多目的意思決定の観点からのファジィ線形回帰分析と需要関数同定問題への応用-香川大学学術情報リポジトリ

(1)

多目的意思決定の観点からの

ファジィ線形回帰分析と

需要関数同定問題への応用

1.はじめに

横井義則

矢野

均

一般に，通常の線形回帰分析では，観測データとモテソレの聞の誤差変動は正規分布に従い，それらは互いに独立であることがあらかじめ仮定されているのに対して，田中ら

[9

-l1

J

により初めて提案されたファジィ線形回帰分析では，観測データとそデ、ルの間のずれは，入出力関係を表すシステム構造自体のあいまい性によるものと仮定している。彼らは，ファジィ数の αーレベノレ集合

[

3 J

に基づいて定義される等号関係により，ファジィ線形回帰モデルを求めるための問題を線形計画問題[8

J

に帰着させる方法を提案した。これに対して，我々

[

1

2 J

は，従来の線形回帰モデルとの関連に注意しながら，

D

u

b

o

i

s

ら [ 2， 4

J

により提案されたファジィ数聞の等号関係を表す3種類の指標に基づいて，ファジィ線形回帰モデノレを求めるための線形計画問題の定式化を試みた。しかし，これらの方法では，線形計画問題を定式化する際に，あらかじめ設定する必要のある『適合度仰の設定や更新方法に関する考察は全くなされていなし、。そこで，本論文では，ファジィ線形回帰モデ、/レにおける，モデノレと観測データの間の『適合度的とモデ、ルの『あいまい度』の聞の競合関係を多目的意思決定状況としてとらえることにより，ファジィ線形回帰モデルを求めるための多

(2)

348 第3号第61巻 -18ー 8 ]を定式化し，対応する対話型意思決定手法を提案する。目的計画問題[1，また，提案された対話型意思決定手法の妥当性および有効性を検討するために，豚肉の需要関数同定問題への適用を試みる。ファジィ線形回帰モデルの定式化 -T A Y ' A モデルによる推定値とデータファジィ線形回帰モデルにおいては，一般に，入出力関係を表すシステム構造自体のあいまい性に依存しているとのずれは，ものと仮定されており，形式的には係数にあいまい性を含むモデルとして，次のように表現することができる。 ) 1 0ム ( ， an)， x

=

(1， Xl， .，.. Xn)T それぞれファジィ数 [

3

]を表す。 Dobois

ら[

2

，

タ

=

ax， a

=

(ao， al，ここで、， .Y， a;， j

=

0， 1，… ，

n

~工，このようなファジィ数を含む等式に対処するため， 4 ]は， 2つのファジィ数必，湾の等号関係にそれぞれのメンバーシップ関数μrn(u)，μ正(U)を閉区聞に対する等号関係の拡張として，関する次の

3

種類の指標を，用いて定義した。 (2) Pos(必=宛)= 記

P

2 m

i

n

(

μ

rn(u)

，μ

正(U)) (3)

Nes(

必

C

必)

=

i

n

f

max

(1一

μ

rn(u)，

μ

n(U))

ueRl

(

4 )

Nes(

必コ n)

=

i

n

f

max (

μ

rn( u)，

1

一

μ

n(U)) UERl これらの指標はそれぞれ『必が方と等しい可能性の度合¥".!l，W 1先が先に含まれる必然性の度合い.!l，'1W犯が宛を含む必然性の度合い』を表すものと解釈できる。さて，問題を明確に規定するため，式(1)の左辺のファジィ出力データ丸，

i

，

n

のメンバーシップ 1，ー，kと右辺のファジィパラメータ

a

;

，

f

=

0， 1，関数は，それぞれ次式により与えられるものとする。 (5)

[

以

(

日

)

/

d

)

戸主

d

>0

1 ，

2:':，孟 y，話

y

，

L

(

，(

Yi-y

，

)

/

e

，)f

Y

i

主主

Y

i

，

ef>O

μyi(Yi)

=

(3)

9 7 i _R ei， ei，また， 349 ( L((ai-ai)/d)， μai(αi)= p

，

!!:..i孟 ai孟 iii lL((ai-ii;)/cf)， aj孟 ii;，

d >

0

ここで，(Yi+れ)/2と(ai十ii;)/2はそれぞれ Yiとんの平均値で，と

d

，

c

.

