福井大学 工学部 物理工学科

卵を回すとなぜ立つか II

2005

年

月

日

福井大学 工学部 物理工学科

年度入学

番 大森英胤

目 次

序章

第

章 剛体の力学

1.1

剛体の定義とつりあい

1.1.1

剛体の定義

1.1.2

剛体のつりあい

1.2

固定軸まわりの剛体の回転運動

1.3

慣性モーメントと慣性乗積

1.3.1

慣性モーメント

1.3.2

慣性乗積

1.3.3

慣性楕円体

1.4

剛体回転のオイラー方程式

1.4.1

慣性テンソル

1.4.2

剛体回転のオイラー方程式

1.5

ポアンソーの表現法

第

章 軸対称物体の回転直立

下村理論の紹介–

座標系と接触点

2.2

ジェレット定数

2.3

ジャイロスコピック近似

2.4

回転楕円体の場合

2.5 Moffatt

下村理論のまとめ

第

章 数値シミュレーションによる回転直立現象の再現

プログラムの改良と検証

3.2

重心位置の上昇の様子

3.3

ジェレット定数の時間変化について

3.4

ジャイロスコピック近似

第

章 結論

関連図書

謝辞

付録

序章

ゆで卵や碁石などの剛体を机の上において，勢いよく回転させると立ち上がる。この現象の不思議なと ころは，重心が重力に逆らって上昇する，ということである。この現象は

年以上前から知られてい たが，これまで解明されていなかった。2002 年に

と下村によって卵のような軸対称物体の回転 に伴う立ち上がりの現象を説明する理論が発表された。

この理論によると, 回転する剛体の運動方程式に対して

を対称軸，A をそれ以外の軸まわりの慣性 モーメント，Ω, n をそれぞれ鉛直軸，対称軸方向の角速度，θ を鉛直軸と対称軸のなす角度としたとき

Cn=AΩ cosθ

という近似を用いると，運動方程式を積分することができる。この近似をジャイロスコ

ピック近似とよび，回転が速い場合においては, 自然な仮定であるが，定量的な検討はまだなされたこ とがない。

軸対称物体の立ち上がり現象と関係の深いものとして，逆立ちごまがある。逆立ちごまのような偏心 球の回転に伴う立ち上がりの現象は，1952 年

および

によって厳密解が得られてい て，そこにはジェレット定数とよばれる運動定数が存在することがわかっている。Moffatt と下村の理 論では一般の軸対称物体に対しても, このジェレット定数が保存される。上述の記号および重心の高さ

を用いると

と表される。このジェレット定数を用いると運動方程式は非常に簡単な形で書く ことができ, 容易に積分できるようになる。

本卒業研究では剛体の並進

回転運動を表す微分方程式を

次のルンゲクッタ法を用いて解き，上記

の近似を用いずに軸対称物体の回転直立現象を再現し，その際にジャイロスコピック近似がどの程度の

精度で成立しているのか や ジェレット定数の時間変化について調べた。

第 1 _{章 剛体の力学}

この章の執筆にあたり，文献

を参考にした。

1.1

剛体の定義とつりあい

1.1.1

剛体の定義

剛体とは形が全く変化しない物体のことをいう。言い替えると，物体内の質点間の距離

がい つでも全て一定に保たれている質点系であるということができる。

剛体の

点に

と目印を付けると，この

点の位置が決まると剛体の位置も向きも決まる。まず

A

の位置を決めるには，x

の

個の座標を決めなければならない。次に

の位置を決めるには，

AB

の長さは決まっているので，極座標と同様に線分

の方向

と向き

を決めればよい。C は

を軸として回転する角

によって決まる。すなわち剛体の運動は

個の変数によって記述されることが 分かる。このことを剛体の自由度は

であるという。

一般に拘束条件が

個増えると自由度は

減るということができる。

1.1.2

剛体のつりあい

剛体がつりあいを保つということは，次の

つが成り立っていることである。

(1)

剛体の重心が静止している。

(2)

剛体の重心まわりで回転が起こっていない。

剛体の重心の位置をR, 剛体を質点の集まりとして見たときの各質点の位置と質量をそれぞれ

とし，全質量を

とすると重心は次のように定義される。

R=m1r1+m2r2+· · ·

M (1.1)

(1.1)

式の両辺を時間で

回微分して変形すると

Md²R

dt² = m1r¨1+m2r¨2+· · ·=X

i

mir¨i (1.2)

また

番目の質点が受けている外力を

とする。剛体内の質点が及ぼしあう内力は打ち消し合うこと を考慮すると

式は

Md²R dt² =X

i

Fi (1.3)

