＝■一技術係数の誤差が産出量推定にあたえる影瞥−−

(1)

産業連関分析と誤差

＝■一技術係数の誤差が産出量推定にあたえる影瞥−−

束杵等

いま産業全体を、その生産物（財およびサ−ビス）の種類に着自し七、

いくつかの産業部門にわけて考える。しかしここで考えるシステムほ静学的なものであ■って、資本蓄積に関する問題は考えないこ．ととする。そうすればこのシステムについて投入量・産出藍に関する均衡と価格・生産費匿関する均衡と、ニ橙類の均衡条件が考えられる。ここでほ投入藍・．産出螢

に関するものをと．りあつかう。

いま第i番目′の産業の産出巌をⅩ名であらわす。この一・部は中間生産物として各産業につかわれ、他の残りの部分ほ家討叉ほ政府において消費されるであろう。そこでこの度出鼻Ⅹ のうち第．j産業に投入されるものを

Ⅹりであらわし、家計、政府において消費されるものをY￡であらわすと、

これらの問に．ほつぎのよう■な関係式がなりたつ。

Ⅹ￡1＋Ⅹ紹＋ヰⅩ戎，も＋Y￡＝Ⅹ名

いうまでもなく同様な関係はどの産業についてもなりたつから、産業全体について次の式が得ちれる。

Ⅹ11＋Ⅹ1望1− ＋Ⅹ1花＋YlニニⅩ1

Ⅹ21＋Ⅹ望2十＋Ⅹ望，る＋Y2ニⅩ2

（1）

Ⅹ机十Ⅹ柁2＋＋Ⅹ柁柁＋Y循＝Ⅹ拘

ところでaり＝Ⅹり／Ⅹメというものを考え．ると、これほ第，j一産業の生産物 1単位を生産するために必要な、第i・産業の生産物の鼠である。これは第 j一産業の生産技術に依存するもめと考えられるので、技術係数あるいは生産係数とよばれている。この技術係数をもちいると（1）式は．次のように．書き改めることができる。

allXl＋a12Ⅹ2＋＋al Ⅹn＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹl＋a22Ⅹ2＋・…＋a餌Ⅹ花＋Y2＝Ⅹ2

）（

（2

a花1Ⅹ1＋aル2Ⅹ2＋＋a花符Ⅹ柁＋Y，〜＝Ⅹ花

ここ■で、もしこの技術係数があたえられ、ある年の最終需要量Yl，Y虫，

(2)

247（35■1）

，Yヶaが予測できるならば、（2）の連立方程式をとくこと紅よって、各産業がその年把生産し、なゆればならない産貼盈Ⅹi，Ⅹ2，…，Ⅹ柁をもとめるこ

とができる。ここで通常の分析に・おいて−ほ、この最終蕾豊、したが？て産出量が変化しても、技術係数は変化しないものと考えられている。しかしこのことは技術係数ほ絶対に変化しないと考えられているのではなくて、

たとえば技術の進歩等によつてほ．変化するが、ただそれは最終寓要鼠や産出壷の変化に・対しては独立であると考えられて

われは．、ここでは、この技術進歩の問題に．は立入らない。

以上紅概観したものがレオンティユ・フの産業連関分析（特に、その開放模型）であるが、そこでは明らかに技術係数が極めて大きな役割む果たしている。をこで∈．の技術係数をできるだけ正確に．推劃しなければならないのであるが、実際にほ過去の統計資料に．もとづいて推封がなされている以上、誤差なしで推計することほ不可儲である。そのためにこの技術係数の誤差すなわち（2）の連立方程式の係数の誤差が、この連立方程式の解であ

る各産業の産出鼠の推定値に．、どれだけの影響をおよ慮すかということが当然問題に．なる。われわれほここでこの誤差の問題、すなわち係数の誤差はつみ重なるものであって、産出鼠は誤差の大きな推定しかできないものであるのか。あるいは係数の誤差は相殺しあうものであって、誤差の小さい産出量の推定が出来るものであるかというノ問題。又その誤差の影轡のしかたが産業分割の数によっててどのように変るかという問題を考えてみよ

