分数の数列の和

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分数の数列の和

数 B＞ 第３章 数列＞ 第２節  数列 > 第３講： 数列 和

分数の数列の和

解

例題

次の初項から   項までの和を求めなさい。

n

1

1⋅4 + 14⋅7 + 17⋅10 + 1

10⋅13 +⋅ ⋅ ⋅

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

n

∑

1

(k + a)(k + b) = ∑

k=1

1

b − a ( 1

k + a − 1 k + b )

例

数列の和を部分分数に分けてを求めることができる

（Step２）（      ）に分ける

 のとき，

k = 2n, a = − 1, b = 1

（Step３）具体的な数列をかく 部分分数

（Step４）消せる項どうしで消していく

= 13(1 1 − 1

4)+ 1 3(1

4 − 1

7)+ 1 3(1

7 − 1 10) + 13( 1

10 − 1

13)+⋅ ⋅ ⋅+ 1

3( 1

3n−2 − 1 3n+ 1)

= 13(1

1 − 1

3n + 1) = n 3n + 1

（Step１） 分母の（      ）を求める 一般項

ただし，

a < b, a ≠ b

n

∑

1

(2n − 1)(2n + 1) = ∑

k=1

1

2 ( 1

2n − 1 − 1 2n + 1 )

一般項を a_n とすると，

a_n= 1

{1 + 3(n−1)}{4 + 3(n−1)} = 1

(3n−2)(3n+ 1)

n

∑k=1

1

(3k−2)(3k + 1)

=∑ⁿ

k=1

1

3( 1

3k−2 − 1 3k + 1) よって，

(Step１)

(Step２)

(Step３)

(Step４)

初項：1^，交差：3 ^{の等差数列}  初項：4^，交差：3 ^{の等差数列}

k = 3n,a =−2, b = 1

2

等差数列×等比数列の和

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等差数列×等比数列の和

解

例題

次の初項から   項までの和を求めなさい。

n

1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3

+ 7 ⋅ 3

+ ⋅ ⋅ ⋅

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

（Step１）等差数列と等比数列の       （      ）を求める

S_n = 1⋅1 + 3⋅3 + 5⋅3²+⋅ ⋅ ⋅+ (2n−1)⋅3ⁿ⁻¹

(Step１)

(Step２)

(Step３)

一般項

（Step２）和   に対して（     ）を         かけたものを引く

S

^公比

（Step３）式変形していき，（       ）       に帰着させる

等比数列の和

S

= ∑

k=1

a

⋅ b

ただし， a

:  等差数列， b

:  等比数列

復習

等比数列の和（初項  ，公比   ） a r

 または 

S

= a(1 − r

)

1 − r S

= a(r

− 1) r − 1

両辺に 3 ^{をかけると，}

3S_n = 1⋅3 + 3⋅3²+⋅ ⋅ ⋅+ (2n−3)⋅3ⁿ⁻¹ + (2n−1)⋅3ⁿ

辺々を引くと，

S_n−3S_n = 1⋅1 + 2⋅3 + 2⋅3²+ 2⋅3ⁿ⁻¹−(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 1 + 2(3ⁿ−1)

3−1 −(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 1 + 3ⁿ−1−(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 2(1−n)⋅3ⁿ S_n = (n−1)⋅3ⁿ

初項から   項までの和を   とする。

n S

初項：1，交差：2 の等差数列  初項：1，公比：3 の等比数列

例題

3

群数列

解

正の奇数の列を，次のような群に分ける。ただし，  群に は   個の数が入るものとする。このとき，第   群の初めの 項を   の式で表しなさい。

n

n n

n

群数列

（     ）… 一定の規則に従って群に分けた数列

群数列を解くときに求めておくといいもの！

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日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

群数列

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ⋅ ⋅ ⋅

第１群第２群 第３群 第４群

与えられた（     ）の一般項 数列

２

各群に含まれる（     ）の一般項 項数

３

n − 1  群の（     ）の項数 ^末項

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ⋅ ⋅ ⋅

第１群 第２群 第３群 第４群

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ⋅ ⋅ ⋅, ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅

第１群 第２群 第３群 第４群 第n−1群 ^第 n ^群 項数がいくつあるか求める

正の奇数の数列を 

a

a

= 2n − 1

また，第  群までに含まれている項数を求めると， 

第１群には１項，第２群には２項…含まれているので，

n −1

1 + 2 + 3 +⋅ ⋅ ⋅+ (n −1) = 1

2n(n −1)

復習

1 + 2 + 3 +⋅ ⋅ ⋅+ (n −1) = 12n(n −1) 1 + 2 + 3 +⋅ ⋅ ⋅+ (n −1) +n = 1

2n(n + 1)

これが第 n −1群の末項の項数になるので，

a

a

= 2 ⋅ 1

2 n(n − 1) − 1 = n

− n − 1

よって，第   群の初めの項は①に交差 

n

n

− n − 1 + 2 = n

− n + 1