第 6 章三角関数（その２）

(1)

第

6

^章 ^{三角関数（その２）}

日常生活で用いる商用

(

交流

)

電源は数式で表すと周期的に繰り返す三角関数となる．本章では交流回路を学ぶ上での基礎となる正弦波関数について述べる．

6.1

三角関数のグラフ

図

6.1(a)

に示すように，単位円と角

θ

の動径との交点を

P

とすると，点

P

の

x

座標は

cos θ

の値で，

y

座標は

sin θ

の値である．したがって，

sin θ

のグラフは動径

OP

^を

θ = 0

より反時計回りに回転させたときの

y

座標の変化として得られ，図

6.1(b)

のように書くことができる．同様にして，

cos θ

^{のグラフは}

x

^{座標の変化を}

図示したものであり，図

6.1(c)

のように書くことができる．図

6.1(d)

は，

sin θ

と

cos θ

を同じグラフ上に書いたものであり，これより

cos θ

のグラフは，

sin θ

のグラフを横軸方向に

−

^π₂ 平行移動したものであることがわかる．

x y

θ

sin θ

θ

π 2π

cos θ P(cos , sin )θ θ

y

1

-1

sin θ

2π θ π

y 1

-1 cos θ

π

2 23π

(a) (b)

(c) (d)

O 0

0 0

図

6.1:

三角関数のグラフ

(2)

6.2

逆三角関数

(1)

逆三角関数の定義

sin θ = a

のとき，この式を満たす

θ

^の値を^逆正弦(^{アークサイン}) ^といい，

θ = sin

⁻¹

a

^または

θ = arcsin a

^で表す．

cos θ = a

θ

の値を逆余弦(アークコサイン)といい，

θ = cos

⁻¹

a

または

θ = arccos a

で表す．

tan θ = a

θ

^の値を^逆正接(^{アークタンジェント})^といい，

θ = tan

⁻¹

a

^または

θ = arctan a

^で表す．

これらをまとめて，逆三角関数という．

[

^例

1]

θ = sin

⁻¹

1

2

^は，

sin θ = 1

2

^を満たす

θ

^{であるから，}

θ = π 6 , 5

6 π, 13 6 π, 17

6 π, · · ·

すなわち，

θ = π

6 + 2nπ, θ = 5

6 π + 2nπ

^ただし，

n = 0, ± 1, ± 2, · · ·

これを一般解という．

(2)

逆三角関数の主値

[

例

1]

で示したように，逆三角関数の解は無数にあるため，次のように領域を定め，定めた領域内の解を主値と呼ぶ．一般解と区別するために大文字で書き始める．

一般に電卓で逆三角関数を計算すると，この主値のみが表示される（図

6.2

^参照

)

^．

− π

2 ≤ Sin

⁻¹

a ≤ π

2 , 0 ≤ Cos

⁻¹

a ≤ π, − π

2 < Tan

⁻¹

a < π 2 [

例

2]

θ = Sin

⁻¹

1 2

のとき，

sin θ = 1

2

^となる

θ

は，

−

^π₂

≤ θ ≤

^π₂ ^{の範囲では}

θ = π

6

^である．

(3)

x y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

1

-1

x y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

1

-1 x

y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(a) Sin

⁻¹

a

^の範囲

(b) Cos

⁻¹

a

^の範囲

(c)Tan

⁻¹

a

^の範囲図

6.2:

^{主値の角度の範囲}

[

例

3]

θ = Sin

⁻¹

−

√ 3 2

!

のとき，

sin θ = −

√ 3

2

^となる

θ

は，

−

^π₂

≤ θ ≤

^π₂ ^の範囲では

θ = − π

3

^である．

6.3

^{正弦波関数}

(1)

正弦波関数のグラフ

x y

φ

y

−

(a) (b)

O 0

P t⁼0

ω Am

Am Am

t T

ωφ

−−

図

6.3:

^{正弦波関数のグラフ}

正弦波関数のグラフは図

6.3(a)

のように，長さが

A

_m である動径

OP

が時刻

t = 0

のときに水平線となす角が

ϕ

の位置から出発して，反時計方向に一定の角速度

ω[rad/s]

^{で回転するとき，点}

P

^の

y

座標の変化として得られる．これを時間

t

^に対する変化として図示すると図

6.3(b)

のようなグラフとなる．これを式で表すと次のようになる．

y = A

_m

sin(ωt + ϕ) (6.1)

(4)

に相当する．したがって，次の関係が成り立つ．

ωT = 2π [rad] (6.2)

ω = 2π

T [rad/s] (6.3)

[

例

3]

初期位相角

ϕ

が

(1) 0

，

(2)

^π₆，

(3)

^π₂，

(4) −

^π₂ の正弦波関数を式で表すと次のようになり，その時のグラフは図

6.4

^{のようになる．}

(1) y = A

m

sin(ωt) (2) y = A

m

sin(ωt + π

6 ) (3) y = A

_m

sin(ωt + π

2 ) (4) y = A

_m

sin(ωt − π

2 )

(3)

y y

−

(a) (b)

O ⁰

P

Am

Am Am

t

−^Am

(1) (2) (3)

(4)

(1) (2) (4)

π 6

図

6.4:

いろいろな初期位相角の正弦波関数のグラフ

(2)

正弦波関数の分解と合成

正弦波関数

y = A

_m

sin(ωt + ϕ)

^に式

(5.8)