となる。すなわち

の条件は

X

i

Fi= 0 (1.4)

とかくことができる。

2)

の条件については重心まわりの角運動量

が常に

であると言えればよい。すなわち

dt X

i

L⁰= d dt

X

i

r⁰_i×mir˙⁰_i=X

i

r⁰_i×Fi = 0 (1.5)

であればよい。また重心も動かないので

であり，

X

i

ri×Fi= 0 (1.6)

とかくことができる。

(1.4)

式と

式をそれぞれ成分に分けた

個の式が，つり合いの条件式である。

1.2

固定軸まわりの剛体の回転運動

剛体が固定した軸のまわりで回転するときは，p3 でも述べたように自由度は

である。

固定軸を

軸にとり角速度を

とする。また剛体を質点の集まりとみなすとして

番目の質点の質量 を

，軸からの距離を

とする。質点の

座標からの偏角を

とすると

ω= dθi

dt (1.7)

であり，質点

の運動量は

に関する角運動量は

である。したがって全角運動量

は

i

mir_i²ω (1.8)

となる。ここで

Iz = X

i

mir_i²

= X

i

mi(x²_i +y_i²) (1.9)

を固定軸

まわりの剛体の慣性モーメントという。これを用いると，軸のまわりの角運動量は

Lz=Izω (1.10)

となる。

1.3

慣性モーメントと慣性乗積

1.3.1

慣性モーメント

剛体に固定した直交座標軸

をとり，剛体を質点の集まりとしてみたときの質点の質量を

位 置を

とする。ξ, η, ζ 軸まわりの慣性モーメントはそれぞれ

Iξ =X

i

mi(η_i²+ζ_i²) Iη =X

i

mi(ζ_i²+ξ²_i) (1.11)

Iζ =X

i

mi(ξ²_i +η²_i)

となる。剛体を密度が

の連続体として扱える場合には，慣性モーメントは次のように求めるこ とができる。

Iξ = Z Z Z

ρ(ξ, η, ζ)(η²+ζ²)dξdηdζ Iη=

Z Z Z

ρ(ξ, η, ζ)(ζ²+ξ²)dξdηdζ (1.12)

Iζ = Z Z Z

ρ(ξ, η, ζ)(ξ²+η²)dξdηdζ

また

を剛体の質量として，慣性モーメントを

I=M k² (1.13)

とおいたときの

I

M

のことを回転半径と言う。

1.3.2

慣性乗積

剛体に固定した座標系

に関して次の量を慣性乗積という。

Iξη=X

i

miξiηi

Iηζ =X

i

miηiζi (1.14)

I_ζξ=X

i

m_iζ_iξ_i

この量は対称性がよい場合

が成り立つ場合) は全て

になる。

1.3.3

慣性楕円体

剛体に固定した座標軸

に関する慣性モーメントと慣性乗積がわかっているとする。このとき

を通る任意の軸

と

軸とのなす角の

をそれぞれ

とする。

Pi

Qi

O

ξ

ζ

υ η µ λ

X

θi

剛体内の一点

から

におろした垂線を

と

のなす角を

とす ると

cosθi= 1 ri

(λξi+µηi+νζi) (1.15)

とかけるから

PiQ²_i = r²_i sin²θi

= r²_i −r_i²cos²θ_i

= (ξ²_i +η²_i +ζ_i²)−(λξi+µηi+νζi)²

ここで

であるから

PiQ²_i = (ξ_i²+η²_i +ζ_i²)(λ²+µ²+ν²)−(λξi+µηi+νζi)²

= (η_i²+ζ_i²)λ²+ (ζ_i²+ξ²_i)µ²+ (ξ_i²+η_i²)ν²

−2µνηiζi−2νλζiξi−2λµξiηi

これに

をかけて加え

i

miPiQi

2 = X

i

(η_i²+ζ_i²)λ²+X

i

(ζ_i²+ξ_i²)µ²+X

i

(ξ_i²+η_i²)ν²

−2X

i

µνηiζi−2X

i

νλζ iξi−2X

i

λµξiηi

とすると，これは

まわりの慣性モーメント

となるが，ここで

式と

式を用いて書 きかえると

IOX =Iξλ²+Iηµ²+Iζν²−2Iηζµν−2Iζξνλ−2Iξηξη (1.16)

となる。

(1.16 )

式の

にそれぞれ

を代入して，I

とすると

Iξξ²+Iηη²+Iζζ²−2Iηζηζ−2Iζξζξ−2Iξηξη= 1 (1.17)