f

はそれぞれあと

a

;

の左右の広がりのノミラメータである。 L(・)は型関数[3 ]と呼ばれ，

L

(

・)は

[

0

，∞)上で定義される強意単調減少かつ連続的徴分可能な関 (6) 多目的意思決定の観点からのフプジィ線形回帰分析と需要関数問定問題への応用 ai孟!!:..i，

d

>

0 次の性質を満たすものとする。数，

L

(

O

)

=

1

，かつ，任意のXE

[

0

，∞)に対して

L

(

x

)

注

O

。式(5)，(6)で定義されるファジィ数必 aiは，、、 J ノ・ 1 ( ¥ 3 ノ・ 1 ・ 1 〆 f t_、しばしば次のように表される [ 3

。

]

タ (~i ，ダ i ，

e

，

f

e

f)L，

i

=

1

， ai

=

(ai， ii;，

d

，

c

f

)

L

， j

=

0， 1，… ，

n

簡単のためファジィ数 ajを構成要素とするファジィパラメータベクトル dを

(

7 )

(8)

，

k

(

9 )

a = (笠，ii， cL， CR)L a = (!!:..o， !!:..1， !!:..n)， a (iio， iil，，iin，) cL

(

c

o

，

c

f

，れ， d)， cR (d，

c

f

，… ， c~) n次元入力データル

1

，“ ，kは，事前に与えられていることか一般性を失うことなく，次のように仮定できる。 ( 10) ここでで表すことにする。 d H H l ( さらに，ら， (12) ( 13) ， k， j E

.

J

t

Xii

<

0，

i

=

1，… ， k， j E ]i -この時，ファジィ数聞の演算規則[3 ]から次式が成立する。 Xu註

0

，

=

1

， ) ， n 噌 l ︿ n aXi

忍

ajXij

=

(主(Xi)，P(Xi)， qL(Xi)， qR(Xi))L (15) (16) ここで、

ρ

(Xi)=~.a ;Xii _j_E}_j_一

+

2

_j

:

_E}

_

_jiijXii

，

P(Xi) =~" _;E}_jiijXi;+~_!!:..jXii _j_E_J_J_ー qL(Xi)

=2:

_j_E}"chu-_j _;

L

_E

:

_cfxij

，

qR(Xi) =~"dxu-~_dxij

(4)

-20- 第61巻第3号 350 さて，指標(1)

-

(

3 )

に基づく，ファジィ線形回帰モデル aXiとファジィ出力データタzの聞の等号関係は，その適合度を表す αの値を固定すれば，通常の不等式制約に帰着されることが，次の定理に示される

[

1

2 J

。【定理1】

(

1) P

o

s

(

ル

aXi)孟

α

一ータi+主(Xi)壬L-1(α )ef+L -1(α )qL (Xi) Yi -P(Xi) 三五 L -1(α)ef+L-1(α )qR(Xi)

(

I

)

Nes(

タiC aXi)孟

α

一-2::'i+主(Xi)豆一L-1(1-α)ef+L-1(α )qL(Xi) Yi-P(Xi)壬一 L-1(1-α )ef+L-1(α )qR(Xi)

(

I

)

Nes(

タ2

つ

aXi)孟

α

2::'i -p"(X，)壬

V

1(

α

)ef-L -1(1一

α

)qL(Xi) -Yi+P(Xi)壬L-1(α )ef-L -1(1α )qR(Xi) 白骨 ( J8) (]9) 側 (21) (22) ここで，制約集合(1 )-(III)は，それぞれ，『

f

z

が aXiと等しい可能性，Yi がaXiに含まれる必然性，Yiが axを含む必然、性の度合いが，それぞれ， α以上であるような，ファジィパラメータベクトル

a

を構成するベクトル

Q

，

a

，

c

L_， CRの集合』であると解釈できる。さて，通常の線形回帰モデルのパラメータは，たとえば， h min

2 :

1 Yi一αXi1， αERn+l i=l すなわち h min

L

:

Zi

s

u

b

j

e

c

t

o

ーめ+αXi三五 Zi， 1，…，k Yi一αXi三五 Zi， 1， … ， k (23)

。

4) を解くことにより求められることに注意しよう。そこで，問題似)の制約式と定理1の(1 ) -(III)との対応関係を考慮すれば，指標(2)-(4)に対応して，ファジィ線形回帰モデルを求めるための問題{P

l

}

-{P3}を，それぞれ，次のように構

(5)

351 多目的意思決定の観点からのファジィ線_{形回帰分析と需要関数同定問題への応用} 成することができる。 {Pl} min

J

(

.

