中学校第３学年
数 学
－二次方程式－
１
コアについて
「二次方程式」における他単元や他領域等との関連
（１）
【第３学年】
【第１学年では…】
【第２学年では…】
※参考【高校】
（三平方の定理）
図形
○三平方の定理の応用場面などで、二次方程式を利用し、より広く問題を解決する。
指導するための基本的な考え方
（２）
【積み重ねを生かした指導】
○解を求めることに習熟するのではなく、一次方程式の解法に帰着したり、平方根の考え
を活用しながら、二次方程式を解くための工夫について考えるよう指導する。
【コアを身に付けるための数学的活動】
○既習の方程式では、解決できない問題の解法には二次方程式が必要であることを、道路
や花壇の面積を求める数学的活動を通して理解できるよう指導する。
【指導上の工夫】
○具体的な問題について二次方程式を利用して解決を図るときは、特に式をつくる段階の
指導に重点を置くよう工夫して指導する。
○生徒に定着の図られていない内容について、補充的な学習を指導過程に位置付けたりす
るなどの工夫をして指導する。
文字を用いた簡単な多項式について、式 (2) の展開や因数分解ができるようにするとと もに、目的に応じて式を変形したりその意 味を読み取ったりする能力を伸ばす。 単項式と多項式の乗法及び多項式を ア 単項式で割る除法の計算をすること。 簡単な一次式の乗法の計算及び次の イ 公式を用いる簡単な式の展開や因数分解 をすること。 2 2 2 ( a + b ) = a + 2 a b + b 2 2 2 ( a - b ) = a - 2 a b + b 2 2 ( a + b ) ( a - b ) = a -b ( x + a ) ( x + b ) = x + ( a + b ) x + a b2 (3)二次方程式について理解し、それを用い て考察することができるようにする。 因数分解したり平方の形に変形した イ りして二次方程式を解くこと。 二次方程式の必要性と意味及びその ア 解の意味を理解すること。 二次方程式を具体的な場面で活用す エ ること。 解の公式を知り、それを用いて二次 ウ 方程式を解くこと。 正の数の平方根について理解し，それを (1) 用いて表現し考察することができるように する。 連 立 二 元 一 次 方 程 式 と そ の 解 の 意 味 を 理 解 し 、 解 き 方 に つ い て学習する。 方程式と不等式 一 元 一 次 方 程 式 と そ 、 の解の意味を理解し 解 き 方 に つ い て 学 習 する。 数の平方根を含む簡単な式の計算を イ すること。２
単元名
二次方程式
３
単元の目標及び評価規準
目標
（１）
○二次方程式の必要性とその解の意味を理解する。
○二次方程式を解くことができ、それを利用できる。
評価規準
（２）
○具体的な事象を通して、二次方程式及びその解に関心をもち、二次方程式を解こうとしたり、
二次方程式を利用して、問題を解決しようとする 【数学への関心・意欲・態度】
。
○因数分解や平方根の考え方を用いて二次方程式が解けることに気付き、二次方程式の解き方や
解の意味を考察することができる 【数学的な見方や考え方】
。
○二次方程式をつくることができ、因数分解や平方根の考えを利用して解をもとめたり、その手
順や解の適否を説明することができる 【数学的な表現・処理】
。
○因数分解や平方根の考え方、解の公式を用いた二次方程式の解き方を理解している 【数量、
。
図形などについての知識・理解】
４
単元の指導計画（色付きの部分がコア）
主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 時間数学的活
二次方程式とその解 ○正方形の一方の辺を１㎝長くし他方の辺を１㎝短くした長動
・二次方程式を成り立たせる 方形の面積が２４㎝ であったときの、もとの正方形の一２ ｘの値について調べること 辺を長さを求めるなどの具体的な場面から立式し、二次方 １ 程式が必要であることに気付かせる。 ○二次方程式の解の意味は一次方程式と同じような扱いとな るが、相違について考え、一般に解が二つあるということ に気付かせる。積み重ね
２ 因数分解による解き方 ○因数分解によって一次式の積に変形し、「ＡＢ＝０ならば、 ～ ・因数分解を利用した解き方 Ａ＝０またはＢ＝０」であることを用いる方法による解き ３ ・形に適した解き方の工夫 方では、既習の一次方程式の解法に帰着できることに気付 かせる。積み重ね
平方根の考え方による解き方 ○等式の変形によって、ｘ ＝ｋの形を導き、平方根の考え２ ４ ・平方根の考えを使って、二 を用いる方法による解き方では、平方根を求めることに帰 ～ 次方程式を解くこと 着できることに気付かせる。 ５ ・ｘの係数が偶数の場合の二 ○解を求めることに習熟するのではなく、二次方程式を解く のに、因数分解や平方根の考えによるなど工夫して考える 次方程式の解き方 ようにする。 ６ 解の公式による解き方 ○完全平方式を用いた２次方程式の解き方と比較しながら、 ～ ・解の公式について理解する 解の公式が導かれる過程を調べる。 ７ こと ○解の公式を利用することにより、２次方程式を能率的に解 ・解の公式を用いて２次方程 く方法として生み出された解の公式の有用性を見いだす。 式を解くこと主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 時間
数学的活
二次方程式の利用 ○問題の解決により広く方程式が利用できることを実感させ動
・二次方程式を利用して、問 る。指導上の
題を解決する方法を考える （例）第２学年の既習事項を踏まえ、文字を用いた式のよ工夫
