解答例 ２次数学セレクション

© 電送数学舎 －1－

［98 千葉大・理］

(1) OP 2  3

a b _{, AQ OP}

交点を H く

, OH a OP方 向 へ 正 射 影 ベ ク ト ル ,

OH OP

OP

OP OP

OP OP

OP

  

a _  a

2 ここ , OP

2 ₁ 2 9 2

 ab  1



  





9 4 4

8 9

2 2

a a b b





aOP a 2a b a  a b  3

1 3 2

5 6 2

, OH 5 OP     6

9 8

15 16

2 3

5 16 2 a b _{( a b)}

H AQ 中点 ,

a



OQ OH

2 ,

OQ2OH  5     8 2

1 4

5 8 a ( a b) a a b (2) R OQ上 点 , ORkOQ 1ka kb

4 5 8

R AB上 点 , 1

4 5

8 1

8 7 k k , k , OR 1    

4 8 7

5 8

8 7

2 7

5 7 a b a b (3) (2) , AR RB: 5 2 , : す わちAR 5AB

7 条件 , AP1AB

3 , PR AB AB AB 5

7

1 3

8 21 また, (2) k 8

7 , QR OR 1 8

, △PQR 8  △OAB △OAB 21

1 8

1 21

ここ , △OAB 1   

2

7 4 2 2 2 a b (a b)

以上 , △PQR 1   21

7 4

7 84

［解 説］

く見 け 頻出題 す。(1) 正射影ベクトルを利用しました , 普通 OQxayb い , x, y 連立方程式を立 , そ を解い 構いませ 。

O

A _P

H Q

© 電送数学舎 －2－

［98 一橋大］

(1) ABb, ACc す 。 AB2  (1 t)AC1tAA1





(1t t b) t (1t b) t c

2 1t( t b) t c2 AC2  (1 t)AA1tAB1





(1t) (1t b) t c t(1t c)

 (1 t)2b2 1t( t c)

B C2 2  AC2 AB2 (3t2  4t 1)b(3t2 2t c)

(i) B C2 2// AC , B C2 2 c 実数倍 3 4 1 0 2

t   t , t 1 3 (ii) B C2 2// AB , B C2 2 b 実数倍 3 2 0

2

t  t , t 2 3 (iii) B C2 2// BC , B C2 2 bc 実数倍 3 4 1 3 2

2 2

t   t t  t, t 1

2 (2) (1) 同様 し ,

AA2 tAC1 (1 t)AB1 t b2  (1 t)2c C A2 2 AA2 AC2 (2t1)b(3t2 4t 1)c A B2 2 AB2 AA2 (2t3t2)b(2t1)c (i) t1

3 , B C2 2   AC C A2 2    BA 1

3 1 3

1 3

1 3

c , b ,

A B2 2 1   CB 3

1 3

1 3

b c , △A B C2 2 2∽△BCA , 相似比 1 3: (ii) t 2

3 , B C2 2    BA C A2 2    CB 1

3 1 3

1 3

1 3

1 3 b , b c , A B2 2 1  AC

3 1 3

c , △A B C_{2 2 2}∽△CAB , 相似比 1 3: (iii) t 1

2 , B C2 2     BC C A2 2    CA 1

4 1 4

1 4

1 4

1 4

b c , c ,

A B2 2  1  AB 4

1 3

b , △A B C_{2 2 2}∽△ABC , 相似比 1 4:

［解 説］

くあ 構図 頻出問題 す。上 う 1 次独立 ベクトルを設定す , また

頂点 位置ベクトルを設定し 解い いけ , 完答 問題 す。

A

B A1 C

2 1 1

2 2

A B

B

© 電送数学舎 －3－

［98 東京大・文］

(1) △ABC 重心G1 0 1 3 3 0 ( , , )

DG1 OD2 OG12 3 1 3

2 3 6

    

, D( ,0 1 , ) 3 3

2

3 6 。

す , △ABD 重心G2 0 1 9 3

2 9 6

( , , )

G E2  G C2 , OEOG2 G C2

( ,0 1 , )( , ,  ) 9 3

2

9 6 0 89 3 2 9 6 ( ,0 7 , )

9 3 4 9 6 以上 , E( ,0 7 , )

9 3 4 9 6



(2) 線分DE z軸 交点をF す , EF FD:  7 :  :

9 3 1

3 3 7 3

正四面体ABDE 体積をV0 す ,





V0 1 3

1

2 2 2 60 2 3 6

2 3 2

    sin   

求め 正四面体ABDE y≦0 部分 体積V , V  7 V 

10

7 15 2 0

［解 説］

合同 正四面体を 2 合わせた立体 い 設問 す。(1) E 座標を求め

い い 方法 あ ます , △AED 重心 注目す , 計算量 一番少

く す し う。(2) 体積 いうこ 一瞬構え しまいます , 内容的 簡単

す。 , 昨年, 岡山大 類題 出 います。

A B

C D

E

O _x

y z

© 電送数学舎 －4－

［98 大阪市大・理］

(1) OQOAtAP , (X, Y, 0)( ,0 0, 2)t x( , y, z2) X tx………

Y ty………

0 2 t z( 2)……… , t

z

 2 2

代入し , X x z

 2

2 ………

代入し , Y y

z

 22 ………

(2) 直線OP 直線AP 垂直 , OP AP 0 x2 y2 z z( 2)0………

(3) 条件 , X Y Y 2 2

4 0

  

を代入し ,

 

