No.14 2004
操作活動による空間図形の理解のために
For understanding of solid figures by operateions and activities
遠藤 秀機 佐藤 英雄
Hideki ENDO Hideo SATO
操作・活動による空間図形の理解のために For understanding of solid figures
by operateions and activities
遠藤 秀機 (和歌山大学教育学部) Hideki ENDO
佐藤 英雄 (和歌山大学 教育学部) Hideo SATO
概 要
図形は、算数・数学を通して考察される重要な教材である。特に、今回の指導要領の改訂では、【操作・活動 を通して】の「数量、図形に対する豊かな感性の育成」、「基礎・基本となる知識・技能の確実な定着、将来への 素地の涵養」などが謳われている。この場合の操作・活動といえば、数式に対してというよりも、 平面図形を曲 げたり、折ったりするような図形への直接的なもの(結果として立体図形ができる)が意図されていると理解すべ きであろう。従って、教育学部に学ぶ学生にとって、図形に対する素養(図形に対する操作・活動の経験、数式 と図形との対応関係など)が強く求められることになる。また、大学の教師もこのことを強く意識するべきであ ると考える。
この小論は、「幾つかの算数・数学の授業を通して、できるだけ多くの空間図形に触れさせる」という趣旨の もとに、我々が試みようとしている授業改善の一端である。ソフトの使い方も未熟で、まだ端緒を切ったばかり であるが、以下に幾つかの基本的な関数のグラフ表示の例を紹介する。細やかではあるが、今後に向けての我々 の授業改善につながればと願っている。
【キーワード】操作・活動、立体図形、数式、関数
1. はじめに
我々は、小学校の算数以来、中学校、高等学校の数 学において、図形を「数、数式、関数」と対応させな がら学習してきた。高等学校で学んだこと、解いた問 題を思い出してみよう。その多くが関数から定義され るグラフの外形を描くとか、関数のグラフで定まる 図形の面積、体積を求める類のものであった。
1といえば正方形とか円1個を思い浮かべるし、ab と書いてあれば、縦acm横bcmの長方形の面積と か、あるいは a cmの線分を b倍した線分の長さの ようなものを連想する。y=ax+bと書いてあれば、
それがどのような問題から出てきたにせよ、x−y平 面上に傾きa、y切片bの直線を頭に描く。微分係数 といえば、曲線の傾きを、積分といえばなんらかの図 形の面積を連想する。また逆に、直線といえば、方程
式y=ax+bを、円といえば、方程式x2+y2=r2 をほとんど反射的に頭に描くことができる。
しかし、このようなことも、平面図形までが精一 杯で、空間図形となると、数式と図形の対応という 点からだけでもそうはいかない。たとえば、z=xy、
z=y2−x2、z=y/xなどのような2つの変数を含 む曲面の方程式(式としては簡単なものである)が与 えられたとき、直ちに空間の図形が浮かぶだろうか。
z=xy であれば、xを固定すれば直線、y を固定 しても直線、x=yに限定すれば、放物線というよう なことはすぐに理解できるが、それらを統合した全 体としての図形はなかなか頭に描けない。描けたと しても、かなりの時間がかかるし、往々にして間違っ たイメージ図であったりする。
実際、大学の授業で「立方体を合同な3つの錐に 分け、その展開図を描け。」と「3辺の長さが違う直
方体について、立方体のときに対応する頂点を結んで できる3つの錐の展開図を描け。」という課題を扱っ たことがあるが、これ2つで90分は短かすぎるので ある。
我々の空間把握能力は、平面図形に比べて、格段に 劣っていると思われる。空間把握能力というとき、端 的にいって次の2つがあると考えられる。
1.全体が与えられたとき、それに対して、いろいろ な断面・射影面を想像する力
2.幾つかの断面・射影面が与えられたとき、それら を総合して全体を想像する力
前者の力を育成するためには、基本的な立体図形 の模型に対する操作・活動の時間を多く取ることだと 考えられるし、後者の力を育成するためには、多くの 空間図形について、断面と全体の関係を知ることと 思われる。
ところで、我々は高等学校までに、基本的な立体図 形として、角柱、円柱、球(以上は小学校)、 正多面
体、錐体(中学校)を学ぶことになるが、これらはと
もすれば、面積や体積を求めるといういわゆる求積 に指導の重点が置かれがちで、「展開図を作る」、あ るいは「長方形に直線を描いて円筒を作ってみる」な どの操作・活動は必ずしも十分なものとはいえなかっ たのではなかろうか。
この後、空間図形が教科書に登場するのは、高校の 数学Bの 「ベクトル」 の項目、数学Cの 「式と曲 線」 の項目である。当然高校では、図形への直接的 な操作・活動というよりも、ベクトルの演算法、ある いは回転体の求積法など、どちらかといえば計算主 体である。結局、操作・活動といったものは、中学校 一年生までの段階で終わる。
もうひとつの理由として、我々の頭の中に断面と全 体との関係を示すサンプルとなる基本図形が殆ど無 いことによると思われる。
空間の図形は、一般に2変数の関数のグラフで表 されるが、高等学校までは、 1変数の関数までが扱 われるので、数式によって表される空間図形に接す る機会は、ほとんどなかったといえる。従って、我々 の知っている空間図形といえば、中学校までに学習 した多面体、球、錐と、高校で習う回転体に留まる。
