， かつ確 率 分 布 曲線の傾き は高 強 度 領 域か ら徐々 に低 下 して強 度の バ ラ ツキが増 大す る。 な お，
L2 ／L，が 1よ り も小さい範 囲のL
，の効 果は，
前 述のLu
の効 果に類 似してい るが，Lu
の 方 が より高 強 度 領 域の確率分布形 状に影 響を 及 ぼ す。
とこ ろ で，
既 提 案の Model−
1の場合，
低 強 度領域に お け る確 率 分 布 曲 線の形 状 変 化は，
材料定 数 βの値 を変 化させ なけれ ば説 明で き な かっ た が， 今 ： 呈含
：士
呈￥
。当
：
門 ： 4■
暉 4■
9 5PO 5曾
1 5曾
2 5，
｝ 5■
‘ 5，
匠 5．
6 しNCSTREN6TH 】 N＝
m騒
mu．
BSTA＝
B，
LOADING昌
δ 図一2
コ ン クリー
ト強 度の確 率 分布性状に 及 ぼ す不安 定ク ラック の進 展 過 程に 関連す るパラ メー
タ 〔Lu｝の影 響 O．
『卩
O，
OO
鹽
一
IO
．
四■
O
噛
【1【
（
口 酢一
UZJl
〕
ZJO．
，
4．
7 4．
e 4▼
P 臥0 耳，
1 5．
； 5．
1 6．
‘ 5．
5 LN〔STRENG丁Hコ lam＝
Mu，
BETA」
B，
VOAD ：鵬昌
6 （a） L2／L■≧1．
0の場合 図一3
O．
囲
ロ
．
一
O．
ロ
O．
〒 O．
肘
じ O，
nI【
〔
O 曠一
凵 Z」
■
〕
Z 」 『マ
4■
6 4r9 5■
0 5，
匚 5。
2 5■
1 5，
4 5，
5 5．
6 L閥【STRENB了H｝ 凹冨
m冨
恥，
BETA昌
日，
LopmlNG＝
δ （b） L，IL1
≦1，
0の場 合 コ ンクリー
ト強 度の確 率 分 布 性 状に及ぼす安 定 した微 小ク ラックの 累積過程に関 連す るパ ラメー
タ 〔L，）の影 響回 提 案の Model
−
2を 用い ると，
確 率分布 曲 線の形状 変 化の現 象は，
安 定し た微 小クラック の累 積 過 程の相違と して合 理 的に説 明 することができる。 以 上の数 値 計 算 結 果か ら， 破 壊 過 程が完 全ぜい 性型と み なせない場 合には，
強度の確 率 分布は必 ずし もWei−
bull
分 布とは な らず， 破 壊過程が 延性的に な るに し た がっ て高強度領域に お ける バ ラ ツキが増 大し，
確 率分布 は対 数正規 分 布に近い形 状へ と変 化 する傾 向にあること が わ か る。 こ の こと は，
セ メ ン ト系 複 合 材 料のよ う な比 較 的 ぜい性的な材料と金 属 材 料の よ うな延 性 的な材 料に おい て実験 的に観 察 されて い る強 度の確 率 分 布 形 状の特 徴的な相違が，
今 回 提 案の確 率 破 壊モデル を用い て， 材 料の破壊過程の相違とし て合 理 的に説 明で き る こ とを示 して いる。 （2
） 試験 体 寸 法の影 響材料の強 度お よ び その バ ラ ツキ （主と して分 散 ）は，
一
般に試 験 体 寸 法が大 き くなる に し たが っ て減少す るこ と は古く か ら知ら れてお り，
すで に数 多くの実 験 的・
理 論 的 検 討が行わ れて い る9｝。
Weibull の最 小 値 確 率 論］°｝ によれ ば，
材 料 強 度の確 率 分 布は， Weibull 確率紙上で 直線と な り，
試 験 体 寸 法が大き くな ると強 度の小さい方 へ 平行移動し，
試験体 寸法が大き く な る と強 度の分 散は 減 少 する。 た だ し，
こ のと き変 動 係 数は不 変である。
し か し，
筆 者ら の実 験 結 果2Lll ｝，
あるいは図一
4に示 すS ．
Walker・
D ，L ．
Bloemi2
）の実 験か ら もわ か る よ うに，
コ ンクリー
ト強 度の変 動 係 数は一
