偏心構造物のパルス応答解析 : 区間線形近似モード分離応答解析法(I)

1

論　 文

1

UDC ：624

．

042

．

7 ：539

．

37 日本建 築 学 会 構 造 系 論文報告集 第406 号

・

1989 年12月

偏

心

構 造 物

の パ

ル

ス

_{応 答}

_解析

区

間線形

近

似

モ

ー

ド

分

離

応

答解析

法

（

1

）

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員

山

河

谷

亜

田

村

明

稔

＊

廣

＊ ＊

勲

＊ ＊ ＊

洲

＊ ＊ ＊＊ 　

1．

序 　 論 　 筆者ら は

，

建築 構造学の研究を

，

耐震工学的な観点か ら

，

構造物の _{「崩 壊」}とい う現象を極限と して取り_扱う 極 限 耐 震 設計の必要 性を 提 唱 してきて お り

，

その_考え 方 の 基本， お よ び そ れ に基づ く研 究 成 果を幾つ かの 論 文】｝

−

4〕 にま と めて報告して い る

。

　 極限 耐 震 設 計と は

，

建 築 物が 地震 時に極 限 応 答 状 態に 至 る と想 定し

，

極 限 地 震 応 答 解 析 方 法によ り

，

最 大 応 答 変位

，

吸 収エ _ネルギ

ー

等を求め

，

建 築 物の耐 震 設 計の制 御 因 子と す るもの で ある

。

しかし

，

振 動 系の極 限応 答 状 態の想 定に より

，

その極 限 応 答 解 析 方 法1）

・

5〕_{が 違} っ て く るのは言う まで もな い

。

筆 者ら の提 唱し て き た極 限 地 震 応答 解 析法 は

，

有 限 共 振 原理 による応 答 解 析 法 （Finite

Resonance

　

Response

　Analysis　

Method ，

　

FRRA

と略 称 す る）6L7）

，

お よ びパ ル ス （速度

・

加 速 度パ ル ス〉応 答 解

析法 （Velocity／Acceleration　Pulse　Response　Analysis

Method ，

　

VPRA

_／APRA と略 称 する＞sL9 〕_{とい う二}

つ の 方 法であ る。 これら は

．

ラ ンダム な地 震 波入力を受けた 場 合

，

構 造 物がラ ンダムな応 答を生じ_， それに対し て_， cyclic な定 常 共 振 応 答 （平 均 的 な 応 答 ）， お よびmono

−

tonic な最 大 応 答 （偏 向性の ある応 答 ）と い う二 っ の極 限状 態に大 別と考え られ る

。

前 者は_， 振 動 系がランダム な地 震 動から

，

自 己 固 有 周 期にあっ た成 分の正 弦 波 を選 択し

，

定 常的に ある い は非 定 常 的に共 振する場 合の cyclic な 応答を求め る方法であり

，

後 者は_， 振 動 系がパ ルス的な 入力に よ り

，

monotonic な応 答を生 じ る場 合の 応答 性状を評 価す る方 法である

。

　

一

方

，

構 造 物は

，

重 量

，

剛 性あ るい は強 度な どの不 均 衡によ り， 地 震を受け る場合

，

ね じれ が 生ずる場 合が あ 　 ・ 神戸大 学　教授

・

工博 　＊ ＊ 神 戸 大 学

・

助教 授

・

工博 榊 零 神 戸 大 学 　 助手

・

工修 llt＊ _{神 戸 大} 学 　大学 院生

・

工修 　 　 〔1989年5月10日原 稿 受理

，

1989年9月13ロ 採用決定 ） り

，

耐 震 的に不 利に な る こ と は周 知の こ と である

。

その た め

，

従 来 より

，

多 くの研 究 者ら に よ り， 重 量， 剛 性あ るいは強 度な どの不 均 衡による偏 心 構 造 物の地 震 時の応 答性 状を明ら か に し ようとす る研 究Lω

触

2ω_{が行わ れ てき} た。 し か し な が ら

，

極 限 応 答 耐 震 設 計の立 場か ら み れば， これらの研 究に は

．

偏 心 構 造 物の弾 性 応 答 あるいは弾塑 性 応 答につい て の研 究が多く， 極 限 応 答 状 態においての 偏心構造 物の耐 震 応 答 性状や崩壊性状な ど につ いて は

，

研 究す る余 地 が また十 分 ある

。

特に

，

ね じ れ振動系に対 し て も

，

パル ス的な 地 震波を受けて

，

構 造 物が瞬 時に大 き なmonotonic な変位を生じ

，

「崩壊」状態に至る場 合 が あ り得る もの で

，

そ れ を ね じれ振動系の応 答 性 状に関 す る 研 究の課 題の

一

つ と すべ きで あ る と考えられる

。

　筆者ら は， 既 に有限 共 振 応答解 析 法 （FRRA ＞に基 づ き

_，

連 成 型偏心構 造 物の定常共振極限状態の応 答 性 状 を 明 ら かにす る 方法を 提 示 し てい る21LZZ ）

_。

_{ま た}

_，

_{筆 者ら} の_研究室では

，

既往の_研究に おい て

，

パ ル ス応 答 解 析 法 （

VPRA

と

APRA

＞を用い て

，

パ ル ス的な 地震入力を 受け た 場合の偏心構造物の_{耐 震 性 状}の解 明を試みた29）

_。

しか し な が ら

，

同 研 究に おい ては

，

特 別な仮 定により， ね じれ振動を表現する運 動 方 程 式を各 方 向ご と に完 全 独 立さ せており

，

ね じれ振 動 系 各 方 向振 動の連 成性と合成 性につ い て考 慮が払わ れ な かっ た。 本 論 文で は

，

よ り

一

般性を持つ _連成型の ね じれ振 動系を対 象とし

，

筆 者らの 提 唱 して き たパ ル ス応 答解 析法 （VPRA お よび

APRA

_＞ の基本に基づ き

，

文 献

20

）と

21

）で提 示して い る偏 心 構造物の_有限共振応答解析と

一

貫し た 「モ

ー

ド分 離 応 答 解 析法」の_考え 方 に よ り

，

パ ス ル的な 地震入力を受けた 場 合の連 成 型ね じ れ振 動系多方向 （

X ，Y

並進 方 向と θ 回転方 向

，Fig．

7

を参照〉の monoto 皿

ic

な 応 答 性 状 を 明らか に し

，

そ れ に対する解 析 方 法の提 示お よ び同 手 法 の検 討 を行お う と する もの である。 　

2．

パルス応答解 析の基 本 原 理 　2

−

1　パ ル ス応 答 解 析の 基本仮定2）

−

4 ）

・

8 ）

・

9 ）

一

₅₅

毳

、

k

　 f〔x 〕 　 　 　 丶 re5

し

Dnng

　

for

⊂

e 単

（

　

　

　

　

　

　

　

ε

匿

　 　 　

「

　　 　 　　 　

∈

xei

ヒ

et

ユ

σ

n

Fig

．

1　Single　Degree　of　Freedom 　System

　 　 　 X

Fig

、

2　Restoring　Force　Qf　SDOF

　パル ス 応答解析で は

，

動 的な挙動に_対して次の よ うな 仮定が設け ら れてい る。 　

1

） 系は

Fig．

1

に示す よ う な

一

自由度 振 動系である

。

　2 ） 系の弾性粘性減衰を無視す る。 　3） 系の応 答はFig

．

2の よ うなmonotonic _{な変 形と} 　 　 する

。

　

4＞ 入力と し て用い る地 震 波は

Fig．

3に示す よ う な 　　単

一

矩形パ ル ス波 （速 度 波ま た は_{加 速 度 波）}であ り

，

　　その_{継 続 時 間 を tp （1／2周 期}

T

，）と す る

。

　

5

）

地 震 動入力は

Fig．

4

に示 す よ う なス ペ _{ク トル特}

　　

性 を有す る （

T

ρ＝ 2tp）。 　2

−

2　パ ルス_{応答 解 析}の表 現

　

