曲線と曲面の幾何学

(1)

曲線と曲面の幾何学

第 4 回追加資料 (10 月 28 日 )

曲線と曲面の幾何学第４回ですどうぞよろしくお願い致します

(2)

�

各点ごとに接線と法線を座標軸に取り

0

平面曲線曲率

●

�

0

前回は関数ｆ（ｘ）のグラフとして表される平面曲線の曲率を導入しました具体的には各点ごとに接線と法線を座標軸に取り

(3)

�

各点ごとに別の座標で２階微分

0

●

�

0

→

←

→

○

平面曲線曲率

各点の近傍で同じ曲線を別の座標で表し直した上で２回微分することで

(4)

平面曲線曲率

とりあえずこれが定義

凹凸の判定法をを利用した曲率の定義ができました

(5)

�

パラメーター表示

0 (

^●^�^�⁽⁽^�^�⁾⁾

)

(

^�^�^′^′⁽^(�^�⁾⁾

)

この定義は曲線が関数のグラフとして表されていなくてもパラメーター表示されてさえいれば

()

(6)

平面曲線の曲率

これも定義

このように書き直すことができましたでも分母が何となく覚え違いを誘う嫌な形をしていますこの分母はそもそも速度ベクトルを単位接ベクトルに直すとき現れたものでした

(7)

( )

�

弧長パラメーター表示

( 一般には具体的に書くのは困難 )

0 (

^●^�^�⁽⁽^�^�⁾⁾

)

(

^�^�^′^′⁽^(�^�⁾⁾

)

単位接ベクトル＝速度ベクトル

そこで最初から速度ベクトルがいつでも単位ベクトルだったらよいのではと考えるのが弧長パラメーター表示です実は具体的な式では書けないことも多いのですが原理的にはＣ１級曲線ならいつでも弧長パラメーター表示に直せます

(8)

� ′ ′ ( 0 )= �

^′

( � ) �

^′′

( � ) − �

^{′ ′}

( � ) �

^′

( � )

弧長パラメーター表示された平面曲線の曲率

式は見た目簡単に

すると曲率はこの通り

(9)

( )

�

0 (

^●^�^�⁽⁽^�^�⁾⁾

)

(

^�^�^′^′⁽^(�^�⁾⁾

) (

⁻^�^�^′⁽^′⁽^�^�⁾⁾

)

単位法ベクトル

さらに単位法ベクトルも簡単に表せて

(10)

の両辺を微分すると・・・

加速度ベクトルが速度ベクトルと直

⇒ 加速度ベクトルは法ベクトル交

2 �

^′

( � ) � ′ ′ ( � )+ 2 �

^′

( � ) � ′ ′ (� )=0

しかも加速度ベクトルが速度ベクトルと直交すると言うおまけつき

(11)

( )

�

0 (

^●^�^�⁽⁽^�^�⁾⁾

)

(

^�^�^′^′⁽^(�^�⁾⁾

) (

⁻^�^�^′⁽^′⁽^�^�⁾⁾

)

単位法ベクトル

(

^�^� ^{′ ′}^{′ ′}^(�^(�⁾⁾

)

加速度ベクトル

つまり加速度ベクトルは単位法ベクトルと平行になるので内積をとるとその大きさが測れるのですが

(12)

�^{′ ′} (₀)₌

(

^�^�^′′^{′ ′}⁽⁽^�^�⁾⁾

)

^・

⁽

⁻^�^�^′ ^(�^′ ⁽^�⁾⁾

⁾

加速度ベクトルの大きさ ( 左は正、右は負 )

弧長パラメーター表示された平面曲線の曲率

実はその大きさこそが曲率の正体と言う訳です

(13)

( )

�

((t) は速度ベクトルの偏

角 )

0 (

^�^�⁽⁽^�^�⁾⁾

)

●

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�⁾⁾

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ^(�⁽^�⁾⁾

)

(t)

そろそろ瞬間の外角のことも思い出しましょう弧長パラメーター表示は仮定したままで単位接ベクトルでもある速度ベクトルのｘ軸正方向に対してなす角をシータとおけばこれももちろんｔの関数でこれを使って速度ベクトルはコサインシータティー・サインシータティーと表せます

(14)

偏角の微分 ( 瞬間の外角 ) 弧長パラメーター表示された平面曲線の曲率

これを曲率の定義式ただし弧長パラメーター表示版に代入してやるとシータの微分が得られますと言うわけで第１回に考えていた瞬間の外角が前回定義した曲率と同じものであることがわかりました

(15)

(t) の変化は？

閉曲線の場合

( 領域を左回りに囲むもの )

�

●

0

●

ところでこのシータですが領域を囲む閉曲線を左回りに一周すると

(16)

(t) は一周で０から２ π まで動く

閉曲線の場合

�

●

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�)^�)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�)^�)

)

⁼

⁽

¹⁰

⁾

⁼

(

^�^�^′^′⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�¹1⁾)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ^(�^(�1¹)⁾

)

θ()

θ(L)=2

θ()

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�^�²2⁾)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�^�2²)⁾

)

0

(0)=0

もちろん０から２パイまで動きます

(17)

閉曲線の場合

( 領域を右回りに囲むもの )

�

●

0

(t) の変化は？

これが右回りなら

(18)

(t) は一周で０から－２ π まで動く

閉曲線の場合

�

●

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�)^�)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ⁽⁽^�)^�)

)

⁼

⁽

¹⁰

⁾

⁼

(

^�^�^′^′⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�¹1⁾)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ^(�^(�1¹)⁾

)

^θ()

θ(L)=-2

θ()

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�^�²2⁾)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�^�2²)⁾

)

0

(0)=0

０からマイナス２パイです

(19)

閉曲線の場合

( 領域を囲まず左回りに２周するもの )