般に試 験 体 寸 法が大き く な るに し た がっ て低 下 する。 い ま，Model−
2適 用 時の 強 度の確 率 分 布 形 状に及ぽす試 験 体の大き さに関 連する パ ラメー
タ （m および 7π。〉の影 響 を 示す と 図一5
の よ うにな る。 すな わち，
強 度の確 率 分 布は， 試 験 体 寸 法 が 大き くな る に し たがっ て，
強 度の小さい方へ 移 行し ， 高 強 度 領 域で の強 度の バラツキは徐々 に減少し て， ある寸 法 以上 にな る と，
見 掛 け上Weibull
分 布に一
致する傾 向を示す。
従っ て，
強 度の変 動 係 数は，
あ る試 験 体 寸 法 に達 するまでは，
試 験 体 寸 法 が 大 き くな る に し たがっ て 減 少す ることになり，
既 往の実 験 結 果 と も定 性 的に一
致 する。 な お，
こ れまで に提 案さ れ て い る多 段 階 確 率 過 程 モ デル の う ち，
三橋の提 案し た確 率 破 壊モ デル4｝ は， 図一5
と類 似し た傾 向を示す が，
本 提 案 確 率 破 壊モ デル の 方が試 験 体 寸 法の影 響を顕 著に受け る。 3．
2 コ ン ク リー
トの強 度 特 性に及ぼ す各 種 要 因の影 響 す でに述べ た よ うに，
コ ン ク リー
トの破 壊現象は本質 的に確 率 現 象で ある ため，
コ ン ク リー
ト強 度に及ぼす各 種要因の影 響 を統一
的に把 握 す るに は確 率 論 的な観点か らの検討が 必要であ る。
た と え ば， 強度の寸法効 果は確 率 論 的な立 場か ら の考 察によっ て はじめて説 明できる現 象で あり，
古く から Weibull の 最 小 値 確 率 論の適用が一
22
一
50 O O る ヨ （ N§
、
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of section （cm ）一
一
一一
一
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細
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a 凪flrcgatc．
bO mm図
一4
コ ンクリー
トの曲 げ強度お よ び そのバ ラツキの 寸法 効 果に関 する実 験 結 果12 ） O 雨 O 二 O・
OO
●
一
卩
O
・
硬巴
，目
9
門
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一
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0 （ 誤 6）
〉 り o Co巳fflc⊥gntDf v日rianon、
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、
、
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、 、
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7、
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L．
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一
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匚 5r2 5凾
1 5，
4 6，
5 L閥【STRE閧STHコ M−
m・
mu，
IETA＝
a，
1・
OADING＝
6 図一
5 コ ンク リー
ト強度の確率分布性状に及ぼす 試 験 体の 大き さに関連す るパ ラ メー
タ （m，
M 。）の影響 試み ら れて いる。
し か し，
在 来の理 論 解析の手 法で は，
