n次インパノレス関数の一応用
近藤 只雄，金子 一宗，中西宣一郎
あ ら ま し
Diracのδ関数の一次微分として二次インパルス関数，
二次微分としての三次インパルス関数までは，その物理的 意味も明らかであるが，それ以上となると数学的色彩が強 くなる。n次インパルス関数の一性質とそれを電気回路に 利用した場合について述べる。
1 は じ め に 次の関係式を証明する
一＝
a8（t）一a2S （t）十a38 （t）一 ．．．． ＝一8 （1）
ただしδ（のはDiracのδ関数δ7（t），δ （t），＿＿はそ れぞれその一次微分，二次微分，……としεは自然対数の 底とする。
ラプラス変換によると
nE｛aS（t）一a2S （t）十a36 （t）一．．．．．．．．．｝
＝＝a−a2s十a3s2．．．．．．．．．．．．
＝a（1−as十a2s2．．．．．．．．．．．．．．．）
1 1 ：：＝a−rltt ig−as＝sct a 逆ラプラス変換をとると
x−i｛、kド÷
したがって
一i
a6（t）一a25 （t）十a36 （t）．．．．．．．．．．．．．一．．．＝6
2．泣 く1拭の応用について述べる L，R回路において di
十Ri＝E L dt
｛2）をヘビサイドの演算子法で解くと i 一m L一＝．tl．ilw 1
−P−t ただしP＝
dt
｛3）式の変形は一般に i＝m＝n．．E．＝一一 1
LP十R
用
又1はヘビサイドの単位関数
（2）
（3）
一易（1・器）一1・ （・）
弓（・一る・。謬，一。罪、＋・・ウ・
遷（塁＄一髪毒＋至罪、一・・
＝＝illl一（一｛llm 一＄， L22 t2 Jg5／llgT3 t3一 ） i
＝一Eli一（i−e 一；一 ）i （s）
即場のべき騰に展開するのが鞭である・
E 1はところが LP 十R
i 一一 n＝＝e．T 1 LP 十R
g
＝il
kp＋1
＝一i｝（i＋一：．P ）一i i
一昊（・一養P＋多1・・一k／・・＋・）・（・）
の如くにも展開出来る。従来は（4）の方法に展開して（6）の方 法は故意に避けた＊。
こSでδ関数を使用することにすると
Pl 一 S（t）
P21＝δ （の
Pn 1 ＝ 6（n−1）（t）
であるから
（1一一k−p＋ r＄／ p2 一 Jftg／．p3 ＋ ．．．．．．） 1
一 i 一一iil；一s（t） ＋一ftl／i−s （t） 一 一ikl／ 6 （t）＋・・一・・ …
一・一丸・ω一雨（t）・籍（t）一｝（・）
（7）式に（1｝式を用いると
｛養δ（の一籍（t）÷舞勘（彦）…｝一ε一÷t
であるから
（i一一f｝P ＋一fS／；p2 一 mfl／ip3＋ ．．．）i
g− t a・（1一ε一丁 ）
一203一
津山高専紀要（第2巻 第2号）
よって
i 一 4a−e一一II一 t ） （8）
（t）を用いることにより全く自由になる。この場合（1）式の 証明を超関数により証明することが必要となろうがこの点 について本校池上講師より貴重な助言を得たことに深謝し
ます。
（8）は（5）に一致する。
参 考 文 献 3． お わ り に
電気学会 過渡現象論 P−189（昭39）
iの式を（4）の形に展開するか（6）の形に展開するかはδ①
一2e4一
