非定常時系列データのVARモデル推定について

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非定常時系列データの

VAR モデル推定について

明治大学大学院商学研究科辻裕行 2010 年 12 月 18 日【要旨】単位根を含んだ非定常時系列に対する_{VAR モデルの推定問題を検証する。伝統的理論では、} 単位根が存在する時系列を分析する場合、レベルのVAR モデルで推定を行うことは望ましくなく、データの階差を取ったモデルで推定を行わなければならないとされてきた。しかし、 Sims,Stock,and Watson(1990)が指摘している様に、データの階差を取ると、元のデータに含まれていた重要な情報が欠落してしまう可能性がある。また、単位根検定・共和分検定といったプレテストそのものの信頼性と、それに伴うモデル特定化の困難さという問題もある。これらのリスクを回避する為、単位根及び共和分関係の有無に関わらず、レベルのVAR で推定を行い、バイアスはいわば甘受してしまうことが、最近の研究の主流となっている。本稿では、モンテ・カル

ロ・シミュレーションで、有限サンプル下における、VAR モデル、VEC モデル、Sims,Stock,and

Watson(1990)の提唱した VAR を変換したモデル（以下「SSW モデル」）の三種のモデルの、非定常時系列に対するパラメータ推定の精度を検証した。また同じく「誤った」推定方法のバイアスを検証するという目線から、時系列データの誤差項同士が相関している場合（モデルの標準的仮定が崩れた場合）の上記3 モデルにおける OLS 推定と FIML 推定の精度も実験した。その結果、少なくとも今回の実験の範囲においては、こういった「誤った」推定方法を用いることのバイアスは、比較的軽微であるという結論に至った。

1. 序

全く相関関係のないランダム・ウォークに従う_{I(1)変数同士を回帰した場合、「見せかけ} の相関」が発生してしまう。その為、伝統的な時系列分析理論においては、データに対して単位根検定及び共和分検定を行い、その結果に応じて適切なモデルを選択する必要があるとされてきた。しかし、Sims,Stock,and Watson(1990)等を根拠として、レベルの VAR で推定を行うことが最近では通常となっている。あるいはまた、時系列データの誤差項に関する前提（ガウス＝マルコフの定理の前提）が崩れた場合、OLS は BLUE でなくなってしまうが、ここでも漸近理論に頼り、推定量の効率性を軽視するのが最近の風潮である。それ故、標準的仮定を満たす努力自体が過去のものとなりつつもある。本研究は、こういった伝統的な理論を軽視する流れに対する問題意識から出発し、「誤った」推定方法を用いると、具体的にどの程度の弊害が生じるのかをモンテ・カルロ・シミュレーショ

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ンにより検証した。その結果、有限サンプルでは、比較的軽微なバイアスしか生じず、大きな問題ではないという結論を得た。以降の構成について簡単に記す。2 節で今回検証する時系列データ及び、3 種のモデルについて述べる。_{3 節ではシミュレーションの内容について詳細を示し、4 節に結果を報告する。5 節} にて結論を述べる。

2. モデル

今回シミュレーションで生成する時系列データ及び三種のモデルについて解説する。以下の連立方程式で表わされる時系列を考える。（u_'とv_'は互いに無相関と仮定する。） X' = −0.4X',-+ 0.7Y',-+ u' u'~N(0,1) Y'= 0.2X',-+ 0.9Y',-+ v' v'~N(0,1) VAR 形式では以下の様に表わされる。 3X_Y' '4 = 5−0.4 0.70.2 0.96 3 X ',-Y',-4 + 51 00 16 5 u' v'6 この時系列データが、単位根を持ち、共和分関係にあることを確認する。係数行列をA と置く。 5−0.4 0.7_{0.2 0.96 = A} A の固有根は固有方程式 7A − λ97 = 0 （9は単位行列）を成立させるλであるので λ:_{− 0.5λ − 0.5 = 0 より} λ = 1, −0.5 である。固有根に1 を含むので、この時系列は単位根を持つ。また0 < <=>?(A − λ9) = 1 < N = 2であることから、共和分関係にあることも確認できる。次にVEC モデルは、データの 1 階の階差をとり ∆X'= −1.4(X',-− 0.5Y',-) + u' ∆Y'= 0.2(X',-− 0.5Y',-) + v' となる。共和分ベクトルはJohansen の検定により求めることとする。ここで (X',-− 0.5Y',-) = η' （η_'= E (−0.5)G_FHI Fε_',F