系は

，

な ん ら かの衝 撃

，

あるい は地 動 波の_継続中に

一

つ の ピ

ー

ク波の よ う な 入力 を受け て， nponotonic な応 答

一

Vp

一

ap

a ）　ln　Velecitv Tvpa b）　1n　Aecelerat

ユ

on TYpe

　 　 Rg

．

3　Retangu 止ar 　Impulsive　Excitation

　 　 ）

　 　 　 Tq　　　　　　　窪

Fig

．

4_Earthquake　GIQund　Motion　Spectlum

．

_{− 56 一}

で

，

「崩 壊 」 状 態に至っ た場 合を考え る

。

こ うい う場 合 におい て の 系の応 答は

，

Fig

．

3a），　

b

）に示す よ う なパ ル ス_的な 入 力に より

，

系に生 じる monotonic な応 答と して取り扱っ て よい。 筆 者ら は

，

こ うい う取り扱い方 を パ ルス_{応 答 解 析}3L8 ｝

・

9）と名 付ける

。

　

Fig．

1に示す ように

一

自 由度 振 動 系 （

SDOF

）にモ デ ル化し た構 造 物は

；

パ ル ス的な入力波 を 受け て振 動す る と考えられ た場 合，その振 動 を運 動 方 程 式で表 現す れば， 次 式のよ うに な る

。

　　　

m

・

歯＋

f

_（X｝

一一

m

・

淫_。

…・

・

・

・

・

・

・

…一 …・

・

_（1・） こ こ に

，

m ：構 造 物の質 量 　 　　ノ（

X

｝：構 造 物の復 元 力

　　　　

Xg

：地 震 動 加 速 度 　 　 　 　X ：構 造 物の

一

一

・

方 向 応 答 変 位 　 さ らに

，

式 （la）の両 側 を応 答 変 位

X

に関し て積 分 し_， 系のエ _ネル ギ

ー

のつ り合い を考え る

。

　　

　

∬

m …

dX

＋

∬

_∫嗣 X

− 一

か

・

x

，

・

dX

　 　　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　

一・

・

（1b ） 　パ ル ス _{応答 解 析} は

，

式 （lb）の_{積 分 式}をもとに

，

Fig．

3a

＞

，

　

b

）に示す よ う な 矩_形入_力パ ル ス_波の形 式

，

初 期条件お よ びパ ル ス終 了条 件3〕

・

9 ） に より

，

速 度パ ル ス 応 答 解 析と加 速 度 応 答 解 析に分 けて

，

次の _{よ う}に表 現 す る。 　速 度パ ルス応 答解析 　次の初期条 件とパ ル ス終 了条件

　

　

　

：

：

_乳

_慧

_髪

：

8

’

1

………・

……・

…・

_（1・・ よ り

，

式 （lb ）の_{両 辺}の _各項を積分す れば

，

　　　抄

オ・

一

静

潮 炸 ・

一・

一 ・

……

（ld ） と書け る。 こ こ に， 　Vp ：入 力 波の速 度 振 幅 　

X

． ：入 力パ ル ス終 了 時 構 造 物の

一

_{方 向 応 答 変 位} A．（・）

−

XXf

（X）

・

dX

・復 元 力・応 答 変 位・・囲まれ ・醺 　よっ て

，

式 （1d） を 整 理して

，

区 間 ［O

，

　

X

ρ］で

，

変 数 分 離 積 分すると

，

次の積 分 方 程 式が得 ら れ る

。

　　　

文’

一

・；

−

iAp

（・）

………・

・

………・

…・

・

…・

・

（

1

・〉

　

　

　

駕

｝

．

、

1

盞

．

ん、。、

一

_∬

_蜘

・

……

_（1・_〉 　加 速 度パ ル ス 応 答 解 析　次の初 期 条件とパル ス_{終 了 条} 件 　 　 　t

＝

0 ；X　

＝

o

，

 X

＝

o 　 　　 t

＝

tp；X

＝

Xp 　　　　　　

・

77・

7pr

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（19 ｝ 　 　 　t

ニ

tu；X

＝

Xu

．

　X

＝

0 よ り

．

式 （lb）の両 辺の各項 を積分 すれば

．

　　　

S

…

X2

＋

A

，（・ ）− m

・

・〆・

…・

一 ・

一 一

（lh） と書ける

Ω

こ こ に

，

Xu

：_構造物の

一

方向 最 大 応答変位 　α p ：入力 波の加 速 度 振幅

　

よっ て

，

式 （lb ＞を整理 し て

，

区 間［0

，

　

Xp

］で

，

変 数 分離積分すると_， 次の積 分 方 程 式が_得られ る

。

　　　

X

・

・

一

・ a_．

・

X

一

著

・

M

・）

・

一 …一 ・

・

………

（1・_）

　

　

　

ズ

、_砺

．

嗇

_{職 （}。

广

ズ

・嫉 　 　 　

■

，

卜

．

．

，

．

・

・

■

．

．

一

．

一

一

一

一

．

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

　（

1j

） 　2

−

3 パ ル ス応 答 解 析の _プロ セ ス 　パ ス ル応 答ス ペ クトル　こ こ で

，

入 力 波に よ るエ ネル ギ

ー

入 力は

，

　　

ENVp

・r・ap）

一

吉

蝿 … wX

……一

一

（・

k

） と書けば_， 式 （lf）と式 （1j ）の積分方程 式は_， ま と めて次の よ うに表 され る

。

　 　 　 Xp

dX

　　

f

。 　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　

；

tp

…・

・

（11 ＞ 　 　 　　 　

2

加 ［

E

。（v。or α，）

− AKX

）］ 　式 （1D は

，

最大 振幅 vKor 　ap）を有す る地 震 入 力 波 を受け る場合に

，

系が外 力と のエ ネル ギ

ー

のつ り合い に よ り

，

継 続 時 間 tpに わ たっ て

，

応 答 変 位 Xp だ け運動 し たこ と を意味す る。 つ まり

，

式 （11）は， パ ス ル的 な 入力波の継 続 時 間 tp

，

最 大 振 幅 Vp（or 　a_。）とそ れによ る系の応答 変 位 Xpの三者の関 係を与え る もの で あ る

。

この_{関 係}は

，

Fig

．

4の_{座 標 系}におい て

，

与えた積 分 上限

Xp

に対して

，

双曲線状に_表現で き る

。

筆 者らは_， 既に

_，

a 炉　Ve⊥oc

⊥

ヒy　sP

巳

ctra 　　　　　　b 〕　Acceler

己

ヒ

エ

on

　SpeCtra

Fig

．

5　Spectra　of　Pulse　Response　and 　Excitation

婦 遣 物 初 鯛 条 件 運 動 方 程 式 エネルギ

ー

釣 合より 分離変 數 積分方 程 式 応答 変位 Xp 飯定 応 答変 位x卩 　 　 の 再 設 定 速廣（or 加速 度 ）パルス 　 応答 スベク｝ル 凹o 入 力 スベク_トル に 　 腰 ず る か ？ 　 　 　 　げεs 嬲鰓 驫 ） 　 　　及 σ 　愚大応答変 位

Fig

．

6　Flow　Chart　of　Pulse　Response　Analysis　for　SDOF

この_{双曲線 状}の _頭or α_p）

−

tp曲 線 を 速 度 （ま た は 加 速度 ） パ ル ス応 答ス ペ クトル2）

・

3）と定 義 して い る

。

　パ ル ス応 答 解 析の応 答解 　積分 方程 式の_{式 （}ID に お い て は， 積 分 上 限の応 答変位

X

ρ

，

入力波の最 大 振 幅 vρ（or αρ）およ び継 続 時 間

t

。 が と もに未知数の変数で あ り， 式 （11 ）に よ り， 系の応答 解を決め る た め に は

，

次の プロ セ スが 考え られ る

。

　式 （ID で表 すパル ス応 答ス ペ ク トルは

，

2 倍の継 続 時 間

tp

を周期 Tpに_調整すれ ば_，　

Fig．5

_中の スペ ク トル の よ うに示さ れ る

。

な お， 入力スペ ク トル は

，一

般には 上へ の 凸状 とい う特 徴 を有す る

。

し た がっ て

，

選 択 極 大 応答原理3〕

・

E3）_に よ れば

，

　

