1E 物理学演習 標準 H006-1
担当教員 : 浜中 真志 研究室 : E-mail:[email protected]
運動方程式：落体の運動 (2018 年 11 月 8 日 )
作成日: November 6, 2018 Updated : November 7, 2018 実施日: November 8, 2018
物体の運動法則について
定義1. 時刻tでの質点の位置を3次元ベクトル~r(t)で表す．
時刻tでの質点の速度~v(t)(=位置~x(t)の時間変化率)：
~v(t) := lim
∆t→0
~r(t+ ∆t)−~r(t)
∆t = d~r(t)
dt · · ·(∗) (= ˙~r とも書く) 時刻tでの質点の加速度~a(t)(=速度~v(t)の時間変化率)：
~a(t) := lim
∆t→0
~v(t+ ∆t)−~v(t)
∆t = d~v(t) dt
(∗)
= d2~r(t)
dt2 (= ¨~rとも書く)
[物体の運動法則(ニュートン)]
• 第一法則(慣性の法則)：物体に力が加わらなければ, 物体は等速直線運動を続 ける．(特に静止している物体は静止したままである．)
• 第二法則(運動方程式)：物体に力が加わると加速度が生じる．この加速度~aは，
加えられた力の総和F~に“比例”し, 物体の質量mに反比例する：m~a=F~
• 第三法則(作用・反作用の法則)：物体Aが物体Bから力F~ を受けるとき，物 体Bは物体Aから力−F~ を受ける.
[コメント]
• 運動方程式は, 未知関数~v(t), ~r(t) に関する微分方程式であり, md~v
dt = F~ と書けば 速度~v(t)に関する1階の微分方程式,md2~r
dt2 =F~ と書けば 位置~r(t)に関する2階の 微分方程式である. (どちらも時間tの関数.) 運動方程式を解くというのは，この微 分方程式を解く(＝tについて積分する)ことに他ならない．
• 物理法則は仮説であり,導かれた結果は実験事実から検証されなければならない. 落体運動：空気抵抗のない場合
問題1. (ウォーミングアップ：重力下での自由落下) ガリレオ・ガリレイは，高さhの高 さから物体を初速度0で自由落下させる実験を行い，以下の結果を得た(落体の法則)：
(1) 物体が地面に着地するまでの時間T は落下する物体の質量mに依存しない. (2) 地面までの距離hは地面に着地するまでの時間T の2乗に比例する.
運動方程式を解いてこの実験事実の説明(仮説の検証)を行え. 空気抵抗は無視してよい. なお，質量mの物体が地球から受ける力はmに比例し，その比例定数をg (重力加速度) と表す.
標準H0-1E18-06 難易度 : C 名城大学・理工学部
1E 物理学演習 標準 H006-2
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以後すべて，重力加速度の大きさをgとする.
例題1. 角度θの斜面上のある地点Pから，水平に初速度v0 で物体を投げ出したと ころ,斜面上の点Qに落下したときPQ間の距離ℓはいくらか. (図は黒板にて) 問題2. (提出問題１：演習問題II-A. 9)
α
L θ
Α
Β
C D
問題3. (重力下での斜面上の運動)
十分長くて幅がLのなめらかな長方形平面板ABCDがある. この板を 図のように(辺ABを地面と接したまま) 水平と角θ 傾けて保ち, 下の辺ABの一端Aから斜面に沿ってABと角αをなす方向に 小物体を打ち出して，これが他の端Bを通るようにしたい.
重力加速度をgとして小物体に与える初速度の大きさv0を求めよ. 空気抵抗やまさつは無視できるものとする.
落体運動：空気抵抗のある場合
問題4. (提出問題２：演習問題IV-C. 2)
問題5. (提出問題３：総合問題) 地上のある地点から質量mの物体を，水平面に対して 角度45度の方向に速さ√
2v0で投げ出した. 物体が高さ最高点に達したときの，速さV と水平方向の移動距離Lを以下の場合についてそれぞれ求めよ.
(1) 空気抵抗のない場合.
(2) 物体の速度に比例する空気抵抗力(比例定数をγとする)が働く場合.
問題6. (提出問題４：余力ある人向け) 鉛直上向きにx軸を取り，質量mの物体を時刻 t = 0において原点から静かに放す. この物体には速度の2乗に比例する空気抵抗力(比 例定数をmµとする)と重力が働くとする. 物体の運動方程式のx成分を書き下し，それ を解け．(時刻tでの物体の速度v(t)と位置x(t)をtの関数として具体的に表せ.)
【解答】 運動方程式は mdv
dt = −mg + mµv2. v, µ, g をそれぞれy, a, b に置き換える とH003 問題3の微分方程式に一致する(初期条件も同じ). v(t) =−
pg/µtanh√µg t.
x(t) =−(1/µ) log(cosh√µg t).
相対運動
問題7. (演習問題II-A. 4)
(iv)のヒント：M2,M1の加速度をそれぞれa′, bとする. エレベータ内で見ると,M1は下 向きに加速度a′+gの等加速度運動を行う. 求める時間をT とするとh= (1/2)(a′+g)T2. 問題8. (さらに余力ある人向け提出問題5：先週の問題再掲) H004 問題5において まさ つが一切ない設定を考える. 時刻t = 0で物体Pが斜面を滑りはじめ，同時に斜面台も水 平方向に運動をはじめた. 物体Pは斜面上を距離Lだけ滑り，斜面の下端に達した.
このとき斜面台の加速度の大きさAおよび物体が斜面の下端に達した時刻T を求めよ. また時刻T までに斜面台が移動した距離Xはいくらか.
【解答】 A= mgsinθcosθ M +msin2θ, T =
s2(M +msin2θ)L
(M+m)gsinθ , X = m
M +mLcosθ.
標準H0-1E18-06 難易度 : C 名城大学・理工学部