,

ε_'= u_'− 0.5v_'）と表わせる（変数同士の線形結合が定常となる）ので、X_'とY_'の2 変数が共和分関係にあることを改めて確認できる。

最後にSSW モデルについて解説する。Sims, Stock, Watson(1990)に基づけば、VAR モデルをJordan 標準形を用いて変換したモデルを OLS 推定することで、一致推定量を得ることができるとされている。モデルの変換過程を要約すると以下の通りである。

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ついて、1 未満の固有値が上方、1（＝単位根）が下方に来るよう、変形する。 A = B,-_{JBとなるような正則行列Bを求める為、A の固有ベクトルを求める。} λ = −0.5について LA − λ9Mb-=0 となるベクトルb-は50.1 0.7_{0.2 1.46 5}x_{y6 = 0 となる5}x_{y6であるので} b-= 5−7_{1 6} λ = 1について LA − λ9Mb:=0 となるベクトルb:は 5−1.4 0.7_{0.2 −0.16 5}x_{y6 = 0 より同様に} b:= 5126 b-, b:を合わせて B,-_{= 5−7 1} 1 26 となる。BB,-= B,-B = 9より B =_{15 5}1 −2 1_{1 76} J = BAB,-_{= 5−0.5 0} 0 16 である。ここでJ を、1 未満の固有根を含むブロックと、固有根 1 のブロックに分割し、それぞれJ_-、 J:とする。即ち J-= L−0.5M J:= L1M である。また、これに基づいて_{B を分割する。即ち} B-=_{15 L−2 1M}1 B:=_{15 L1 7M}1

である。この様にして求めた B を用いて、VAR モデルを変換する。詳細は Sims, Stock, Watson(1990)を参照されたい。ここでは Z'-= B-3X_Y_''4 =−2_{15 (X}'− 0.5Y') Z':= B:3X_Y' '4 1 15 (X'+ 7Y')

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となり、Z = 3Z' -Z':4が得られる。これを用いて 3X_Y' '4 = 3δ - δ: δS δT4 UZ ', -Z',-: V + 51 00 16 5 u' v'6 と置き、これをOLS 回帰させるのが SSW モデルとなる。ここでは X'= −0.4X',-+ 0.7Y',-+ u' = δ-W−2_{15 X}',-+_{15 Y}1 ',-X + δ:W_{15 X}1 ',-+_{15 Y}7 ',-X + u' Y' = 0.2X',-+ 0.9Y',-+ v' = δSW−2_{15 X}',-+_{15 Y}1 ',-X + δTW_{15 X}1 ',-+_{15 Y}7 ',-X + v' より 3δ_δ- δ: S δT4 = 53.5 10.5 26 である。

3.モンテカルロ・シミュレーション

以上、VAR モデル、VEC モデル、SSW モデルの 3 モデルについて、上記の時系列生成からパラメータ推定までのモンテカルロ・シミュレーションを行い、パラメータ推定の精度について、比較分析を行う。（Eviews7 を使用。プログラムは添付資料を参照のこと。）2 節にて述べた非定常時系列 X' = −0.4X',-+ 0.7Y',-+ u' u'~N(0,1) Y'= 0.2X',-+ 0.9Y',-+ v' v'~N(0,1) に対するOLS 推定及び e, f, g~N(0,1) u'= \2(0.5e + 0.5f) v'= \2(0.5e + 0.5g) という誤差項の系列相関を加えた時系列に対するOLS・FIML 推定を行う。シミュレーションは Sample=20,30,50,100,200,300,500,700,1000 Observations=4000 で行うものとする。即ち、時系列の生成と各モデルでの推定をそれぞれ 4000 回繰り返し、各推定値の平均値と、あらかじめ判明している真の値との誤差について、サンプル数の 9 段階の変化に応じた収束のふるまいを観察する。誤差はパーセンテージ（1－推定値/真の値）で測定した。モデル特定化の問題はここでは取り扱わない為、プレテストは行わず、