Fig．5

に示す双 曲 線 状の パ ル ス 応答スペ _{ク トル曲線の集合に は}

_，

_入力ス ペク トル曲線に 接す る上 限ス ペ ク トル曲線が存在し

，

そ れに対 応する積 分上限の Xpが パ ル ス応 答 解 析の応 答解と し て_求め られ る

。

そ し て， 上 述の仮 定お よび原 理に基づ き，

X

ρ に よ り最 大 応 答 変 位 を決 めること がで きる

。

　速 度パ ル ス応 答解析の場合 　：_最大 応 答変位

＝

Xp 　加 速 度パ ル ス応 答 解析の場 合 ：最 大 応 答 変 位は， 　　 　

A

（

Xu

）＝ m

・

_α ρ

・

X

。

…・

…・

……・

…・

………・

…

_（

_lm

_） （パ ル ス入力終了後エ _ネルギ

ー

のつ り合い _）に よ り決ま るQ 　よっ て

，

パ ルス応答解析は

，

与え られ た 入力スペ ク ト ル に接す るパ ルス_{応 答}ス ペ ク トル曲線を 選出す るこ とに よ り， 最大応答 変位

XKor

　

Xu

＞を求め るこ

・

とであ り， そ の プロセスは

，Fig．

6

に示す よ う なフ ロ

ー

チャ

ー

トの手 順と な る。 　

3．

ね じれ 振 動 系 のパル ス応答性 状 　3

−1

ね じ れ振 動の表 現

　

ね じ れ 振 動に関す る基本仮定

　

本研 究で は

，

Fig

_．

7に 示す よ う に

，

重心 を 直 角 座 標系の_原点と し

，

剛性 主 軸 が

X −y

座標 軸と平 行 する

一

層 偏心構造物のねじ れ振 動の み を考慮 す る

。

な お_{， 偏}心搆造物につ い て は

，

以 下の仮 定を設 ける。 　 1） 建物 各部の _質量は

，

すべて剛 体の床 版に集 中す る

。

　

2 ） 床版の_変形を無 視 し

，

剛 体とみ な す

。

ま た， 床 版 　　は平面 内に の み動き得るもの とし

，

上 下 方 向の振 動

蛋

一

AAe

　 　 　、 e

芯

．

、 Y ユXTfixi

＼

_、

_鑑

_．

哩

づ

ギ

『

ノ ／

郵

幽

鑑

i

．

し

h　9 ユ

但

m

ピ

n し 　 　 　 C

門

　

：

　 een

匸

re 　

り

「

　

m邑

ε

S

　 　 　 CH 　

：

　

冒

e

：

／

しTe　of　r

日

巨

亠

s ヒance

Fig

．

7　Analytical　Model　for　Asymmetr 重c　Structures

一 57 一

　 　 を 無 視 す る

。

　 3） 柱，壁などの抵抗要素の軸 方 向の変 形 を 無 視する

。

　 4） 柱， 壁などの抵抗要 素の ね じ れ剛性 を無 視 する

。

　 5） 柱， 壁などの抵 抗要 素の 二軸 作 用を無 視する

。

　偏心構 造物の運 動 方程式　 建物の _{応 答 変 位}は

，

重 心に おけ る並 進 を

X

。

，Yc

で

，

ね じ れ の回 転 角 度を逆 時 計 回 りを 正と す る θ¢ で表す と す れ ば

，i

要 素の X

，

　Y 方 向 の_{変位 i＝t，} δ。t は式 （2 ）の ように そ れぞれ重 心の応 答 変位と ね じ れ回転 角で_表すこと がで き る

。

　 　 　δ厩＝

Xc− lyt

・

e

，

，

　　δgt

＝

Yc十

tXi・

θc

・

……・

…

（2 ） 　ま た

，

重心 ま わ りの運 動 方 程 式 を 考え ると

，

次 式の よ う に な る。 　 　 　 Nx

　　　

M ・

し

忌

、＋

幻

）＋Σゐ、（

X

。

，

の

；

O 　 　 　 li1 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

…………

（3 ） 　 　 　

t−

　 　 　 Ny 　 　 　M

’

（Yc十Vg＞十Σ

fy

‘（　y． ，　e．｝； O 　 　 　 t

＝

1 　 　 　 Nx 　　　　 　　　 　　　 　　　 　　Ny

　　　

1 ・

（

bc

＋

lj

。）

一

Σゐ‘（X。

，

θ，）ら、＋Σゐ、（｝r。．θ，）

lx

、！

＝

O 　 　 　 l

＝

】　　 　　　　 　　　 　　　 　　ii1 　式 （3 ＞変数の _{デ ィ}メ ンジ ョ ンを統

一

す る た め に

，

　 　 　

Z

。＝ ‘。

・

e

．

， Z

。＝ ∫。

・

eg

…・

………・

…・

・

（4a）

　 　 　佐

＝lx

‘／

io，

　ち

；

eyl

／

ie…

　

一一一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

（4b＞ 　 　 　 Nx 　 　 　

Fr

（

Xc，

　

Zc

_）

＝

_〉］

fxs

_（

Xc，

　

Zc

_） 　 　 　 ‘

＝

匸 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　

………・

…・

…・

（

4c

）

　　

Fv（Ye，　Zc）

一

　

sc

　

fy

、（yc，　ze） 　 　 　 ‘

一

1 　 　 　 Nt

　　　

理

X

。

，

γ。

，

　

Z

，）＝ Σ　

f

． ‘（

Y

。

，

Z

。）

塩

　 　 　 t

＝

1　 　　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　

’

　 　 　 N＃ 　　 　 　 　　 　 　

＝一

Σ五、（

x

，，

z

。）塩 　 　 　 i

＝

1 　 　 M

，

1 ：構 造 物の質量

，

回 転二次モ

ー

メ ン ト 　 　 　 　

i

。：構 造 物の回 転 半 径 　　 Mx

，

　Ny ：X

，

　Y 方 向 抵 抗 要 素の数 　　

fxt

，ん ：i部 材の X，　Y 方 向 抵 抗 力

Fx，

　

Fv

，　

Fr

：構 造 物の

X 、

　

Y ，

　

Z

方 向 抵 抗 力 歯。

，

Vg

，

2

，：X

，

　Y

，

　Z 方 向の地 動 加 速 度 　　 磁，lyt：i部 材の X，　Y 方 向 重心ま で の距離 とすれ ば

，

式 （3）は

，

次の よ うに な る

。

　　　

M

・

x

。＋Fx（x

。

，

　

z

。

）

＝一

〃

・

戈、

　　　

M

幽

yc

−

t

−

Fy（

　

Yc，　Zc）

＝−

M

冒

V9

　　　

・

…

　

（5 ）

　　　

M

・

Z

。十F」（Xc，｝「c，　Zc）

＝

・

− M ・

29

　また

，

偏心構 造 物の各 要 素が弾 性 領 域に あ る場合に は

，

上 述の運勤 方 程 式は次式のよ う なマ ト リッ ク ス の形 式で 表 現でき る。

ー

y 　 π 　 z e 　 ε 　 e 躍 　 ， 　 Z

K

κ K

一

　 ． 31

0

κ

．

蟹

　 　 K 　 　 恥 τ 　 　

．

Ko

＆ 　 　

」

ー

　 十

一

…

…

”

，

，

”

”

”

…

”

む 　 ゆ 　 ロ

一

X

”

y

”

Z じ 　 ご 　 ぐ

X

セ

2

　

M

一

₅₈

一

た だ し

，

er

，

　ey ：建 物の

X

_，　

Y

_{方 向}の_偏心率 　 　

Kr

，　

Ky，

　

K

． ：建 物の X

，

　y

，

　Z 方 向の剛 性 　　 　 　 　　e。 ：偏心 お よ び弾 力半 径に関する係数 　 3

−

2　偏心構造物パ ル ス_{応 答}の基 本 特 性

　

パルス応答前 提 条 件

　