!

，

a

， CL， CR) subject to Pos(タ aXi)主主 α，i 1，， k，

c

L，

c

R _孟_O {P2} 立l1n J(笠，瓦，

c

L，

c

R) subiect to Nes(タiC aXi) 主主 α，

i

1， …， k，

c

L，

c

R;;主O {P3} ロl1n -J(笠，

a

，

c

L，

c

R) subject to Nes(タz

コ

aXi) 主主 α

i

1，， k，

c

L_，

_c

R 主主

O

ここで) J(笠，

a

，

c

L_，

_c

R )ニ 21{qL(xz)+qR(xz)+(ρ(Xi)一主(X.))} はファジィ線形回帰モデノレ axのあいまい度を表す関数である。このように定式化された問題{Pl}-{P3}は， αの値を固定すれば， -21

。

明らかに線形計画問題であり，線形計画法[8

J

により容易に解くことができる。ここで， {Pl}-{P3}において，決定変数は X:ijではなく，立p，

7

3 i

，

c

f

，

c

F

，jz 0

，

1

，

ド，

n

であり，これらの問題を解くことにより，それぞれ等号関係の指標

(

2 )

-

(

4 )

に基づく制約式(17)-(18)，(19)-側， (21)ー倒のもとで，ファジィ線形回帰モデル axのあいまい度を最小(あるいは最大〉にするようなファジィパラメータベグトル

a

が求められると解釈することができる。また， {Pl}-{P3}は，それぞれ，田中ら [11Jの提案したConjunction問題， MIN問題， MAX問題の若干の一般化あるいは拡張になっていることがわかる。さらに，通常の数はファジィ数の特別な場合であることを考慮して， .Yi

=

J::i

=

Yi，

e

i

=

e

f

=

0，ニ 1，....， k (26)

α

(ao，

a

l

，…， an)， ai

=

!

:

.

i

=

a;，

i

=

0

， " れ

，

n

(27)

c

=

(Co， Cl， ...， Cn)， Cj

d

c.f，

f

=

0

，… ， n (28) とおいて，定理lの(I)， (II)に代入すれば， {Pl}， {P2}の特別な場合として，通常の出力データに対するファジィ線形回帰モデルを求める問題 {P4}を次のように定式化できる。 {P4} ロl1n J(α，α， c， c)

(6)

-22- 第61巻第3号 352

s

u

b

j

e

c

t

o

一一:}3釣 Yi一αXi~孟五

L

-1(α )q(Xi)，

i

=

1 "

k，

c

~孟主

0

ここで，条件闘より， q(Xi)

=

qL(Xi)

=

qR(Xi)，

i

=

1" k (29) III.多目的意思決定の観点からのファジィ線形回帰分析これまで，ファジィ線形回帰モテソレを求めるための

3

種類の問題を定式化してきたが，これらの問題を線形計画問題として解くためには，モデルとデータの聞の適合度を表す αの値を，あらかじめ設定しなければならない。ここで，一般に~適合度仰の値を大きくすれば，モデルの『あいまい度J(・ )n は，

{P

l}，

{

P

2 }

，

{P

のでは大きくなり，

{P

ぬでは小さくなることに注意しよう。従って，ファジィ線形回帰モデルを求めるための問題は，それぞれ適合度的と『あいまい度 J(・)n が互いに相競合する多目的計画問題[1， 8 ]として，次のように定式化した方がよりν適切であると思われる。

{MP

l} min

J

(

!