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モデルは特定済みとして推定を行う。よって、2 節でも述べたが、VEC モデルについては ∆X'= a-(X',-+ bY',-) + u' ∆Y' = a:(X',-+ bY',-) + v' という表現で係数の推定を行う。従って、まず共和分ベクトルb を Johansen の共和分検定により推定し、その後a_-及びa_:を推定するという二段階のプロセスになる。以下に結果を示す。

4. シミュレーション結果

（１）標準的仮定を満たしたデータに対する_{OLS 推定} 表表表

表(1)(1)(1)(1)----1 VAR1 VAR1 VAR モデル1 VARモデルモデル推定結果モデル推定結果推定結果推定結果

VAR A1 真の値 A2 真の値 B1 真の値 B2 真の値 -0.4 0.7 0.2 0.9 Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -0.38819 2.9528% 0.68790 1.7284% 0.16756 16.2190% 0.83793 6.8972% 30 -0.38921 2.6985% 0.68626 1.9633% 0.17718 11.4080% 0.85230 5.2997% 50 -0.39355 1.6133% 0.69189 1.1583% 0.18464 7.6805% 0.87217 3.0924% 100 -0.39795 0.5128% 0.69642 0.5120% 0.19298 3.5105% 0.88541 1.6211% 200 -0.39947 0.1332% 0.69842 0.2251% 0.19640 1.7980% 0.89247 0.8368% 300 -0.39873 0.3175% 0.69855 0.2069% 0.19691 1.5470% 0.89543 0.5080% 500 -0.39923 0.1920% 0.69900 0.1434% 0.19864 0.6820% 0.89687 0.3479% 700 -0.39948 0.1293% 0.69939 0.0877% 0.19932 0.3420% 0.89781 0.2430% 1000 -0.40030 -0.0752% 0.69988 0.0171% 0.19984 0.0815% 0.89818 0.2028%

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表表表

表(1)(1)----2 VEC(1)(1)2 VEC2 VEC モデル2 VECモデルモデル推定結果モデル推定結果推定結果推定結果

VEC A1 真の値 A2 真の値 B 真の値 -1.4 0.2 -0.5 Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -1.38127 1.3376% 0.1911 4.4500% -0.50169 -0.3372% 30 -1.39153 0.6054% 0.186746 6.6270% -0.5038 -0.7596% 50 -1.3917 0.5932% 0.192663 3.6685% -0.5007 -0.1400% 100 -1.39629 0.2651% 0.197834 1.0830% -0.50068 -0.1356% 200 -1.39659 0.2433% 0.197836 1.0820% -0.50015 -0.0300% 300 -1.39893 0.0766% 0.198518 0.7410% -0.5001 -0.0200% 500 -1.3993 0.0498% 0.199629 0.1855% -0.49999 0.0018% 700 -1.39979 0.0150% 0.199363 0.3185% -0.49993 0.0148% 1000 -1.39953 0.0339% 0.199935 0.0325% -0.49999 0.0018% 表表表表(1)(1)(1)(1)----3 SSW3 SSW3 SSW モデル3 SSWモデルモデルモデル推定結果推定結果推定結果推定結果 SSW D1 真の値 D2 真の値 D3 真の値 D4 真の値 3.5 1 -0.5 2 sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 3.43562 1.8396% 0.97768 2.2319% -0.32017 35.9654% 1.83457 8.2716% 30 3.42792 2.0595% 0.98096 1.9039% -0.39168 21.6634% 1.88598 5.7010% 50 3.44746 1.5013% 0.98981 1.0192% -0.43884 12.2326% 1.92883 3.5585% 100 3.45728 1.2207% 0.99526 0.4736% -0.46934 6.1328% 1.96321 1.8394% 200 3.47954 0.5845% 0.99689 0.3112% -0.48027 3.9462% 1.98141 0.9296% 300 3.48134 0.5331% 0.99794 0.2058% -0.48991 2.0188% 1.98765 0.6177% 500 3.49154 0.2419% 0.99882 0.1182% -0.49666 0.6672% 1.99233 0.3838% 700 3.49341 0.1883% 0.99918 0.0825% -0.49492 1.0164% 1.99473 0.2637% 1000 3.49907 0.0266% 0.99929 0.0713% -0.49650 0.7000% 1.99626 0.1869%

