日日

⑩ C  ^{2015年度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1‑7ページ)

注 意 事 項

(1)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3)  解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない

こと。

(4)  解答用紙上部に印刷しである受験系統コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認 し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印刷に間違いがあった場合は，手 を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

<>M19 (799‑152) 

[1 ] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 誕 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  2つの2次関数を f(x)ェ ‑x2+ 2x + 1とg(x)= 2x2 ‑7x + 5とす る。このとき，方程式 f(x)g(x)= 0を満たす Zの値のうち最大であ る 山I(1)  Iで 払 ま た ， 川 わ0となるzの植の範囲 はI(2)  Iである。

一 1 ‑ く>M19(799‑153)

(ii)  1辺の長さがαの正四面体ABCDがある。辺BCの中点をM，ζAMD=D とするとき， ω =I ⁽³⁾  Iで 払 ま た ， こ の と き 頂 点AからM D に 下 ろ し た 垂 線 の 長 さ れ を 周 目 表 す と I(4)  Iで 針 。

‑ 2 ‑ <> M19 (799‑154) 

(iii)  A(3，‑1)ぅB(Oぅ2)とする。点AうBに対してAP=BPを満たす点P(xぅy) の軌跡の方程式を求めると I⁽⁵⁾  I^{である。また， OP+BPの最小}

値はI(6)  Iである。ただし， 0は原点とする。

‑ 3 ‑ <>M19(799‑155) 

[11]次 の 仁 三 を う め よ 。 叩 答 用 紙 の 出 に 記 入 せ よ 。

(i)  A， B， Cの3人がさいころを投げ，出た目の数が大きい順に順位をつ ける。同じ目が出た人は同順位とする。例えば， Aが3の目， B， Cが 同じ5の目が出たときは B，Cがl位， 2位はなく Aは3位とする。 3 名とも同じ目が出たときは3人がl位で2，3位はなしとする。このと

き， Aが1位となる確率はI(1)  Iである。また， Aが3位となる 確率はI(2)  Iである。

‑ 4 ‑ <> M 19 (799‑156) 

(ii)α1 = 4， an+lニ αn+ 18n + 6 (η= 1，2ぅ3，…)で定められる数列の一般 的 以 αn=!⁽³⁾  Iで あ る ま た さ 士 = ! (4)  Iで

ある。

‑ 5 ‑ <)M19 (799‑157) 

次のページに問題[111]があります。

6 ‑ く>M19(799‑158) 

[111]  (記述問題)

放物線ν=X2 ‑2xと直線υ=3によって固まれた図形の面積を Sとする。

また，この図形の面積を 2等分するような直線をν=mxとする。ただし，

m >  1とする。このとき，次の間いに替えよ。

(i)  Sを求めよ。

(ii)  mの値を求めよ。

‑ 7  く>M19(799‑159)

⑭ F  ^{2015年度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1‑7ページ)

注 意 事 項

(1)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3)  解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない

こと。

(4)  解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ) を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印刷に間違いがあった場合 は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

o M 14 (799‑112) 

[1 ] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の お 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  f(x)ニ x2‑2kx + k + 2とおく。 2次関数 y= f(x)のグラフと Z軸 の共闘がないとき，定数kの取りうる値の範囲はI(1)  Iである。

また，この 2次関数 ν二 f(x)が 2三Z三1でy>uとなるとき，

定数kの 取 り う 叩 範 囲 は I(2)  Iである。

‑ 1 ‑ く>M14(799‑113) 

(ii)  6¹⁰はI⁽³⁾  I桁の自然数である また， 2ⁿ < 6¹⁰ < 2肘 1を満た

す 自 然 数 け 求 め る と，n =  I ⁽⁴⁾  Iである ただし， log10 2 = 0.3010^う loglO3 = 0.4771とする。

‑ 2 ‑ OM14(799‑114) 

(iii)三角関数の合成により， (V6 ‑^v'玄)sinα+ (V6 ⁺ V2) ^{cosα を}

r sin(a +庁)と表す。ただし， r>Üぅ Ü~ß<π とする。このとき，

m β =  I (5)  Iであるまた， ωs2β と 叫 の 値 を 求 め て ，s^ニ

I (6)  Iを得る。

‑ 3 ‑ <)M 14 (799‑115) 