の加法定理を適用すると，次のよう

に，正弦

(sin)

^{の項と余弦}

(cos)

の項に分解することができる．

y = A

_m

sin(ωt + ϕ)

= A

m

(sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ)

(5)

= A

m

cos ϕ sin ωt + A

m

sin ϕ cos ωt

= a sin ωt + b cos ωt (6.4)

ここで，正弦の成分

a

と余弦の成分

b

は次の値となる．

a = A

m

cos ϕ, b = A

m

sin ϕ (6.5)

分解とは逆に，

a sin ωt + b cos ωt

の形の式を，

1

つの正弦波関数

A

_m

sin(ωt + ϕ)

に変形することを合成という．

式

(6.5)

より，次の関係が成り立つ．

A

_m

=

^p

a

²

+ b

²

, cos ϕ = a A

m

，

sin ϕ = b A

m

,

あるいは

tan ϕ = b a

O φ

a b

A_m

図

6.5:

正弦波関数のパラメータ上の式を逆三角関数を使って表すと

ϕ = cos

⁻¹

a A

m

かつ

ϕ = sin

⁻¹

b A

m

，あるいは

ϕ = tan

⁻¹

b

a

^となる．

これらの定数の関係を図

6.5

^に示す．

a

^，

b

^の符号により，

ϕ

が第何象限の角度であるかが決まる．例えば，

a < 0

，

b > 0

のとき，

ϕ

は第

2

象限の角度となる．

【例題

1

^】

y = 5 sin

ωt − π 3

を正弦と余弦の各成分に分解せよ．

【解】

a = 5 cos

− π 3

= 5

2

^，

b = 5 sin

− π 3

= − 5 √ 3

2

^より，

y = 5

2 sin ωt − 5 √ 3 2 cos ωt

【例題

2

^】

y = sin ωt − √

3 cos ωt

^を

1

つの正弦波関数に合成せよ．

【解】振幅

A

_m

= √

1 + 3 = 2

．

式

(6.5)

より，

2 cos ϕ = 1

，

2 sin ϕ = − √

3

であるから，

cos ϕ = 1

2

^かつ

sin ϕ = −

√ 3

2 ,

^あるいは

tan ϕ = − √ 3

^，

ここで，

cos ϕ

^{の符号が正，}

sin ϕ

の符号が負であることから，初期位相角

ϕ

^は第

4

象限にあることがわかる．したがって，これらの式を満たす

ϕ

^は，

ϕ = − π

3 [rad]

(6)

【例題

3

^】

y = − sin ωt + cos ωt

^を

1

つの正弦波関数に合成せよ．

【解】振幅

A

m

=

^p

( − 1)

²

+ 1

²

= √ 2

^．式

(6.5)

より，

√

2 cos ϕ = − 1

，

√

2 sin ϕ = 1

であるから，

cos ϕ = − 1

√ 2

^かつ

sin ϕ = 1

√ 2

^{，あるいは}

tan ϕ = − 1

^，

ここで，

cos ϕ

^{の符号が負，}

sin ϕ

の符号が正であることから，初期位相角

ϕ

^は第

2

象限にあることがわかる．したがって，これらの式を満たす

ϕ

^は，

ϕ = 3

4 π [rad]

^となる

(

図

6.6(b)

参照）．これより，

y = √ 2 sin

ωt + 3

4 π

φ = sin

cos φ

1 φ 2

23

π3

φ = sin

cos φ

φ 12

12 4 π3

図

6.6: (a)

例題

2

の初期位相角

(b)

例題

3

の初期位相角

(7)

-2 2

6ωπ

3ωπ 4π 3ω

t y

3ω2π

−

2sin2 3 π

図

6.7:

^例題

4

^の波形

【例題

4

^{】図}

6.7

^の波形

y

^{を式で表し，正弦} と余弦の各成分に分解せよ．

【解】

t = 0

のとき，

y = 2 sin(

²₃

π)

であるから，初期位相角は

ϕ =

²₃

π

である．したがって，

y = 2 sin

ωt + 2 3 π

式

(5.8)

より

= 2

sin ωt cos 2

3 π + cos ωt sin 2 3 π

= 2 − 1

2 sin ωt +

√ 3 2 cos ωt

!

= − sin ωt + √

3 cos ωt

PC(EXCEL)を使った演習

1

．

(1) y = sin x

と

y = cos x

のグラフを描け．

（

− 4.71 ≤ x ≤ 4.69

^，

0.2

^刻み

)

(2) y = cos x

^と

y = sin(x + 1.57)

^{のグラフを書き，}

2

つが重なることを確認せよ．

ここで，^π₂

≈ 1.57

である．（

− 4.71 ≤ x ≤ 4.69

，

0.2

刻み

)

(3) y = tan x

のグラフを描け．ただし，

tan x

は，

x = ±

^π₂^，

±

³₂

π

，

±

⁵₂

π

，

· · ·

^で値をもたないので，例えば，

x

の範囲は以下のようにする．

( − 4.64 ≤ x ≤ − 1.64

^，

− 1.5 ≤ x ≤ 1.5

^，

1.64 ≤ x ≤ 4.64

^，

0.2

^刻み

)

2

．【例題

2

】で

ω=1

のとき，

EXCEL

を使って合成前と合成後のグラフを描き，

2

つが等しいことを確認せよ．（

0 ≤ t ≤ 10

，

0.5

刻み）

(8)