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表表表

表(1)(1)----4 (1)(1)4 4 各4 各各各モデルモデルモデル内最大誤差モデル内最大誤差（内最大誤差内最大誤差（（（絶対値絶対値絶対値絶対値））））比較比較比較比較

sample VAR VEC SSW

20 16.2190% 4.4500% 35.9654% 30 11.4080% 6.6270% 21.6634% 50 7.6805% 3.6685% 12.2326% 100 3.5105% 1.0830% 6.1328% 200 1.7980% 1.0820% 3.9462% 300 1.5470% 0.7410% 2.0188% 500 0.6820% 0.1855% 0.6672% 700 0.3420% 0.3185% 1.0164% 1000 0.2028% 0.0339% 0.7000% 図図図

図₍₁₎₍₁₎(1)----1 VAR(1)_{1 VAR}_{1 VAR}1 VAR モデルモデル誤差モデルモデル誤差誤差グラフ誤差グラフグラフグラフ

図図図図₍₁₎(1)----3 SSW(1)₍₁₎_{3 SSW}_{3 SSW}3 SSW モデルモデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ図図図

図(1)₍₁₎₍₁₎(1)----2 VEC_{2 VEC}_{2 VEC}2 VEC モデルモデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ

図図図図₍₁₎(1)----4 (1)₍₁₎4 各₄₄各各モデル各モデルモデル内最大誤差モデル内最大誤差（内最大誤差内最大誤差（（（絶対値絶対値絶対値絶対値））比較））比較比較比較グラフグラフグラフグラフ -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 A1ERROR A2ERROR B1ERROR B2ERROR 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 D1ERROR D2ERROR D3ERROR D4ERROR -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000

A1ERROR A2ERROR BERROR

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 VARMAXERROR VECMAXERROR SSWMAXERROR

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まずは時系列について誤差項の標準的仮定が満たされている場合のシミュレーション結果から見て行く。表(1)-4 より、三モデルを相対比較すると、VEC モデルが最も良い推定結果を示しており、次いでVAR、最も信頼性に掛けるのは SSW モデルであると言える。SSW モデルは理論的に無限サンプルでは一致推定量となるが、今回の実験範囲では、ほぼ_{VAR モデルに劣ると言} わざるを得ない。漸近収束の速度が遅い為、良い推定結果が残せなかったものと考えられる。また、絶対値を見ると、安定した結果を得る為には最低でも、VEC モデルでサンプル数 50 以上、_{VAR モデルではサンプル数 100 以上、SSW モデルを運用するのであればサンプル数 200 以} 上程度が、概ね必要であると考える。サンプル数 500 程度以上の大標本が用意できれば、レベルの_{VAR モデルでもそれ程悪くない推定値を得られると言えるだろう。勿論、VEC モデルが最} 良の結果を出している事には変わりない。しかし実際に研究を行うに当たって、ケースバイケースであるにせよ、モデル特定化に失敗するリスクが、1%未満程度の平均誤差の減少と釣り合うかどうかは、一考の余地があるのではないだろうか。（２）誤差項同士相関のあるデータに対するOLS 推定表表表

表(2(2(2(2))))----1 VAR1 VAR1 VAR モデル1 VARモデルモデル推定結果モデル推定結果推定結果推定結果

VAR A1 真の値 A2 真の値 B1 真の値 B2 真の値 -0.4 0.7 0.2 0.9 sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -0.37782 5.5445% 0.64011 8.5556% 0.20008 -0.0395% 0.81883 9.0186% 30 -0.38731 3.1738% 0.66226 5.3917% 0.19674 1.6285% 0.84779 5.8017% 50 -0.39744 0.6410% 0.67670 3.3283% 0.19624 1.8805% 0.86756 3.6044% 100 -0.39947 0.1332% 0.69842 0.2251% 0.19640 1.7980% 0.89247 0.8368% 200 -0.39781 0.5482% 0.69364 0.9090% 0.19971 0.1470% 0.89166 0.9268% 300 -0.39727 0.6830% 0.69530 0.6710% 0.19940 0.3000% 0.89460 0.5998% 500 -0.39929 0.1783% 0.69739 0.3726% 0.19967 0.1635% 0.89669 0.3677% 700 -0.39976 0.0613% 0.69842 0.2257% 0.19985 0.0750% 0.89766 0.2600% 1000 -0.39923 0.1928% 0.69855 0.2074% 0.20018 -0.0890% 0.89816 0.2042%