，

a

，

c

L_，

_c

R ) 江

laxα

s

u

b

j

e

c

t

o

P

o

s

(

タ aXi)孟

α

，

i

1，“， k，

c

L_，

_c

R _主_主 0，

α

ε

(0， 1)

{

M

P

2 }

min J(笠，

a

，

c

L_，

_c

R ) ロ

laxα

s

u

b

j

e

c

t

o

Nes(

タiC aXi)孟

α 1

，，k， cL_，_cR _孟

₀

_，

_αε(0

_，₁₎

{

M

P

3 }

min-J(旦，

a

，

c

L_，

_c

R ) ロ

laxα

s

u

b

j

e

c

t

o

Nes(

タz

コ

aXi)孟

α 1

，'

"

k

，

c

L_，

_c

R _主_主

₀

_{， α}

_ε

₍

₀

_，₁₎

{

M

P

4 }

min J(α，α， c， c) 立

laxα

(7)

353 _{形回帰分析と需要関数同定問題への応用}多目的意思決定の観点からのファジィ線

s

u

b

j

e

c

t

o

-Yi+αXi話

V'

(α )q(Xi)，i=l， Yi一αXi孟

V '

(α )q(Xi)

，

i

=

1 ，

c

主

0 ，

αε(0， 1) -23-" k k，多目的計画問題{MPl)-{MP4)において，目的関数 J(・)と適合度αは互いに競合しているので，通常の単一目的計画問題の最適解の概念はそのままでは適用できない。その代わりに，多目的計画問題では，ある目的を改善するためには，少なくとも他のいずれかの目的関数を改悪せざるを得ない解として，パレート最適解が次のように定義されている。【定義1] 多目的計画問題{MPl)-{MP4)において，制約集合上の任意の (α，a， CL，

c

R )とαに対して， J(笠，a， CL， CR)三

J

(

!

*

，a*， CL*， CR*) C{MP3)の場合は不等号は逆向き〕 α =と α* が成立しない時， (笠*， a*，

c

L*， CR*)と♂を，パレート最適解という。ここでは，豆は2つの制約式のうち少なくとも 1つは等号を含まないことを意味する。一般に，バレート最適解は無限個存在するので，意思決定者は，これらの集合の中から，なんらかの主観的な判断に基づいて、最終的な解を導出しなけれ

v

i

ならない。このような多目的意思決定状況において，ここでは通常設けられている次の仮定をおく。【仮定リ多目的計画問題{MPl)-{MP4)の目的関数 J(・)と αに対して，意思決定者の満足度を表す関数 U(J， α)が存在する。ここで，意思決定者は U(J， α)を大域的に陽に求めることはできないが，その代わり局所的に選好を評価することカLできる。単調増加入また， U(J， α)は

J

に関して強意単調減少C{MP3)の場合は強意 αに関して強意単調増加である。仮定1において，もし U(J， α)が陽に求められるのであれば，多目的計画間

(8)

24ー _第61_{巻第}3_号 354 題 {MPl}-{MP4}は U(J， α)を最大化する単一目的計画問題に帰着できることに注意しよう。しかし，U(J， α)を陽に求めることは一般には困難であるので，意思決定者との対話を通じて，彼の満足解を導出する必要がある。そこで，本稿では，意思決定者との対話を通じてパレート最適解の集合の中から彼の満足度を導出するための対話型意思決定手法を提案する。 {MPl}のノ之レート最適解の1つは，次の制約問題[6 ]を解くことにより得られる。 {CPl} min .J(笠，

a

， CL， CR) subiect to α孟α

。

Pos(タi

=

aXi) 主主 α 1， .，.. k，

c

L，

c

R 孟O ここで

a

o

は意思決定者によりあらかじめ設定される値で，制約問題{Cpl} を解くことにより w適合度』が α。以上という条件のもとで rあいまい度 J(・

)

A

を最小にするようなファジィパラメータベグトノレ

a

が求められる。 ({MP2) -{MP4}の場合に対しでも全く同様に制約問題 {CP2}-{CP4}を構成することができる。) このような制約問題の最適解と多目的計画問題のパレート最適解の関係は，次の定理に与えられる。【定理

2

】 (a*， li*， c，*L cR_*_{)と♂が多目的計画問題} _{MP_l_}_-{MP_4}のノ ξレート最適解であるための必要十分条件は， (ぜ， li*， cL*， cR_*₎_{が ♂}

_ε(0

_{，1)に対する} 制約問題 {Cpl}-{CP4}の一意な最適解となることである。制約問題を解くことにより得られるパレート最適解に対して，意思決定者は，現在の解に満足す!るか，あるいは，不満足であれば rr適合度 αo~ の値を更新する必要がある。ここで，既に述べてきたように rr適合度 αo.!lと『あいまい度 J(・).!lは互いに相競合しているので，意思決定者は α。の値を更新する場合には，このことを考慮する必要がある。意思決定者が αoの値を更新する時の有益な情報として rr適合度』と『あいまい度』の間のトレードオフ比を利用することが考えられるが，幸いにも，このトレードオフ比の情報は，感度解析[

