Backlog と最適生産量の決定
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(2) [2]カ. ー ン モ デ ル のReview. Backlog(予. 約 注 文)を 含 む 在 庫 変 動 を 考 え る場 合 、 基 本 的 な考 え方 は カ ー ン(Khan)モ. デルにお. い て 整 理 され て い る。 以 下 に お い て 展 開 さ れ るわ れ わ れ の モ デ ル も この カ ー ンモ デ ル を 土 台 と して い る。 そ こで や や蛇 足 で は あ るが 、 そ の モ デ ル の基 本 的 な骨 格 を 再 述 して お くこ と は有 益 で あ る と思 わ れ る。. (2-1)カ. ー ンモ デ ル(1)…Backlogの. 需 要 はAR(1)プ (1)1),=(∫. な い場 合. ロセ ス、 十 ρ工)卜1十 ω,. に し た が う も の と 仮 定 さ れ て い る 。 こ こ でDは (0,σ2)の. 需 要 を 、 εは 期 を 表 す 。 ω は 予 測 誤 差 で あ り`.ε.d.. 性 質 を もち 、 ま た 独 立 で あ る と仮 定 さ れ て い る 。 ε期 に は 砺 は 予 測 さ れ な い が 、 前 期 の. ㏄、-1は 正 確 に 知 り 得 る 。 さ ら に1ρ1〈1で. あ る 。 し た が っ て 、 ε期 に 企 業 に よ っ て 予 測 さ れ る 需. 要 は、 (2)E[Dご}診]=d+ρZ)`_1 で あ る。 一 方 、 π を 在 庫 ス ト ッ ク と す る と在 庫 フ ロ ー は 、 (3)π,.1一. πε=yε. 一8`. で 表 さ れ る 。 π、.1お よ び π,は 各 期 の 期 首 の 在 庫 ス ト ッ ク 量 で あ り 、 γ と8は 販 売 量 を 表 す 。 な お こ こ で は 診期 の 期 末 在 庫 ス ト ッ ク が そ の ま ま 孟+1期. それ ぞ れ生 産 と実 際 の. の 期 首 在 庫 ス トック と な る こ. と を 仮 定 し て い る。(D 企 業 行 動 は 今 期 の 利 潤 お よ び 将 来 利 潤 の 割 引 現 在 価 値 が 最 大 に な る よ う に 生 産 量 を 決 定 す る もの と 仮 定 され、 次 式 を考 え る。. (4)E∫[Σ(1+θ) `=O. `(pSf+,-cy`+`)]. pは 価 格 を 、eは 限 界 費 用 を 表 す が 、 ど ち ら も一 定 と仮 定 さ れ て い る 。p8、.」-cy,、,が. 各期の利潤を. 表 し、 将 来 利 潤 は 割 引 率 θに よ っ て 現 在 価 値 に 評 価 さ れ る 。oは 一 定 で あ る の で こ こで はProductionSmoothingの. こ と は考 察 さ れ な い 。. 販 売 量 は 非 負 制 約 条 件 が 仮 定 さ れ る。 つ ま り (5)8f==!しfε. π[π ご+}7ε,Df]. `期 の 需 要 に 対 応 で き る 最 大 限 の 供 給 量 は 過 去 か ら の 在 庫 ス ト ッ ク π,と 今 期 の 生 産y,の る 。 こ こで はBacklogを. 合計 であ. 考 え て い な い た め 、 こ の 供 給 量 を 越 え る需 要 が 発 生 し た 場 合 に は 超 過 需 要 は. す べ て 失 わ れ て し ま い 、 予 約 注 文 残 高(Backlog)と. して 次 期 に 繰 り越 さ れ る こ と は な い 。 予 約 注 文 は. ま さ に 今 期 対 応 で き な か っ た い わ ば マ イ ナ ス の 販 売 で あ る が 、 わ れ わ れ は 予 約 注 文 を 許 して い な い た め 販 売 量 に 非 負 制 約 を 課 して い る こ と に な る 。 ま た(4)か. ら最 適 在 庫 ス ト ッ クが 一 意 的 に 導 き 出 さ れ 、 毎 期 同 量 の 在 庫 ス ト ッ クが 維 持 さ れ る 。(2).
