九州工業大学研究報告（工学）No．59 1989年9月 43
平面閉リンク機構ロボット
（ロブスター・アーム）の機構分析
（平成元年5月24日 原稿受付）
電気工学科藤野義一
㈱東芝山田寺真司
電気工学科（研究生）李 雄Kinematic Analysis of Closed Link Robot（Lobster Arm）
by Yoshikazu FUJINO Shinji YAMADAJI Xiong LI
Abstract
In general， the am mechanisms of many industrial robots are the open kinematic link， Since they are serial linkage mechanisms， the robot has low mechanical stiffnes and the kinematic analysis is easy to do． In the closed kinematic link， on the other hand， the reachable region is limited， but it
st輌ffnes is hign．In this paper， arm analysis of closed kinematic link robot and the Lobster Arm Robot is discus−
sed． In first place， inverse kinematics， for plane−vector−triangle−method， is analyzed， and then the velocity and acceleration analysis， for the motor algebra（Theory of Screw）， is discussed． Finally，
using the results of the analysis described above， we performed a simulation using a computer．
． （1）ロブスター・アームの機構を考慮し，その幾何学 1．まえがき
的な方法を用いた逆運動解析による位置制御を行う。こ 現在のロボットの多くの構造は一般に開リンク連鎖機 こでは，その解析に平面三角形の解法（ベクトル解析
構である。この機構は機構解析が簡単であり，作動範囲 法）を用いた。が広い。しかし，この機構は片持ち梁機構なので機械的 （2）ロボット・マニピュレータの運動解析には，
剛性が低く，また多くのリンクを直列に結合しているた ニュートン・オイラー方程式やラグランジェ方程式を用
め誤差が累積されやすく，各リンクの長さ，温度変化や いる方法が一般的である。しかし，本論文のロブス
微少な角度誤差でもその先端においては大きな誤差とな ター・アームのような閉リンク連鎖機構の解析では，そり精度が得られにくい。それに対して閉リンク連鎖機構 の閉リンク内の力の釣合式が複雑になり上記の解析を行
は，作動範囲が制限される反面機械的剛性が高く高精度 うことは困難となる。よって，本論文ではモータ代数
が実現できる。この閉リンク機構に着目し1），正三角形 （スクリュー理論）による速度解析，加速度解析を行う。リンクを出力リンクとする平面閉リンク機構ロボット モータ代数を用いる利点は，瞬間的なスクリューによ
（通称，ロブスター・アーム）の解析を行う。 りロボット・マニピュレータの運動を代数方程式すなわ 本研究では，ロブスター・アームに対して以下の解析 ち連立方程式で記述することができ，これを解くことに
及びそのシミュレーションを行う。 よって速度，加速度が容易に得られるということである。
2．ロブスター・アームの機構と座標系 F＝3
2．1 ロブスター・アームの機構と自由度 となる。つまりロブスターの位置，姿勢は3つの変数に
ロブスター・アームの機構は，図一1に示すように閉 よって決定され，3つのアクチュエータが必要であるこ
連鎖機構であり，静止リンク（Stationary link）と三角形 とがわかる。出力リンク（Output Link）とを3組の2リンク直列マニ 従って，3つの静止対偶点にそれぞれアクチュエータ
ピュレータにより連結したものである。 を取り付け，この回転角により出力三角リンクの姿勢制
図において，破線の三角形が静止リンクを表し，小さ 御を行うことにする。な三角形が出力リンクである。また●印は回り対偶 アクチュエータの取り付けられている対偶を駆動対偶
（Revolute Joint）であり，各対偶を駆動することにより と呼び，残りのアクチュエータのついていない自由な対
出力リンクを任意の位置に動かすことができる機構に 偶を受動対偶と呼ぶ。また，駆動対偶によって駆動され なっている。 るリンクを駆動リンクと呼ぶ。