5 ]

(9)

355 の立場から，【定理3】多目的意思決定の観点からのファジィ線形回帰分析と需要関数同定問題への応用次の定理に示すように容易に求められる。 -25-(Cpl) -(Cp4)は，それぞれ，一意的な最適解 (α，

a

， CL_，_CR )をもち，非この時， (CPl) -(CP4)の最適目的関数次の関係が成立する。退化条件を満たしていると仮定する。 {直を J1(α)-J.(α)で表せば，それぞれ，

E与よ=一生主立よ主

π

{

Hef+

qL(Xi))+ Al(

e

f

+

qR(Xi))}

。

0)

刊'(.2 01α i=l aJ2(a)

=

1 -

L

で

-α)

去

{

i

T

Z

e

f

+

A

7 e

f

}

rJrt rJU i=1

。

L-1_(α) ーーってー~~{πrqL(Xi)+A7qR(Xi)} (31) aa i=l

E#i= 一辺4旦よ会 {π~ef+À~ef}

_υ_α _aa _i₌₁

+1-L11-α) 主 {íT~qL(Xi )十 À~qR(Xi)}

0(1 i=l (32)

E与よ=一旦

4 位

三

π

{

tq(Xi)+λtq(Xi)} (33) υa aa i=1 ここlで，

π

f

， A;'，

i

=

1

， ""'k， 1

=

1

，

2

，

3

，

4

はそれぞれ制約式(Iか

ω

に対応するシンプレックス乗数を表す。以上の議論より，多目的計画問題(MPl)-(MP4)のバレート最適解の集合の中から，意思決定者の満足解を導出するための対話型アルゴリズムを次のように構成することができる。 [ステップ

1]

を設定する。意思決定者は，主観的に『適合度

α

o

J

(0

<α

。<1)の初期値 [ステップ2] 設定された『適合度 αo~ に対して，対応する制約問題 (Cp l) -(CP4)を解き，多目的計画問題(MP

l

}

-(MP4)のノミレート最適解とトレードオフ比(30)-側を計算する。 [ステップ3] 意思決定者は，ステップ 2 により得られた『あいまい度J(・)~ と α。の値に満足ならば終了。そうでなければ，現在の目的関数値とトレードオフ比の情報を考慮して，『適合度

α

o

J

の値を更新してステップ

2

へ戻る。

(10)

-26ー第61巻第3号 356

I

V

.

需要関数同定問題への応用提案した対話型アルゴリズムの妥当性，有効性について検討するために，次のような豚肉の需要関数同定問題を考えてみよう。家計調査年報

[

1

3 J

によれば，昭和42年から昭和

6

1

年までのわが国における一世帯当りの年聞の豚肉，牛肉の品目別購入数量および平均価格は表lに与えられている。ここでは，説明変数として， X1 豚肉の実質価格=豚肉価格/消費者物価指数

X

2 牛肉の実質価格=牛肉価格/消費者物価指数表l わが国における 1世帯あたり年間の品目別購入数量および平均価格 (全世帯、人口5万以上の都市〉年次世帯人員消費支出総額豚肉数量豚肉価格牛肉数量牛肉価格消費者物価指数昭和年人円 100g 円/100g 100g 円/100g 昭和55年=100 42 4 13 733.092 144 35 65 28 68 44 103 05 354 43 4 05 797.292 139 38 74 30 64 38 11321 373 44 3 97 881.964 133..087 84 12 70 121 118 00 39 3 45 3 95 993.504 147543 82 71 75 109 12349 42 3 46 3 93 1，088，904 157650 85 34 79 963 131 38 449 47 390 l.183.680 164 027 91 57 82 589 14310 46 9 48 388 1，397，172 180 403 103 13 76050 187 40 52 4 49 3 86 1，681，644 193.167 114 30 79198 215 10 65 2 50 386 1，925，700 188 920 139 29 82096 242 15 729 51 3 80 2.146.212 195534 151 44 85604 272 23 79 7 52 3 78 2，324，904 201 430 14716 89 026 276 62 86 1 53 377 2，463，108 202.980 144 99 99460 27826 894 54 3 80 2.628.972 209858 13862 101029 28610 926 55 378 2，819，352 21356 138 58 96 39 312.44 100 0 56 375 2，934，048 201 95 148 27 98 91 313.59 104 9 57 3 73 3. 09l. 908 20L47 151 11 10288 31788 107 7 58 370 3.166.476 19322 154 51 102.14 31826 109 7 59 368 3，251，748 193 81 153 56 105 37 316 67 112 1 60 3 65 3，343，104 18583 14949 103 57 32432 114 4 61 365 3，357，576 18699 143 74 104 22 327.62 115 1