(3) Backlo9と. 最 適 生 産 量 の 決定. そ れ を んで 表 す こ とに す る。 そ して毎 期 この 最 適 在 庫 ス トック量 が 維 持 され る よ うに 生 産 計 画 へ と組 み 込 まれ る。 つ ま り ん は予 測 で きな い需 要 砺 に対 処 す るた め に保 有 され 、 減 少 部 分 は次 期 の生 産 で補 墳 され る。 この よ うに考 え るな ら毎 期 の供 給 は π∫+yご=ん. 十 γ`. と考 え 得 る。. (2-2)企. 業 の 生 産 計 画 と実 際 の 販 売 量. 以 上 よ り 企 業 のt期. 生 産 計 画 は次 の よ うに決 定 され 、 実 施 され る。. (6)y,-E[D,1ご]+!14`z↓[ω =d十. 、-1,ん]. ρ2ワ∫_1十. ルf6π[Lら_1,ん]. 企 業 は 予 想 さ れ る需 要 と最 適 在 庫 ス ト ッ ク を 維 持 す る よ う に生 産 を 計 画 ・実 行 す る 。 ま ず 企 業 は今 期 予 想 さ れ る 需 要 分(E[」D,1孟])の ω、.1に 対 応 す べ く(前. 生 産 を 計 画 す る。 つ づ い て 、 前期 にお い て予 想 され な か った需 要. 期 の)最. 適 在 庫 ス ト ッ ク が 用 い られ て い る た め 、 そ の 分 最 適 在 庫 ス ト ッ クが 減. 少 して い る 。 そ こで 今 期 そ の 減 少 部 分 を 補 填 す る た め の 生 産 を 行 う必 要 が あ る。 そ れ が ルf洗[砺 で あ る 。 も ち ろ ん ω、.1<ん く 、 ㏄、.1=ん. 一1,々]. で あ れ ば ん の 減 少 部 分 は μ,.1で あ る た め μ、.1だ け を 補 填 生 産 す れ ば よ. で あ れ ば ん は す べ て 販 売 さ れ て い る た め ん だ け を 生 産 す れ ば 良 い 。 ま た α、.1>ん. れ ば ん を 上 回 る 需 要 部 分 はBacklogさ. であ. れ な い た め に 消 失 した と み な し、 今 期 は ん だ け を 生 産 す れ ば. 良 い。 一 方 、 実 際 の 販 売 量 は(1)と(5)よ (7)8「,=d十. ρD卜i十1レf`π[ω. で あ た え ら れ る 。(1)よ. り、 ε,ん 〕. り予 想 通 り の 需 要 部 分(d+ρD,-1)と. の う ち 最 適 在 庫 ス トッ ク(ん)に. 予 想 さ れ な か っ た 需 要 部 分(猛,). よ って 対 処 した 部 分(ルf説[砺,んDの. 合 計 で あ る。 や は り ここで. も ω、の 中 、 ん を 上 回 る超 過 需 要 部 分 は 消 失 す る 。 砺 ≦ ん だ け が 販 売 に よ っ て 満 た さ れ る 。 (6)(7)よ (8)η. り次 期 へ 持 ち 越 さ れ る 在 庫 は 、. 嘘+1=ん. 一M`π[乙. で あ る 。 も し α,≧ η,+1=ん. 乙f,ん]. ん な ら、 持 ち 越 さ れ る 在 庫 は ゼ ロ(π`.童=0)と. な り 、 α,〈. んで あれ ば、. 一 ω,だ け が 持 ち 越 さ れ る 。 そ して 次 期 に は ん を 維 持 す る た め ん 一 πごだ け の 在 庫 補 填 用 生 産. が 行 わ れ る。 以 上 が カ ー ンに よ る モ デ ル の 基 本 的 な 部 分 で あ り、 この モ デ ル を 用 い て さ ま ざ ま な ケ ー ス が 分 析 さ れ る。. (2-3)カ. ー ンモ デ ル(2)…BacklQ9の. こ こ で は 完 全 なBacklogの 需 要 と 呼 ぶ こ と に す る)は(9)で (9)」D∫=(1-←. あ る場 合. あ る場 合 を 整 理 す る 。 簡 単 化 の た め(1)で. 表 さ れ る 需 要(便. 宜上新規. あ る とす る 。. こ 乙f.. こ こ で 、 前 期 に 発 生 し た 超 過 需 要 部 分 を 完 全 にBacklogし. 、 今 期 に 生 産 販 売 し対 応 す る もの と す.