偏 心 構 造 物のパル ス応 答に対し ては

，

2

−

1に述べ た

一

_自由度 系パ ル ス応 答 解 析の基本 仮 定Z ）

・

3）

・

S〕

・

9 ） に加えて

，

さ らに

，

次の前 提 を設け る

。

　1

）

X ，y ，

　

Z

三方 向の う ち

，

単

一

方 向か

，

あるい は

　　

複数 方 向の組み合わ せ たパル ス的な 入力 波 （速度 波 　 　or 加 速 度 波 〉 を受けると想 定す る

。

　2

＞ 各 方 向の入 力 波は同 周 期で_， い ずれも

tp

を継 続 　　時間 （入力 波の半 周 期 ｝と する

。

　3＞ 地 震 動 入 力は

，

後 述の入 力スペ _{ク ト}ル空間曲面 （式 　　 （7））で与え る。 　4 ） 構造物重心 に関する Xc

，

　Y

。

，

　Z

。

_{応 答}はい ずれ も 　 　Fig

．

2に示 した よ うに monotonic な応 答と す る

。

　入 力ス ペ クトル空 間 曲 面ZILZ4） 前章に述べ た よ うに

，

パ ル ス応 答 解 析で は

，Fig．

3に示す よ う なパ ル ス波 入力 スペ_{ク ト}ル を解 析 用入力 地 震 動と見な し てい る。そ れ は

，

ある特 定 し た方 向 （例えば

，X

方 向

，

　

Y

方向

，

ある い は Z 方 向 ）の 単

一

方 向の パス ル 的な 入力を対 象と する もの である

。

しか し， 実際には， 構造物に加わ る地 震 波 は表 面 波 （平 面 波 ）お よ び実 体 波 （立体波）で ある。 特 に

，

偏 心 構 造 物に対し て は

，

与え る地 震入力と して

，

平 面 波 （例え ば_， 二 方 向 入 力 とし て取り扱う手法）

，

お よ び 実 体 波 （例え ば_， 三方 向入力とし て取り扱 う手 法 ）を 考慮する必要が ある

。

こ こ で_， 第 2章に記 述し た入力 波 ス ペ ク トル の_概念 を 基に し て， 偏 心 構 造 物に加わる平 面 波あ るい は実体波に対し て

，

あ ら ゆる方 面に お い て

，

Fig．

4

の ようなス ペ ク トル をとれ ば_{， 平面}入 力 波， ある い は立 体入力波のス ペ ク トル空 間 曲 面と な ると考え られ る

。

例え ば

，

X

，

γ

，

　

Z

三 方向入 力波の速 度 （or 加 速 度 ） 強 度

Su

。

，

　

S

。y

，

　

S

。z （or 　

Sar，

　

S

．

，

　

Saz

＞， お よ び入 力 波 振動周期

Tp

を四次 元 空 間 座標系の座 標 軸 と すれ ば

，

そ の入 力 波ス ペ ク トル 空間曲面は

，

次 式で表す こと がで き る。

　　 　

V

（

Sur，

　

Svy，

　

Svx，

　

Tp

）

＝Const ．

　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7a ） 　　 　Ψ（

Sa ，S

．

，

　

S

．

，

　

Tp

）

＝Const ．

　上式は四 次 元の曲面 を表し て お り_， こ れ は視 覚 的に は と らえ難い もの であるが

，

こ こ で

，

X

−Y

平 面入力を考 え る場 合は

，

Fig

．

8に示す ような三次 元の速度 （or 加 速 度 ）入力 波ス ペ ク トル空間曲面と な る

。

　

　

　

畿

：

謡

：

：

1

：

1

：

1

：

｝

一・

・

………・

…・

（・・） S。x

．

　S。y

，

　S_。2 ：X

，

　Y

，

　Z _{方 向}地 震 動 速 度 強 度

Sur，

　

S

_．

，

　

Saz

：

X ，

　

Y

_，　

Z

方 向地 震 動 加 速 度 強 度 　入力 波ス ペ ク トル曲 面 を 表 すた めの座標 系は_，

S

_．

_，

S

。y

，

　

S

。z

，

（

Sa

＝

，

　

Say，

　

Sa

。｝

，

お よび

Tp

の四軸に よ り構 成

己

〕　Veloei しy 　Sgee

ヒ

r凵

m−

Surince

Tp〔leg／

　　ノ

　 　 　 b〕　Accelera

し

lon　5pec

し

rupm

−

Surface

Fig

_．

₈

Spectrum

・

Surfaces　for　Impulsive　Excitation

され た 四 次 元 空間をスペ ク トル空間と定義するZl｝

・

24） 。

　

パ ス ル応答ス ペ クトル空 間 曲 線

　

偏 心 構 造物に おい て は

，

運 動方程 式の式 （5） をそ れ ぞ れ

X

、

，M

。

，

　

Z

。に対 して

，

積 分す れ ば_， 式 （8 ）とな る

。

費

M ・

x

・凪 ）

・

dXc − −

rM

・

毎

d

瓦

ズ

（M

・

Y

・＋Fy）

・

dYc

− 一

ズ

M ・

島

・

dYe

r

（

M ・

2

・＋凡 ）

・

腸

r

侮

・

2

、

・

dZ ．

　 　 　　 　 　　 　 　

…・

・

一

一 ……・

…・

………

（

8

） こ こで

，

式 （11）の表 現 と 同 様に_，

X

_，　

y

．　

Z

方向入力 波 （速度or 加 速 度 ）によ るエ _ネルギ

ー

入 力 をそれぞ れ 次の よ うに表さ れ る

。

　 　 　

E

＝〆VXP　or　aエρ）

＝

1／2　

M ・

v茎P　or 　

M ・

αXP

’

Xc

　 　 　

EyKVyp

　or α_りρ）

＝

1／2ルトv_；P　or　

M ・

asρ

・

yc

　　　Etp

（Vzρ or αZP＞

＝

1／2　M

・

vL 　or　M

。

azρ

。

Zc

　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（

9a

） こ こに， 　Vrp，　v。 ρ ，　Vxp ：

X ，

　

Y ，

　

Z

方 向の速 度入力 波 振 幅 　αxρ，α。rp，．aep ：

X ，

　

Y ，

　

Z

方 向の加 速 度 入 力 波 振 幅 　また，

X

，　

Y ，

　

Z

方向変形エ ネル ギ

ー

（構 造 物 重 心 X

，y ，

　

Z

方 向復元力合力 凡

，

凡

，

凡 とそれに対 応する 応答変 位

X

。

，y

。

，

　

Zc

に囲ま れ る面 積 ）は次 式の よ う に 表 す。

A・

P−

一

ズ

凡臨

　

z ・

）

’

dXc

A

。p

− 一

ズ

毋

　

Y

。

，・z

。

）

・

dY

．

A・P

− 一

∫

翫 礁 論 幻

・

dZc

…



一

_{（9b ）} 　第2章に述べ _{た式 （}

la

_）

〜

_{式 （11 ）まで の誘導と同 様} に_， 式 （9a ）

，

（

9b

）の_表現を用い て

，

式 （8 ）を整 理し， 各方 向の 入力 波の継 続 時 間 tpはすべ て同

一

であるとい う仮定に基づ き

，

式 （8 ）の そ れぞれの運 動エ _ネルギ

ー

項 1／2M

・

X

乙1／2M

・

Y唇

，

1／2M

・

Z忌に対し て_{， 変数 分} 離で積分す れば， 式 （

10

）に示 す よ うに連 立 積 分 方 程 式 が得ら れ る

。

广

广

、／

M

［

Eyp

（v，p 。r 婦

．

剣

Y

、

，

、

Z

。）］

− tp

广

2、

M

［ 　　　　　

dZe

Emp

（VZP　or α 2ρ）

− AZP

（Xc

，

　

Yc

，　

Zc

｝］ 一tp 　 　 　 　

dX 。

　 　 　

＝

　

tp

2／M ［Ex ”　v

エ

_P　or　ax_ρ）

− AxKX

。

，

　　

Z。）］ 　 　 　 　

dYc

　 　　 　 　　 　 　 　　

・

………・

………・

・

…

（

10

）

　