これらの事 象の定 性 的な説 明は で き て も定量的に は十 分 な説 明ができ ない 。 これは，
主と してその よ う な破 壊事 象が材 料の破 壊 過 程に依 存する に もか かわ らず，
その こ と が考 慮さ れて いないた め と思 わ れる。
こ こで は， コ ン ク リー
ト強 度に及ぼす 試 験 体 寸 法の影 響， 曲 げ強 度に及 ぼ す載荷 方法の影 響およびコ ン ク リー
ト強 度に及 ぽ す載 荷 速度の 影 響 を，
§2．
で提 案 した不 安 定ク ラックの進 展 過 程を考 慮し た多段 階 確 率 過 程 論の立 場か ら検 討す る。
な お，
堀13〕，
永松「〕お よ び三橋4）ら は，
別に マ ル コフ 確率過 程 論の立 場か ら同 様の検 討 を行っ て いるが， 本 提 案確率破壊モ デル は，
コ ンク リー
ト強 度の寸 法 効 果に お い てその特 徴 を発 揮す る。
（1） コ ン クリー
トの強 度 特 性に及 ぼ す試 験体寸法の 影 響 材 料 強 度の寸 法 効 果に関す る説 明に は，
通 常 Weibull の最 小値確率論が用い ら れ， 強度お よ び そ の変動 係 数の 寸 法 効 果は，
そ れ ぞ れ次 式で与え ら れ てい る。
1
爿
薨
）
m・
・
…………・
一 ・
…………・
・
一
（22｝ CV＝
1・
・
………・
・
…・
・
…・
…・
∵…・
・
…
（23） CVeこ こに，
U
：平 均 強 度，
m ：試 験 体の体 積，
β：材 料 定 数，cy
：変 動 係 数， 添 字“
0”
：基 準とし た試 験 体の 値であるこ と を示す。上 式によ れ ば， 強 度 比の対 数
，ln
（万毎。），
と試験体の 体 積 比 の 対 数，
ln（m ／m 。），
との 関 係は，
傾 き一
1／（β＋1）をもつ 直 線で表 さ れ，ln
（i
／i
。）とln
（m ／m 。） との関 係は，
基 準と し た試 験 体の大き さ （m 。）に依 存 しない。
し か し，
コ ン ク リー
ト強 度の 寸 法 効 果は，一
般 に曲げ強 度の場 合よ り も圧縮強 度の場合の方が小さく，
いわ ゆ る破 壊 形 式に依 存 し1］） ， ま た基準と し た試 験 体の 大き さに も依 存する14〕。
したがっ て，
式 （22）の みで コ ン ク リー
ト強 度の寸 法 効果におい て観 察され る上 述の事 象を説 明す ること は不可能である。
い ま，
試 験体寸 法に関 連する パ ラメー
タ （m，
Mu ） 以外のパ ラメー
タは試 験 体 寸 法に独 立で あ るもの と仮 定 す る と，
既報zlのModel−1
お よび 今 回 提 案の Model−
2 に よ る強度お よびその 変動 係 数の寸 法 効 果は， そ れ ぞ れ 次の よ う に な る。
Model−
1；岳
一
畿
…
瓮
≡
｝
i
（
況 Mo）
’’”・
・
…・
…・
……・
一
（24・y
％CC
甑・
翫 1アr
（
多
辛
1
）
一1
y
町 麻 山一
・｝P
（
β＋2 β＋1）
％＝
（・ ・…−
1） ・r（
辮
）
1
・ 轟 瞬 ・・一
咽
蟹
）
・
・
・
…
（25
）Model−
2：L
，キL
、の 場合，
乱
一
畿
；
瓮
≡
｝
i
（
盟 Mo）
論一 ・
………・
……
・・6・ 伽・L
一1
呶
β＋3）
（
1一
λ一
嬲）
（・−
1） β＋1 祝 ・L諏 ・玩一
・）・・（
β＋2）
（
1一
湖
・一1
CV
β＋1cyb
＝
瞬 ・… 尸・（
β＋3
β＋1
）
（
1一
灘）
（・− 1
）一1
・ 轟 （・ 仙一
・）・・（
β＋2
β＋1
）
（
1一
澗
・……・
………・
…・
（27）L2
こ こ に
・
λ＝
τl
L
，＝L2
の場 合，乱
一窺
畿
；
瓮
≡
｝
i
（
k
）
坑
・
…・
・
…・
…・
…・
…
（28） （・ ・ 跼一
1ア・（