(4) る。 前 期 の 超 過 需 要 は ω,-1>ん M加[ω. で あ る が た め に 発 生 して い る の だ か ら、 販 売 はS,一 且=d+ρD、-1+. ご一1,ん]=d+ρD,-1+ん. (10)1)卜1-S,.1=ω. で あ り 、 前 期 超 過 需 要(D,.1-S,.1)は. 卜1一. 、. ん. とな る。 よ って 総 需 要 は、 (11)-D、-d+(砺.1一. ん)+ω,. とな る。 今 期 の 生 産 は 予 想 さ れ る 需 要 部 分(d)と. 前 期 よ りの 超 過 需 要 部 分(α,.1-々)お. よび 、前 期 に最. 適 在 庫 ス ト ッ ク は す べ て 販 売 に 回 さ れ て い る た め 、 今 期 そ の 部 分 を 補 填 す る た め の 生 産 部 分(ん)か ら構 成 さ れ る 。 (12)y置=(∫. 一{一(α`_1一 ん)一{一ん=oZ一 トZZf_1. それ ゆ え 今 期 の 販売 は sε=M説[Yご,1)ご] と な る 。(5)と. 比 べ て 供 給 側 に π、が 存 在 し な い の は 、 前 期 に お い て 全 在 庫 ス ト ッ ク で 需 要 に 対 応 し. て も対 応 し き れ ず に 超 過 需 要 ま で 発 生 して い る た め 、 今 期 へ と持 ち 越 せ る 在 庫 が 存 在 し な い か らで あ る 。(3)よ っ て 、 8`=Mε. π[ん,砺]. 砺 部 分 の需 要 は予 測 され な いた め 、ん に よ って 対 応 され るか ら、 (13)ひ ε=1し4「6π[乙6ご,ん] θは ん に よ っ て 対 応 し得 る 量 を 表 し、 も し μ,〉 々 と い う場 合 に は 、 在 庫 ス ト ッ ク で 対 処 し き れ な い 部 分(砺. 一 ん)が. 発 生 し、 こ れ が 今 期 超 過 需 要 で あ る 。 そ れ は 今 期 のBacklogと. して 次 期 に 生 産 ・販. 売 さ れ る。 も ち ろ ん この と き (14)ひ`==々 で あ る 。 こ の(14)よ 8,-Mε. り、. π[u∫,α`]. 当 然 ひ、<ω,で. あ れ ば 、 超 過 需 要 部 分 は 今 期 のBacklog部. [3]Production-Smoothingを. (2-2)で. 分 と な り 、 診+1期. に 生 産 ・販 売 さ れ る 。. 含 む 場 合 の 最 適 生 産 量. は 、 前 期 の 超 過 需 要 を 完 全 にBacklogす. る ケ ー ス を 、 限 界 費 用 一 定 と い う仮 定 の 下 で. 展 開 した 。 こ れ は も ち ろ ん 限 界 費 用 が 一 定 で あ る か ら可 能 で あ り、 そ う で な け れ ば 完 全 にBacklogす る こ と が 不 可 能 に な る 場 合 が 現 れ る。 そ の よ う な 場 合 に 企 業 は ど れ ほ どBacklogに と な る。 以 下 で は そ の よ うなProduction-Smoothingを. (3-1)基. 応 じるの か が 問 題. 含 む場 合 の 企 業 の最 適 生 産 量 を考 え る。. 本 と な る仮 定. こ こで 用 い る モ デ ル は基 本 的 に はカ ー ンモ デ ル の そ れで あ るが 、 あ くまで 超過 需要 が 発 生 して い る状 態 に焦 点 を 当て て い るた め 、 若 干 の変 更 を して い る。 まず 需 要 側 は次 式 とす る。(4).