2 2

2

2 4

2

2 0

2 2

x z

y z

y z

       

x2 y2 2y(2z)0……… － , (z2)(z2y)0 z 2 , z 2 y

代入し , x y y y x y y

2 _ 2 _{2 (22 )0,} 2 _5 2_{4 0}

［解 説］

(3) zを消去す 求め 結論 ます , zをx, y 表し

代入す いう計算 手 ま しまいます。 式 類似 注目し ,

両式 差を , 予想以上 簡単 式 出 ました。

A P

Q

x

y z

© 電送数学舎 －5－

［98 千葉大・文］

(1) 条件 , (psatb) a 0 p a s a 2   ta b 0 2  2s t 0……… また, (psatb) b 0

p b sa b t b 2 0

   2 s 2t 0……… , s 2 t 

3

2 3 ,

(2) (1) , OHsa tb 2a b 3

2

3 く , 点H 平面上 点 あ , し , psa tb OPOHHP  垂直 , 点H 点P  し

た垂線 足 。

す , 2点P, Q 中点 H , OH

OP OQ

 ₂

OQ2OHOP 4   3

4 3 a b p

(3) OH 2





2

2 2

2 3

2 3

4

9 2

4

9 2 2 2 8 3

 a b  a  a b  b  (   )

ここ , △OPH 1

2△OPQ   1

2 2 2

3

2 3

また, △OPH 1       2

1 2

8 3

2 3

OH PH PH PH

, 2 3

2 3

PH , PH 1 3

平方 定理 , p OP OH PH    2 2 8

3 1 3 3

［解 説］

P  し た 垂 線 足 を 表 す 位置ベクトルを求め こ (1) 意味 す。

こ 気 くこ , (2) 解法 ポイント す。また, (3) ベクトル け 計算

OPを求め い す , 上 解 直角 注目し 図形的 考え ました。

O

P

A B H

Q

© 電送数学舎 －6－

［98 防衛医大］

(1) 0＜a＜b P ( ,a 2b, 2a) yz平面(x 0) 距離 a r1 a, また Q( ,b 2a, 2b) yz平面(x 0) 距離 b r2 b 。

K1, K2 中心間 距離をd く ,

dPQ (ab)2 (2b2a)2 (2a2b)2 3 a b 3(ba) (2) K1, K2 交わ 条件 , r1 r2＜d＜r1 r2

(1) , ba＜3 (ba)＜ba ba＜3 (ba) , b＞a 3 (ba)＜ba , b＜2 a

ab平面上 図示す , 右図 う 。 た し, 境界線 含ま い。

(3) (1) , K1, K2 方程式 ,

K1 : (xa)2 (y2b)2 (z2a)2 a2……… K2 : (xb)2(y2a)2(z2b)2 b2……… K1, K2 交わ を含 平面 方程式 , － ,

(2a2b x)  ( 4b4a y)  ( 4a4b z) (a2 b2)a2 b2 ab , x2y2z 0………

またPQ(ba, 2a2b, 2b2a)(ba)( ,1 2, 2) , 直線PQ , ( ,x y, z)( ,a 2b, 2a)t( ,1 2, 2)………

平面 直線 交点 点R , ,

(a t) 2 2( b2t)2 2( a2t)0

9 5 4 0 5 4

9 t a b , t  a b

代入し ,

( ,x y, z)( ,a 2b, 2a) 5a4b( ,  , )

9 1 2 2

1   

9(4a 4b, 10a 10b, 8a 8b)

, R 4



4



9

10 10 9

8 8

9 a b_, a b_, a b

［解 説］

(3) 式を導いた過程 , 平面上 い 2 交わ い , 共通弦

方程式を求め 同 考え方 す。平面 方程式 新課程 範 外 す , 基本

け 確認し いた方 い 思わ ます。

a b

O

© 電送数学舎 －7－

［99 東京都立大・理］

x2 y2 1上 点P ( cos , sin )  く , PQ 2

POQ 90 , 点 Q Q(sin , cos )  ま た Q( sin , cos ) け 。

(i) Q(sin , cos ) 

PA (3cos , sin ) , QB  ( 4 sin , cos ) , PA QB (3cos )(  4 sin ) sin cos 

4cos3sin12

 a OP 12 a( ,4 3) す ≦ a  OP 12   5 1 12 7

等号成立 , a OP 同 向 , OP 1 OP

 

4

5 3 5

, 。

, P

  

4 Q



5

3 5

3 5

4 5

, ,  ,

(ii) Q( sin , cos )

PA (3cos , sin ) , QB  ( 4 sin , cos )  , PA QB (3cos )(  4 sin ) sin cos 

4cos3sin12

 b OP 12 b( ,4 3) す ≦ b  OP 12   5 1 12 7

等号成立 , b OP 同 向 , OP 1 OP



4 



5 3 5

, 。

, P



4

 

Q



5 3 5

3 5

4 5 ,  ,  , 

(i)(ii) , PA QB 最大値 7 。 そ P

  

4 Q



5 3 5

3 5

4 5

, ,  , また P



4

 

Q



5 3 5

3 5

4 5 ,  ,  , 

［解 説］

本問 う , sin cos 1 次式 最大値, 最小値を求め , 合成 1 方 法 す , 内 積 利 用 い う 手 有 名 す 。 こ 方 法 特 徴 , 最大値, 最小

値を 場合 , 図 す わ いう点 あ ます。

x y

1 O

P Q

1

P 4 3

x y

O

a

P 4

x y

O

© 電送数学舎 －8－

［99 九州大］

(1) 条件 , a  b  c 1, a b    b c 1 a c 

2, 0

a d 1 , a d  a (xaybzc)1 , x1y

2 1………

b d 0 , b d  b (xaybzc)0 , 1    2

1

2 0

x y z ……… c d 0 , c d  c (xaybzc)0 , 1  

2y z 0……… , ( ,x y, z)



3, ,



2 1 1 2

ま た, f uavbwc い 同 様 す , a f 0 u1v 2 0 , b f 0 1   

2

1

2 0

u v w , c f 1 1   2v w 1 , ( ,u v, w)



1, ,



2 1 3

2 , f    1 2

3 2 a b c

(2) (1) , d 2 3a b c 2

 

 

2

1 2

9 4 1

1 4 2 32

1

2 2 12 1 2

3 2

              