うとするものである。

この問題をとりあつかうため隼、上にのべた技術係数および産出鼠をあらわす記号について、誤羞をふくむものと、ふくまないものを使いわけねはならない。（ただし最終需要還に．は誤差ほないものとする）そのため誤差のない場合（真の値）の技術係数および産出箪卑aり，Ⅹ名であらわし、

●●●●●●●

誤差なふくむ場合のものをそれぞれaり＋e彷Ⅹ名′であらわす。すなわち技

●●●●●●●●

術係数および産出墨の誤差ほそれぞれ勒，Ⅹ￠しⅩ￡である。

うに．定めれば、誤差のない場合には（2）と同じ式 a11Ⅹl＋A12Ⅹ2＋＋al，〜Ⅹ花＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹ1十a公立Ⅹ2＋＋a2′〜Ⅹ．さ＋Y2＝Ⅹ2

仁＋az災Ⅹ花十Y乃＝Ⅹ乃

− ．ri−＼

3

がなりたつ。又誤差をふくむ場合についても同じように、

(3)

（all＋ell）Ⅹ1′・十（a12＋e12）Ⅹ2′＋＋（軸＋∈1殉）茶杓′＋￥1＝Ⅹ1′

（為21十餌）Ⅹ1′＋（a卸小弼）Ⅹ2′十十（物ヤぞ芝循）Ⅹ窄′十Ⅴ乏二軍2f

〈4）

（a押1＋e乃1）Ⅹ1㌧卜（執成＋e乃2）Ⅹ2′＋＋（．a循飽汁亭御）Ⅹ網′＋YねニⅩ殉′

が成立？。そしてこの（4）式が琴際にわれわれが産出量推定甲た・めの計算に用いる式なのである。いまこの2つの連立方程式を行列を揮いて、

（5）AX−トY＝Ⅹ

（6）（A＋E）Ⅹ′＋Y＝Ⅹ′

とあらわす。

列、Eは技術係数の誤差を要素とする行列をちらわし、Ⅹ・Ⅹ′は誤差を轟

くまない場合およびふくむ場合の各産業の産串蛍な成分とするベクトルを

あらわし、Yは各藩巣の巌終需要を成分と㌧するベクトルをあらわし頂いる0

問題は各産業の産出崖の誤差Ⅹ乞′−−Ⅹ威の評価に透卑0盲

そ与でⅩ′⊥Ⅹを求めることを考える。このねめ鱒・（串）を

（トA）Ⅹニ￥

と変形する。ただしこのⅠほ単位行列である0羊重力ラ、ら

（7）Ⅹニ（Ⅰ−、阜）￣1￥

を得る。全く同様にして（6）より

（8）Ⅹ′ニ＝（トーA−E）￣■1Y

妄得る。（7）と（8）からⅩ′−−Ⅹをつくる。すなわち

Ⅹ′−−Ⅹ＝（トA一一E）￣1Y−（I−A）￣lY

＝（（トA−−E）■十（トA）一Ⅰ）（トA）￣1Y

＝＝（トA・NE）−1（（トA）−（I−AdE））（トA），1Y

〒（トA一寧）⊥1EX

号とこでEはAとくらべると小さいものであるから近似的に

≒（Ⅰ−A）￣1EX を得る。

これを（Ⅰ−A）￣1の要素を絢として、要素について書きな卑してみると、

rl

X威しⅩ （よヤ）

，1

を得る。（1）

（11前論文 OntheErrors ofOutpvtsdueto Errors of TechnjcalCoeffiぐi・

entsin Leontief，sOpenInpu トOutput Modelsl 1AnnhIn苧tSt∂th Math Vol

Ⅶ No 3

においては

(4)