(5) Backlo9と. (15)D、=cy卜1+δ こ こ でcは. 最 適 生 産 量 の決 定. 之∼+1+膨,. 限 界 消 費 性 向 を 、1は 設 備 投 資 を 意 味 す る 。 な お 簡 単 化 の た め0〈c〈1と1を. す る 。 超 過 需 要 に つ い て は 今 期Backlogし. 一 定 と仮 定. 、 次 期 へ 受 注 残 高 と して 繰 り越 す も の と 仮 定 し次 式 を 想 定. す る。 (16)2ζ,+1=(1⊃`一}7ご) しか し、 こ の 超 過 需 要 残 高(受 こ で2の. 注 残 高)2が. 次 期 に す べ て 生 産 対 応 さ れ るか ど うか は不 明 で あ る。 そ. う ち 次 期 に 生 産 対 応 さ れ る 割 合 を δ と す る と`期. の 超 過 需 要 の 中 、 次 期 に 生 産 ・販 売 さ れ る. 量 は、 δ2`+【=δ(D`-yf) で あ る 。 当 然 この 値 は い ま の と こ ろ 未 知 数 で あ る 。 た だ し、 も し前 期 に 超 過 需 要 が 発 生 して お り、 前 期 か らの 持 ち 越 し((1一. δ)2,)が. あ る ケ ー ス は 無 視 す る 。 っ ま り持 ち 越 し は1期. のみ有効 であ る と. す る。 生 産 側 は、 (17)Y亡=E[D,け];d7ト. 夏+δ 之ε+1. と な る 。 さ ら にy'、 に つ い て は 、 以 下 に 示 す 販 売 価 格 に つ い て の 仮 定 を 施 さ な く て は な ら な い た め 、 便 宜 上 新 規 需 要 に 対 応 す る 供 給 部 分 を ッ,-cy、-1+1、. 前 期 か らの 受 注 残 高 用 の 供 給 部 分 を ♪・ 、,篇 δε、. と して 区 別 して お く。 した が っ て 生 産 は 、 (18)Y、=)ノ`+ツz, で あ る 。 こ こ で は 前 期 に お い て 超 過 需 要 が 発 生 して い た ケ ー ス を 考 え て い る た め 、 持 ち 越 し在 庫 ス ト ッ ク π,は ゼ ロ とす る 。 ま た 最 適 在 庫 ス ト ッ ク を 除 い て い る。 よ っ て 今 期 の 販 売8,は 8`=ルfε. 、. π[y,,D日. で 与 え られ る 。 しか し ど れ だ け 販 売 さ れ る か は 分 か ら な い 。 あ く ま で 生 産 量 は企 業 の 最 適 化 行 動 の 中 か ら決 定 さ れ 、 も しY,>D,な. ら8,-D,と. な る か らで あ る 。 ま た た と え 超 過 需 要y,〈D,が. と して も、 必 ず し も 完 全 に 供 給 さ れ る と は 限 らず 、8,=y、. あ った. と い う こ と も有 り得 る 。. 販 売 価 格 に っ い て は 価 格 一 定 の 仮 定 を は ず し、 需 要 曲 線 が 右 下 が り で あ り、 独 占 的 に 行 動 す る 企 業 を 想 定 す る 。 した が っ て 今 期 の 価 格p、 は 次 式 に よ っ て 決 定 さ れ る 。 (19)Pご=1つ(y,) た だ 、 超 過 需 要 に 対 応 す る販 売 に 対 して は 、 前 期 の 価 格 の 下 で 受 注 を 受 け て い る た め 、 こ の 部 分 の 販 売 はp,.1で. 行 わ れ る 。 よ っ て 超 過 需 要 部 分 に 対 す る 販 売 収 入 はp、.1ッ,,で. 費 用 関 数 に つ い て はProduction-Smoothing仮. あ る。. 説 を 考 え る た め 費 用 逓 増 型 の 性 質 を 持 つ 費 用 関 数C. を仮 定 す る。 (20)σ,=σ(}7、),σ'(γ)>0,C"(y)>0(一 以 上 の 仮 定 に 基 づ き今 期 の 最 適 な 生 産 量 を 求 め る 。. 定)..