[11]次 の 仁 コ を う め よo 答は解答用紙の信欄に記入せよ

(i)  4個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は

I ⁽¹⁾  Iであり，出た目がすべて異なる確率はI⁽²⁾  Iである。

‑ 4 ‑ く>M14(799‑116) 

(ii)  点Pが円 x²+計三4の周上を動く。 2点A(4，0)^ぅB(0，3)に対して，

ムAPBの重心の軌跡は方程式I(3)  Iで 決 ま る 山 る 。 ま た ， こ の円の円周と内部を領域D とする。点 (x^ぅy)が領域D を動くとき，

x+νの最大値はI(4)  Iである。

5  く>M14 (799‑117) 

次のページに問題[111]があります。

‑ 6 ‑ く>M14(799‑118)

Lh

品

1 /

・ え

題 答

問 問 '

﹂

f l  

述 い

﹁HU

ヨ川 場

﹂ ゴ 一 日 間 作

( の

わ八

l i  

TI   TI  

T‑

A 

(i)  ^曲線C1: yニ 21x2‑4xl上の点(3^ぅ6)における接線の方程式を求めよ。

(ii)  (i)で求めた接線と曲線 C2ν:^ニ 21x2‑4xl + 2および2直線 x = ‑1， x = 1で固まれた部分の面積を求めよ。

‑ 7 ‑ OM14(799‑119) 

⑮ F  ^{2015年度 数} 学

問 題 冊 子 cl‑7ページ)

注 意 事 項

(I)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3) 解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない

こと。

(4) 解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ) を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印刷に間違いがあった場合 は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題間子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

。^{M15(799‑120)} 

[1 ] 次 の 亡 コ を う め よ 。 答 哨 用 紙 の 議 室 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  白球 4個と赤球 6{固が入っている袋 A と白球 7個と赤球 5個が入って いる袋Bがある。袋A，Bから球をそれぞれ1個ずつ取り出す。

このとき， 2個とも赤である確率はI(1)  Iであり，球の色が異なる 確率はI(2)  I^である。

(>1115(799‑‑121) 

(ii)不 等 式 ￨ 山Iyl::;  2の表す領域の面積はI(3)  Iである。

また，自然数η がVn³ ‑7n² + 14n ‑9^ニ tを満たすとき iⁿの値 をすべて求めると ，iⁿ = I (4) である。ただし iは虚数単位で ある。

‑ 2 ‑ く)M15(799‑122) 

(iii)半径4の円周上に点A^ヲB^うC^うDが反時計回りにあり，弦BDは円の中 心Oを通るとする。弦ACと弦BDの交点をPとし， AP二 3，CPニ2と する このとき， OPの長さはI⁽⁵⁾  Iである。また，ムDCPの面 積 は ムABPの面積の I(6)  I倍である

‑ 3 ‑ く>M15 (799‑123) 

[11]次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 挺 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  関数U二 山 + 叫0+351no(一七^o三f)^{に対して ，x = sin ( }}

とおく。 νむ の 式 で 表 す り ニI(1)  Iである。また， mとMをそ れぞれνの最小値と最大値とするとき， (m， M) = I (2) である。

‑ 4 ‑ 。^M15(7 99~124)

( ii)実数ιν は式 1+ logx(y ‑2) = 31ogx³ (y + 2) を満たすとする。こ のとき ，yをzの 式 で 表 す り =I (3)  Iである。また，このような 丸 山 で zりがともに自然数となる組は， ( 川 ) 二 日 戸 で ある。

‑ 5  <> M15 (799‑125) 

次のページに問題[III]があります。

‑ 6  <>1115(799‑‑126) 

[111]  (記述問題)

定数p^ぅqに対して ，9 (x) = ‑X3 + PX2 + 2x + qとおく。関数g(x)と2次 関 数 六 川 関 係 式g(x)二

l

るとき，次の間いに答えよ。

(i)  p^ぅ qのイ直を求めよ。

(ii)ν=g(x)のグラフと直線ν=‑4x+kが異なる3点で交わるような定 数kの値の範囲を求めよ。

‑ 7  OM15 (799‑127) 