(11)

357 X3 多目的意思決定の観点からのファジィ線形回帰分析と需要関数同定問題への応用一人当りの実質消費支出 = 消費支出総額 / (消費者物価指数×世帯人員) を取り上げ，次式で定義される豚肉の需要関数を説明することにする Y 一人当りの豚肉需要量=豚肉数量/世帯人員

27-[

7 。

]

まず，表

1

のデータから計算される入出力データに対して，通常の重線形回帰モデルを当てはめると次のような結果が得られた。

Y

=

-3 9

5

6

5 -15

“

690X

1

+16625X2

+

0

0039122X

3

。

4) 標準偏差

(

4

7

0

3

4 )

(

3

5

1

8

8 )

(

0

1

3

0

8

8 )

t

-

値

(

-33358) (

4

7

2

4

6 )

(

2

9

8

9

1 )

推定値の標準偏差

σ=

2 .

.

2

0

，重相関係数

R

=

0

“

9

6

3

7

4

(注計算は，香川大学計算センタ -

MELCOM COSMO 7

0

0 S

に用意されているサブルーチンライブラリ

NSP

を用いて行った。) これに対して，本稿では，提案した対話型アノレゴリズムに基づいてファジィ線形回帰モデノレを構成することを試みる。表

1

のデータから計算される入出力データはすべて非ファジィ数なので，本例に対しては，ファジィ線形回帰モデ‘ノレを求めるための多目的計画問題 {MP 4}を適用する。表lのデータに対して， {MP4}は次式で表される。ロun

2

1 忍

CiXU 立lax α subject to

一巳+忍

ai

X;

;

孟

V

1(α)

忍

c

ふ

;

，

i

=

1

2

0 巴一忍

ajX

i;孟

L

吋α)

忍

c;X

吋

i=

1

2

0

Cj注

0

，j

=

0

，刷..，

3

，α E

(

0

，

n

ただし， XiO

=

1

，

=

1

， .，.

2

0

以下では，ファジィパラメータんの型関数 [3 ]を次式で定義する。 L(x)=l-x，

o

五

x

孟

1

(12)

-28- 第61巻第3号 358 この多目的計画問題に対して，仮想的な意思決定者のもとで，提案した対話型アルゴリズムを適用した場合の対話過程を要約すれば，表2のようになる。表

2

において，仮想的な意思決定者の設定した適合度 αの初期値

o

5

に対して，制約問題を解き，ファジィパラメータ

a

o-ゐ，あいまい度J(・)およびトレードオフ比

o

J

/

仰が計算され表示されている。意思決定者はこれらの情報を考慮して

w

あいまい度 J(・).1を犠牲にすることにより『適合度引を改善しようと考え， αの値を

06

に更新している。以下，同様の対話を繰り返すことに表2 対話過程 ITERATION 1. (a

=

05) ao = (ao， Co) = (-8.9852， 0) al

=

(al， Cl)

=

(一7.0309， 0) a2

=

(a2， C2)

=

(

9.5143， 13259) a3

=

(a3， C3)

=

(

00056516， 000034195) J

=

257.22， dJ/da

=

514.43 ITERA TION 2.. (α= 0..6) ao

=

(ao， (0)

=

(-8.9852， 0) al

=

(al， (1)

=

(一70309， 0) a2

=

(a2， C2)

=

(

9..5143， L6573) a3

=

(a3， C3)

=

(

0.0056516， 000042744) I

=

32152， dJ/da

=

803..80 ITERA TION 3.. (α=07) ao

=

(ao， Co)

=

(-8.9852， 0) ム =(al，(1)=(ー7.0309， 0) ゐ =(の，む)= ( 9..5143， 22098) a3

=

(a3， (3)