ロブスター・アームは8節リンク機構であり，9個の 2．2座標系と初期姿勢
回り対偶から構成されている。自由度Fは次式より求 図一2のようにベース座標系0−XYを定め，さらに められる。 作業座標系0−xyを三角リンクの重心点上に定める。
また初期姿勢は三角リンクの重心点が破線で示される三
F＝3（E−1）−2宇R （1）角形静止1ルクの動点と＿致する状態とする。
ここで・
@ 3．。ブスタ＿ア＿ムの姿勢制御F：平面運動機構の自由度
（逆運動学解析）
E：節（リンク）の数
P，：自由度1の対偶の数 ロブスターの姿勢制御として駆動対偶の回転角を入力
P，：自由度2の対偶の数 とし，三角形出力リンクの姿勢およびその重心点の位置
である。 制御を行うための逆運動学解析を行う。
ロブスター・アームはE＝8，PF 9， P2＝0となる 入力パラメータは目標位置の座標すなわち三角形出力
のでこれらの値を式（1）に代入すると自由度は リンクの重心点G（9エ，9。）とその回転角α（線分CG とY軸との角度）とする。初期姿勢をとっている出力リンクムA。B。C。が△ABCに移動した場合（図一3）の 点A，B， Cは，作業座標系の移動を考えて次式によっ ， 、 て変換される。
ノ ＼ X ＝G。G十R痴 （2）
も
レ劾、 ここで，Rは角度αの回転行列である。
・ ＼ 式（2）を絶対座標系0−XYに変換すると
へ
＼ −Y＝OGo十X （3）
＝OG十、RXo （4）
となる。点G。，A。， B。， C。は初期姿勢なので既知で ある。従って，入力パラメータ（目標位置及び出力リン ●……駆動対偶 クの回転角）が与えられることによって式（4）より移動後
○ …受動対偶 の三角形出力リンクの端点A，B，Cが得られる。
図一1 ロブスター・アームの機構 点A，B， Cが与えられると以下の平面三角の解法
平面閉リンク機構ロボット（ロブスター・アーム）の機構分析 45
により駆動リンクL、1（ ＝1，2，3）の回転角が得られる。／＼ 2リンク直列マニピュレータによって作られる△A。A」A ／ 、
／ ＼ に着目し，駆動リンク （駆動対偶）の回転角度仇を求
ジ へ
／〃 ＼ める．（図一・）。
コも
／ ＼ △A・A・Aをベクトルで表したものをベクトル‥・，
／ ＼ ・とし，これらをリンクベクトルと呼ぶことにする・こ
Y ／ ＼ の△A《Aのみを取り出した図を図一5に示す・
／ o ＼ 点A，A，の座標が既知の場合，ベクトルA， A，， aが ／ ＼ 既知となり，各リンクベクトルは複素数表不により次式
／ 一 ＼ のようになる・
O X 。＿A＿A，＿。．抵 （5）
aO」＝Lle θ＾ （6）
図一2 座標系と初期姿勢 a」＝L、θ酩 （7）
ここで，ム，L，は各リンクベクトル（ロブスター・
y αi アームの各アーム）の長さである。
C ， エ よって△AsAJAについてのベクトル方程式は，
：
！、 By。 ・一…＋・・ （8）
G ＼、
A ＼、、C・ となる・式（5），（6）・（・）を代入すると
Y ＼ αピθ・＝Lle畝十L2e鵡 （9）
ふG
@脇鋤 となる．式（、）の両辺を。興害』り，実部と虚部に分解 し両辺の2乗和をとると
a2十L12−2aLlcos（仏一旬＝L22 （1①
X 、
となる。よって，駆動リンク（駆動対偶）の回転角砿
図一3 作業座標系の移動は
Y
0
1α y A
…ロ
I aJ
a
．，，．．・号A エ ②．．一．，・・ … l A」
〆．．一・・・・…一 〆 i 仏 亀
≡≡
ﾟ≡．．．＿．．、A、 l a°」
x 〜 ・・・・・…一・…．．．．．．．．．．．．、．．．1
As
As
図一4 逆運動学解析 図一5 平面三角の解法
a2＋L12−L22 それω，βとし，剛体上の点Aの並進速度，並進加速度
ぽ＋c°s｝12・ム （1Dをそれぞれ。，。とする．このときの剛体の繊加速
となる。θ。はX軸に平行な直線からの回転角なのでこ 度を表すモータを点Aを基準点としてV。，A。とすると
の値を駆動リンクへの目標入力とすればよい。 V。，A。は，他の駆動リンクも出力三角リンクの端点B，Cについ V。＝ω＋εv、 （10
て同様の計算を行うことにより駆動角度を求めることができる。これら3つの角度を駆動対偶に入力することに
AA＝β十ε（α十VA×ω） （19
よってロブスター・アームの姿勢制御を行うことが出来る。 となる。このV。，AAをそれぞれ速度モータ，加速度
モータと呼ぶ。ここで注意しなければならないことは，4．ロブスター・アームの動力学解析
速度モータVAのベクトル部ωは普通の角速度であるが，
マニピュレータ・アームの解析を行う場合，ベクトル デュアル部v。は剛体上の点から見て瞬間的に基準点と 解析を応用したニュートン・オイラー方程式による解析 同じ位置にある点の速度を表しているということである。