となる。この式を満足する点

は一つの楕円体面をつくる。これを慣性楕円体という。この楕円 体と

との交点を

とすると，OR

とすると

ξX=rλ, ηX=rµ, ζX=rν

であり，これらを

式の

に代入すると

r²(Iξξ²+Iηη²+Iζζ²−2Iηζηζ−2Iζξζξ−2Iξηξη) = 1 (1.18)

ここで

式の括弧の中は

に他ならないので

r²IOX = 1

⇒ IOX = 1

r² (1.19)

となる。このことは原点

をきめて，それに対応した慣性楕円体を描き

を通る任意の軸と慣性楕円 体との交点を

とするとその軸のまわりの慣性モーメントは

IOX = 1/ OR (1.20)

で与えられることを意味している。

慣性楕円体は，原点のとり方には依存するが，ξ, η, ζ 軸のとり方には依存せず，座標軸の方向を適当

に選ぶことで

式は

の様な形にすることができる。このように選んだ

軸

を，慣性主軸に対する慣性モーメントを主慣性モーメントと言う。

1.4

剛体回転のオイラー方程式

1.4.1

慣性テンソル

i

x

y

z ω

rⁱ

O

ξ

η ζ

図

で回転する剛体

図

のように

を固定点とし，実験室系

と重心系

をとる。剛体の点

に角速度

を与えると剛体上の任意の点

は時間

に

の両ベクトルに対して垂直な方向に

動くことになる。すなわちこの瞬間における

の速度は

˙

ri=ω×ri (1.21)

と表すことができる。この

式に

を掛けて

について和をとると，剛体の運動量

は

i

mir˙i=ω×X

i

miri

= ω×MR (1.22)

とかける。ここで

は剛体の全質量で，R は剛体の重心である。

点

のまわりの角運動量

は

と

との外積で

i

mi(ri×r˙i) =X

i

miri×(ω×ri) (1.23)

となる。ここで

の

成分は

Lx = X

i

mi[yi(ωxyi−ωyxi)−zi(ωzxi−ωxzi)]

= X

i

mi[(y²_i +z_i²)ωx−xiyiωy−zixiωz]

とかける。重心系で表すと

Lξ =X

i

mi[(η_i²+ζ_i²)ωξ−ξiηiωη−ζiξiωζ] (1.24)

慣性モーメント

imi(η²_i +ζ_i²)

と慣性乗積

imiξiηi, Iζξ=P

imiζiξi

を用いて

式 を書き換えると

Lξ =Iξωξ−Iξηωη−Iζξωζ (1.25)

となる。η，ζ の成分も同様に

Lη=Iηωη−Iηζωζ−Iξηωξ (1.26) Lζ =Iζωζ−Iζξωξ−Iηζωη (1.27)

となる。(1.25) 式，(1.26) 式，(1.27) 式をまとめて行列で書くと



 Lξ

Lη

Lζ



 =





Iξ −Iξη −Iζξ

−Iξη Iη −Iηζ

−Iζξ −Iηζ Iζ







 ωξ

ωη

ωζ



 (1.28)

となる。この

式の右辺の

行

列の行列で表される量を慣性テンソルという。また慣性乗積は 対称性がよくなるように座標系を選んでやると，すべて

にすることができることから，そのとき

式は



 L⁰_ξ L⁰_η L⁰_ζ



=





I_ξ⁰ 0 0 0 I_η⁰ 0 0 0 I_ζ⁰







 ω⁰_ξ ω_η⁰ ω⁰_ζ



 (1.29)

とすることができる。この

を主慣性モーメント，この時の座標軸の方向を慣性主軸という。

1.4.2

剛体回転のオイラー方程式

剛体上のベクトル

の微小時間

における変位

を

重心系

からみたときの

の変化

(2)

実験室系

からみたときの

の変化 の

つの場合に分けて考えてみる。

(1)

の場合の

成分は

である。(2) の場合は

となる。これらのベクトル和 である

を

で割ると

dB dt

ξ

= dBξ

dt + (ω×B)ξ

dB dt

η

=dBη

dt + (ω×B)η (1.30)

dB dt

ζ

=dBζ

dt + (ω×B)ζ

となる。ξ, η, ζ 軸を慣性主軸に一致させたときの

に関する全角運動量

は

式

で与えられ，時間微分すると

dt =I_ξ⁰dωξ

dt , dLη

dt =I_η⁰dωη

dt , dLζ

dt =I_ζ⁰dωζ

dt (1.31)