2β＋4 β＋1）
一
1cy
縞 （・ …一
・）尸（
2β＋3 β＋1
）
c
琉＝
■
瞬 ・・
− 1
尸・牒
ヂ
）
一
1 ・ … 孤・
現一
・）・・牒
尹
）
・
・
…
（29） 上 記の各 式か ら明ら か な ように，Model−
2に よる強 度の寸 法 効 果は，
Model−
1の そ れ と一
致す る が， 変動 係 数の寸 法 効 果は適 用モ デル によっ て相違す る。
ま た，
Model−1
お よびModel−
2の い ずれを 用い ても， 強 度の 寸 法 効 果に及ぼ す破 壊 過 程および基 準と した試 験 体の大 き さの影響 を考 慮する こ と が で き る。
在 来の提 案確率破 壊モ デル に は， 強 度の変 動 係 数は試 験 体 寸 法に依 存し な い とする ものが多いT ）・
15 卜 ］8 ）が，
前掲の図一
4に示し た よ うに，
強 度の変 動 係 数は，一
般に試 験 体 寸 法の 増大に し た がっ て減 少する傾 向 を 示 す。本 提 案 確 率 破 壊モ デル は， こ の よ うな現 象 も説 明が可 能であ る。な お，
不安定ク ラッ ク の進 展 過 程を支 配す る領 域の大き さに関連す るパ ラ メー
タ （M 。）は，
現 時 点で は定 量 化 すること が困 難で ある。 し た がっ て，
こ こ では， と り あ えず Mu＝
m と し て議 論を進め る ことにする＊。
i
） 破壊強 度 図一6
は， 破 壊 強 度の寸 法 効 果に及ぼす 基 準 試 験 体の 大き さに関 連するパ ラメー
タ （m 。）の影 響を示す。
な お，
図中に は単一
マル コ フ確 率 過 程モ デル適 用 時の結 果 も併 示 し てある。
図によ れば， 基 準 試 験 体の大きさ （m 。） が大き くな ると，
強 度の寸 法 効 果は単一
マ ル コ フ確 率 過 程モ デル の それ と一
致するが，
Mo が小さ く な る に し た がっ て試 験 体 体 積 比の小 さい範 囲における強 度の低 下 率 は単一
一
マ ル コフ確 率 過 程モデル を適 用し た場 合 よりも顕 著にな る。
ところで，．
ヒ述の m 。の 効 果は， 式 （24）， 式 （26
）お よび式（28 ）か ら明らかな よ うに，
不 安 定クラッ ク の進 展 過 程に 関 連す る パ ラメー
タ （Lu
）の効 果 と 同 様であ る た め，L
。の値が 大きく な っ て不 安 定ク ラ ッ ク の進 展 過 程が無視でき る よ う に な る と， 強 度の寸 法 効 果 は，
単一
マ ル コ フ確 率 過 程モ デル を適 用した場 合と同じ にな る。
図一
7は，Z．
Spetla・
V ．
Kadleceki9
〕に よる実 験結果とβ一20
と し た場合の単一
マル コ フ確 率 過 程モ デル お よび 本 提 案 確 率 破 壊モ デル による計算 結 果とを比 較し た もの であ る。
実験結果は試 験 体 体 積の小さい範 囲 で急 激な強 度 低下を 示して お り， 単一
マル コ フ確 率 過 程 モ デルに よっ ては説 明し難い破 壊 事 象 を， 今 回 提 案の確 率 破 壊モ デル によっ て， よ く説 明で き る こ と が わ か る。
ところで，
二橋らZZ） も， 多段 階 確 率 過 程モ デル を用い て，
コ ンクリー
ト強 度の寸 法 効 果が破 壊 過 程に依 存 すること を指 摘して い る が， 付録一
1
で も述べ て い る よ うに， 三 橋ら が提案し た確 率 破 壊モ デル に基づくコ ン ク リー
ト強 度に関して は，
精 度の よい近 似 解を求め ること が困 難で ある た め，
コ ン クリー
ト強 度の寸法 効果の 定 量 的評 価に ＊ ただし，
試 験 体の最 終 的な破 壊は，
特 定の破 壊面を 形成す ること が多いた め，
