線形代数学 2 No.5 2005.10.19
1.5 正規直交基底 担当：市原
正規直交系
¶ ³
a
1, a
2, . . . , a
nを n 本のベクトルとする.
(1) 各ベクトルの大きさは 1
(2) どの 2 つのベクトルも直交している
が満たされているとき, このベクトル a
1, a
2, . . . , a
nは正規直交系であるという.
ベクトル空間の基底が正規直交系になっているとき, この基底を正規直交基底と
µ よぶ. ´
正規直交基底は, 2 次元平面座標や, 3 次元空間での座標軸に相当したものと考える ことができる.
例題 10 ベクトル u
1=
1/ √
2 0 1/ √
2
, u
2=
− 1/ √ 6 2/ √
6 1/ √
6
は正規直交系であることを示 しなさい.
定理 4 ( シュミットの直交化法 ) 1 次独立であるベクトル a
1, a
2, . . . , a
nから, 以 下の方法で正規直交系 v
1, v
2, . . . , v
nを作ることができる.
(1) v
1はベクトル a
1を正規化したもの. つまり, v
1=
|a
11|a
1(2) ベクトル v
1, . . . , v
jがすでに構成されたとしたとき,
v
0j+1= a
j+1− { (a
j+1, v
1) v
1+ (a
j+1, v
2) v
2+ · · · + (a
j+1, v
j) v
j} を正規化したベクトルを v
j+1とする.
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線形代数学 2 No.5 2005.10.19
1.5 正規直交基底 担当：市原
問題