となる。(1.31) 式と

を

式に用いると，ξ 成分については

dt

ξ

= I_ξ⁰dωξ

dt + (ωηLζ−ωζLη)

= I_ξ⁰dωξ

dt + Lζ

ωζ

−Lη

ωη

ωηωζ

= I_ξ⁰dωξ

dt −(I_η⁰−I_ζ⁰)ωηωζ (1.32)

となる。同様に

成分は

dL dt

η

= I_η⁰dωη

dt −(I_ζ⁰−I_ξ⁰)ω_ζω_ξ dL

dt

ζ

= I_ζ⁰dωζ

dt −(I_ξ⁰−I_η⁰)ωξωη

となり角運動量に対する運動方程式

dt = N

= X

i

(ri×Fi)

に代入すると，重心系の各成分は

I_ξ⁰dωξ

dt −(I_η⁰−I_ζ⁰)ωηωζ = (X

i

ri×Fi)ξ

I_η⁰dωη

dt −(I_ζ⁰−I_ξ⁰)ωζωξ = (X

i

ri×Fi)η (1.33)

I_ζ⁰dωζ

dt −(I_ξ⁰−I_η⁰)ωξωη= (X

i

ri×Fi)ζ

これを剛体の回転に対するオイラー方程式という。

1.5

ポアンソーの表現法

外力が

の場合のオイラー方程式は

dt = (I_η⁰−I_ζ⁰)ωηωζ

I_η⁰dωη

dt = (I_ζ⁰−I_ξ⁰)ωζωξ (1.34)

I_ζ⁰dωζ

dt = (I_ξ⁰−I_η⁰)ωξωη

となるが，(1.34) 式にそれぞれ

を掛けて加えると

dt +Iηωηdωη

dt +Iζωζdωζ

dt = 0 (1.35)

となる。この

式を積分すると

2(Iξω_ξ²+Iηω²_η+Iζω²_ζ) =const (1.36)

となる。この

式の左辺は剛体の力学的エネルギーになっていて，力学的エネルギーが保存されて いることが確認できる。

また，(1.34) 式にそれぞれ

を掛けて加えると

dω_ξ

dt +I_η²ωη

dω_η dt +I_ζ²ωζ

dω_ζ

dt = 0 (1.37)

となり，この

式を積分すると

I_ξ²ω_ξ²+I_η²ω²_η+I_ζ²ω²_ζ =const (1.38)

となる。I

であり，(1.38) 式から角運動量が保存されることが確認できる。

慣性楕円体で点

から引いた

に平行な直線を考える。この直線と慣性楕円体との交点を

として，

OW =l

とすると，点

の座標

は

ω, ηW =lωη

ω , ζW =lωζ

ω (1.39)

となる。これらは慣性楕円体上にあるので

を満たすので

ω²(Iξω²+Iζω²+Iηω²) = 1 (1.40) (1.36)

式の右辺を

とすると

式は

ω=√

2Kl (1.41)

となる。

点

で慣性楕円体に接する平面上の点を

とするとこれらは

IξξWξ⁰+IηηWη⁰+IζζWζ⁰= 1 (1.42)

を満たすことが解析幾何学で知られている。これに

式を代入すると

l

ω(Iξωξξ⁰+Iηωηη⁰+Iζωζζ⁰) = 1 (1.43)

⇒Lξξ⁰+Lηη⁰+Lζζ⁰ =ω l =√

2K (1.44)

となる。左辺は

であるが，これが一定であるということは，r

の乗る平面が

に垂直であるこ とを示している。原点

からこの接平面への垂線の長さを

とすると，L

であり，これが

√2K

に等しいから

h=

√2K

L (1.45)

である。K, L は一定であることから

も一定である。このことからこの接平面は空間に固定した一定不 変の面であるとわかる。これを不変面と言う。点

を固定した慣性楕円体は，不変面に接しながら，滑 べること無く，転がっていく。その回転の角速度は，各瞬間における

の長さに比例する。

このとき，接点

が不変面上に描く曲線をハーポールホード，慣性楕円体上にのこす軌跡をポール ホードという。このように，慣性楕円体の運動として剛体の運動を表す方法をポアンソーの表現法と いう。