 

 

f 2 1 2

2

3 2

1 4 1

9 4 2 12

1

2 2 32 1 2

3 2

 a b c            

, d  f  3 

2 6 2 また, d f 3

2

1 2

1 2

3 2

a b c a b c a c

df 2  ac 2     1 2 0 1 2 , df  2 (3) △ODF ODOF 6

2 二等辺 角形 , 底辺DF 2 中点をM く

, OM 

   

6   2

2

2 1

2 2

。

, △ODF 1   2 2 1

2 2

(4) b d 0 , b f 0 , b 平面ODF 垂直 あ 。 こ こ , b e す 角 を く , b e 1 , b 1

, e cos 1 。

こ , △ODFを底面 す , 四面体 ODEF 高さ

1 あ こ を表す , 体積 1

3 2 2 1

2 6

   。

［解 説］

(4) , b 平面ODF 法線ベクトル あ 注目し 解 ました。

O

D F M E

© 電送数学舎 －9－

［99 岡山大］

(1) OA a, OCc, OP p く。 d a 1c

2 …… , f c p 1

2 …… , g  p c 1 2 …… , 3

2 2

4 3

2 3

c fg, c f g……… , a d 1c d 

2

2 3

1 3

f g………

, OE c 1a

2   



 



4 3

2 3

1 2

2 3

1 3

f g d f g

 1   2

1 2

d f g………

(2) 1

2 1 1 2 1

   , 点E 3点D, F, G 決ま 平面上 あ 。

また , p g 1



f g



  f g 2

4 3

2 3

2 3

4 3 , OH p 1a

2    



 



  

2 3

4 3

1 2

2 3

1 3

1 2

3 2

f g d f g d f g……… 1

2 1 3 2 1

   , 点H 3点D, F, G 決ま 平面上 あ 。

(3) 五角形DEFGH い , DEEFFGGH 2 2 2 2

2 2 _, また AH  22 42 2 5 HD (2 5)2 22 2 6, さ

FHFDHD ,

△FGH△FDE 1   

2 2 6 2 2 6 2 3

2 2

( ) ( )

△FHD 1     2 2 6 2 6 sin60 6 3

五角形DEFGH 面積 , 2 3 2 6 3 10 3

(4) 点K 五角形DEFGH した垂線 足をL す , 対称性 L 長

方形OPRB上 あ 。また長方形OPRB 線分GH, DE

交点をそ I, J く ,

IR 3  JB  

4 4 2 3 2

1

4 4 2 2 ,

△IJK 1         

2 3 2 2 4 1

2 3 2 1 1

2 2 3 5 2

( )

△IJK   1 IJ KL  DH KL  KL 2

1

2 6

, 6 5 2 5

3

KL , KL , 五角錐 体積 , 1 3 10 3

5 3

50 3

  

［解 説］

(4) , OR 五角形DEFGH 垂直 あ こ を用い 計算量 減 ます。

O

A B

C P

Q

R S H

G

F

E D

F G

H D

E

O B

R P I

J L

© 電送数学舎 －10－

10 ［99 東北大・理］

条件 , S1 x y z

2 2 2

10 81

: (  )    ………

S2 :x2(y10)2 z2 64………

S1 S2 接し原点を通 直線 , ( ,x y, z)t a( , b, c)……… た し, a b c

2 _ 2 _ 2 _1 ………

ま を 代入し , (at10) (bt) (ct) 81 2 2 2 (a2 b2 c2)t2 20at190

, t2 20at190

接す , D 4 100a 19 0 a

19 10 2

   ,   ………

次 を 代入し , (at) (bt ) (ct) 2 _{ 10} 2 _ 2 _64 (a2b2 c2)t2 20bt360

, t2 20bt360

接す , D 4 100b 36 0 b 3 5 2

   ,   ………

, 19 100

9

25 1

2

 c 

c 0 , c 3 5 10

以上 , ( ,a b, c) 



,  ,



19

10 3 5

3 5

10 複号任意

［解 説］

図形的 位置関係を考え い す , ここ 代数的 解い ました。こ

© 電送数学舎 2000 －11－

11 ［2000 大阪大・文］ OAOB OC , OAOB  OC

OA 22OA OB  OB 2  OC 2

ここ , OA  OB  OC R, AOB く , R2 2R2cosR2 R2

2 1 0 1

2 120

cos  , cos   ,   

さ , OAOB OC , 2 2

OAOB  OC 変形をす , 辺 AB 中点

頂点C O 関し 反対側 あ こ ,

ACB 1 AOB 

2 60

また, OAOC OB , 同様 し , ABC AOC  1

2 60

, BAC180    60 60 60 以上 , △ABC 正 角形 あ 。

［解 説］

いぶ 前 ます , 1992年 京大 , 類題 出 います。

A

B C

θ

© 電送数学舎 2000 －12－

12 ［2000 京都大］ 対 角 線 AP BC 交 点 を D す , 条 件(ロ) ,

BD DC:  p: (1 p) , AD(1 p)ABpAC

ここ , 正 角形 ABC 1 辺 長さを 1 し , 一般

性 失わ い ,

AB  AC  BC 1 AB AC   1 1 60  1

2 cos

AD 2 (1p)2 AB 2 2 1( p p) AB AC p2 AC 2 (1p)2  (1 p p)  p2   1 p p2

, AD  1 p p2

ここ , 方べ 定理 , AD DP BD DC DP BD DC

AD

   

 

p p p p (1 )

1 2

す , AD AP: :





( )

      

 

1 1 1

1

2 2

2 p p p p p p

p p (1pp2): (1pp2 pp2)

(1pp2):1

AP AD AB AC

  



    