=

(

0.0056516， 000056992) J = 42869， dJ/dσ= 14290 ITERA TION 4.. (α= 065) ao= (ao， (0) = (-8..9852， 0) ム =(al，cl)=(-7.0309， 0) a2

=

(a2， C2)

=

(

9..5143， L8941) a3= (a3， C3) = ( 0..0056516， 000048851) J = 367.45， dJ/da = 10499

(13)

359 形回帰分析と需要関数同定問題への応用多目的意思決定の観点からのファジィ線より，本例では 4回のイテレーションで満足解に到達している。 -29-満足解α =0..65の時のファジィ線形回帰モデルは，次のように表される。 1=(-89852， 0)+(一7..0309， 0) X 1 + (9ゅ5143，L 8941)X z (35) 十(0..0056516， 000048851)X3 平均値 8 9852-7ゅ0309X1+9 5143Xz+0“0056516X3 広がりのパラメータ 18941Xz+0引00048851X3 式側において，カッコ内の左側の値は各ファジィパラメータの平均値を，右側の値は広がりのノf_{ラメータを表す。} 通常の線形回帰モデル(34)と，ファジィ線形回帰モデノレ(35)は，ともに，豚肉の実質価格が下がれば下がるほど，牛肉の実質価格が上がれば上がるほど，実質消費支出が上がれば上がるほど，豚肉需要量が増加するという常識に矛盾しない結果が得られている。また，ファジィ線形回帰モテソレの回帰係数

a

l

の平均値 (一7ゅ0309)が通常の線形回帰モデルの回帰係数。 1(-15 690)よりも絶対値が小さくなっているのは，豚肉の需要量に対する豚肉の実質価格の感度がファジィパラメータ az，んの広がりのパラメータに吸収されているためと考えられる。さらに，ファジィ線形回帰モデルにおいて，ファジィパラメータムの広がりのパラメータ Cl

=

0

であるのに対して az，a3の広がりのパラメータはそれぞれCz= L8941， C3 = 000Q48851となっているが，これは，豚肉の実質価格は豚肉の需要量に直接的な影響を与えているのに対して，牛肉の実質価格や実質消費支出はある種のあいまいさをもって豚肉の需要量に間接的に影響を及ぼしていることを示すものと考えられる。このことは，豚肉の需要量と牛肉の実質価格，実質消費支出の関係が，現実には単純な線形関係では表現できるようなものではなくて，それ以外のシステムの他の複雑な諸要因との関わりの中で間接的な影響を与えあう関係にあることを意味している。

v

.

おわりに本論文では，まず，ファジィ数聞の大小関係を統合的に取り抜うために

(14)

Dub-30~ _第₆₁_{巻第}₃_号 ₃₆₀ oisらにより提案された3種類の指標に基づいて，ファジィ線形回帰モデルを求めるための 3種類の線形計画問題を定式化した。次に，線形計画問題として取り扱うためにあらかじめ設定しなければならな¥"W適合度的と，モデルの『あいまい度』の競合関係を多目的意思決定状況としてとらえることにより，ファジィ線形回帰モデルを求めるための多目的計画問題を定式化した。さらに，定式化された多目的計画問題に対して，意思決定者の満足解を導出するための対話型アルゴリズムを提案した。最後に，提案した対話型アルゴリズムの妥当性，有効性を検討するために豚肉の需要関数同定問題に適用した。今後は，従来の確率論の立場からの回帰分析とファジィ回帰分析の関係を明らかにすると共に，ファジィ回帰分析の適用が有効と思われる，あいまいなデータを含む現実の問題への適用が望まれる。謝辞著者(矢野〕が日頃御指導いただいている，岩手大学教授，坂和正敏先生に感謝いたします。参考文献

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(15)

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-31-[8 J 坂和正敏線形システムの最適化〈一目的から多目的へ

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pp. 317-320 [llJ 田中・和多国・林 iファジィ線形回帰分析の3つの定式イヒJ，~計測自動制御学会論文集』第22巻第10号(1986年)pp.. 1051-1057 [12J 横井・矢野 iファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用J~香川大学経済論叢』第60巻第4号， (1988年)pp 1-41 [13J 総務庁総計局，家計調査年報(昭和42年度版から昭和61年度版まで)

多目的意思決定の観点からのファジィ線形回帰分析と需要関数同定問題への応用-香川大学学術情報リポジトリ