境界一有限要素を用いた凍結地盤の解析

境界一有限要素を用いた凍結地盤 の解析

遠藤典男 三井康司

Analysis of Frozen Soil Using by BE‑FE Coupling Procedure

Norio ENDOH and Yasushi MITSUI

Groundfreezingproblemsseem tobemoreimportantincivilengineering.Arti･ f ●(

iCalfreezlngtechniquesemployed for hardeningsoftgroundandshuttingoffun･

dergroundwater･Recentlylargeunderground storagesofcryogenicliquid,戸uch asLNG orLPG tanks,havebeenconstructed.

Inthispaperannumericalprocedureisproposedtoevaluatefreezingfrontsof soilandLheaving effectively.

1

は じ め一 に ､

地盤の凍結現象は,建設工学の分野において重要な問題である.人工凍碍技術を用いた軟 弱地盤の一時的な強化対策,遮水を 目的 とした凍結工法 も実施されつつある. また

,

LPG

のような極低温地下貯蔵 タンクの建設 も,近年盛んになってお り, .タンク周辺 の 地盤 凍結が問題になる.

地盤が凍結する際,未凍結領域か らフ リージング ･フロン トに向かって間隙水が移動 して 氷に変化 し,体積膨張が生 じる.その結果,種iの現象が複雑に作用 して凍上現象あるいは 凍結土圧等が生 じ, これ らが周辺の地盤,構造物に影響を及ぼすことになる.そのため, こ の有害な凍結膨張 と密接に開通す る凍結領域の経時的変化を高精度で算定する必要がある.

したがって,本解析では凍結管近傍を有限要素で,他 の均一地盤を境界要東で離散化すると い う

結合手法を用いて熱伝導解析を行い,凍結膨張量及び凍上量を算出しようと するものである.

また,本解析では地盤凍結工法における凍結管が他の地盤 と不連続であることを考慮 し, これを

Sに より提案された手法を適用 して

四角形要素に より離散化 し熱伝導解析を行っている. . I

2.

境界一 有限要素 の結 合手法 に よる非定常熱伝導解析

2

次元非定常熱伝導問題の支配方程式は,発熱を考えない場合,次式で与えられる. I

* 土木工学科 助手

* * 信州大学工学部

原稿受付 平成元年

月2 6日

p

c

ここに,￠‑￠( x

,i ) は温度であ り,空間,時間 の関数である. p は密度, Cは比熱

は

方向の熱伝導係数である･なお,境界要素街域では

とする.

また,関連する境界条件及び初期条件は, 境界条件 :

○領域 rl上で温度規定がある場合 一

￠‑香

○領域 r2上で熱流束規定がある場合

q‑

意 ‑守

初期条件 :

○領域 3 2内において

0 で

￠‑

,y)

(2)

(3)

(4) となる.

まず

鎖域

に対 して

による離散化を行 うと,式(

は次のようになる.

J

G

三

三

〕(

%

‑｣^,qlN]Tdr

ここに

は内挿関数マ トリックスである.

これをマ トリックス表示 して,

[k]tQ)+[C](%)^‑(Q)

(5)

( 6)

】r モー I t, 正1 ￠｢

の節点温度ベク トル

は熱伝導マ トリックス, ( Q)は熱流束ベク トル である.

式(

の時間に関 して

法を用いて離散化す ると

l

,

( 与l k ] ･

' ) ‑( ‑ i[ k ] ･

' )

(7) とな り,最終卿 キほ次のよ うに表現することができる･

〔ff: f

f

:: :

2 j A

( 8 ,

一方

領域

に対 しては,境界上 の析分方程式 が次 の よ うに得 られ る.

J.'^JC(k

^v

^{QdDd l}

^{絆 dD]L f =｡}

弓. T I ^, (

^･

^{･ Q)dr dl}

ここに,￠*

はそれぞれ対応す る基本解 であ り , 2 次元 の場合

･*‑去 ｢

･exp 仁 志 〕

q*

売 品 ･意

e xpl 一品 〕

(9)

で与 え られ る. また , Yは特異点 と影響点 の問の距離 であ り

であ る.

この基本解 を式

に代入 し,時間増分 At ‑t 2 ‑t lに対 して 少とqが一定であ る と仮定す る と,点

に関 して

C

‑÷J,QJ;:q*di

^dl･

^O脚

を得 る. ここで,基 本解

* と q*の時間研分は

J::

￠ *dt

去 E･ ･ ( a)

J::q

*dt ‑

ST

意

となる. ただ し,

r

a=

41 ( t 2 ‑

であ り, E. ･は積分指数関数 であ り次式 で与 え られ る.

Ei(x)‑J等dx

‑‑Ec‑7"la]一義 諾

また

数

セあ る.

( 1 2 )

(15)

( 1 6 )

境界を∽個の要素に分割 し,離散化すれば,読( 9 ) に対する境界要素方程式が次のように待 られる.

C

･ ･ かよ 凱

‑ 去 凱‡ ^{意e ‑}

品

^{( 1 7 ,}

上式をマ トリックス表示 して

[H]

(

( q

を得る

と q は分布マ トリックス

[

M ] ‑

を用いて,次のように関係付けることができるので

式場は,次のように有限要素方程式 として表現することができる.