L ω

ハーポール ホード

ポール ホード

図

ハーポールホードとポールホード

ζ

η ξ

O

図

ポールホード

第 2 章 軸対称物体の回転直立

–Moffatt _{下村理論の紹介} –

この章では文献

をもとに

と下村による軸対称物体の回転直立の理論の詳細な解説を 行う。

2.1

座標系と接触点

ξ

ζ

X Z

θ O

h(θ) R

P g

図

回転する軸対称物体

点

を重心とする任意の軸対称物体が, 水平面上を滑りながら点

のまわりに回転運動をしていると する。考えている瞬間における物体と水平面との接点を

とする。点

において摩擦力が働かなけれ ば, 運動方程式の解として定常的な歳差運動が存在することは, よく知られている

さしあ たり定常的な歳差運動が実現していて, したがって, 点

の速度はゼロと見なして, 以下の議論を展開す る。その上で, 非常に弱い摩擦力が働いた場合に, その効果により運動にどのような変化が起きるか, 具 体的には点

が上昇するかどうか, を考察することにする。

まず座標軸の取り方を説明する。X, Y, Z 系 は 点

を原点として水平面内で回転する座標系である。

Z

軸は鉛直上向きであり,

軸は水平面内に, 点

が

平面にのるようにとる。Y 軸は

軸と

軸 とに垂直で,

軸が右手系をなす向きにとる。X, Y 軸は点

の運動に追随して水平面内で回転す るが, 考えている瞬間におけるその角速度を

とする。ξ, η, ζ 系は物体に固定された座標系

で あり, 点

を原点とする。ζ 軸は物体の対称軸方向を,

軸はそれに垂直な２方向を向くようにとる。

ξ, η, ζ

軸も右手系をなす。形状が軸対称であるため,

軸の取り方に任意性はない。ξ, η, ζ 軸は, 物体の

角速度ベクトル

で回転している。X

は

を原点とした接点

の位置ベクトルとする。この

とき物体が受ける力は

・ 重力

・ 垂直抗力

・

方向への摩擦力

である。摩擦力が

方向を向いていることは, 物体の対称軸

軸の傾き

の変化が, 回転角速 度に比べて無視できるほど小さいという仮定の帰結である。

物体の角速度ベクトル

の各成分は

ωξ = −Ω sinθ

ωη = θ˙ (2.1)

ωζ = n

となる。

また水平面内回転系での各成分は

ωX = −ωξcosθ+ωζsinθ

= −Ω sinθcosθ+nsinθ

= (n−Ω cosθ) sinθ

ωY = ωη = ˙θ (2.2)

ωZ = ωζcosθ+ωξsinθ

= ncosθ+ Ω sin²θ

ただし

は

の

軸成分で

n= ˙ψ+ Ω cosθ

である。ただし

は図

に示すような関係にある。

O

Ωcosθ

ω

Ω θ

h(θ) ξ

ζ

X Z

P R

ψ^.

図

つの系での

と

主慣性モーメントを

Iξ =Iη =A, Iζ =C

とすると，角運動量

の各成分は

Lη = Aθ˙ (2.3)

L_ζ = Cn

となる。また

LX = Lξcosθ+Lζsinθ

LY = Lη (2.4)

LZ = −Lζsinθ+Lζcosθ (2.3)

式を

式に代入して水平面内回転系にすると

は

L= ((Cn−AΩ cosθ) sinθ, Aθ, AΩ sin˙ ²θ+Cncosθ) (2.5)

となる。

この

の時間に対する変化は，オイラー方程式

∂L

∂t + (ω×L) =XP×R+F (2.6)

で与えられる。ここで

は点

にはたらく摩擦力である。

図

は角度

が微小角

変化したときを描いてある。X’,Z’ は変化後の水平面内回転系の座標軸

で

は変化後の重心の高さである。図

の点

付近を拡大したものが図

である。ここで線分

に着目すると

LN ' −XP∆θ (2.7)

であり，また

LN = OL−ON

= h− h⁰ cos(∆θ)

である。∆θ

のとき，cos(∆θ) = 1 となることから

LN 'h−h⁰=−∆h (2.8)

ゆえに

XP = dh

dθ (2.9)

となる。これを用いると位置ベクトル

の成分は

dθ, Z_P =−h(θ) (2.10)

となる。

また，R

であるから

XP×(R+F) = (−ZPF,−RXP, F XP) (2.11)

ξ

ζ

X Z

X’

Z’

h(θ) h’(θ)

∆θ θ

O

P -Xp

図

微小な角度変化

-Xp

∆θ

N L

図

微小な角度変化

となり

式を用いるとオイラー方程式の各成分は

dt[(Cn−AΩ cosθ) sinθ]−AΩ ˙θ = −ZPF (2.12) Aθ¨+ Ω(Cn−AΩ cosθ) sinθ = −RXP (2.13) A˙Ω + d

dt[(Cn−AΩ cosθ) cosθ] = F XP (2.14)

と表される。