我々は現実生活の中でいろいろな空間図形に接して いる。見るものすべてが、空間図形といってもよい。
しかし、その断面を見ているわけではない。また、大 学で 空間図形に対応する2変数の関数を習う。数式 は、その断面図形を想像しやすいものにするが、全体 像は掴みにくい。
我々の現実の生活の場が、空間の中にあることを 思えば、空間図形に対する我々の想像力はもっと豊で あってもよいと思われる。扇形と円錐、長方形と円筒 などの基本図形に対する操作・活動とともに、数式で
表されるような多くの空間図形に触れ、いろいろな 断面を統合して全体像を想像する力を養うことが望 まれる。
このようなことを反映してか、冒頭に述べたよう に、今回の指導要領の改訂では、「数量、図形に対す る豊かな感性」、「操作・活動を通しての知識・技能 の確実な定着、素地の育成」などが謳われている。当 然、教育学部に学び、将来学校の教師になろうとする ものも、空間図形に対して、操作・活動の十分な経験 と、それによって培われるであろう豊かな感性を持つ ことが望まれる。
大学に入れば、2変数の関数を習うので、空間図形 の種類は飛躍的に増大するといえる。平面図形に比 べ、空間図形は、ノート、黒板に描き難く、従って扱 い難いという側面を持つが、 できれば、高校のとき に学習した平面図形のように、2変数の関数をいろい ろな断面が見えるグラフとして表し、空間図形とし ての全体、各断面、数式の対応関係を見ながら、学習 するのがよいと思われる。このようなことも広い意 味での操作・活動と考えられるであろう。
当然、教科書・参考書もこの点への配慮から、図形 を掲載しているが、ページ数との関係もあってか必ず しも十分なものとはいえない。個々の授業において、
多くの図形の提示がなされることが望まれる。しか し、関数のグラフをフリーハンドで描くことは必ずし も容易ではない。平面の図形として表されるものは、
まだなんとかなるとしても、変数が2つとなり、空 間内の曲面図形となれば、お手上げに近い。
ところが、最近では、コンピュータソフトの発達・
普及もあって、関数のグラフを描くソフトもフリー ウェアーとして配布されている状況にあり、 必要なグ ラフを作り易くなっている。大学の授業において、グ ラフを提示しやすい環境が整いつつあると思われる。
2. 基本的関数の断面と全体像
どのような関数を題材に選ぶかは、大きな問題で あるが、我々としては、まず確率密度関数を選んでみ た。このことの理由は、確率密度関数は、未知定数、
あるいは変数が、具体的な意味を持つので、単に図形 的な対応関係だけに留まらず、 各断面の図形に応用 上の意味を持たせることができ、このことも重要な ことだと考えたからである。
2.1. 正規分布
確率・統計では、その理解は欠かすことができない もっとも大事な関数である。関数の式は次のようで ある。
f(x;µ, σ) = 1
√2πσe−2σ12(x−µ)2,
−∞< x <∞, −∞< µ <∞, 0< σ
具体的な意味を離れて、前述の関数の式を見れば、
x、µ、σ3つの文字を含む式であるが、通常は、xを
変数とした関数、すなわち確率密度関数を表す式と して指導する。このときには、平均µ標準偏差σで あるとき、観測値xが得られる確率がf(x)dx とい う応用上の意味を持つ。従って、µとσを未知定数 とし、xを変数としての関数f(x;µ, σ)を扱うことに なる。したがって、典型的な幾つかのµと σの組に 対して、次のようなグラフを提示することになる。こ のグラフは、教科書にもよく掲載されているもので あり、平面図形でもあるが、この形は、次に扱う2変 量正規分布(一般には、多変量正規分布)を x−y 平 面に垂直な平面で切った断面を表すことになるので、
平面図形としての形、並びに、平均 µ、標準偏差σ との関係も重要である。敢えてここに提示する。
【基本型】 標準偏差σ= 3に固定、平均 µを0、
1、3 に固定して、観測値 x の関数と見たときのグ ラフ
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
-10 -5 0 5 10
y axis
x axis
b1*exp(b2*((x-a1)**2)) b1*exp(b2*((x-a2)**2)) b1*exp(b2*((x-a3)**2))
µ が分布の位置を表し、σ が分布の集中度を表し ていることとの対応関係が一目瞭然である。
確率密度関数ということを離れて、前掲の式を見れ ば、数学的には、µ、σも変数と考えることができ、
3変数の関数と考えることもできる。ただ、3変数の 関数のグラフは、目に見える形では描けないので、幾 つかの変数を固定し、残りの変数の関数として、以下 のようなグラフを描くこともできる。このようなこ とは、無意味のように思えるが、統計では、観測値を 固定して、平均µ、標準偏差 σの一方、あるいは両 方の関数と見る場合も頻繁に生じる。この場合には、
前掲の式は、尤もらしさを表すものとして取り扱わ れ、名前も尤度関数と言い換えられる。
当然のことであるが、同じ式で表されていても、何 を変数と考えるかで、そのグラフの形は、全く異なっ たものになる。以外にこのようなことも日ごろの指 導では抜けていたかも知れない。
