実験で知る自然の世界 （数学：小森）（１２月８日）
1 ラプラスによる確率の定義（古典的定義）
定義1. 試行、根源事象、全事象、事象A、同程度の確からしさ、確率P(A)
例 1. （D’Alembertの解）
１枚のコインを２回投げるとき、少なくとも１回表の出る確率はいくらか。
例 2. （Bertrandの問題）
同じ外観の箱が３つある。それぞれに２つの引き出しがついているが、それ ぞれの引き出しの区別はつかないとする。第１の箱の引き出しにはそれぞれ １枚ずつ金貨が入っている。第２の箱の引き出しにはそれぞれ１枚ずつ銀貨 が入っている。第３の箱の引き出しの一方には金貨が、もう一方には銀貨が それぞれ入っている。
1. 箱を任意に選んだとき、異なる硬貨の入っている確率はいくらか。
2. 箱を任意に選んでいずれか一方の引き出しを開いたら、金貨が入ってい た。このときもう一方の引き出しに銀貨が入っている確率はいくらか。
2 ちょっと想像つかない例
例 3. （めぐりあい：de Monmort の問題）
１３（treize）という名前のゲームがある。それは箱のなかに１から１３まで
の数の書かれたカードが入っている。そこからカードを１枚ずつ引き出して いくとき、少なくとも１枚が引き出した順番とそのカードの数字が一致して
いる確率P(13)はいくらか。
例 4. （お誕生日）
ある学校の教室に生徒が２０人いる。このとき、少なくとも２人が同じ誕生 日である確率P(20)はいくらか。
3 幾何学的確率
例5. 線分AB上に２点P,Qをとるとき、２点ともBよりAに近い確率は いくらか。
1
例 6. （Buffonの針）
平面上に2aの間隔で無数の平行線がひかれている。いまこの平面に長さ2ℓ の針を落とすとき、針が平行線と交わる確率はいくらか。ただし ℓ < a と する。
例 7. （Bertrandのパラドックス）
与えられた円Oにおいて１つの弦をランダムにひくとき、その弦の長さが内 接三角形の１辺より長くなる確率はいくらか。
4 Kolmogorov の確率論（公理的定義）
5 演習：問題を解いてみよう
問 1. （Galileoの問題）
３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる確率と１０になる確率 はそれぞれいくらか。
問 2. （Bertrandの問題）
つぼの中に３個の白玉と５個の黒玉がある。
1. これから１個取り出すとき、それが白である確率はいくらか。
2. 今度は１個を取り出したとき、その色は知らせないでおいて、もう１ 度新たに１個取り出させる。このとき、後の玉が白である確率はいく らか。
3. さらに今度は１個を取り出したとき、その色は白と知らされる。この ときもう１度新たに１個取り出すとき、後の玉が白である確率はいく らか。
問 3. 長さaの線分 AB上にとった２点P,Qの距離が b を超えない確率は いくらか。ただしb < a とする。
問 4. 線分AB上にとった２点P,Q で、AP,PQ,QBを３辺とする三角形を 作ることができる確率はいくらか。
問 5. 三角形の３つの内角の長さをランダムに選んで三角形を描くとき、そ れが鋭角三角形になる確率はいくらか。
問 6. 三角形の３辺の長さをランダムに選んで三角形を描くとき、それが鋭 角三角形になる確率はいくらか。
問7. 円周上に３点P,Q,Rをとるとき、これらを頂点とする三角形が鋭角三 角形になる確率はいくらか。
2