249（353）

そこで技術係数の誤差についてノうぎのような仮定を設ける。すなわち、

その期待値はゼロである：Exp（eり）＝0、その標準偏差ほ真の技術係数に比例する：Exp（E2り）−＝（raり）2、これは叉いいかえれほ、われわれが実際に・計算

に利用する誤差を・ふくんギ、技術係数の相対誤差を示す変動係数が、全て同じⅠであるということ七ある。（2）っぎに各誤羞ほ独立である（3）‥Exp（釣プ・

ete）＝0（よキゐ，叉ほブキ々）、とする。こP〕椒走のもとで、産出量の誤差の分散を評価するとつぎのようになる。

．IJ Exp（Ⅹ￡′¶Ⅹヱ）2ニE唖（∑cりe邦Ⅹ凡）2

ノた＝1

ケa

ニニ∑cり2Exp（e諏2）Ⅹt2

プ九＝1

開〒∑．cり2f2a）ち2Ⅹ㌔ ∴●Exp（e井・e廟）＝0（ブキJ又は摩≒刑）

′ た＝1

ケa

ニf・皇∑cり2（aJ人Ⅹl）2

ノた＝1

乃

クa

ニf2∑cり2（∑Ⅹノンニ2）

グ＝1 た＝1

一−−−・−・−・−・一一・椚−−＋ −−−m−「一一一一−一一劇【

7−】】】￣￣M，￣▼■ 【一】￣￣￣￣￣￣￣¶¶▼【￣￣二一】▲￣】￣￣￣■■￣【￣▼￣￣

1

Ⅹg′−Ⅹ官＝て二盲さ左前（デモりe錘Ⅹた〉

J・f

を得たがここれは1行，またわ1列についてのみ誤差があるばあいほ正確な式でありJ或産業について技術変化による技術係数の変化eりが予測できれほ、この式によって技術変化に．よる産出鼠の変化を計辞すると．いうようにも利用でき一るものであるが、これを導く計算が面倒なものでもあるし、本箪の目的である確率誤

1 差を論ずるた吟にほ−［豆云誘五による影響は結局無現されてしまうので本文で

示した行列計薮の方法匿よった。この方法は畠中氏の私信によってあたえられたものである。

（2）a プ＋亘りの変動係数が全て等しいという仮定が硬立たなぐても、変動係数の最大のものをrとしておけほ、以下の議論ほ全てなりた？。又このrの値については、

どのていどのものであるかほ不明であるが、畠中氏は私信の中でHo董fenberg氏の意見としてエラ−ほ容易に10％をこえるものと思って欲しいとのべているムこの時の10％という借はrそのものとは意味がちがうものであろうが、rの値ほそれ程小さいものでほないようである。

（3）W DuaneEvansは彼の論文（芦）に翠シ、て、一偏濫軍産出鼠Ⅹiは、各産業への投

入急戦プに比べて、誤算の小さい推定が出来る。そキセⅩけの和がⅩ《になるの

であるから、Ⅹりの誤差ほ十，「方向の反対のものをふくんでいる。一貫その年め技術係数a豆プの誤差は互に独立でほなく、逆相関をもっていて、これを独立と

仮定することは、技術係数の誤差の彫蟹を大きあにみらもるこ王佐・なるとのぺて

いる。

(5)

クる

∑Ⅹ拘2

入＝l

乃ケ石

＝Ⅰ2∑cり2（∑Ⅹタん）2

†＝l 人＝l

Jふ（∑Ⅹ九）2 ね＝1

◆t

＝r2∑cり2（ⅩJ−Yブ）望Aノ

メ＝1

クさ

●／∑ざプ々＝芳ノーy′

た＝≡1

＝Ⅰ・2．∑。り2（Ⅹ，−てタブ＿＿聖空転望等￣ノノ ∑c クさり2（Ⅹ．グーYJ）2

はC㍉（Ⅹナー・Y7）2を歪みとしたAノの加重平均で

ノ＝1

ここで

ある。これをÅとすればグあ

＝Ⅰ鴇∑cgノ2（Ⅹノーーー・Y′）望

ブ＝1

Cり（Ⅹ′一−Yメ）ほ全て正の数であるから、大きめにみつもって

二宮JX‡2

∑cりⅩメ

′＝1

＝Ⅰ′2A

（∑cりYメ）一ニー一丁−皇cりY′

．I＝1

ケろ

∑c・りYタ

メ＝1

∑cりⅩ′ −

O】

Ⅹ ／そーrヽ

一A 岬▲

ゝ…−こ

′迂1

∑cりY．J

′＝1

ク石

∑とりⅩ′

′＝1

乃

∑cりY。′

J三1

・：−＼Ⅹこ

＝r2ÅⅩ 乏（B￡−1）9

産出盈推定の相対誤羞と考えられるⅩ感′の変動係数を求める・と、‥それは〆亘卸（Ⅹ／ニラ∈ヲ豆／Ⅹ￡であるから、上め評価から

堅⊥亜ニ12∠旦

ニⅠくB諺−り〆瓦

Ⅹヂ

(6)