こと（本時案の例） さを繰り返し指導するとともに、二次方程式を用いて問 ８ 題を解決する具体的な問題を設定する。 ～ ○問題を解決する際に、一元一次方程式や連立二元一次方程 ９ 式、二次方程式を見通しをもって的確に用いることができ るようにする。指導上の
○二次方程式のまとめとして個の学習状況に応じるため、個工夫
別学習やコース別学習などを設定し、既習事項の定着を図 る。 学習のまとめ 10５
本時（８／１０）
目標
（１）
○ｎ角形の対角線の本数を文字を用いて表し、二次方程式を利用して問題を解決することがで
きる。
展開
（２）
指導のねらいと発問 学習活動 指導のポイント 評価・配慮事項等 ○既習事項の復習 ○２年生の復習 ○本時で用いる問 ・ｎ角形の内角の和を・
四角形、五角形とそれぞれについて 題や表は、ワー 表す式とその求め方 考え、ｎ角形の場合を求めた。 クシートなどに を振り返る して生徒に配付 「ｎ角形の内角の和は する。 どのような式で表すこ と が で き た で し ょ う か 」。 ・頂点がｎの多角形は、１つの頂点から積
み
重
ね
○２年生で学習し 「その式はどのように 引いた対角線によって （ｎ－２）個、 ○第２学年で学習 たｎ角形の内角 し て 求 め た で し ょ う の三角形に分けることができる。 した内容を提示 の和の求め方を か 」。 ・１つの三角形の内角の和は１８０°だ し、数量の関係 表や図を使って から、ｎ角形の内角の和は１８０°× を文字を用いて 確認する。 （ｎ－２）である。 表すことのよさ や必要性につい 。 ての理解を深める ○問題の提示 問題数 学 的 活 動
「今日は多角形の対角 線の本数について考え ○第２学年で学習 てみましょう 」。 した内容を発展 ○解決方法の検討 ・ｎ角形の対角線の本数を文字を用いた させた問題を示 式で表す。 し、解決への意 ・内角の和を求めたように表で考える。 欲を高める。 「表を用いて考えてみ ましょう 」。 四角形の対角線につ ・１つの頂点からひいた対角線の本数は「
い て 考 え て み ま し ょ １本である。 う。」
・頂点が４つあるから対角線は４本引く ことができる。 でも、全部で対角線 ・２か所重なっているから２をひいた。 ○①重なりをひく「
の数は２本です。どう ・同じ対角線を２回数えているので２で 考え方、②２で してでしょうか。」
割った。 割る考え方につ いて、より簡単 では五角形の対角線 ・１つの頂点からひいた対角線の本数は な方法を生徒が「
についても考えてみま ２本である。 問題を解決する 。 。 しょう」
・頂点が５つあるから対角線は１０本引 中で考えさせる くことができる。 でも、全部で対角線 ・５か所重ねっているから５をひいた。「
の数は５本です。どう ・同じ対角線を２回数えているので２で してでしょうか。」
わった。 ｎ角形の対角線の本数を求めるにはど うしたらよいか。 四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形 頂点の数 ４ ５ ６ ７ ８ … ｎ 三角形の数 ２ ３ ４ ５ ６ … ｎ－２ （ ） 内角の和 １８０°×２ １８０°×３ １８０°×４ １８０°×５ １８０°×６ … １８０°× ｎ－２ 四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形 頂点の数 ４ ５ ６ ７ ８ … ｎ 対角線の数 … 四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形 頂点の数 ４ ５ ６ ７ ８ … ｎ 対角線の数 ２ ５ …指導のねらいと発問 学習活動 指導のポイント 評価・配慮事項等 ○問題解決 自力解決（ ） （六角形について） 、 「六角形から八角形ま ・１つの頂点からひいた対角線の本数は ○既習事項が問題 ○個人で考えたり で考えてみよう 」。 ３本である。 の解決に役立つ 相談したりする ・頂点が６つあるから対角線は１８本引 ことを実感でき 時間を十分に保 くことができる。 るようにする。 障する。 ・９か所重ねっているから９をひく。 ・同じ対角線を２回数えているので２で わる。 （七角形、八角形については略） ○問題解決 相互交流（ ） ・すべての頂点からひくことのできる本 ○物事の関係やき 「対角線の本数を求め 数を２で割れば対角線の本数を求める まりを見つけた るときに気を付けるこ ことができる。 り、たどり着い とは何だろう」 た結果について ・１つの頂点からひいた対角線の本数は 根拠を明らかに （評価） 「ではｎ角形の対角線 （ｎ－３）本 し筋道立てて説 ○既習事項を活用 の 本 数 を 求 め て み よ ・頂点がｎ個あるから対角線は 明し伝え合うよ しながら、ｎ角 う 」。 ｎ（ｎ－３）本引くことができる。 うにする。 形の対角線の本 ・同じ対角線を２回数えているので、２ 数を式で表すこ 【数学 でわって、ｎ角形の対角線の本数は、 とができる。 】（ 、 ｎ（ｎ－３） 的な見方や考え方 机間指導 ノート、発表） 本と表すことができる。 ２ ・対角線の本数は、 「では、対角線が２０ ｎ（ｎ－３） 本の多角形は八角形に 本と表わせるので ２ なるかどうか確かめて ｎ（ｎ－３） みよう。どうすればよ ＝２０ という式が成 ２ いか 」。 り立つ。この方程式を解けばよい。 ・両辺に２をかける （評価） 「方程式を解いてみま ｎ（ｎ－３）＝４０ ○二次方程式を用 しょう 」。 ｎ －３ｎ＝４０２ いて、具体的な ｎ －３ｎ－４０＝０２ 問題を解決する （ｎ－８ （ｎ＋５）＝０） ことができる。 【数学的な見方や考え方 （机 ｎ＝８、ｎ＝－５ 】 間指導、ノート、発表） ｎは４以上の整数でないと成り立たな いので、－５は問題に適していない。 求める多角形は八角形である。 ○既習事項で学ん ○確認の問題を行う。 だ考え方をもと ○結果の確認と学習の