1 1

1

1 1

2 2 2

p p

p p p

p p p

［解 説］

方べ 定理 活躍す 構図 設問 す。ま , 1 問完答 を け 問題

す。

A

B C

© 電送数学舎 2000 －13－

13 ［2000 神戸大・文］ (1) CPsat a( b)……(a) 対し, CD a b く ,

CPsCAtCD 0≦st≦1, s 0, t 0

, 点P △ADC 内部また 周上 存在す 。 次 , CP(2st a)  (s t b) ……(b) 対し ,

CPs(2ab)t a( b) CE2ab, CF a b く ,

CPsCEtCF 0≦st≦1, s 0, t 0 , 点 P △CEF 内部また 周上 存在

す 。

(2) (a) 場 合 , △ADC△ABC , 点 P 存

在す 範 面積 △ABC 1倍 。

(b) 場合 , GF AF BC 3

2

3

2 , EB2AC ,





△EFC  △ACF 3

2 2 3△ABC

, 点P 存在す 範 面積 △ABC 3倍 。

［解 説］

一般的 難しめ 問題 多いベクトル 領域 融合題 す , 本問 基本 確認

主 います。

A

B C D

a

b

A

B C

a

b

F G

© 電送数学舎 2001 －14－

14 [名古屋大・理]

(1) OAkOA く , OAOBOC0



OB OC



OC OB A

O

 

 

  _{ }

  

 k k

点A 線分BC上 あ ,







1

k _ _ ,

   

k

, OA OA

   

 ………

(2) (1) 同様 し , OB OB

    

 ……… , OC OC

   

 ………

C B A  

△ 外心 O 一致す , OA  OB  OC , 0＞0, ＞0, ＞ ,

OC OB

OA

  

  

    

条件 , OA  OB  OC 0 ,

     

    

, 正 数l 存在し , ) l( , ) l(  , ) l( )

(

2   

 

   l  

0 ＞

   

2 1



l ,

    

2 ……… , 2  ……… , 2 ………



  ,   ,    。

［解 説］

ベクトル 基本問題 す。(1) 誘導を利用す , (2) 結論 簡単 導けます。 A

B C

C´

A´

© 電送数学舎 2001 －15－

15 [一橋大]

(1) OP  p, OQ q く , 条件 , 1

AP p2  , AQ q2 1, PQ p2 q2 ここ , △APQ 余弦定理を適用し ,

       

 2 ( 2 1) ( 2 1) 2 2 1 2 1cos30

2 _{q p q p q}

p

3 2 1 1 2 2 _{ q  }

p ……… , 6 3 2 1 3 2 2 1 30 sin 1 1 2

1 2 _ 2 _{    }

 p q

S

(2) ,

3 4 ) 1 ( ) 1

(p2 q2  ,

) 1 ( 3 3 1 1 ) 1 ( 3 4 2 2 2 2       p p p q ………

q＞0 0 2

＞

q , 013p2＞ p＞0 合わせ ,

3 1

0＜p＜ ………

(3) V



p



q pq 6 1 1 2 1 3

1_{    }

 , ,





3 7 3 3 4 1 3 3 4 3 4 ) 1 ( 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 _               p p p p p p p q p

ここ , 相加平均 相乗平均 関係 ,

3 3 4 3 4 2 3 3 4 ) 1 ( 2 3 3 4 1 2 2 2

2 _{ }

      p p p p

等号 成立す ,

3 3 4 1 2 2    p p , 3 4 ) 1

(p2 2  , す わち 1 3 2 2 _{ } p

あ , こ 値 を満たす。

す ,

3 3 4 7 3 7 3 3 4 2

2 _{  }  ≦ q p , 3 3 3 2 3 3 2 3 12 2 7 3 3 4

7 _  _  _ 

≦ pq

以上 , V 最大値

18 3 3 2 3 3 3 2 6

1_  _ 

あ 。

［解 説］

最大・最小問題 分数式 絡 く , 相加平均・相乗平均 出番 す。 いう

, 微分 範 外 す 。

O

A

© 電送数学舎 2001 －16－

16 [東北大・文] (1) 線分LP 中点をS す ,

) (

4 1 ) OP OL ( 2 1

OS   abc

こ , (OM OQ)

2 1

OS  表 せ, 点 S

線分MQ 中点 一致す 。

また, (ON OR) 2

1

OS  表せ , S

線分NR 中点 一致す 。

, 線分LP, MQ, NR 1点 交わ 。

(2) 条件 , ( )

2 1 OL OP

LP a b c

p       ……… )

( 2 1 OM OQ

MQ a b c

q      ……… )

( 2 1 ON OR

NR a b c

r      ……… r

q

a  , bpr, cpq (3) 条件 , XA AX LPp

q p r q r p p a

b       

  AB AX XB

r p r q q p p a

c       

  AC AX XC

r q

p, , 互 い 直 交 す こ , 四 面 体 XABC 体積 ,



p q



r p q r

6 1 2

1 3

1 _

［解 説］

(3) 与え た条件 , 四面体 OABC 4 面 合同 ます。こ

, こ 四面体 直方体 埋め込ま いうこ 元 います。 いぶ

前 ます , 1993年 東大・理 , こ 考え方を利用す 問題 出 います。

O

A

B C L

R P

Q M

N

X

© 電送数学舎 2001 －17－

17 [大阪市大・理]

(1) AB(2, 1, 1) , 直線AB 方程式 , tを実数 し , ) 1 , , 2 ( ) 1 , 1 , 2 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) , ,

(x y z  t   t t t

点H 直線AB上 あ , )H(2t, t, 1t け, )

2 ,

2 , 2 (

CH t t t

ここ , 条件 , ABCH0 , 04t(t2)(t2) , 6t40 ,

3 2



t





3 1 , 3 2 , 3 4

H 。

(2) 点D(0, 2, 1) 点C(0, 2, 1) xy 平面 関し 対称 , CPDP ,

PQ

DP CPPQ CQ CH

した , DPPQ 最小 点 Q 点H 一

致し,





3 1 , 3 2 , 3 4

Q あ 。

また, DPPQ 最小 点P , 直線CH xy平面 交点 。 ここ ,





(1, 1, 1)