（355）251 となる。そこでこの大きさをみづもるために．、塵ずB￡について考える。

■J ：！

・∑cゎⅩブ ∑cりY メ；1 メこ1

柁ク石

∑cgブyブ ∑c ブYプ

ク＝1 プ＝1

これほCブYメを重みとしたⅩブ／Yクの加重平均である。この重みについて考えると、C盛んほ．1〜2ていどの数である紅反して、Cg．プ（．ブ≒去一）は桁ちがいに・小さヤ、ものが多い。そこで特に．最終需要量Y乞の大きい部門で峰Ⅹ官／Y戎に．かかる重みが非常に．大きなものとなり、そのため加重平均Bgの借は

Ⅹ￠′′Y￡に非常に・近いものになると考えられる。これを我が国の昭和26年産二業連関表36部門表に．ついてみると、たとえば繊維部門ほ産出量、最終需要量ともにそれぞれの総和の10％をこえる非常に卜大きな値を示している。そのためこの部門でほ自己の産出意と最終需要量の比Ⅹ￡／Y￠に．かかる重みは非常に大きく、Bgの値は2．．8柑であって、この部門でのⅩ ／Y威の偲2．，3 の8と0こ007の差を示すに・すぎない。又Ⅹ才／Y広が大きい部門について考える

と、このⅩz／Y名にかかる重みほぐまY各であり、比較的な重みを求めてみると、

瑞甘￡一徹Y乞′ Cね

、− ＝ −≠＝ −−1

Ⅹ

c名′Yブ

を得る。これほⅩ威／Y威の逆数のC名￠倍であるから、Ⅹ卓／Yaが大きければ、それだけこれ紅かかる畳みは逆に小さなものとなる。このように．考えると迅￡の値ほどの部門に．ついてもはぼ同じようなも

こでB￡の値の大体の評価を行ってみる。

クa

∑cりY′草チ ∑cり鴫 c威名Y瑞

TI 7上

∑c〃Y．プ

タ＝1

∑cる．ブYブ

．′＝1

飽

∑わブYタブニ1

ⅩJ

^{． J}

∑c名プY・プタキ￡

是CりYJ萌．。法官Ⅹ

＋

乃 ⅩJ

∑c才プY．タ

プ＝1

ク3

∑c名ブYブ

．′＝1

ここで、加重平均の重みをかえてもそう大きな変化ほないであろうから・

(7)

∑Ⅹ．タ

ノキ夏殉 ∑Ⅹナ

ブ＝1

」−C￡g＝∴ ＋仁多￡＝≒＋

＋c威名

羞Yプ

JJ Yブ

ブ ^JI

¹

^汚

これを昭和26年産業連関表36部門表についてあ・たってみるX￡／Y￠の大き

い部門から繊維原料農産物部門、お革び石炭・亜炭部門を、Ⅹ壱の′J＼さい部門からガス部門を、Ⅹ￡／Y￡が負数である部門から皮革原料農産物部門を又特にC威名の大きい部門から鉄鋼部門をえらんで第一凌を作った。

第一表

Y￠一（単位100万円）

∑Ⅹ感／∑Y威＋C盛名

部門

43，745 3，804 84，042 1㌻331，181 1，087，836

30，184 繊維原料農産物

皮革原料農産物石炭・亜炭

繊維

鉄鋼

ガス

繊維部門のように最終層雲量の非常に大きな部門では、Ⅹ感／Yをの重みが、

実際と評イ配の間で大きく異っているために詣→C・￡￡に・よる近似は良くない。かえって前にのべたようにⅩ名／Ygそのもので近似する方がよい

結果が得られる。他の部門では景㌃川名に・よる近似は大体満足してよ

いであろう。このことから考えてどの部門についてもB；の値は早ていどであり、大きくても4をこえることはあまりないと考えられる。

っぎにA官を評価する。いま第か産業の各産業での投入量‥Ⅹ乞1，女弘

，Ⅹ多杓の平均、・分散および変動係数をそれぞれ∽ゎの，Ⅴ￠とおけば、これらの問には、

●l

∑ズ2りブ1

のヱ＝−−−−一

〝 ^川Jニすなわち

クあ

∑Ⅹり2＝〃の2＋榊媒

ま＝1

なる関係が存在する。これを利用すると

(8)