�

●

●^●

0

(t) の変化は？

領域を囲まず似たようなところを左回りにぐるぐる２周すれば

(20)

(t) は一周で０から４ π まで動く

閉曲線の場合

�

●

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�²²⁾⁾

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ^(�^(�²²⁾⁾

)

⁼

⁽

^�^�^′^′⁽⁽^�)^�)

⁾

⁼

⁽

^cos^sin ^θ^θ⁽⁽^�)^�⁾

⁾

⁼

⁽

¹⁰

⁾

⁼

⁽

^�^�^′^′⁽⁰⁽⁰⁾⁾

⁾

⁼

⁽

^cos^sin^θ^θ⁽⁰⁽⁰⁾⁾

⁾

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�¹1⁾)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ^(�^(�1¹)⁾

)

θ()

θ(L)=4

θ()

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�^�³3⁾)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�^�3³)⁾

)

0

(0)=0

θ()=2 ●

０から４パイになり

(21)

閉曲線の場合

( ８の字を描くもの )

�

●

0

●

(t) の変化は？

８の字を描くように回れば

(22)

(t) は一周で０から０に戻る

閉曲線の場合

�

●

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�)^�)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�)^�)

)

⁼

⁽

¹⁰

⁾

⁼

(

^�^�^′^′⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

⁼

(

)

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�¹¹⁾⁾

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ^(�^(�¹¹⁾⁾

)

⁼

⁽

¹⁰

⁾

θ()=0

θ(L)=0

θ()=

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�^�²2⁾)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ⁽⁽^�^�2²)⁾

)

⁼

⁽

⁻⁰¹

⁾

0

(0)=0

●

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�³3⁾)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ^(�^(�3³)⁾

)

⁼

⁽

⁻⁰¹

⁾

_θ()=

０で始まると０に戻ります

(23)

閉曲線の場合

( 一般に )

�

●

0

●

(t) の変化は？

一般にどんな閉曲線でも一周すると速度ベクトルは元に戻るわけですから

(24)

(t) は一周で０から２ kπ ( k は整数 ) まで動く

�

●

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�)^�)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�)^�)

)

⁼

⁽

¹⁰

⁾

⁼

(

^�^�^′^′⁽⁽⁰⁰⁾⁾

)

⁼

(

)

(

^�^� ^′^′⁽^(�^�¹1⁾)

)

⁼

(

^cos^sin ^θ^θ^(�^(�1¹)⁾

)

θ()

θ(L)=2k

θ()

(

^�^� ^′^′⁽⁽^�^�²2⁾)

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ⁽⁽^�^�2²)⁾

)

0

(0)=0

閉曲線の場合

( 一般に )

シータのずれはいつでも２パイの整数倍です

(25)

θ^′ (� ) �� = ¿ 1

2 � ∫

0

�

曲率 ��

�= θ ( � ) − θ ( 0)

2 � = 1

2 � ∫

0

�

¿

曲率の積分 ÷ ２ π 閉曲線の

回転数

この整数のことを閉曲線の回転数と言うのですがシータの微分が曲率ですから一周分のシータのずれは曲率の定積分で得られますこれを２パイで割った値が回転数と言うことになります

(26)

１

閉曲線の場合

�

●

θ()

θ(L)=2

θ()

0

(0)=0

左回り一周の回転数は１

(27)

－１

閉曲線の場合

�

●

θ() θ(L)=-2

θ()

0

(0)=0

右回り一周の回転数はマイナス１

(28)

２

閉曲線の場合

�

●

θ()

θ(L)=4

θ()

0

(0)=0

θ()=2 ●

左回り２周の回転数は２

(29)

０

閉曲線の場合

�

●

θ()=0

θ(L)=0

0

(0)=0

●

８の字の回転数は０

θ()=

(30)

？

閉曲線の場合

�

●

θ()

θ(L)=2k

θ()

0

(0)=0

ではこの閉曲線の回転数はいくつでしょうか？答えは次回に…

(31)

(t) の変化は？

角がある場合

�

●

0

●

● ← 角

ちなみに角がある閉曲線でも

(32)

外角を足せばちょうど２

π

角がある場合

�

●

0

●

外角

曲率の積分に外角を足しておけば

(33)

+ 外角

( 曲率の積分 + 外角の和 )÷ ２ π 閉曲線の

回転数 ( 角のある場合 )

回転数は同じように表せます

(34)

角での曲率は ∞

角がある場合

●

外角

この角ではシータはいきなり値が飛ぶのでｔの関数としては不連続ですからその微分である曲率は無限大つまり限りなく大きいと考えられます

(35)

○

多角形の場合

角＝頂点

多角形の場合角と言えば頂点ですが

(36)

○

角を丸めた多角形の場合

角の痕跡＝曲率の極大点

角を少し丸めた多角形もどきの図形でも角の痕跡で曲率が極大値をとります

(37)

○

平面曲線の頂点とは？

曲線の頂点＝曲率の微分が０の点

そこで曲線はＣ３級と仮定して曲率の微分が消えているような点を曲線の頂点と呼びたいのですが

(38)

○

極大点だけではない！

曲率の極小点も頂点

△ △

△

ただしこの定義だと曲がり具合が一番ゆるい点も頂点と呼ぶことになってしまいます

(39)

○ ○

○

△ △

△

このような場合も

極小点も無視できない

でも辺だった部分が逆に反り返っているようなこの絵のような場合を考えると逆向けに一番曲がっている点でもあり無視することはできません数学的には致し方ないことです

(40)

( ２個では閉じない )

四頂点定理

( 領域を囲む閉曲線 )

○

△ ○

△

ちなみに領域を囲む閉曲線では頂点が少なくとも４個はあることが昔から知られています