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表表表

VEC A1 真の値 A2 真の値 B 真の値 -1.4 0.2 -0.5 Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -1.38487 1.0808% 0.195266 2.3670% -0.50054 -0.1072% 30 -1.38264 1.2401% 0.202355 -1.1775% -0.50115 -0.2306% 50 -1.39173 0.5910% 0.205136 -2.5680% -0.50041 -0.0824% 100 -1.39615 0.2752% 0.203159 -1.5795% -0.50002 -0.0036% 200 -1.39573 0.3050% 0.202017 -1.0085% -0.50003 -0.0064% 300 -1.39771 0.1638% 0.200455 -0.2275% -0.49979 0.0420% 500 -1.39893 0.0764% 0.200887 -0.4435% -0.49996 0.0074% 700 -1.39882 0.0843% 0.199605 0.1975% -0.49998 0.0040% 1000 -1.39988 0.0084% 0.200541 -0.2705% -0.50006 -0.0114% 表表表表(2)(2)(2)(2)----3 SSW3 SSW3 SSW モデル3 SSWモデルモデルモデル推定結果推定結果推定結果推定結果 SSW A1 真の値 A2 真の値 B1 真の値 B2 真の値 3.5 1 -0.5 2 sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 3.29222 5.9365% 0.90276 9.7237% -0.57003 -14.0064% 1.84047 7.9765% 30 3.35290 4.2028% 0.93421 6.5795% -0.54128 -8.2556% 1.89684 5.1583% 50 3.41779 2.3489% 0.96071 3.9289% -0.51108 -2.2154% 1.93303 3.3485% 100 3.45753 1.2133% 0.97895 2.1054% -0.50837 -1.6748% 1.96557 1.7216% 200 3.47713 0.6534% 0.98925 1.0752% -0.51937 -3.8748% 1.98215 0.8927% 300 3.48680 0.3773% 0.99333 0.6666% -0.50020 -0.0390% 1.98843 0.5787% 500 3.48643 0.3876% 0.99571 0.4294% -0.50838 -1.6764% 1.99314 0.3429% 700 3.49451 0.1568% 0.99705 0.2947% -0.50730 -1.4606% 1.99498 0.2512% 1000 3.50136 -0.0389% 0.99783 0.2169% -0.49513 0.9744% 1.99636 0.1819%

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(2 (2(2

(2))))----4 4 4 各4 各各モデル各モデルモデルモデル内最大誤差内最大誤差内最大誤差内最大誤差（（絶対値（（絶対値絶対値絶対値））））比較比較比較比較

sample VAR VEC SSW

20 9.0186% 2.3670% 14.0064% 30 5.8017% 1.2401% 8.2556% 50 3.6044% 2.5680% 3.9289% 100 1.7980% 1.5795% 2.1054% 200 0.9268% 1.0085% 3.8748% 300 0.6830% 0.2275% 0.6666% 500 0.3726% 0.4435% 1.6764% 700 0.2600% 0.1975% 1.4606% 1000 0.2074% 0.2705% 0.9744% 図図図

図₍₂(2))))----1 VAR₍₂(2 _{1 VAR}1 VAR モデル_{1 VAR}モデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ

図図図図₍₂(2))))----3 SSW₍₂(2 _{3 SSW}3 SSW モデル_{3 SSW}モデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ図図図

図₍₂(2))))----2 VEC₍₂(2 _{2 VEC}2 VEC モデル_{2 VEC}モデル誤差モデルモデル誤差誤差グラフ誤差グラフグラフグラフ

図図図図₍₂(2))))----4 ₍₂(2 ₄4 各₄各各各モデルモデル内最大誤差モデルモデル内最大誤差内最大誤差（内最大誤差（（（絶対値絶対値絶対値絶対値 -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 A1ERROR A2ERROR B1ERROR B2ERROR -15% -10% -5% 0% 5% 10% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 D1ERROR D2ERROR D3ERROR D4ERROR -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 D1ERROR D2ERROR D3ERROR D4ERROR