[M][G]ll(Q)2‑(Q)+[M][G]‑1

( b )

[ : :b b : : ] ( : : F I 2 ‑ I Q Q B B F 行監 F i

よって,内部境界条件

tにおける連続条件

￠FB‑￠BF,QFB+QBF‑0

( 1 8 )

( 1 9 )

(20)

(21)

(22)

を考慮 し,式(

と式伽を重ね合わせることによって,全体系の方程式が次 の よ うに得 られ る. f 2 ∂ 2 f 2 + 1b 1 b 2 l l b 2 1 3 j I Q Z B : B f 2 ‑ ⁽ : u B : B )

( : 三 B ) I ‑ [ : : : : : 2 2 日 ; 三 B ) 1 . i Q B : F )

(uB)1‑(OB+BB)

ただ し,

(23)

(24)

3.

凍結管における熱伝導率 通常使用 され る地盤凍結のための凍結管 は,直径が

内外の金属性でその二重 管中を凍結液が往筏する構造のもりが多い.

このため本解析では,凍結管に より地盤が 不連続 となる箇所を

とみな し

に より提案 された クラック要素を用いて離散化 してい る.

Finit8Eletent

Fig..

1

4.

未凍結土中の間隙水移動方程式

飽和状態の土を,吸排水が自由な条件の下,いわゆる完全解放状態で凍結す る場合,凍結 膨張率 E ,吸排水率 Ewと凍結面に作用す る有効拘束圧 U,及び凍結速度

の間には次の よう

な閲係がある.

8‑Eo･÷(1･J吾) (25)

ここで,E

は土固有の定数である. ここで凍結膨張は熱涜方向のみに進行 し, また, フ リージング ･フロン トの各節点 と一致するもの と仮定する.

凍結膨張率 E. ･を, フ リージング ･フロン トの法線方向のひずみ Sとすると,凍結土圧は 次のようになる.

(0,0)‑[D](6,0) (26)

ここに

は地盤性状に関する応力マ 日) ックスであ り, この

)をフ リージング ･フ ロソ トに作用 させ応力解析すれば,凍結現象が数値解析できることになる.

5.

数 値 解 析 例

Fig.2

に示すモデルは, シール ド工法等において, 閲掘削面が軟弱地盤層に遭遇 した場

＼ Surfacel^OOc

L ‑ I . . J 7 ' C

StlrEacelOoc

l l ▲ ｣

F i g .2

Table.

1

HEAT CONDUCTIVITY

[k

c

SPECIFIC HEAT [k

c

UNIT WEIGIiT

lkg/m

3 ]

HEAT CAPACITY lk

c

FROZEN

STRESSANALYSTS

YONG'SMODULUS I POISSON'SRATIO FROZEN 2100.0[kg/cm

2 ]

2 ] l

合を想定 し,その縦断面,横断面を

手法に より離散化 した ものである.

ただ し,横断面に関 しては,対称性を考慮 してその 1 / 4を離散化 している.軟弱地層中に凍 結管を注入 し,周囲を凍結 させ る.図中の凍結管は

であ り, これをさきに述べた ク

ラック要素 4個で評価 している.形状寸法は,図中に示す通 りであ り,境界条件は,地表面 で

,地盤内を

とし, また 初期温度は全節点

と設定 している. なお,非定常 熱伝導解析,応力解析時の物理定数を

に示す.

0 5【■】

A ‑ I ‑ IJ

Fig.3 FreezingFronts Fig.3

は凍結開始後

日経過後の凍結

領域を示 した ものである.横断面において

日 経過後掘削面の周囲

が凍結 してお り, また, 縦断面において

日経過後には掘削面の進行方 向全面が凍結 している.

Fig.4

は, 縦断面図の凍結領域の拡大 より算定 した凍上量を示 した ものである.地下

に凍結 管を設置 して いるため, 凍結膨張 の影響 も小 さ く, したがって地表面での野上量はほぼ均一に約

となっている.

0 5【■】

し.̲｣̲.⊥̲̲｣̲̲⊥｣

Fig.4 HeavigofEarth

6.

ま と

本研究は,境界一有限要素 の結合手法を用 いて効率 よく地盤凍結問題を取 り扱 うことを 目 的 として いる.本法では,地盤凍結 のための凍結管を クラック要素に より離散化 しているた め,地盤 の不連続性が考慮可能 となっている. また,凍結領域が拡大す るところでは間隙水 の移動,物性値等が複雑に数値解析に影響を及ぼすため有限要素で,他の均一地盤を境界要 素 で離散化 しているため非定常熱伝導解析の精度 も高 く, これに付追す る凍結膨張率及 び凍 上量 も高精度で得 られた もの と考 え られ る. さらに,対象 とす る問題 の性質上離散化領域が 大 きくなるが,境界要素 の導入に よ り計算機使用上 において も経済的な解析 といえる.

参 考 文 ､ 献

I ) 高志 勤 :凍結膨張による未凍結額域内の土圧と変位の経時的変化,土木学会論文報告集

2) D.K.GaltingandR.K.Tobmas:A StaticalBasedNumericalModelforHeatConduc･

tion inFractureRock Masses,Int. Jour.Nun.Ana

l

c

遠藤典男 :境界一有限要素を用いた凍結地盤の応力解析,信州大学修士論文,平成元年