か，またはラグランジェ方程式を用いる解析が一般的に すなわち，剛体の運動と共にスクリューの軸が常に変化 行われる。しかし，閉リンク連鎖機構（パラレルリンク することになる。
機構）の動力学解析では，その閉リンク内の力の釣合式 対偶によるリンク間の相対運動をモータで表す。対偶 が複雑になり上記の解析を用いることは困難となる。そ の速度を表すモータをMとし，対偶の位置ベクトルをr，
こで，この問題に対してはモータ代数（スクリュー理 対偶の軸方向の単位ベクトルをωで表すと，回り対偶
論）2） 3）による解析を行う。 （1自由度）の速度モータは4．1モータ代数（スクリュー理論）
M＝：ω＋ε（r×ω） （1θ
スクリュー理論とは，19世紀に3次元空間内で位置，方向，大きさを持った物理量を扱うために展開された理 で表すことができる。以後，このMを単に対偶モータと 論の一種である。この時代に論じられた理論が，20世紀 呼ぶ。
に入ってベクトル代数，ベクトル解析や線形代数へと抽 よって対偶によるリンク間の相対速度は，対偶モータ
象化されていった。さらにスクリュー理論を剛体の運動 Mと対偶の角速度θの積θMで表される。同様に，相 解析を目的として展開したものがモータ代数である。 対加速度は対偶モータMと対偶の角加速度θの積θM
以下において，このモータ代数について述べる。モー で表される。タとは，ずらしベクトル（Slide Vector）mとベクトルm 以上のようなモータを用いると並進運動と回転運動を のモーメントの次元を持つベクトルm。を 同時に扱うことができる。
4．2 ロブスター・アームの運動方程式
Mo＝m十εmo （1カ
ロブスター・アームは閉リンク連鎖機構であり，その
で定義したものである。 機構は静止リンクと三角形出力リンクとを3組の2リン
ここで，m， m。をそれぞれモータM。のベクトル部， ク直列マニピュレータにより連結したものである。よっデュアル部と呼ぶ。ベクトルm。は，ベクトルmと共線 て，ロブスター・アームは出力リンクを共有する（お互
（作用線が共通）の関係にある。また，εはデュアル演 いに干渉している）3組の開リンク連鎖機構の集合体と 算子（Dual Operator）と呼ばれるものであり， 考える事ができる。
番目の連結連鎖のゾ番目の対偶の速度，加速度と ε2＝ε3＝……＝0 （13 ． ．．
モータをそれぞれθ 、，θ ゴ，Ml」で表し，出力リンク
の性質を持つ。 の速度，加速度をV『，ぷとする（図一6）。
次に，回転および並進運動を行っている剛体の速度， ロブスターのτ番目の連結連鎖の速度，加速度の関係 加速度をモータで表す。 式は，
空間内で運動している剛体の角速度，角加速度をそれ
平面閉リンク機構ロボット（ロブスター・アーム）の機構分析 47
，、M31 Ca十Db＝0 ㈱ ク ト
M32 @ ／ ＼
＼ ここで，
M11
ノM・・
，
，
，
＼M23
㌘ 、 M22 A＝〔M；1 0 0〕
、、
Ml3
@＼、 B；〔Ml2 M；3 0 0 0 0〕、、
一……一一二ぽ c−［：1：一『る一：書
M12 M；・M↓・¶；・¶言・0 0
●……駆動鵬 D； l；・M；・。 。−M；・−Ml・
○……受動対偶
、 である。
図一6 ロブスター・アームのモータ
式⑳，㈱よりベクトルbを消去し，整理するとする
とθ ，M；1十θ 2M62十θ 3M；3＝V8 （17） （A−BD−℃）a＝V； ￠の
ロコ ひ ロ ヨ
θz1Ml1十θε2M；2十θz3M；3十ΣW；」＝A；
」−2 となる。
ここで，行列
（τ＝1，2，3） （18
」＝A−BD−1C （29 となる。
ここで， はロブスター・アームのヤコビ行列であり，式⑭がロブ ． ． ． スター・アームの入力角速度と出力リンクの速度との関
WlL（θz1M；1十…十θ （」．IM；∪−1［）×θ 」M；」 （抽 ＿
係を表す微分関係を不している。
である。 ゆえに，入力角速度は式⑭より
以上の式がロブスター・アームの各対偶の角速度θ
．． a＝J−IV；＝（A−BD−1C）−IV； （2θ
と角加速度θを未知数とする運動方程式である。4．3速度解析 を計算することにより求めることができる。
式（1カより， 4．4 加速度解析
． ． ． 前節と同様に未知数である角加速度をベクトル4b
θnM；1十θ12M；2十θ、3M；3＝V『 ⑳
． ． ． ． ． ． とし，
（θllM；1十θ12M；2十θ、3M；3）一（θ IMI1十θz2M；2十θ 3Ml3）
＝o a＝〔θ11 θ21 θ31〕7
b＝〔θ12 θ13 θ22 θ23 θ32 θ33〕T