⑮ F  ^{2015年度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1‑7ページ)

注 意 事 項

(1)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3) 解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない

こと。

(4)  解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ) を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印刷に間違いがあった場合 は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

<>1116(799‑‑128) 

[1 ] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 諮 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  2次方程式x²+ 2(k ‑4)x + 2k = 0が異なる2つの実数解をもつよう な定数kの値の範囲はI⁽¹⁾  Iである。さらに，その解がいずれも 正 で あ る よ う な 定 数 四 の 範 囲liI ^{(2) で 払}

(>1116(799‑‑129) 

(ii)方程式log2X2

ニ 詰

この2つの解のうち小さい方を仏大きい方を bとするとき， logαb= 

I ⁽⁴⁾  I^である。

2 ‑ OM16(799‑130) 

(iii) pぅqぅTをそれぞれOから10までの整数とする。このとき ，p+q+rニ 10 山 場 合 はI(5)  I通 り で あ る 。 ま た ， 日+r= 10かつ 0三 百q~ ^r ~ ^{10となる場合はI(6)  I通りである。}

‑ 3 ‑ く>M16(799~13 1)

[11]  次の仁二〕をうめよ。答は解答用紙の議室欄に記入せよ。

(i)  3次方程式計 百2+αx+b=OがZニ 2を2重解として持つとき，

実 数 川 直 を 求 め る と ， 川 二I(1)  Iである。

また，整式P(x)をx‑lで割ると 11余り ，(x + 2)2で割ると x+l余 る。このとき ，P(x)を(x 山 +2)2で 害 川 と き の 余 り はI(2)  I 

である。

‑ 4 ‑ <>M16(799‑132) 

(ii)  1三α三8とする。 O三x<2πのとき，関数f(x)= 2cos 2x  αsinx  の最大値を αを用いて表すと! (3)  Iである。また，その最大値が

3の と き ， 方 程 式 仲 )= 0の解の中で最大なものは x=!⁽⁴⁾  I 

である。

‑ 5 ‑ o M16 (799‑133) 

次のページに問題[III]があります。

‑ 6 ‑ <>1116(799‑‑134) 

[111]  (記述問題)

放物線C:y=x²上の点A(α，a2)(α> 0)における接線を Eとする。このと き，次の間いに答えよ。

(i) 点Aを通り，接線tに垂直な直線e'^{の方程式を求めよ。}

11  (ii)放物線CのZ三Oの部分とU軸と直線fで固まれた図形の面積が一一 12  のとき，定数αの値を求めよ。

‑ 7 ‑ OM16(79トー135)

⑫ F  ^015年度 数 _学

問 題 冊 子 ( 1‑7ページ)

注 意 事 項

(1)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3) 解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない こと。

(4) 解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ) を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印刷に間違いがあった場合 は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

<>M17 (799‑136) 

[1 ]次の仁コをうめよ。答は解答用紙の議室欄に記入せよ。

(i)  2次関数y= 2x2 + x‑1のグラフをZ軸方向にp，y軸方向にqだけ 平行移動したとき ，y = 2X2 ‑7 x + 3のグラフと一致した。このとき，

p= I  (1)  ¹， q= I (2) で 払

<>~17(799--137)

(ii)多項式P(x)= X3 +αx² + bx +α+2をx²+ x + 1で割ると 4x+3余 り，x+2で割ると ‑5余る。このとき， αとbの値を求めるというb)二

日日

‑ 2 ‑ <> M17 (799‑138) 

(iii) 0 < p < 5とする。 3辺の長さが，p， 3， 5の3角形が鋭角3角形とな るとき ，pの取りうる値の範囲はI⁽⁵⁾  I^である。

また，円 X2+y2=5に接する傾き2の接線の方程式はI(6)  Iで ある。

‑ 3 ‑ <>1117(799‑‑139) 

[11]次 の 仁 二 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 謡 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  1からηまでの自然数が1つずつ書かれたカードがη枚ある。このカー ドを裏返してからよく混ぜて重ね，上から順番に ，k番目のカードに数 字kを書く。ただし ，k =  ，12・・・ η とする。このとき，表と裏の数 字判判が吋f

p

向4二 I(2)  Iである。

‑ 4 ‑ OM17(799~140)