3 4 3 4 , 3 4 , 3 4

CH    , 直線CH 方程式 , sを実数

し ,

) 1 , 2 , ( ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 2 , 0 ( ) , ,

(x y z   s   s s  s

xy平面 交点 , 1s0 s1 , )P(1, 1, 0 あ 。

［解 説］

(2) , 点 位置関係を把握し , 折 線 最小値を求め 頻出問題 1 す。ポ

イント , 点C 点D xy平面 関し 対称 い こ す。

C D A

B H

© 電送数学舎 2001 －18－

18 [東京医歯大]

(1) 2点P, Qを通 直線 方程式 , xyt , (i) 0≦t≦1 L(t) 2t

(ii) 1≦t≦2 L(t) 2t2 2(t1) 2t2 2 , 関数L(t) ラフ 右 図 う ,

2 2 2 2 1 ) ( 2

0    



L t dt

(2) 3点P, Q, Rを通 平面 方程式 , xyz t , (i) 0≦t≦1

(1) , 口 1辺 長さ 2t 正 角形 ,

2 2 2 3 60 sin ) 2 ( 2 1 )

(t t t

S  

(ii) 1≦t≦2

平 面xyz t 平 面z1 交 線 xyt1 1



z 。

さ , 口 1 辺 長 さ 2t 正 角 形 , 立方体 外部 あ 1 辺 長さ 2(t1) 正 角

形を3個除いた六角形 あ ,









 

 2( 1) sin60

2 1 3 2 3 )

(t t2 t 2

S ) 3 6 2 ( 2

3 _ 2 _{ }

 t t





3

4 3 2 3 3  2 



 t

(iii) 2≦t≦3

(1) , 口 1辺 長さ  2(t1)2 2  2(3t) 正 角形 ,





2 2

) 3 ( 2 3 60 sin ) 3 ( 2 2 1 )

(t  t  t

S

以 上 , 関 数S(t) ラフ 右図 う ,

最大値

 

3

4 3 2 3 _

S あ 。

(3) )S(t ラフ

2 3



t い 対称 ,





 2

3 0 3

0S(t)dt 2 S(t)dt 







 

 







2 3 1 2 1 0 2 ₃ 4 3 2 3 3 2 2 3

2 t dt t dt

 









3

 

3

2 3 2 3 3 1 3 2 3 3 2 3 1 2 3 1 3 1 0 3    

 t t t

［解 説］

(2) 有名問題 す , 医科歯科 しく, (1)を前座 し 設け あ ます。 O 1 1 t t t t x y

L(t)

O 1 2 _t 2

S(t)

t

© 電送数学舎 2002 －19－

19 [千葉大・理]

(1) ABAD2(CBCD)0 ,

2 CD CB 2 2

AD

AB _{ } 

BD 中点をM す , AM2CM………(＊) , A, M, C 同一直線上 あ , 直線AC

線分BD 中点を通 。

(2) (1) , DMBM

また, 条件 ACBD0 , ACBD

こ , AC BD 垂直二等分線 , △ABC△ADC ,

ADC ABC



また, 四角形ABCD 内接す , ABCADC180 ,

   

ABC ADC 90

す わち, AC 半径1 あ 四角形ABCD 外接 直径 , AC2 あ 。

ここ , (＊) , 1AM :MC2: ,

3 4 3 2 2 AM  

外接 中心をO す ,

3 1 1 3 4 AO AM

OM    

3 2 2 9 1 1 OM

OB

BM 2  2   

,

3 6 2 9 8 9 16 BM

AM AD

AB  2  2   

3 3 2 9 24 4 AB

AC DC

BC  2  2   

［解 説］

(1) 誘導 , AC 外接 直径 あ こ を見 け 最大 ポイント

す。

A

B

C D

© 電送数学舎 2002 －20－

20 [広島大・文]

(1)  AB 1 c

p ,  BC 1 a

q ,  CA 1 b

r ,

2 2

2

2r q q r

q

r     22rq22r(q)22cosC 2

2 2

2q p p q

p

q     22qp22q(p)22cosB



 180

0 ＜B＜C＜ , cosC＜cosB

した ,

2 2

p q q

r ＜  , rq ＜ qp (2) p, q, r 単位ベクトル あ ,



( )



) (

BEs qp s q p



( )



) (

CDt rq t r q

, BE ∠ABC 二等分線, CD ∠ACB 二等

分線 こ ,

c a: BA : BC EA :

CE  



BA BC



1 ( )

1

BE acp caq

c a c

a c

a     

 (q p)

c a

ac _

 

同様 し , CD (r q) b a

ab _

 

,

c a

ac s



 ,

b a

ab t

 

ここ , b＜c , 0

) )( (

) ( 2

＞ b a c a

b c a b a

ab c a

ac t s



 

     

した , 0＜t＜s , (1) , p

q s q r s q r

t  ＜  ＜  す わち, t(rq) ＜ s(qp)

［解 説］

r q

p, , 単位ベクトル , BE , CD ひし形 対角線 方向を向 ます。

ま , BE, CD そ ∠B, ∠C 二等分線 ます。

A

B C

D

© 電送数学舎 2002 －21－

21 [大阪大・文]

(1) a q a a q

3 2 3 4 ) ( 3

2 OB

OR

BR       

(2) 条件 , pAQkBR q a k



a q



3 2 3 4 )