1.平均µ= 2に固定、標準偏差σを1、2、3に固 定して、観測値xの関数と見たときのグラフ
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-10 -5 0 5 10
y axis
x axis
b1*exp(b2*((x-a1)**2)) c1*exp(c2*((x-a1)**2)) d1*exp(d2*((x-a1)**2))
2.平均µ= 0、観測値xを3、4、5、10を固定し て、標準偏差σの関数とみたときのグラフ
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 5 10 15 20
L axis
SD axis
(1.0/sqrt(2.0*pi)/x)*exp(-(x0**2/x**2/2)) (1.0/sqrt(2.0*pi)/x)*exp(-(x1**2/x**2/2)) (1.0/sqrt(2.0*pi)/x)*exp(-(x2**2/x**2/2)) (1.0/sqrt(2.0*pi)/x)*exp(-(x3**2/x**2/2))
3.標準偏差σ= 4と固定し、観測値xと平均µの 2変数の関数とみたときのグラフ
a*exp(-((x-y)**2/s**2/2)) 0.08 0.06 0.04 0.02 0.02
-10 -5
0 5
x axis 10-10
-5 0
5 10
L axis 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 z axis
4.平均µ= 0と固定し、観測値xと標準偏差σの 2変数の関数とみたときのグラフ
(1.0/sqrt(2.0*pi)/y)*exp(-(x-a0)**2/y**2/2) 1.5 1 0.5
-1 -0.5
0 0.5
Obsevation axis 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 SD axis 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 z axis
5.変動係数を 0.5に固定し(すなわち、σ = 2µ)、
観測値xと平均µの関数とみたときのグラフ
(abs(r0)/sqrt(2.0*pi)/y)*exp(-(r0**2*(x-y)**2/y**2/2)) 0.8 0.6 0.4 0.2 0
-1 -0.5
0 0.5
Obsevation axis 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 mean axis 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z axis
この関数のグラフを描くときは、変域に注意が 必要である。 点(0,0)の近くで発散するからで ある。ほどほどのグラフを得るためには、何回か の試行錯誤が必要となる。
2.2. 確率と尤度
n個の独立標本 x1、x2、· · ·、xn が観測される確 率密度関数は、
à n Y
i=1
f(xi;µ, σ)
!
= µ 1
√2πσ
¶n
exph
− n
2σ2s2−(¯x−µ)2i ただし、
s2= 1 n
Xn
i=1
(xi−x)¯ 2, x¯= 1 n
Xn
i=1
xi
のように書き直すことができる。数理的説明は省く が、このことは、次の確率分布に従う独立な 2つの 確率変数の実現値s2 とx¯を得たことと等価である。
nS2
σ2 ∼ 自由度n−1のカイ2乗分布 X¯ ∼ 平均µ、分散 σn2 の正規分布 この2つは、統計的に独立と言うことになるので、2 つの確率分布を分離して扱うことになる。X¯ は正規 分布であるので、前の項で説明したとおりである。
nS2
σ2 については、授業であれば、幾つかのnにつ いて、カイ2乗分布の確率密度関数のグラフを描い て見せることになるが、ここでは省略する。
実際に観測されるのは、S2の実現値s2なので、S2 の密度関数を求めて、s2 とσ2 の 2変数の関数のグ ラフを提示して、その関係を視覚的に捉えさせるこ とができる。
S2の密度関数は次のようになるが、
f(x;σ2) =Cxn−32 e−2σn2x
C=D³n σ2
´n−21
D はnだけが関係する定数である D = 1、n= 5 を固定して、観測値 s2 と分散 σ2 の関数と見たときのグラフ
(an/y)**(an/2.0-1)*x**(an/2-1.5)*exp(-an*x/y/2.0) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2
1 1.5 2 x axis 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ss. axis 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 z axis
2.3. 2 変量正規分布
同時に2つの変量(X, Y)を観測するときに用いら れる基本的な確率密度関数である。その関数の形は、
以下のようである。
f(x, y;µx, µy, σx, σy, ρ)
=Cexp£
D{u2−2ρuv+v2}¤
C= 1
2πσxσy
p1−ρ2, D=− 1 2(1−ρ2) u=x−µx
σx , v= y−µy