(ii)平面上に2点A(cosB，l+2sinB)ぅB(2+ sin B， 1 + 2cosB)をとる。

x = sin B ‑cos Bとおくとき， 2点A，Bの距離の2乗IABI2をZを用い て表すと IABI2ニ I(3)  Iとなる。また， 0三B<日 と き ， IABI  が最大となるときのOのイ直を求めると O^ニ I(4)  I^となる

‑ 5 ‑ く>M17(799‑141)

次のページに問題[111]があります。

6  <>1117(799‑‑142) 

[111]  (記述問題)

関数f(x)= X2 ‑12x ‑11について以下の問いに答えよ。

(i)  定積分

ρ

(ii)方程式 f(x)^{ニ k}が相異なる 4個の実数解を持つような定数 kの値の 範囲を求めよ。

‑ 7 ‑ (>1117(799‑‑143) 

⑬ F  ^{2 0 1 5年度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1‑7ページ)

注 意 事 項

(1)  試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2)  試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に 気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(3) 解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書 かないこと。また，解答に関係のない語句・記号・落書き等は解答用紙に書かない こと。

(4) 解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ) を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。もし，印届JIに間違いがあった場合 は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5)  問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離さないこと。

<>1118(799‑‑144) 

[1 ] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 部 欄 に 記 入 せ よ 。

J吉‑v^{ま 1 ，.....，.!‑:l:::!)，l..} Iでで~

(i)  xニ J吉+fi ‑‑のとき‑， ，x+~ ， ー の 値 はx ‑，~._. ILよニム」(川￨である。

また，7J>0>0とG，x= v'p‑v'す が22+ir^二 47を満たして

fo+v^{す げ}

いるとき ，p1:.q研 い て 表 す と I⁽²⁾  I^である。

‑ 1 ‑ <>~18(799--145)

(ii)α<0とする。 3次方程式 x³+ 4x²ー (4α+3)x ‑2二 Oが x =αを 航 も っ と き ，a O){@:は 巨 己 で あ る ま た ， こ の と き ， 他 の2つ

の解を求めるとZ二 I(4)  Iとなる

‑ 2 ‑ o M18 (799‑146) 

(iii)平面上に点A(2V2，‑2V2)と直線e: ^{(J3 ‑l)x ‑( J3 + l)y ‑2}V6 = 0  がある。原点 O と点 A を通る直線を fとするとき， 2つの直線tと 仰 な す 角 はI(5)  Iで 仏 ま た ， 点Aと点P(川)の距離が点 A と 直 線 問 距 離 に 等 山 き ， 点 Pの 軌 跡 の 方 程 式 は 巳 日 で ある。

‑ 3 ‑ <>1118(799‑‑147) 

[11]次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 招 欄 に 記 入 せ よ 。

(i)  1から 10までの番号をつけた 10個の玉が入った袋Aと， 1から7まで の番号をつけた7個の玉が入った袋Bがある。袋A，Bから玉をそれぞ れ1個ずつ取り出す。このとき， 2個の玉の番号の積が奇数となる確率 はI(1)  Iであり，積が5の倍数となる確率はI(2)  Iである。

‑ 4 ‑ OM18(799‑148) 

(ii)  2つの円 x²+ y2 ‑ X ‑Y ‑2二 Oとx²+ y2 + 2x ‑4 = 0の2つの 交 点 問 を 通 る 直 線 の 方 程 式 はI(3)  Iで 、 針 。 ま た ， 点 問 と 原点(0，0)を通る円の中心の座標はI(4)  I^である。

‑ 5  <>1118(799‑‑149) 

次のページに問題[111]があります。

‑ 6 ‑ <>1118(799‑‑150) 

[111]  (記述問題)

放物線C 1 : u = ÷ A z軸方向にα，y軸方向にbだけ平行移動した放物 線を C2とする。 C2上の点 (4，6)における接線tの方程式がy= 2x ‑2で あるとき，次の間いに答えよ。

(i)α とbの値を求めよ。

(ii)  C1とC2とtで固まれた部分の面積を求めよ。

‑ 7 ‑ (>1118(799‑‑151)