(   





k

 

a k 1



q 3

2 1

3

4 _{  }





k



q p



k 1



a 3

4 1

3

2 _{   }

………

点Q Oを中心 す 半径1 周上 あ , q 1





1

3 2 1

3

2_{k q  k ,}





₁

3 2 1

3

2_{k q  k}

………

を 代入し ,





1

3 2 1

3

4 _{  }

 k a k

p ………

点P , 中心 位置ベクトル



k 1



a 3

4 _{ ,}

半径 1

3 2_k

を描く。

(3) 内部 点A 含ま ,





1

3 2 1

3

4 _{ }

 k a k

a ＜





1

3 2 3

4

2 k a ＜ k , 1

3 2 3

4

2 k a ＜ k 1



a , 1

3 2 3 4

2 k ＜ k , 1

3 2 3 4 2 1 3

2 _{  }

 k ＜ k＜ k

k k

3 4 2 1 3

2 _{ }

 ＜ …… , 1

3 2 3 4

2 k＜ k ……

2 9 ＜ k ,

2 1 ＞

k ,

2 9 2

1 ＜

＜k 。

［解 説］

誘導 い い い , センター試験風 構成 います。

A

R

O B

© 電送数学舎 2002 －22－

22 [京都大・文] 4点P, Q, R, S 同一平面上 あ , a, bを実数

し ,

OR ) 1

( OQ OP

OSa b  ab

条件 , sODapOAbqOB(1ab)rOC ここ , OAOCOBOD ,

OB OC OA

OD  

, s(OAOCOB)apOAbqOB(1ab)rOC 0 OC ) (

OB ) (

OA )

(sap  sbq  srarbr  OC

, OB ,

OA 1次独立 ,

0

 ap

s ……… , sbq 0……… , 0srarbr ………

p s a ,

q s b

代入し ,    0 q sr p sr r

s , r

q sr s p

sr _{   ,}

s q r p

1 1 1 1 _{  }

［解 説］

4点 同一平面上 あ 条件 い 基本問題 す。

O

A

B C D

© 電送数学舎 2002 －23－

23 [九州大・文]

(1) △ABC A A

2 cos 1 AC AB 2 1 sin AC AB 2

1 _{ }

 ) cos 1 ( AC AB 2

1 2 2 2

A



 2 2 2

) AC AB ( AC AB 2

1 _{ }



(2) 条件 , AB  AD 1, AE 2a, ABADADAE0 a

a 

 

AE 1 2 cos120 AB

ここ , ACABAD, APxAByADAE 2 AD AD AB 2 AB

AC 2  2    2 

2 2 2 2 2 2 AE AD AB

AP x y 

2xyABAD2yADAE2xABAE x2 y24a2 2ax

AE AD AD AD AB AE AB AD AB AB AP

AC x 2y    x  y 2  

xay

そこ , △ACP 面積をS す , (1) , 2 2

2

2 _{4 2 ) ( )} (

2 2

1 _{x y a ax x a y}

S        2 2 2 7 2 2 2 2

1 _{x  xyy  ax ay a}



(3) P x22xyy2 2ax2ay7a2 く , S P 2 1

 。

さ , xyt く , 10≦x≦ , 0≦y≦1 1≦t≦1 あ , 2 2 2 2 2 2 6 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 2 )

(x y a x y a x y a a t a a

P             (i) 0＜a≦1

P ta 最小値 2

6a を , こ S 最小 ,

a a S 2 6 6 2

1 2 _



(ii) a＞1

P t1 最小値

2 7 2

1 a a を , こ S 最小 ,

2 7 2 1 2

1 _{a a}

S   

［解 説］

空間ベクトル い 標準的 問題 す。(3) 1 文字を固定し , 2 次関数 し

最小値を求め 問題 思いました , 式 特徴を利用す , そ 必要 あ

ませ した。

‹電送数学舎 2003 −−

24 [東北大・文]

まず _PQ_Q Q _P P_Q

+ + − +

= −

=$( $' $& $% $&

'(

_P Q_Q$% _PQ P_Q$&

+ − + +

−

=

$& $%

$( $)

() _PP_{Q P}Q_Q

+ − +

= −

=

さて '(⊥ ()より'(⋅()=となり

{

−Q$%+Q−P$&

}

⋅P$%−Q$&=

条件より $% = $& = $%⋅$&=⋅FRV°=なので

_{+ + − ⋅ + − + ⋅ =} ⋅

−PQ Q PQ P Q PQ

_{− PQ+ Q =}

P P−QP−Q=

Q

P= P=QよりPQ=またはPQ=である。

$% $& $% $&

()

$' Q P P Q

Q

P+ + ⋅ −

=

⋅

{

}

+ ⋅ + − ⋅ − ⋅

= PQ P Q PQ

Q

P

P PQ Q

Q

P+ − −

=

ここで $'⋅()=と仮定するとP −PQ−Q =からP Q

±

= となる

のでPQが正の整数のとき$'⋅()=は成立しない。すなわちどのような正の

整数PQに対しても $'と()が垂直になる場合はない。

［解 説］

ベクトルの内積についての基本的な問題です。オーソドックスに計算を進めていけ

ば結論が導けます。

$

% ' &

(

‹電送数学舎 2003 −−

25 [広島大・文]

%0 0&=より

$0₌E+ F_………①

30 04=W−Wとおくと

F WT E S W W

W + = − +

−

= $3 $4

$0 ………②

①②よりE Fが次独立なので

S W

_{= − ………③ =WT}

_………④

④よりW= _Tとなり③に代入して

(

)

S

T

_{= −}

T

S

= − S +T =………⑤

$+=KEとおくと4+=KE−TFとなり 4+⊥$%からKE−TF⋅E=

= ⋅ −TE F

E

K

E F E T

K= ⋅

よって E TF

E F E T

− ⋅

=

4+

$% $&VLQ $%&

VLQ

$4 $3

$34 △

△ = ⋅ $ = ST⋅ ⋅ $ =ST よりST が最小値を

とるとき△$34の面積は最小となる。

S＞T＞より相加平均・相乗平均の関係を用いると⑤から

ST T

S T

S

= + ≧ ⋅ =

≧

ST

≧

ST

等号成立は_S =_Tのときすなわち⑤から

₌

S T =のときである。

よって△$34の面積は S=

=

T のとき最小となる。

［解 説］

ベクトルの平面図形への応用に関する頻出問題です。なお はの結果を用いる までもありません。

$

%

& 0

3

‹電送数学舎 2003 −−

26 [京都大]