（35ア）253

ク3 ∑Ⅹ名ブ2

プ三1 タブ♂名2＋乃∽￡2

＝÷（（若）2＋1）＝÷（Ⅴ組）

A豆＝

2（乃偶感）2

（名董Ⅹ￠．プ）

を得る。このように．A名の備に．はⅩ抽Ⅹ払，Ⅹ虞犯の変動係数Ⅴ名と産業分類の数乃が関係している。産業分類の数〝やミ小さいときにほ、連関表に空欄、すなわちⅩ￠．戸＝0のものはないであろうが、〝が大きくなるに／つれて、空欄は増加する招あろうと考えられる。空欄が増加すればⅩ恥易2，

，Ⅹ￡乃の変動係数ほ大きくなるであろう。そこで変動係数の増加と、〃

の増加によってA名の借がどう変るかが問題である。これを昭和26年産業連関表、9部門表、36部門表、182部門表についてあたってみる。これらの表ほそれぞれ分類の基準がちがい36部門表を細くわったものが182部門表であるというようにはなっていなくて、必ずしも比較できない面もあるが、大体の様子ほ知ることが出来るであろう。そこでⅤ感が大きそうなものをえらんで第二表をつくった。

第二表

Ⅴ名IA名食用農産物

繊維原料虚産物ゴム原料虚産物皮革原料農産物林業繊維鉄鋼運輸通信

3．08402920

5・562：0．8869 ^農業

林・薬

酒 7777】03378 製造工業

運輸通信

9部門表と36部門表を比較してみると、Ⅴ に．ついては9部門表では大き

ぐても2ていどであるに．反して、36部門表でほ4をこえるものが相当に現われている。これは9部門表には空欄がなく、36部門表でほ空欄が数多く現われているためである。しかしながら、Aaについてみると36部門表では01・8869とか0．9727とか非常に．大きなものもあるが、平均されると、9部

門衰の場合と大差なさそうであるムそして大ざっばにみつもって0．5位と

(9)

考えておけほよいであろう。そうすれほⅩ ′の変動係数ほ．ⅠくB官−・1）／首￣

であるからⅠ（3−1）／百万≒1・5Ⅰていどのものとなる。

王82部門表についてみると、缶詰・増語部門等、数個の部門では、その生産物は最終消費部門以外では唯一・つの産業部門にしか投入されていないことに．なっている。すなわち、0でないⅩ￠ブは一つしかない。この場合ほ A豆は1である。また林業部門では．製材部門・一つに対して中間生産物とし

クるて使用されものの総計∑Ⅹ去プの半分をこえるものが投入されている。この

ブ亡1

ように一L部門に非常に大きな割合のものが投入されてこいる部門でほⅩ豆1，

ズ払，Ⅹ￡乃の変動係数Ⅴ￡ほ大きくなり、したがってAそも大きい。

和しかしながら、一・部門に∑Ⅹりの与色をこえるものが投入されているよう

グ＝1

な部門についてもⅤ は7〜8ていどでありA￡は0・3〜0・4ていどに・なっている。このことから考えるとA或は36部門表におけるよりも小さいといえそ

うである。そして結局Ⅹ名′の変動係数Ⅰ（Bg−1）／￣㌃は大体r・と考えてよいであろう。

以上の考察から、技術係数の誤差は互に．相殺して、産出畳の推定値の相対誤差は技術係数の相対誤差と同じていどのものに・なると考えてよいであろう。又表の大きさの影響を考えると．、表がずっと大きくなれは産出壌推定値の相対誤差は小さくなるようにみえる。しか√しこのことほ技術係数が表の大きさにかかわらず同じ精度で推定される場合にいえるのであヶて、