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次に、誤差項同士に相関がある場合の OLS 推定である。先のシミュレーション（１）と比べて、ある程度のサンプル数―VAR では 700 程度、VEC 及び SSW では 300 から 500 程度―までは、相関が無いケースよりもむしろ収束が早く、良い結果を出しているように見受けられる。しかし、一致推定量を得られる推定ではない為、当然ながら一定のサンプル数を超えた段階で収束は止まり、バイアスが残り続けるという傾向が見て取れる。これは興味深い結果である。また、2~300 のサンプル数さえ確保されていれば、絶対値では平均誤差 1%以下程度のバイアスである。比較的小さなバイアスとして無視できる研究もあるだろう。（３）誤差項同士相関のあるデータに対する_{FIML 推定} 表表表

表((((3)₃₎3)----1 VAR₃₎_{1 VAR}1 VAR モデル_{1 VAR}モデルモデル推定結果モデル推定結果推定結果推定結果

VAR A1 真の値 A2 真の値 B1 真の値 B2 真の値 -0.4 0.7 0.2 0.9 sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -0.37818 5.4540% 0.63646 9.0771% 0.19935 0.3230% 0.82095 8.7838% 30 -0.38532 3.6700% 0.66053 5.6390% 0.20116 -0.5820% 0.84537 6.0696% 50 -0.39002 2.4940% 0.67412 3.6967% 0.19945 0.2730% 0.86711 3.6548% 100 -0.39479 1.3023% 0.68706 1.8484% 0.19952 0.2425% 0.88388 1.7912% 200 -0.39629 0.9275% 0.69275 1.0359% 0.20062 -0.3100% 0.89077 1.0253% 300 -0.39935 0.1620% 0.69603 0.5677% 0.19926 0.3690% 0.89458 0.6018% 500 -0.39934 0.1653% 0.69771 0.3273% 0.19935 0.3235% 0.89696 0.3373% 700 -0.40013 -0.0323% 0.69858 0.2024% 0.20013 -0.0645% 0.89746 0.2826% 1000 -0.39934 0.1663% 0.69858 0.2026% 0.19982 0.0925% 0.89835 0.1838% 表表表

VEC A1 真の値 A2 真の値 B 真の値 -1.4 0.2 -0.5 Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 -1.37752 1.6056% 0.19968 0.1600% -0.50053 -0.1060% 30 -1.38688 0.9374% 0.196976 1.5120% -0.49969 0.0624% 50 -1.38925 0.7681% 0.201427 -0.7135% -0.50028 -0.0568% 100 -1.39395 0.4323% 0.199953 0.0235% -0.50001 -0.0010% 200 -1.3989 0.0786% 0.201408 -0.7040% -0.50007 -0.0140% 300 -1.39868 0.0944% 0.200702 -0.3510% -0.50007 -0.0148% 500 -1.40041 -0.0294% 0.1994 0.3000% -0.49998 0.0038% 700 -1.39922 0.0554% 0.199448 0.2760% -0.50003 -0.0062% 1000 -1.39901 0.0711% 0.19966 0.1700% -0.49995 0.0096%

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表表表表(3)(3)(3)(3)----3 SSW3 SSW3 SSW モデル3 SSWモデルモデルモデル推定結果推定結果推定結果推定結果 SSW A1 真の値 A2 真の値 B1 真の値 B2 真の値 3.5 1 -0.5 2 sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 20 3.33342 4.7594% 0.90700 9.3004% -0.51490 -2.9802% 1.84728 7.6359% 30 3.38635 3.2471% 0.93468 6.5321% -0.48893 2.2146% 1.89664 5.1680% 50 3.42095 2.2587% 0.95930 4.0698% -0.52571 -5.1428% 1.93114 3.4428% 100 3.45755 1.2129% 0.97873 2.1269% -0.50733 -1.4664% 1.96402 1.7988% 200 3.48693 0.3736% 0.99016 0.9836% -0.48800 2.3992% 1.98293 0.8536% 300 3.48772 0.3509% 0.99287 0.7133% -0.50734 -1.4678% 1.98833 0.5836% 500 3.48980 0.2916% 0.99600 0.4005% -0.49309 1.3822% 1.99339 0.3308% 700 3.49290 0.2029% 0.99688 0.3118% -0.50135 -0.2696% 1.99517 0.2417% 1000 3.49410 0.1685% 0.99787 0.2135% -0.50637 -1.2736% 1.99661 0.1695% 表表表表₍₃(3))))----4 ₍₃(3 ₄4 各₄各各各モデルモデルモデル内最大誤差モデル内最大誤差（内最大誤差内最大誤差（（（絶対値絶対値絶対値絶対値））））比較比較比較比較

sample VAR VEC SSW

20 9.0771% 1.6056% 9.3004% 30 6.0696% 1.5120% 6.5321% 50 3.6967% 0.7681% 5.1428% 100 1.8484% 0.4323% 2.1269% 200 1.0359% 0.7040% 2.3992% 300 0.6018% 0.3510% 1.4678% 500 0.3373% 0.3000% 1.3822% 700 0.2826% 0.2760% 0.3118% 1000 0.2026% 0.1700% 1.2736%