一

方

，

速 度 （or 加 速 度 ）入力 波の振 幅

，

お よ び応 答 変位を次の よ う なベ ク トル の形 式で表すこと ができ る。

　　　

圏

；

＠。 ，

，

v。p

，

v。P） 『

…一 一 一 ・

……・

…・

（

11a

）

　　　

｛aH

＝

（α」じρ 9　aeP

，

　amp） 「

’

’

’

’

’

’

”

．

’

’

’

’

”t−’

’

’

”鹽

’

…’

”

　

（11b ）

　　　

1

δ

ti

＝

＝

_（x ，。，　Y。。，　z，ρ） ’

……一 …………・

…

（

11c

） 式 （10 ）の連 立 積 分 方 程 式は_， 応答変位ベ ク トル

laJ

を 定義 域に お い て与えた と す れ ば

，

速度 （or 加 速 度）入 力 波 振 幅ベ ク トル _{｛瞬 （}orla 。

D

とtpの 関係が決め ら れ る ことを 意 味す る

。

言い 替え る と

，

式 （9a）の入 力 波に よ るエ _ネル ギ

ー

入力の表現 か ら見れ ば， Exp，　Eyp，　

E

． は そ れ ぞ れ の 自己の _{作用 方向}の Vxρ

，

　Vsp

，

　Vxp（or αXp

，

α_yp

，

α_an）に の み依 存す るもので

，

積分 上 限の ｛a”

・

＝（

X

。p

，

V。p

，

　Z

。

。） T を確 定 的に与え れ ば

，

式 （10）の連 立 方程式

に よ り_，

lvA

（orlaJ _）の_{各 成分} Vxρ

，

　Vsp

，

　v．

Nor

αxp ，　ayp

，

α_mp）が解 とし て求 まる

。

ゆ え に

，

_式 （10_）の左 辺の定積

分 をそ れぞれ _砺

_，lly

_，

_島 で表 示す る と

，

式 （10 ）の_定

積 分 方程 式は_{， 簡 単}に_次式の_{形 式}で表 され る

。

　 　　

n

。（v、，ρor ατ 。

．

　

x

，ρ）

　　　11

』（Vyp　or _αyp

，

　

YCP

_＞＝ tp

　

　

・

・

・

・

・

…

　一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_（12 ）

　 　　 ll“　_Vt 。　or α即

，

　

z

。ρ｝

　

こ こで

，

解析幾何学の知 識で言え ば

，

式 （12 ）は

，

上 述のス ペ ク トル 空間 座 標系に おい て は_，

1

_剣 に_対 して

，

一

_{本の 曲 線 を表す もの で あ る} 。 すな わち， 継 続時間 t． が Tρノ2と 等しい との仮 定に よ り

，

lvN

ま たは

1

吋 と t． の関 係は

，

スペ ク トル空 間 座標 系におい て_， 式 （13a ） にasす よ うな空間曲線

9

と な る。

　

　

　

鷺

捻

濫

｝

……一 ・

・

……・

_・13・・ 　式 （13a）は四次 元 空 間 曲線を表す もの で

，

入 力スペ ク トル 空 間 曲 面の 場合と同様に視 覚 化で き な い が，

X −y

二方 向 入 力に対 応す る 三次元の ス ペ ク トル空 間 座 標 系を考え る場 合

，

そ の曲 線は式 （13a）で表現で き

，

Fig．

9に示 す よ う な 空間 曲 線 Ω とな る

。

一 59 一

Fig

．

9_Pulse　Response　Spectrum

・

Curve

　

　

　

蹴 雛

：

謂

…………・

…………

（13b ） 　式 （

8

）か ら式 （13 ）まで の誘 導か ら みれ ば

，

式 （13） で表す

9

曲線は

，

エ ネルギ

ー

の つ _り合い という 立 場か ら

，

偏心構造 物の自己抵 抗 特 性 と

，

各 方 向におい て の パ ル ス的な外力に_対する抵 抗 能 力を示す応 答 性 状を表 現す る もの とい え る

。

　こ こ で

，

前述の

一

自由 度 系パ ル ス応 答 解 析の場 合と同 様に

，

その Ω曲線を偏心構 造物の パ ル ス応答スペ ク ト ル曲 線と定 義す る。 　ス ペ ク トル空間と 応 答解　

一

般 的にい えば

，

ス ペ ク ト ル空 間におい ては

，

入力波ス ペ ク トル曲面の形 状は外に 凸 状に な るもの と考え ら れ る

。

他方

，

式 （12）のパル ス 応 答ス ペ ク トル曲 線は

，

定 義域におい て

，

連 続で

，

単 調 に漸 減す る性 質を有し てい る た め， 応 答 変 位ベ ク トル

1

δ封に よ り与え ら れ る式 （

12

）の曲 線の集 合 中

，

入 力 波 ス ペ ク トル曲 面に接す る曲線が

，

何 本か存 在すると考え られ る。 パ ル ス応 答ス ペ ク トル曲線が入力 波スペク トル 曲 面に接す る とい うこと は以 下の 二 つ状 態 を意 味 する

。

　

  偏 心 構 造 物の 自己の外 力に対す る抵 抗 能 力が外 力 　 　 レ ベ ルとL 致 して いる。 　  構 造 物の変 形エ _ネルギ

ー

と外力に よ る仕 事 がっ り 　　合い_， か つ

，

_{安 定 状態}にあ る

。

　また

，

エ _ネル ギ

ー

のつ り_合い状態が 同様な場 合であっ て も

，

応 答変位ベ ク トル

1

δ

rJ

の_各成 分の構 成により

，

入 力 波ス ペ ク トル曲 面に接 す るパ ル ス 応 答スペ ク トル曲 線 が異な る た め

，

選 択 極大応答原理3｝

・

z3）_に より_， 入 力 波ス ペ ク トル曲面と接す るパ ス ル応 答スペ _クトル曲線の集 合 の中に そ の上限が存 在す る た め

，

そ れに対 応する _｛剱 を 偏心構 造 物のパ ル ス応 答 解 析の解と見な す

。

X

，

　Y _{平 面} 二_{方 向}入力の場 合に おい て は

，

式 （13b）の パ ス ル応 答 ス ペ ク トル 曲 線

9

が式 （7b）の入 力ス ペ ク トル_曲面 Ψ に接する上 限は Fig

．

8に示す よ うにな る

。

　ゆえ に

，

偏 心 構 造 物の パ ルス応答解 析は， 入力 波スペ ク トル曲 面に接す る上 限と して のパル ス応 答ス ペ クトル 曲線 を 選出する こ と で あ る

。

　4．

区 間 線 形 近

似

モ

ー

ド分 離 応答解 析法 　4

−

1 区 間線形近 似モ

ー

ド分 離 　 前 述の よ うに

，

一

₆₀

一

　

1

） 入力 波ス ペク トル曲 面 　

2

）　パ ルス入 力波方式 　3） 系の復元 力特性 が与え ら れ た な らば

，

パ ルス 応答解析の作 業は

，

パ ル ス 応 答ス ペ ク トル曲線の_{集 合中}か ら

，

入力波ス ペ ク トル_曲 面に 接 す る 上 限 と しての パ ル ス応答ス ペ ク トル曲 線を選 出す ることで あ る。

一

自由度の場 合では

，

第2章に述べ たよ うに

，

式 （1 の に対 して

，

定 義 域に おい て

，

任 意の Xp を 与え

，

　Vp （or α p

−

tp）の関 係 を決 定 し， 試 行 錯誤 法で

，

そ の 上限と して のパ ル ス応 答スペ _{ク トル曲線 を選} 出す る。 同様に

，

多 自由度のね じれ振動 系の場 合で も

，

式 （10）に よ り

，

入 力 波の_{速 度 振 幅}ベ ク トル ｛

堀

（or 加速度 振幅ベ _{ク ト}ル

1

α

ll

）と入力継続 時間 tpの パ ル ス応 答ス ペ ク トル関係を求め る た めに

，

式 （10 ）の連 立 積 分 方程式の _積分 上限と な る 応 答変位ベ ク トル

1

δ

_」

を ま ず決 め な け れ ば な ら ない。 言い替え れば

，

式 （10）の連 立 積 分方程 式におい て

，

1

δiH

，

_{｛帽 （}or　

1

α

S

）と tp三者とも未 知 数と な り_， 偏心構 造 物の パ ル ス応 答ス ペク トル曲 線 を 求める に は

，

｛δ

H

を どう与え る か が

，

先 決 問 題である。 すな わち

，

連 成 型 偏心構 造 物に対し て

，

｛凋 を ど う与え る か とい う 問 題を考え る場 合

，

｛a．

1

が X。ρ

，

Y。 。，　Z。p の 三成 分 を含むこと だけで な く

，

その

X

。p

，

　