D

=

2$ 2%=E 2&=Fとおくと条件Lより

− =

⋅ F E

D D⋅F=D⋅E

− =

⋅ F D

E E⋅F=E⋅D

− =

⋅ E D

F E⋅F=F⋅D

まとめて D⋅E=E⋅F=F⋅D=N……①とおく。

また条件LLより△2$%=△2%&=△2&$から

_{D E − D⋅E = E F − E⋅F = F D − F⋅D}

①より D E = E F = F D

まとめて D = E = F =O……②とおく。

ここで①②より $% _{E D O N O O N}

− = + − = −

=

$& _{F D O N O O N} − = + − = −

=

N O O N N N D F D

E− − = − − + = −

=

⋅$&

$%

すると _{$% $& $% $&}

$%&= − ⋅

△ より

△$%&

_{O −N − O −N = O −N}

=

さらに△$%&=△2$%より

_{O −N = O −N}

_{O N O N O N} + −

=

− O −N=O +N O =N………③

③よりFRV∠$2%= ⋅ = =

ON E D

E

D _{から ∠$2%=°となる。}

同様にして ∠%2&=∠&2$=°なので△2$%△2%&△2&$は正三角形と

なり四面体2$%&は正四面体である。

［解 説］

頂角が°の二等辺三角形は正三角形という方針で解をつくりました。

2

$

© 電送数学舎 2004 －27－

27 [京都大・文]

AOB

 二等分線 , Bを中心 す 半径 10 交

点をP く , a 3, b 5 , kを実数 し ,





(5 3 )

5 3

OPk a b l a b





15

k l OB

OP

BP  5la(3l1)b 10

BP  , 5la(3l1)b 2 10

10 )

1 3 ( ) 1 3 ( 10

25l2 a 2  l l ab l 2 b 2 

ここ , 9

5 3 5 3  

 b

a ,

10 ) 1 3 ( 25 ) 1 3 ( 90

225l2 l l  l 2  , 48l2 16l10 0

) 1 4 )( 1 12

( l l  ,

4 1 , 12

1



l

, a b a b

4 1 12

5 ) 3 5 ( 12

1

OP    , a b a b

4 3 4 5 ) 3 5 ( 4 1

OP   

［解 説］

ひ し 形 対 角 線 内 角 を 二 等 分 す い う 有 名 見 方 立 式 し い ま す 。 , OAB

△ 直角 角形 す , こ 特質 利用し いませ 。

O

© 電送数学舎 2004 －28－

28 [東北大・理]

(1) a 1,

2 1



b , ba 2 

2 1

2 2

2 _{   } a b a

b ,

2 1 1 2 2

1_{ ab  ,}

2 1

 b a

ここ ,

2 b l a

k  2 2 2 2 2 2 2 1 2kla b l b k kl l a

k      



, kalb 2 整数 あ 条件 , 2 2 1_l

整数す わちl 偶数 あ 。 (2) kalb 2 0 , 0

2 1 2 2 _{kl l }

k ………(＊)

(1) , l 偶数 , nを整数 し , l2n く , (＊) , 0

2

2 2

2 _{  } n kn

k , 0(kn)2n2 

, 0knn す わち(k, n)(0, 0) , )(k, l)(0, 0 (3) F  kalb 2 2 2

2 1_l kl k  

 く ,

(i) l 偶数(l2n) 2 2 ) (k n n

F    , )(k, n)(0, 0 , F 最小値 1 あ 。 (ii) l 奇数(l2n1)





(2 ₄1)

2 1 2 )

1 2 ( 2 1 ) 1 2 (

2 2

2

2_{     }  _ 

_{k k n n k} n n

F

k 整数 , kn1また kn , F 最小 ,

 

(2 ₄1) 2

1 2  2

 

 n

F

n 整数 , 0n また n1 , F 最小値

2 1 4 1 4 1_{ }

を 。

(i)(ii) , F 最小値 2 1

あ 。こ , )(k, l)(k, 2n1 組 , )

1 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 1 , 0 ( ), 1 , 1 ( ) ,

(k l    

［解 説］

© 電送数学舎 2004 －29－

29 [九州大・理]

(1) 求め 単位ベクトルをe (x, y, z) く。 0

OAe , axby0……… 0

OCe , xyz 0……… , )(x, y)k(b, a k 実数 , zxy ,

) , , ( ) , ,

(x y z k b a ab 1



e , 1 k b2 (a)2 (ab)2 ,

2 2

2 _{( ) ( )} 1 b a a b k       ) ( 2 1 2 2 _{b ab} a  

  , ( , , ) ) ( 2 1 2

2 b a a b ab

b a

e  

  



す , OBe

) (

2 a2 b2 ab bd ad bc     

 , OBe

) (

2 a2 b2 ab bd ad bc     

ここ , a b 0, c 0, d 0 , 0bcadbd bcd(ab) , e



OB

) (

2 a2 b2 ab bd ad bc     

(2) 四面体OABC い , △OACを底面 す , 高さ OBe 。

△OAC 2 2 2 ) OC OA ( OC OA 2

1 _{ }

 ₃₍ 2 2_{) ( )}2

2

1 _{a b  ab}



2( )

2

1 2 2

ab b a  



四面体OABC 体積をV す , (1) ,

) ( 6 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 3 1 2 2 2

2 _{bc ad bd}

ab b a bd ad bc ab b a

V   

        