(6) (3-2)基. 本 モ デ ル と最 適 生 産 量. 企 業 は ご期 の 利 潤 と将 来 利 潤 の割 引 現 在 価 値 の 合 計 が 最 大 に な る よ う に生 産 量 を 決 定 す る もの と す る。 そ こで6期 の 利 潤 を. E[Σ(1+θ)一:(P,(二yε)ツ. 、+. `ニo で 表 し 、 こ れ に(2-1)の. 、 ρ ￠_1ツz、-C(yF`))1孟]. 仮 定 を 代 入 し て 、g,に. を も ち い てBellman方. つ い て の 状 態 評 価 関 数V(2、)(Valuefunction). 程 式 を 作 る と 、(5). (21)V(2`)軍E[Σ(1+θ)一`(P,(ツ`))ノ,十P`-1yβ `=0. (21)を. ご 一一C(y`))+V(2`+エ)1孟]. ッ 、と ッ、,で 微 分 す る と 、. (22)V',(2f)=Pf+(愛yε/⑫,-Cy(y∂=0 (23)1/ン ♂(之 、)ニ. ーCy3(}7,)十(1-{一. と な る 。 こ こ でpご+{か,/⑫. θ)-1τ/yz(2r,+1)=0. 、は 限 界 収 入 で あ る た め 、 需 要 の 価 格 弾 力 性(η. 直 す と 、p,+d!y,/(加,=p,(1-1/η)と. 〈0)を. 用 いて書 き. な る。. さ ら に ツ、,=δ 之,で あ る こ と に 注 意 してBenveniste-Scheinkmanの. 定 理 を用 い る と、. v、(2∂=Pε.1δ で あ る た め 、 こ の 関 係 か らV,,(之,.1)=p,δ 合 わ せ1階. で あ る た め 、 こ れ を(23)に. 代 入 し、(22)(23)を. 条件 を 整理 す る と、. p、(1-1/η)-Cン(y'`)十p￠. δ(1十. θ)-1-Cy8(yε)=0. を 得 る 。 こ の 条 件 の 経 済 学 的 な 解 釈 は 図 を 用 い る と 明 確 と な る 。(22)の 適 生 産 量 は 限 界 収 入p、(1-1/η)と. 限 界 費 用C,(y,)が. 条 件 は、 新 規 需 要 に対 す る最. 一 致 す る と ころ で 決 ま り、 同 時 に価 格. も決 ま る こ と を 教 え て い る 。 これ ら を そ れ ぞ れ ン、とp、 と しFig.1に. 描 い て い る 。 これ は ま さ に 新 規. 需 要 に 対 す る生 産 量 と価 格 は 独 占 市 場 の ご と く決 定 さ れ る こ と を 意 味 す る 。 一 方(23)は す る 生 産 量 が 、`+1期 C,、(y、)が. に1単. 超 過 需 要 に対. 位 販 売 し た 場 合 の 限 界 収 入 の 現 在 割 引 価 値p、 δ(1+θ)-1と. 等 しい と こ ろ で 決 定 さ れ る こ と を 示 して い る 。 さ ら に 価 格 は 一 定p,で. 限 界 費用. あ る た め これ は. ま さ に 超 過 需 要2、 に 対 す る 受 注 生 産y、 が 完 全 競 争 的 市 場 の よ う に 決 定 さ れ る こ と を 表 して い る 。 価 格 一 定 か ら(23)よ. り一 意 的 に 生 産 量 ッ、が き ま る 。 す る と δ は 定 義 的 に 、. δ ≡)㌔ ε/ε ∫ で あ る た め 、 ッ、が 決 定 さ れ る と δが 一 意 的 に 確 定 す る 。 も し ッ、〈 之,で あ れ ば δ 〈1で 高 の1部. は 生 産 さ れ な い 。Fig.2で. あ り、 受 注 残. は 之,が2、 の 場 合 に 、 最 適 生 産 ッ.が ッα、だ け 行 わ れ 、1。. 生 産 さ れ な い こ と を 表 して い る 。 他 方 も し ッ、>2、. で あ れ ば δ>1で. 部分が. あ り、受 注 残 高 は す べ て 生 産 ・. 販 売 され るが 、 限 界 収 入 と限 界 費 用 が 等 しい と い う意 味 に お け る最 適 生 産 で は な い こ と に な る 。Fig.3 で は2、 が2占 の 場 合 に は 、 最 適 生 産)・、はyα 、で あ る が 、b部 る 。 しか し こ の 部 分 はProduction-Srnoothing的 て い る こ とに な る。. 分 が 過 剰 生 産 と な る こ と を 示 して い. に考 え れ ば 次 期 に持 ち越 され る在 庫 ス トッ クを表 し.