Y

。p

，

　

Z

叩 三成 分が相互連 成す ること を も考慮しなけれ ばな ら な い。 　こ こ で_， まず

，

単

一

矩 形パ ル ス波を受けた場 合の弾 性 連 成 型 偏 心 構 造 物に対 するパ ル ス応 答 解 析 を考え ると

，

前 節の式 （6）の振 動 方 程 式は次 式の ようになる

。

ー

工 　 y 　 Z e 　 e 　 e 亀 乱 篤

一

　 ’ 砺 OK

．

割 　 　 κ 　 　 恥 ＆

o

附 　 　

一

ー

　 十 じ 　 ぐ 　 ご

X

一

y

”

Z

＝

− M

α x（or　O） α〆or　

O

） a〆or　O｝ ぐ 　 ご 　

じ

XyZ

・

・

・

・

・

・

…



一一・

・

・

・

・

…



鹽

鹽

・

・

・

・

・

・

…

_（14） 　式 （

14

）に対し て

，

弾 性 応 答 解 析の手 法で解 析 解 （直 接 解 ）es ＞

・

z6 ）を 次のよ うに求める こ と が で き る

。

　 　　rlδhi

＝

71δol十rlδsl

’

・

…………・

・

…・

…・

…・

…・

・

（15a） こ こに

，

　 ｛δ_」＝ _（

Xc，

　

y

_，

，

　

z

_，）「：偏心構 造 物 重 心 弾 性 応 答 変 位 　

1

δ。｝

＝

（x。，｝ 「 。，Z。） 7 _{：自 由振 動に よ る斉 次 解} 　

1

帽

＝

（

Xs

，　

y。

，　Z

。

） T ：入 力および初 期 値に よ る特 解 　 　 　 　 r

＝

1

，

2

，

3：振 動モ

ー

ド数 そ し て

，

式 （15a）に よ り

，

　 　　「

i

δ゜｝

ニ

7｛δel

− 「

1

δsl

’

”’

’

’

’

”t−t−’

t’

’

’

’

’

”…”t’

’

”…

（15b）

　　

　

i

殳

一

₁

_姜

₁

_≡

₁

_鞏

_・

_isF

？

°，

一

三

髪

1

≡

三

鞏

・

・

一 …

（・6・_） が得ら れ る。こ こ で

，

1

δ。｝の各方 向の位 相差 を

0

と す れ ば

，

式 （16a ）の_値は固有モ

ー

ド振 幅 比である

。

　す なわ ち

，

　

　

　

鵡 一

霊

… 一

烹

……一 ・

・

一 ・

…・

……

（16b ） とす ると

，

式 （16a）が次の よ うに_表され る。

　

　

　

：

ζ

：

：

1

號

ニ

ニ

奏

：

；

職

卜

・

…………・

……

（・

7

） 式 （14）の 固 有 値 問 題と構 造 物の初 期 値に より ．

1

δ。｝お よ び

，

1

δ」が 決 め ら れ るの で

，

式 （17）よ り

，

rlδ。

1

の三 成分 rXc

，

　rYc

，

　rZc の応 答変位 比が得ら れ る。 言い換え れば

，

rXc さ え 選定す れば

，

式 （

17

）に よ り

，

モ

ー

ド分 離 的に

．

1

δ。

1

　（r＝ 1

，

2

，

3 ）が決め られ る

。

　

一

方

，

弾塑性あ るい は非線形 構造物の静的解析に おい て は

，

変形と耐力の_関係を

，

区間的に線形 近似化して

，

その区 間 ご と に

，

弾 性 解析の_手法 を 用いて 解析を 進 め， 弾塑性あ るいは非線形解析問題 の難点を簡略化す ること は 周知の解析手法の

一

つ であ る

。

その発 想を

，

非線 形連 成型の_偏心構造物の パ ルス応答解析に応用 す れば

，

構造 物あ るい は抵抗 要素の非 線 形の復元 力特性が与え ら れ た とい う条件を基に

，

応 答変位と抵 抗 力の_{関係 を 区 間}ご と に_{， 弾}性 的に取 り扱うこ と ができ る

。

よって

，

単

一

矩形 パ _ルス波 を受け た場合の_弾塑性連成型偏心構造物の パル ス応 答 解 析において， パ ル ス応 答ス ペ ク トル の先 決 問 題 と され た式 （10）の連 立 積分方程式の積分上限の

1

_剣 を 決 定す る場合に も， 式 （

14

）

〜

（

17

）に誘導し た よ う に， 応答 変位ベ _クトル

1

_凋の 三成 分

X

。p

，

　

y

，p

，

　

Z

。 ρの応答変 位比 を導くこと が で き る

。

し た がっ て， 式 （10 ）の積 分 上

PR

　

1

δ揖を決め る た め に は， その三成分 （

X

。p，　

V

。A　

Z

。p） 中の

一

成 分の値 をさ え仮 定 的に与え れば

，

応 答 変 位ベク トル

laS

は上 述の誘 導で_得ら れ た応 答変位比 （式 （

16

） と式 （

17

））よ り モ

ー

ド別に決 定す ること が で き る。 つ まり，

1

δ揖の任 意

一

_{成 分 が 与えた ら} ，振 動モ

ー

_ド数に合 っ た よ う な組み 合わせ の rl　

O

”（r

＝

1

，

2

，

3）は上 述の誘 導 により得ら れ る

。

そこで， 式 （10 ）の連 立 積 分 方 程 式に よ り

，

その _積分上限

。

1

翻 に対 し て， モ

ー

ド別にパ ルス 応 答ス ペ ク トル曲線 （“vH （or 　rlaJ ）

一

，

tp

関係）が 与え ら れ る。 よっ て

，

試行錯誤 法で

，

浴 』（r＝

：

1

，

2

，

3 ）を与え

，

式 （

10

｝の連立積分方程式に よ り， 入力波ス ペ ク トル曲 面に接する_{上 限}と しての パ ルス 応 答スペ ク トル_曲線を モ

ー

ド分 離で求め ること と な り

，

その パ ルス ス ペ ク トル 曲線に対 応す る 。

1

耐 をモ

ー

ド分離法に よ るパ ル ス応 答 解 析の_解と す る

。

　 4

−

2 解 析プロ セ ス 　上述の こと を ま と める と

，

区 間線 形 近 似モ

ー

ド分 離 法 によ る偏心構造物パ ルス_{応 答 解 析}は

，

主に以 下の 二つ の プロ セ ス によ り構成され_， つ ま り，

1

剣の選 定 プロセス

，

および上 限パ ル ス応 答スベ _{ク ト}ル 曲線の選 出 プロ セス で あ る

。

　

1

δ の 選定 プロ セ ス 　

1

＞区 間 線 形 化 ：_{連 成 型 偏 心 構 造 物 対}し て は

，

弾 塑 性 fjfj

−

1 　 　 　 δ〕

−

L　δ〕

Fig

，

10　Linearization　betwe巳n δ，

一

匚

and δ，

応 答スケル トン カ

ー

ブを

Fig．

10 （例えば， 重心にお け る X 方 向 合 力 Fx

−

Xc関 係 ）の よ うに区間線 形 化させ_， 近 似 的に多 折 線カ

ー

プ とす る

。

各 線 形 化さ れ た区間に お い ては_， 系の応 答 性 状 を近 似 的に線形 応 答 と取り扱うこ とが できる

。

　し た がっ て， ノ区 間に おい て は， 鯉

．

駕1

，

K

望）_：

j

区 間

X ，

　

y ，

　