破 壊 面の形 成に関 連する不 安 定ク ラ ッ ク の 進 展 過程で，
その過程に関与する領域の大きさを 表す パラ メー
タ Mu は，
基 本 的に は試 験 体の体積を表すパラメー
タ m よ り も 小さい もの と考え ら れ る。
こ の点の解 明は今 後の課題であ る。
四
N西
．
口
℃．
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．
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403530 025H 朋 20E 聞 15 乢 V 田 50 合 場 の ー＝
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＝
0 η a 1E le l6 3e I5 ‘O VOしU鬥E 臼n丁10 （b） Mo；
Mvn＝
10の場合 N O，
0 0．
0 雪，
〇四
，
O OH←
α 匡 ＝ ト O ＝ 山匡
ト
の
O，
囗
15 20 2s 30 15 40 VOLU鬥E R卩TSO 〔c ） m 。＝
mts。
＝
100の場 合 図一
6コ ンク リ
ー
ト強 度の寸 法 効 果に及 ぼ す基 準試験 体の大き さ （m。，
mta｝の影 響 1．
O O．
9蹙
α 。b
O．
7
O．
6 9 23
45
6
m ’mo 図一
7 コ ンク リー
ト強 度の寸 法 効 果に関す る実験 結 果且9 〕と 計算結果と の 比較 おい ては問 題 を残し てい る。
ii
） 破 壊 強 度の変 動 係 数 図一
8〜
図一
10は， 強度の変動 係 数に関す る寸 法 効 果 と各 種 要 因との関 係 を示し た もの で あ る。
先に 述べ た よ うに，
こ れ までに提 案さ れ てい る確 率破 壊モ デル で は，
強 度の変 動 係 数は試 験 体 寸 法に依存し ない とす る ものが 多いが，
既 報2〕お よ び本 論で提 案し た確 率破壊モ デル を 適 用する と，
そ れ らの図に み られ る よ うに，
い ずれ も強 度の変 動 係 数に及ぼ す試 験体 寸法の影 響が説 明で き る。 す な わ ち，
強 度の変動係数は，
所 定の試験体 寸法に達 す るま では試 験体 寸 法 が 大 き く な るに し た がっ て低 下する が， 所 定 寸 法を超える と， 試験 体の 寸 法にか か わらず一
rv ロ ein 匡ロ
己； 詈 詈 匸口 IE 20 25 10 ］E 40 V口LUHE R口丁16 （a） Mo＝
mlp＝
＝
1の場合 N3
。 ：嵳
n 匡 o 乙き ： ： 口 6 10 1E 20 2e 1囗 IE 40 VOLU 鬥E RRTIO （b）Mo＝
m．≡
10の場合 ： 三 ロ ：差・
【 o 己； 署 ： tt 6 10 s6 20 2E 30 3s 4e VOLUHE HFTI6 （c ） M。
＝
m 吻＝
100の場 合 図一
8 コ ン ク リー
ト強 度の変 動 係 数の寸 法 効果 に 及 ぼ す 基準 試 験 体の大き さ （M 。，
m．
｝の影 響 （Model−
1適用 時〉 周 ロ 詈き
に o 乙； 署35
10 tfi 20 26 10 1s 40 VOLUhE R月 丁！0 （a ｝ Mo＝
Mu。
＝
1の場合開
ロロ
差。
鷹口
乙二 言 署口 5 田 1fi zo 16 コo 富fi lg VOLU 鬥E RnT 童5 （b｝ me
＝
Mk＝
IOの場合欄
qO．
O 罰．
ロ
マ「
自 O一
ト 匡 匹 》 O四
．
O 卩 65 10 1S ZO 15 10 1E 40 veLUHE RATIO （c ） Mo ＝ m 恥＝ IOOの場 合 図一
9 コ ンク リー
ト強 度の変 動 係 数の寸 法効 果に及ぼす基 準 試 験 体の大き さ （m 。，
mta ）の影 響 ｛Model−
2適 用 時 ）一 24 一
磐 三 。 ：