(7) [4]お. わ りに. 以 上 の結 果 よ り、 超 過 需 要 に対 して 予約 受 注 生 産(Backlog)で. 対 処 す る場 合 、 新 規 需 要 に対 して は. 生 産 量 ・価 格 を 独 占企 業 的 に決定 す る こ とが 可 能 で あ って も、 前 期 か ら繰 り越 され た超 過 需 要 に対 して は完 全 競 争 的 に振 る舞 わ な くて は な らな い こ とが 明 き らか とな っ た。 これ は予約 受 注 生 産 部 分 は前 期 受 注 した と きの 価 格 で 販売 す る とい う仮 定 に基 づ く。 しか も、 前 期受 注 した製 品 に対 して 今 期 成 立 す る価 格 を 設 定 す る こ とよ り も、 この よ うな仮 定 の ほ うが よ り現 実 的 で あ るよ うに 思 われ る。 また 、 カ ー ンモ デ ル で は 超 過 需 要 に対 して ど れ だ け の割 合 がBacklogさ. れ るか は単 に一 定 の係 数 と. して 与 え られ て い るにす ぎな いが 、本 稿 で は その 係 数 は利 潤最 大化 行 動 か ら決 定 され 、 需 要状 況 に 応 じ て変 化 す る こ とを示 した。 しか し問題 は カ ー ンモ デル が 超 過 需 要 が 発 生 す る状 況 の み を扱 って い る と ころ にあ る。 な ぜ な ら も し 超 過 需 要 が 発 生 せ ず 、 超 過 供 給 が 発 生 した 場 合 に は意 図 され な い在 庫 が 発 生 す る こ とに な り、 これ が乗 数 過 程 を切 断 す る可 能 性 が あ るた めで あ る。 た しか に在 庫 を扱 う場 合 の 重 要 性 の1面 に は、超 過 需 要 に.
(8) 対 処 す るた め にな され た在 庫 投 資が さ らに超 過 需 要 を 増 加 させ る とい う面 もあ るが 、意 図 され な い在 庫 ス トックの 蓄 積 に よ る乗 数 過 程 の切 断 とそれ に よ る需 要 削 減 とい う面 も重 要 で あ る。 場 合 によ って は不 況 の 原 因 で あ りさえ す る。 した が って この点 に関 して は今 後 の課 題 と した い。. 脚注 (1)こ. の よ う な 仮 定 は カ ー ンの 原 モ デ ル に は な く、 カ ー ン で は π,一 η,-1=y,-8,で 論 の た め(3)式. あ る。 しか し以 下 の 議. の よ う に 修 正 し て い る。. (2)こ. こ で の 最 適 在 庫 ス ト ッ ク 保 有 動 機 は ス ト ッ ク ア ウ ト(Stockout)の. (3)こ. の 点 が 、Backlogが. (4)カ. ー ンモ デ ル で は 乗 数 過 程 は 成 立 し な い 。 な ぜ 乗 数 過 程 が 成 立 し な い か 、 お よ び 乗 数 過 程 を 明 示 的 に 取 り. あ る場 合 と な い 場 合 と の 最 適 化 の1階. 回 避iで あ る 。. 条 件 の 相 違 を も た ら して い る 。. 入 れ た モ デ ル にっ いて は別 稿 に譲 る。 (5)Be11man方. 程 式 に つ い て はSargent[5]pp.29-33.お. よ びBlanchard[1]pp.279-283.を. 参 照 した 。. 参考文献 [i1. Blanchard,. [2]. Blinder,. [31. Kahn,. Olivier Alan. James. Jean. and Stanley. Fischer,. Theory. & Consumer. S. Inventory A.,. "Inventory. and. vol. 77, No4, sep.. 1987.. [4]. Sargent,. Thomas. J. Macroeconomic. [5]. Sargent,. Thomas. J. Dynamic. Volatility. Theory,. Macroeconomic. Lectures. on Macroeconomics,. Behaviour,. Narvester. of Production". The. 2nd.. ed.,. Theory,. The Mit Press,. Wheatsheaf, American. Academic. Press,. Harvard. University. 1990.. Economic. Inc.,. 1987.. Press,. 1989.. 1987.. Review,.
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