(3) ま , 点A(a, b, 0) 位置を S 内 い た 固定した後, 点B(c, 0, d)を T 内 動 し, V 最大 点 B

位置を求め 。次 , こ 状態を保 たまま, 点 A を S 内 動 し, V 最大値を求め 。

, ab0 , 点A 原点O 一致す 不

適 あ 。

(i) 点A(a, b, 0)をa＞b＞0 位置 固定した



a b d bc



V  (  )  6

1 _{, V d}

単 調 増 加 関 数 あ , 0≦d≦1, 1

0≦c≦ , cd1 V 最大 。

こ , V a b b a

6 1 ) (

6

1 _{  }

 あ 。

© 電送数学舎 2004 －30－

そこ , 点AをS内 動 す , V a1 最大 , そ 値 6 1

あ 。

, 1a cd1, 0＜b＜ , V 最大値 6 1

を 。

(ii) 点A(a, b, 0)をa＞b0 位置 固定した ad

V 6 1

 , V d 単調増加関数 あ , 10≦d≦ , 1d

V 最大 。こ V a 6 1

 あ 。

そこ , 点AをS内 動 す , V a1 最大 , そ 値 6 1

あ 。

, 1a d1, b0, 0≦c≦ , V 最大値 6 1

を 。

(iii) 点A(a, b, 0)をab＞0 位置 固定した bc

V 6 1

 , V c 単調増加関数 あ , 0≦c≦1 , c1

V 最大 。こ V b 6 1

 あ 。

そこ , 点AをS内 動 す , V b1 最大 , そ 値 6 1

あ 。

, 1a bc1, 0≦d≦ , V 最大値 6 1

を 。

(i)(ii)(iii) , V 最大値 6

1 , こ 点A, B 位置 次 3種類 あ 。

) 0 , , 1 (

A b , )B(1, 0, 1 (0＜b＜1) )

0 , 0 , 1 (

A , )B(c, 0, 1 (0≦c≦1) )

0 , 1 , 1 (

A , )B(1, 0, d (0≦d≦1)

［解 説］

(2)ま 1999 年 類題 出 います。た , (3) 最大値を求め , いわゆ

予選→決勝戦 いう1 文字固定 解法を用い 必要 あ ます。上 解 条

© 電送数学舎 2005 －31－

30 [神戸大・文]

(1) 条件 , OA a, OB b, OAOBk

ま , OCtOA く , BCOA0 , 0

OA ) OB OA

(t    , a2tk0 ,

2 a

k

t , OC OA 2 a

k



(2) a 2 , (1) , OA

2 OC k

H BC上 あ , pを定数 し ,

OB ) 1 ( OA 2 OB ) 1 ( OC

OH p  p  pk  p ………

条件 , AHOB0, OA  2, OB 1 ,



OA (1 )OB OA



OB 0

2     

k p

p , (1 ) 0

2

2 _{ p k} k

p

ま め , 2( 2) 2

2_{ p k} k

ここ , k OA OB cosAOB 2cosAOB , k 2 , 2

2 2

2 _



k k

p ………

一方, 条件 , OHuOAvOB………

以上 , OA , OB 1次独立 , ,

2 ) 1 (

2 2_

   

k k k k p

u , v1p

2 ) 2 (

2_

 

k k k

［解 説］

平面ベクトル 図形へ 応用 い 基本問題 す。

O

A B

C

© 電送数学舎 2005 －32－

31 [大阪大・理]

b



AB , ACc, ADd く , 条件 , 1



b , c 2, d 3 1 60 cos 2

1  

 c b

3 60 cos 3

2  

 d c

0 90 cos 1

3  

 b d

こ , AExbyczd く ,

2 2

2 2

AE 2 AE AE

BE  b   b b

 AE 22(xy)1

2 2

2 2

AE 2 AE AE

CE  c   c c  AE 2 2(x4y3z)4 2

2 2

2

AE 2 AE AE

DE  d   d d  AE 2 2(3y9z)9 条件 , AE  BE  CE  DE ,

0 1 ) (

2   

 x y , 2x2y1……… 0

4 ) 3 4 (

2    

 x y z , x4y3z 2……… 0

9 ) 9 3 (

2   

 y z , 2y6z 3………

, 2 1



x , y0, 2 1



z , b d 2 1 2 1

AE  ( )

2 1 _bd





₂



5₂

4 1

AE 2  b 2  bd d 2  ,

2 10 2 5

AE  

［解 説］

 

DAB 90 , Aを原点 す 座標を設定し 解こう , うし う 迷い

ました。計算量 ち 同 い し う。

A

B

C

© 電送数学舎 2005 －33－

32 [神戸大・理]

(1) OA(1, 1, 1), OB(1, 2, 0), OC(0, 0, 1) , 3

1 1 1

OA     , OB  14  5, OC 1 3

2 1 OB

OA    , OBOC0, OCOA 1

す ,





OA

OA OB OA OB

OD   ₂ OBOA(0, 1, 1) , D 座標 )

1 , 1 , 0 (

D  あ 。

(2) CPOPOCsOAtOBOC , 2

2

OC OB OA

CP  s t 

s2 OA 2t2 OB 2 OC 22stOAOB2tOBOC2sOCOA 3s25t216st2s 3s2(6t2)s5t21





3 2 2 2 3

1 3

3   2 2 

 s t t t

,

3 1 3 



 t

s , CP 2 最小 。

(3) (2) , CP 2



 



6 1 2 1 2 3

1 3

3   2  2

 s t t , CP 2 最小 ,

0 3

1 3  _

 t

s 0

2 1 _



t あ 。

す わち, 6 5



s , 2 1

 

t あ 。

(4) 条件 , OB

2 1 OA 6 5 OB OA

OP0 s0 t0  

また,

3 1 OA

OC OA

2 

 _,

2 1 OD

OC OD

2 

 _,









(OB OA)

2 1 OA 3 1 OD OD

OC OD OA OA

OC OA

2

2     

 _OB

2 1 OA 6

5 _



,









OD

OD OC OD OA OA

OC OA

OP0  ₂   ₂

［解 説］