（ ＝2・3）01）で表すと，。ブスター．アームの加難関係の方程式（18 と変形できる。3入力からなる3次元ベクトルをaと より，
し磯りの未知数からなる6次元ベクトルをbとし・ Aら＋B6−A；一，， ￠カ
a＝［θ11 θ21 θ31］T
b＝［θ、， θ1、 θ2、 θ2、 θ3， θ33］T CirトDb＝q、 （29
と置くと，式￠0，￠1）は次式のように行列・ベクトル形式 と変形できる。ここで，A， B， C， Dは式⑳，㈱で使
で表すことができる。 用したものと同じ行列であり，ql， q2は
A・＋Bb＝V； ⑫ ql−￡W ⑳
」＝2
動させるシミュレーションを作成した。ロブスター・
昆W2」−q アームのパラメータは次のように設定した。
q，＝ 陶
呂WILq アームリンクの長さL、， L， ＝0．5［m］
三角形出力リンクの一辺の長さL。＝0．3［m］
である。 ＿
． 二角形静止リンクの一辺の長さL。＝1．0［m］
式⑳，㈱からbを消去すると角加速度入力ベクトル5と
出力リンクの目標速度o。 ＝1．0［m／sec］
出力リンクの加速度モータA5との間の関係が得られる。
サンプリング・タイムτ。 ニ10［msec］
したがって，駆動対偶の入力角加速度は
出力リンクの姿勢（回転角度）α＝30［deg］
ら＝J− （Ah−BD−1qg GD 図一7にシミュレーシ。ンの実行結果を示し，図一8 にその結果として3個の駆動対偶の回転角，角速度およ となる。
5．シミュレーション び角加速度を示す。
以上の解析をもとに半径r＝0．1［m］の円軌道上を移
Samphng Time＝．01［sec］
Velocity ＝1［m／s］
Joint Angle＝
Joint（1）＝5．783［rad］
Joint（2）＝1．003［rad］
Joint（3）＝3．488［rad］
Inverse Jacobian＝＝
1。00000 0．31218 2．12722
0．86146 −2．44569 −0．13854 −2．21730 3．14019 −0．99564 Desired Angular Velocity＝
2．08966 −1．79331 −0．29635 −1．04289 −1．36898 2．41186 0．25062 1．94273 −2．19335 Desired Angular Acceleration＝
3．42957 13．20570 −16．63520 28．52080 −21．45550 −7．06540
−25．00530 6．61922 18．38600 図一7 シミュレーション
M（11） M（21） M（31）
θ［rad］
0 200 400 t［msec］
θ［rad／s］ 卜
一2
θ［rad／s2］
40
200 400 t［msec］ 200 400 t［msec］
図一8 シミュレーション結果
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6．あとがき
本研究において，平面閉リンク連鎖機構ロブスター・
アームの逆運動学解析，速度解析，加速度解析を行った。
逆運動学解析では，平面三角形の解法を用い，速度解析，
加速度解析ではモータ代数（スクリュー理論）を用いた。
シミュレーションの結果，良好な結果が得られ，これら の解析が閉リンク機構の解析に有効であることがわかっ た。モータ代数による解析は，各対偶の瞬間的な位置座 標をその速度モータとしている。したがって，サンプリ ング・タイムなどの時間の影響を受けない制御が可能で
ある。
今後の課題は本研究で作成したシミュレーションをも とにロブスター・アームの機構設計を行い，試作するこ とである。その際には，リアル・タイム処理の問題も考 慮する必要がある。
参 考 文 献
1）藤野，山田寺，宮本：高速・高精度用平面閉リンク機構の ロボットによる軌道制御，昭和63年度電気関係学会九州支 部連合会大会論文集No．145（1988）
2）Koichi Sugimoto：Kinematic and Dynamics Analysis of Parallel Manipulators by Means of Motor Algebra． Trans．
ASME． Jou−nal of Mechanisms． Transmission and Auto．
mation in Design， Vol 109，3／7（1987）
3）杉本浩一：モータ代数のロボット機構学への応用。Part 2，
ロボット学会誌Vol．5， No．5，87／92（1987）
4）藤野，山田寺：平面閉リンク機構ロボット（ロブスター・
アーム）のダイナミクス制御，第7回計測自動制御学会九 州支部学術講演会予稿集，132／133（1988）
5）デ・エル・メルキン：ベクトルの代数，東京図書株式会社。
（1965）