Z

方 向の剛 性 　 　　θ望 ，謬 ：ノ区 間X

，

y 方 向 偏 心 率 　 　　 　 謬 ：_{」区 間 弾 性 半 径}に関す る係 数 P2 ，　P9 ｝

_，

　P望〕_： ノ区 間 X

，

　Y

，

　Z 方 向 抵 抗 力 初 期 値 とすると

，

運 動 方 程 式は

，

式 （6）と同様のマ トリック ス の形で表 され る

。

螻

・

［

誕燕 難

i

懽

i

　　　　　　

αヱ（or 　O）

　　

Pgl

　　 ＝

− M

α y（or　

O

｝_＋

Pgl ……・

・

…一 一

_（

18

_）

　　　　　　

aMor 　

O

_）



P望1 　 2） モ

ー

ド分 離 ：_」区 間におい て は_， 前 節に述べ _た弾 性 応 答 解 析の手 法を用い て

，

式 （18）の直 接 解 を 求め る ことにより

，

次の関係式が得られる

。

　 　　r｛　

Dc

｝ u）_＝ rlδo｝ げレ 十．

lagu

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（19＞ こ こ に，

1

δ。｝ U， ：

j

区 間

一

般 応 答 解 （応 答 変 位 ） 　 　　 　

1

δ。｝ ［Jl ：

j

_{区 間 自由}振 動に よ る斉次解 　 　　 　

1

δ

9Ui

：_{ノ区 間}初_{期 値}に よ る特 解

　

上述の式 （

15

）

〜

（

17

）と全く同様な誘 導 過 程に より， ノ区 間の運動 方程 式 （式 （18 ））の固 有 振 動モ

ー

ド比 を

　

　

　

詐

藩

・。ゲ

ー

鐸

…………・

………・

…

（・・｝ とすると，

j

区 間にお ける応 答変位三成分の相互関係が 次式の よ うに得られ る

。

　

　

　

：

獅 騾

二

鷲

二

測

・

・

…・

一

・

・

（2・ 　 3）

laU

の選定 ：構 造 物が振 動 し始 めて か ら は

，

振 動 モ

ー

ドには シフ トが 起こ ら ず

，

始 終 同

一

振 動モ

ー

ドで振 動す る と仮定す る。 そ の仮定に基づ き

，

区 間 線 形 近 似の 連 続 解 析 を行う上で

，

同

一

振 動モ

ー

ドに より決 定さ れた 応 答 変 位 比 （式 （20））を 用い

，

以 下の 内 容に示 す よ う に _ノ区 間に おい て の 連 立 積 分 方 程 式の各 積分上 限を モ

ー

ド別に与える。

一

₆₁

一

上 限パ ル ス応 答スペ _{ク ト}ル曲 線の選 出 プロセス 　1） モ

ー

ド別 累積 積 分 ：偏心構 造 物の パ ル ス 応答ス ペ クトル曲 線は，式 （10 ）の連 立積分 方程式で表さ れ る。線 形 区 間 近 似の連 続 解析に おい て は_， 式 （10 ）の 連 立定_積 分 方程 式は次のよ うな累 積の形 式で表すこ と がで き る

。

鯉

一

膿

dXc

ULJ

｝

一

膿

2／

M

［

Ex

。｛　v＝P　or　aXP）

− A

跳］ 　 　 　 　 　

dYc

駕」

烈

2／

1

し

f

［

EXP

（vgP　or　ayp）

一∠

4Y；］ 　 　 　 　 　

dZc

2

／

M

［

Eab

（v．．　or 　akO）

− A

貼〕 　　 　　 　　　 　　　

一 ・

……・

…・

一 ・

………

（22 ） こ こ に

_，AIJ

_｝

_，

　

A

_鴇

，

　

AVb

は_，　

j

_区間

X ，

　

y ，

　

Z

_{方 向構 造 物} の_合力

F2

，瑠 〕 ，　

FL

” と

XLA

，　

y9

〕 ，　

Z

曽に そ れ ぞ れ囲ま れ た面 積と す る （

Fig．10

）。 　ま た

，

積 分が累積の和という意味か らいえば

，

区 間線 形近似モ

ー

ド分 離 応 答 解 析におい て は_， 式 （12＞が次 式 の よ う に表さ れ る。 　 倒4＞構_遷物 靭 期 乗 件 　 連 成 蟹 遅 立 運 動 方 程 式 方 向 別 連立分 躑 租 分方 程 式 　　 　　 r

目

　1 r次撮 助モ

ー

ド固 定 寓_，運 定 」

置

　 且 j区 聞 抵ト賦 力 線 形 近 似 」 区 間 線形運 働 方粗式 　 　 　 初 期 値 更 斬 モ

ー

ド 別 応 答 比 　 　 　 　

’

　 　 　 j

＝

j ＋　1 」 区 聞 覆 分 上 旧 1δ

，

ト 決 定 　 　 　 連 立 屎 積 積 分 　 　 　 麗o 罵u

」

≧　 貰 　　 7ES モ

ー

　ド 別 パ ル ス 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　r

＝

　r ＋　1 　 　 　応箸スベ ク ト ル 肋　 　　 　　入 力破 ス ベ ク ト ル 　 　面 　 　 す 壱 上 　 　 　 　 「ES モ

ー

　ド 別パ ルス 　 応 答 解 析 解 　 　 　 γES モ

彈

　ドア

ツ

ブ

、

　 　 　 闘o パ ルス応 答 解析 　 最 大 応 答 解

Fig　l　lF且ow 　Chart　of　Plllse　Response 　Analysis

　 　 　fer　Asymmetric 　Structure

一 62 一

　 　　　 　　　 　　巫。（Vr。　or α卸

，

　x。ρ）

i丿〕

　　　

tS」，

＝ t努

一

1）_十

　　

fiy

（Vyp　or α ym　Yep_）C」！

　　

・

・

・

・

・

…

　

（23） 　 　　　 　　　 　　

ll

！　V．　or　aXP

，

　

ZCP

） fJ） 　 2 ）パ ル ス 応答ス ペ ク トル曲線の 表_現 ：_式 （23 ）は

，

段切 りに式 （13a）の よ う なスペ ク トル 曲線を表す もの である

。

式 （

2Z

）

〜

（

23

＞に おいて， 定積分 の上 限｛

DJU

） （あ るい は下 限

1

δ謎u

−

，）_の 各成 分の_相互関係が

，

式 （21 ＞に よ りモ

ー

ド別に与え ら れ る か ら

，

式 （23）に よ り表さ れ るパ ル ス応答ス ペ ク トル_曲線は モ

ー

ド別に分け ら れ る。 また

，

第

3

章に述べ たパ ル ス応答ス ペ ク トル曲線 表現の 唯

一

性に よ り

，

式 （

23

）に表さ れ たパ ル ス応答ス ペク ト ル_曲線は，

Fig．

8

に示す よ う に各 振 動モ

ー

ドに対して

，

分 離で_表現す ること と な る

。

　 4

−3

解析フロ

ー

チャ

ー

ト 　以 上の ことを総 括し て，

Fig．

11

の フロ

ー

チャ

ー

トに 示す

。

　

5．

モ

ー

ド分 離 応 答 解 析 例お よび 考 察 　

5−1

　 解析対象 偏心構造物 　対 象 構 造物　解析は

，

Fig．12

に示す よ うに

，

_平面対称

，

す なわ ち重心 が平面 図 心 と 合致す る 壁 偏在の

3

×

2

スパ ンの

一

_軸偏心 三階建ての_構造物を対象と す る

。

な お， 対 象 構 造 物は

，

質 量 を

一

層柱頂の床板に集中し

，

構造物は 二 階 以 上

一

体 （

Fig．

12 ）と し て振 動す る と仮 定す る

。

　抵 抗要素の復元力特性 　各柱は， 同

一

寸法， 同

一

強 度 の 長柱と し

，

その_復元力特性は

Fig．

13a ）

，

　

b

_）に示す よ う な完 全 弾 塑 性型 と仮 定す る

。

壁は

，

は り 問方 向 （

y

方 向）の 抵 抗 力の みを持つ と考え， その復元 力特 性は 写 の b ）　elevation 　of build ±nq Y

1

oC5oo

●

卜

1

X

甲

C6 CR CM ooo

噸

卜 C7 7

．

000 7

．

000 7

．

OOO C4 C3 C2　 　 　 C1 a工　plam　of buildinq

tとi f多ifyci fxc1

・

H

姉

　