＝■一技術係数の誤差が産出量推定にあたえる影瞥−−

産業連関分析と誤差

＝■一技術係数の誤差が産出量推定にあたえる影瞥−−

束 杵 等

いま産業全体を、その生産物（財およびサ−ビス）の種類に着自し七、

に関するものをと．りあつかう。

いま第i番目′の産業の産出巌をⅩ名であらわす。この一・部は中間生産物 として各産業につかわれ、他の残りの部分ほ家討叉ほ政府において消費さ れるであろう。そこでこの度出鼻Ⅹ のうち第．j産業に投入されるものを

Ⅹりであらわし、家計、政府において消費されるものをY￡であらわすと、

これらの問に．ほつぎのよう■な関係式がなりたつ。

Ⅹ￡1＋Ⅹ紹＋ ヰⅩ戎，も＋Y￡＝Ⅹ名

いうまでもなく同様な関係はどの産業についてもなりたつから、産業全体 について次の式が得ちれる。

Ⅹ11＋Ⅹ1望1− ＋Ⅹ1花＋YlニニⅩ1

Ⅹ21＋Ⅹ望2十 ＋Ⅹ望，る＋Y2ニⅩ2

Ⅹ机十Ⅹ柁2＋ ＋Ⅹ柁柁＋Y循＝Ⅹ拘

allXl＋a12Ⅹ2＋ ＋al Ⅹn＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹl＋a22Ⅹ2＋・…＋a餌Ⅹ花＋Y2＝Ⅹ2

（2

a花1Ⅹ1＋aル2Ⅹ2＋ ＋a花符Ⅹ柁＋Y，〜＝Ⅹ花

ここ■で、もしこの技術係数があたえられ、ある年の最終需要量Yl，Y虫，

247（35■1）

，Yヶaが予測できるならば、（2）の連立方程式をとくこと紅よって、各産業 がその年把生産し、なゆればならない産貼盈Ⅹi，Ⅹ2，…，Ⅹ柁をもとめるこ

たとえば技術の進歩等によつてほ．変化するが、ただそれは最終寓要鼠や産 出壷の変化に・対しては独立であると考えられて

われは．、ここでは、この技術進歩の問題に．は立入らない。

うとするものである。

●●●●●●●

誤差なふくむ場合のものをそれぞれaり＋e彷Ⅹ名′であらわす。すなわち技

●●●●●●●●

術係数および産出墨の誤差ほそれぞれ勒，Ⅹ￠しⅩ￡である。

うに．定めれば、誤差のない場合には（2）と同じ式 a11Ⅹl＋A12Ⅹ2＋ ＋al，〜Ⅹ花＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹ1十a公立Ⅹ2＋ ＋a2′〜Ⅹ．さ＋Y2＝Ⅹ2