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図図図

図(3(3))))----1111 VAR(3(3 VARVARVAR モデルモデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ

図図図図(3))))----2222 VEC(3(3(3 VECVECVEC モデルモデルモデル誤差モデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ

図図図図₍₃_{(3))))----3 SSW}₍₃₍₃ _{3 SSW}_{3 SSW モデル}_{3 SSW}モデル誤差モデルモデル誤差誤差誤差グラフグラフグラフグラフ図図図図₍₃_(3))))----4₍₃₍₃ ₄_{4 各}₄各各各モデルモデルモデル内最大誤差モデル内最大誤差（内最大誤差内最大誤差（（（絶対値絶対値絶対値絶対値））比較））比較比較比較グラフグラフグラフグラフ最後に、誤差項同士相関があるデータに対して_{FIML 検定を行ったシミュレーション結果につ} いてまとめる。VAR・SSW モデルは OLS 推定を行ったシミュレーション（２）の結果と比べ、それほど差は無いように見られる。対してVEC モデルに関しては、概ね二倍程度の収束の良さが見られる。三つのシミュレーション全体を通して言えることでもあるが、サンプル数が_{30 や} 50 など小標本の場合には、VEC モデルが信頼できるモデルであり、逆に VAR や SSW モデルでは使い物にならないという可能性も大きくなってくるだろう。とりわけFIML で推定を行う場合は、三種のモデルの中で唯一恩恵を受けられるようでもある。VAR や SSW モデルに比して、誤差をかなり大きくカット出来る。メリットが十分に大きいと感じられる場合は、モデルを特定化し、階差を取るリスクに見合うと考えることもできるだろう。また、大標本を利用できる場合は、やはりレベルのVAR モデルで推定を行ってもそれほど差し支えないと考えられる。 -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 A1ERROR A2ERROR B1ERROR B2ERROR -1.0% -0.5% 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000

-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000 D1ERROR D2ERROR D3ERROR D4ERROR 0% 2% 4% 6% 8% 10% 20 30 50 100 200 300 500 700 1000

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5．おわりに

本稿では、伝統的理論によれば「誤った」推定方法とされる最近の分析手法のバイアスを検証する為、一つの具体例として、モンテカルロ・シミュレーションを行った。その結果、今回のシミュレーションの範囲では、誤差項同士に相関が無い場合は 500 以上、相関がある場合は 200 ～300 程度以上のサンプル数があれば、レベルの VAR で推定を行うことにより生じるバイアスは、ほとんどのケースで差し支えないであろうと感じられた。その上で、求める推定精度、プレテストの信頼性、時系列（誤差項）の特性に対する研究者の確信、等を加味して、必要に応じて VAR 以外のモデルを選択・利用すれば良いだろう。具体的には、例えば、小標本の場合や FIML 推定を行う場合にVAR モデルと VEC モデルを併用する、あるいは、巨大標本で誤差項同士に相関が無く、階差を取らずにOLS 一致推定量を得たい場合は SSW モデルを利用する…等の選択が考えられる。いずれにせよ、時系列データを推定する際のモデル選択に関しては、サンプル数が最も大きなファクターである。小標本を利用せざるを得ない場合、あるいは 10000、20000 といった巨大なサンプル数のデータを利用出来る場合には、VAR 以外のモデルを利用するという選択を考慮する余地があるだろう。また、今回のシミュレーションは、検証する時系列に関して、係数、サンプル数等、バリエーションに乏しく、限定された範囲での結論であるということは強調しておかなければならない。どの様な時系列データを扱うケースにおいても、今回の様な結果が得られるとは限らない。他の様々なケースを扱い更なる検証を行うことは、今後の課題である。

参考文献

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北岡孝義、高橋青天、矢野順治『_{EViews で学ぶ実証分析入門応用編』、日本評論社、２００}