 

→

嚇

一

f多i b）　Functton of yield 　 Forces 　of　Columns fci 6ci

Tablel　Initial　Prameters　and　

Natural

　

Vibration

　Modes

K”

−

ra ヒeRk

脚

書

1

．

00R  

ヨ

2

，

00Rk 凵

＝

3

，

00Rk

腎

弓

5

，

00Rk

國

冨

ア

．

50Rk

胃

斗

10

，

00

F”

−

raしeRF 卩司

．

00RF

胴

i

ヨ

，

54R 舮 5

．

31RF

胃

弓

8

，

85RF

國

昌

13

．

27RF

胃

コ

1ア

，

アo

e

耗

〆ioe

罵

＝

0

，

00e

減

＝

o

．

27e

属

冨

0

．

45e

風

＝

0

，

ア0e

属

＝

0

．

8E 巳

炉

口

．

96

「

巳

コ

o

．

ヨ5751505コ 「o

冒

3

．

矧 ヨigeo｝ 匸o弔

．

4αB7

　

L

記

dTe

司

0

．

4529【

肥

o ， Io

・

0

．

497515国 τ

ε

囗

o

．

5333籃

脳

1 MO口E

−

1

畧

＿　

_一』

＿一

_一一

宙

一　

_一一

＿　

_一

「e

＝

o

．

  15副 「o 司

，

2569 臨o ， 「o

・

02527 ［昌園1 「OiO

．

23581gec〕 「c

・

0

．

2a59匸5

巳

d 「0

・

0

．

Z〜14　i5e

こ

1 MO口E

−

2

田

＼

　



　



＼

_一

魯 魯



_一

、

_〜

、

　

　

　

丶

｝

謎i

　 　 a）　Rela しionshiP

　

Qf 　Force

　 　 　 　

−

Displacemen ヒ　of

　 　 　 　 Columns

Fig

．

13　Characteristics　of　Restoring 　 　 　 　FOTces　_of　Coiumns

1

．

ll

：

：

一

鷺

：

認

一

4

．

e El　tor’tmp　de1

．

　um　ms

・

_ky　ie

，

1国0 　 　 　 七‘se

：

） O

齟

0　 十

．

0　2

、

0　3

、

0　40　5

．

D　6

．

0　7

．

囗　 日0　90 　 100 Is Svr（los♪ 　 　 　 Vm

　

カkine

　

ρ詑

　　　　　

畿

伽

♂ 　　　　　h

＝

D2 　 　 EI 　Ce

冂

しlo 　Cal　USA

　 　 NS

・

団

己

Y

　

le

．

］940 町

叩

・

5 　 　 　

：

N

・

口

_{Tp【1 卿}

己

lA

ロ

ceLe

【

己

」

亠

o

【

L

’

−

ave 0

．

上　 　 　 　1

，

0　 　 　 　LO

．

O 　 　 bレ PEeudo

−

VelOC

亠

」

y

　

Sp

巳

官

し

【

U

旧

Fig

_．

₁₅Ground　Motion　for　Analysis

fk

　 　 　 6k

Fig

．

14　 Characteristics　of　Restoring　Force　of 　Shear

．

Wall

Fig

．

14に示 す よ うな完 全 弾 塑 性 型 と 仮 定す る

。

な お， 壁の剛 性は

，

柱三本 分の 剛 性 の 1

．

　0

，

2

．

O

，

3

，

0，5．

0，

7

．

5

，

10倍とい う 六つ の場 合に分け て考え る

。

た だ し， その _{剛 性 率 （壁 剛 性 率 ）}

＝

1

．

0の場 合は_， 構 造 物 を 無 偏 心 の 長柱架構と す る。 　 構造物の_特性　構 造 物の特 性は次の よ うに設 置する

。

　 　 　 質量　 　 　 　

M

＝

1．

080t・

sec2 _／cm 　 　　回転半径 　 　

i

。

＝757，667cm

　 　　柱降伏 力　　

f

き‘＝ 83

．

680　t （無偏心時 ） 　 　　柱降伏 変位 　δぎ‘＝

1．060cm

　 　　壁降伏 変位　δ翫

＝1．876cm

　な お

，

壁剛性 率をパ ラ メ

ー

タ とし

，

各壁剛 性 率に対し て

，

壁 降 伏 力 比， 構造物

X

方向初期 偏心率

，

初 期 弾 性 固 有 周 期 （T。｝の値， お よび 初 期 固有振 動モ

ー

ド

・

ブロ ッ ク 図 を

，Table

　

1

_に示す

。

　こ こ に

_，

　 　　壁 剛性率　　　

Rkw＝

壁 弾 性 剛 性 ／柱 弾 性 剛 性 　 　　壁 降 伏 力 比　 　

R

．

、

、

，

・＝壁 降 伏力〆柱 降 伏 力

　　　X

方向偏心率

　

e、，

；X

方 向偏 心 距 離 ／回 転半径 　た だ し

，

設 定し た 六つ の壁 剛 性 率 （

RkW

）パ ラメ

ー

タ に 対して

，

_{対 象構}造物の y 方向に お け る抵 抗 合 力の最大 値は

，

いずれ も

一

定 値 （無 偏心長 柱 架 構の 12 本長柱の 降伏 力の和

＝12

×

83．

680t

_）とする。 　

5−2

　解析用 地 震入力お よ び 入力 波 形 式 　

一

軸 偏 心の 構 造物に対して

，

応 答 解 析は_，

一

方 向入力 の 場合を考え る。 こ こ で は

，

Fig」5に示 す よ うな

El

Centre，

　

Ca1．

　

U ．

　

S．

　

A ，，

May 　18

，

1940　

NS ．

の_{加 速 度 記}

録 デ

ー

タ27｝_{に よ る 近似 台 形 化 最 大 振 幅スペ ク トル}4LZS）_を 入力 波ス ペ ク トルと す る。 その入 力波スペ ク トル を用い て

，

速度入力と加速度入力との 二つ の場 合を 分 けて

，

応 答解 析を行う、 ま た

，

モ

ー

ド分 離の パ ル ス応 答解析法を 検証す る た め

，

4次 精 度の Runge

−Kutta

数 値積 分方 法 （

R ．

K ．

）を用い た時 刻 歴 応 答 解 析も あわ せて行う

。

こ れ よ り

，

解 析法により

，

以 下の 二 種 類の応 答解析地 震入 力形式を用い る。 　数 値 積分法に よ る時刻歴応答 解 析 用 入 力 形 式　数 値 積 分 法に よ る 時 刻 歴 応 答解 析に は

，

偏心構 造 物が_，

Fig．16a

）

，

　

b

）に示す よ う な

y

方 向

一

方 向の速 度

・

加 速 度の正 弦波の _イン パ ル ス を受けると考え

，

その_{継 続 時 間}

tp

（1／2

・

　

Tp

）お よ び 正 弦 速_度

・

_加速_{度 イ}ン パ ル ス波 振幅の 関 係 を，

Fig．

15

に示 すス ペ ク トル に より与える もの と する。また，数 値 積 分の積 分 時 間 間隔をO

．

002秒と する

。

　モ

ー

ド分 離 法に よ る パ ル ス応 答 解 析用 入 力 形 式　区 間 線 形 近 似モ

ー

ド分 離の パ ル ス応 答 解 析に おい て は，

Y

方 向の

一

方向入 力 に対して

，

Fig

．

8の入 力 波ス ペ ク トル 曲 面が

，

入力 波 振 幅 （v。p 　or　a。p）

一

入 力波 継 続 時 間 tp（

＝

一

₆₃

一