仁 ＋az災Ⅹ花十Y乃＝Ⅹ乃

がなりたつ。又誤差をふくむ場合についても同じように、

（all＋ell）Ⅹ1′・十（a12＋e12）Ⅹ2′＋ ＋（軸＋∈1殉）茶杓′＋￥1＝Ⅹ1′

（為21十餌）Ⅹ1′＋（a卸小弼）Ⅹ2′十 十（物ヤぞ芝循）Ⅹ窄′十Ⅴ乏二軍2f

（a押1＋e乃1）Ⅹ1㌧卜（執成＋e乃2）Ⅹ2′＋ ＋（．a循飽汁亭御）Ⅹ網′＋YねニⅩ殉′

が成立？。そしてこの（4）式が琴際にわれわれが産出量推定甲た・めの計算 に用いる式なのである。いまこの2つの連立方程式を行列を揮いて、

（5）AX−トY＝Ⅹ

（6）（A＋E）Ⅹ′＋Y＝Ⅹ′

とあらわす。

列、Eは技術係数の誤差を要素とする行列をちらわし、Ⅹ・Ⅹ′は誤差を轟

くまない場合およびふくむ場合の各産業の産串蛍な成分とするベクトルを

あらわし、Yは各藩巣の巌終需要を成分と㌧するベクトルをあらわし頂いる0

問題は各産業の産出崖の誤差Ⅹ乞′−−Ⅹ威の評価に透卑0盲

そ与でⅩ′⊥Ⅹを求めることを考える。このねめ鱒・（串）を

（トA）Ⅹニ￥

と変形する。ただしこのⅠほ単位行列である0羊重力ラ、ら

（7）Ⅹニ（Ⅰ−、阜）￣1￥

を得る。全く同様にして（6）より

（8）Ⅹ′ニ＝（トーA−E）￣■1Y

妄得る。（7）と（8）からⅩ′−−Ⅹをつくる。すなわち

Ⅹ′−−Ⅹ＝（トA一一E）￣1Y−（I−A）￣lY

＝（（トA−−E）■十（トA）一Ⅰ）（トA）￣1Y

＝＝（トA・NE）−1（（トA）−（I−AdE））（トA），1Y

〒（トA一寧）⊥1EX

号 とこでEはAとくらべると小さいものであるから近似的に

≒（Ⅰ−A）￣1EX を得る。

これを（Ⅰ−A）￣1の要素を絢として、要素について書きな卑してみると、

X威しⅩ （よヤ）

，1

を得る。（1）

（11前論文 OntheErrors ofOutpvtsdueto Errors of TechnjcalCoeffiぐi・

entsin Leontief，sOpenInpu トOutput Modelsl 1AnnhIn苧tSt∂th Math Vol

Ⅶ No 3

においては

249（353）

そこで技術係数の誤差についてノうぎのような仮定を設ける。すなわち、

その期待値はゼロである：Exp（eり）＝0、その標準偏差ほ真の技術係数に比 例する：Exp（E2り）−＝（raり）2、これは叉いいかえれほ、われわれが実際に・計算

に利用する誤差を・ふくんギ、技術係数の相対誤差を示す変動係数が、全て 同じⅠであるということ七ある。（2）っぎに各誤羞ほ独立である（3）‥Exp（釣プ・

ete）＝0（よキゐ，叉ほブキ々）、とする。こP〕椒走のもとで、産出量の誤差の分 散を評価するとつぎのようになる。

．IJ Exp（Ⅹ￡′¶Ⅹヱ）2ニE唖（∑cりe邦Ⅹ凡）2

ニニ∑cり2Exp（e諏2）Ⅹt2

開 〒∑．cり2f2a）ち2Ⅹ㌔ ∴●Exp（e井・e廟）＝0（ブキJ又は摩≒刑）

ニf・皇∑cり2（aJ人Ⅹl）2

乃

ニf2∑cり2（∑Ⅹノンニ2）

グ＝1 た＝1

一−−−・−・−・−・一一・椚−−＋ −−−m−「一一一一−一一劇 【

Ⅹg′−Ⅹ官＝て二盲さ左前（デモりe錘Ⅹた〉

1 差を論ずるた吟にほ−［豆云誘五による影響は結局無現されてしまうので本文で

示した行列計薮の方法匿よった。この方法は畠中氏の私信によってあたえられた ものである。

（2）a プ＋亘りの変動係数が全て等しいという仮定が硬立たなぐても、変動係数の最大 のものをrとしておけほ、以下の議論ほ全てなりた？。又このrの値については、

（3）W DuaneEvansは彼の論文（芦）に翠シ、て、一偏濫軍産出鼠Ⅹiは、各産業への投

束杵等

いま第i番目′の産業の産出巌をⅩ名であらわす。この一・部は中間生産物として各産業につかわれ、他の残りの部分ほ家討叉ほ政府において消費されるであろう。そこでこの度出鼻Ⅹ のうち第．j産業に投入されるものを

Ⅹ￡1＋Ⅹ紹＋ヰⅩ戎，も＋Y￡＝Ⅹ名

いうまでもなく同様な関係はどの産業についてもなりたつから、産業全体について次の式が得ちれる。

Ⅹ21＋Ⅹ望2十＋Ⅹ望，る＋Y2ニⅩ2

Ⅹ机十Ⅹ柁2＋＋Ⅹ柁柁＋Y循＝Ⅹ拘

allXl＋a12Ⅹ2＋＋al Ⅹn＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹl＋a22Ⅹ2＋・…＋a餌Ⅹ花＋Y2＝Ⅹ2

a花1Ⅹ1＋aル2Ⅹ2＋＋a花符Ⅹ柁＋Y，〜＝Ⅹ花

，Yヶaが予測できるならば、（2）の連立方程式をとくこと紅よって、各産業がその年把生産し、なゆればならない産貼盈Ⅹi，Ⅹ2，…，Ⅹ柁をもとめるこ

たとえば技術の進歩等によつてほ．変化するが、ただそれは最終寓要鼠や産出壷の変化に・対しては独立であると考えられて

うに．定めれば、誤差のない場合には（2）と同じ式 a11Ⅹl＋A12Ⅹ2＋＋al，〜Ⅹ花＋Yl＝Ⅹ1 a21Ⅹ1十a公立Ⅹ2＋＋a2′〜Ⅹ．さ＋Y2＝Ⅹ2

仁＋az災Ⅹ花十Y乃＝Ⅹ乃

（all＋ell）Ⅹ1′・十（a12＋e12）Ⅹ2′＋＋（軸＋∈1殉）茶杓′＋￥1＝Ⅹ1′

（為21十餌）Ⅹ1′＋（a卸小弼）Ⅹ2′十十（物ヤぞ芝循）Ⅹ窄′十Ⅴ乏二軍2f

（a押1＋e乃1）Ⅹ1㌧卜（執成＋e乃2）Ⅹ2′＋＋（．a循飽汁亭御）Ⅹ網′＋YねニⅩ殉′

が成立？。そしてこの（4）式が琴際にわれわれが産出量推定甲た・めの計算に用いる式なのである。いまこの2つの連立方程式を行列を揮いて、

号とこでEはAとくらべると小さいものであるから近似的に

その期待値はゼロである：Exp（eり）＝0、その標準偏差ほ真の技術係数に比例する：Exp（E2り）−＝（raり）2、これは叉いいかえれほ、われわれが実際に・計算

に利用する誤差を・ふくんギ、技術係数の相対誤差を示す変動係数が、全て同じⅠであるということ七ある。（2）っぎに各誤羞ほ独立である（3）‥Exp（釣プ・

ete）＝0（よキゐ，叉ほブキ々）、とする。こP〕椒走のもとで、産出量の誤差の分散を評価するとつぎのようになる。

開〒∑．cり2f2a）ち2Ⅹ㌔ ∴●Exp（e井・e廟）＝0（ブキJ又は摩≒刑）

一−−−・−・−・−・一一・椚−−＋ −−−m−「一一一一−一一劇【

示した行列計薮の方法匿よった。この方法は畠中氏の私信によってあたえられたものである。

（2）a プ＋亘りの変動係数が全て等しいという仮定が硬立たなぐても、変動係数の最大のものをrとしておけほ、以下の議論ほ全てなりた？。又このrの値については、

であるから、Ⅹりの誤差ほ十，「方向の反対のものをふくんでいる。一貫その年め技術係数a豆プの誤差は互に独立でほなく、逆相関をもっていて、これを独立と

乃ケ石

†＝l 人＝l

＝Ⅰ・2．∑。り2（Ⅹ，−てタブ＿＿聖空転望等￣ノノ ∑c クさり2（Ⅹ．グーYJ）2

ある。これをÅとすればグあ

産出盈推定の相対誤羞と考えられるⅩ感′の変動係数を求める・と、‥それは〆亘卸（Ⅹ／ニラ∈ヲ豆／Ⅹ￡であるから、上め評価から

柁ク石

と、このⅩz／Y名にかかる重みほぐまY各であり、比較的な重みを求めてみると、

を得る。これほⅩ威／Y威の逆数のC名￠倍であるから、Ⅹ卓／Yaが大きければ、それだけこれ紅かかる畳みは逆に小さなものとなる。このように．考えると迅￡の値ほどの部門に．ついてもはぼ同じようなも

∑わブYタブニ1

是CりYJ萌．。法官Ⅹ

ノキ夏殉 ∑Ⅹナ