σy 0< σx, 0< σy, −1< ρ <1 各母数の意味は次に示す通りである。
母数 意味
µx X の平均
µy Y の平均
σx X の標準偏差 σy Y の標準偏差 ρ X と Y の相関係数 1.概形
b1*exp(b2*((x-a1)**2/s1**2-2*r*(x-a1)*(y-a2)/s1/s2+(y-a2)**2/s2**2)) 0.015 0.01 0.005 0.006
-10 -5
0 5
x axis 10-10
-5 0
5 10
y axis 0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 z axis
2変量正規確率密度関数を 平均(µx, µy) = (2,1)、
標準偏差(σx, σy) = (4,3)、相関係数ρ= 0.7と して描けば次のようになる。言葉で説明するとき は、釣り鐘を伏せた形というが、このままでは、
かなり外れているように思われる。どのように 変形し、どの部分を切り出せば、釣り鐘を伏せた 形になるかを学生に考えさせてみるのも面白い 課題かもしれない。
水平面との関係を見るために、z= 0.006という 平面を余分に加えているが、これは無い方がよ いかも知れない。 実際の授業では、概形以外に も、平均、分散の影響を見る必要があるため、そ のための幾つかのグラフを提示することになる だろう。
2. 1変量のときに比べ、母数として、新しく相関係 数が導入される。従って、相関係数が及ぼす影響 を見るためのグラフは是非とも必要となる。次 のグラフは、平均 (µx, µy) = (2,1)、標準偏差 (σx, σy) = (4,3)を固定して、 相関係数ρを0.7 から 0.1 に変化させたものを重ね描きしたもの である。 嶺の突き出ている方が、相関係数 0.7 のグラフである。
b1*exp(b2*((x-a1)**2/s1**2-2*r*(x-a1)*(y-a2)/s1/s2+(y-a2)**2/s2**2)) b3*exp(b4*((x-a1)**2/s1**2-2*r1*(x-a1)*(y-a2)/s1/s2+(y-a2)**2/s2**2))
-10 -5
0 5
x axis 10-10
-5 0
5 10
y axis 0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 z axis
以上、 2変量正規確率密度関数を表す式から得 られる幾つか関数のグラフを提示したが、観測値
(x, y)の関数と見ている限り、平均、標準偏差、
相関係数をどのように替えても、グラフの形その ものは、概形で示したものと変わることはない。
関数とその形という点からは、このことを知る ことが大切である。
2.4. 中学校で目にする関数
1. 1次関数
f(x) =ax+bという中学校で学習する一番簡単 な関数である。通常これらは、a、bを定数と考 え、幾つかの a、b について、x−y 平面上に、
直線y=ax+bのグラフを描いて見せることに なる。しかし、いろいろなa、bの値についてと いう見方をすれば、x、a、b についての 3変数 の関数である。bの役割は、見当がつきやすいの
で 2変数の関数f(x, a) =ax を描いて見せるこ とになる。このグラフなども、意外に目にしたこ とが無いものかも知れない。
x*y 100 50 0 -50
-10 -5
0 5
a axis 10-10
-5 0
5 10
y axis -100
-50 0 50 100 z axis
2.z= (x−y)(x+y)
(x-y)*(x+y) 50 0 -50 0
-10 -5
0 5
x axis 10-10
-5 0
5 10
y axis -100-80
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 z axis
いわゆる馬の鞍型である。直交している座標軸 を点(x, y)まで平行移動し、45度傾けたものが、
元のx−y 軸と交わる点の座標の積である。
3.z=y−x2各断面は、y、zを固定すれば放物線、
xを固定すれば、直線であるので、中学生・高校 生にもなじみやすいと思われる。
y-x**2 50 0 -50 0
-10 -5
0 5
x axis 10 0
20 40
60 80
100
y axis -100-80-60-40
-20 20 40 0 60 80 100 z axis
中学生あるいは高校生を対象として考えるとき には、正規確率密度関数は、なじみにくいかも知 れない。関数を表す式が、少し複雑だからであ る。中学校・高校で、式としては習っているよう なものの方が望ましい。以上は、その幾つかの例 である。
4.データ 実際のデータ
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
30 40 50 60 70 80 90
y axis
x axis
’rsample’
’bsample’
’jsample’
断面・射影面と全体像という今回の趣旨とは少し 離れるが、統計の授業で一番乏しいのは、実際の データの提示、あるいはその処理である。指導が その数理的な内容に重点がおかれているためと、
実際のデータはなかなか得難いということによ る。そのため、データといえば、簡単な人為的な ものになりがちである。この点については、我々 も、実際のデータを収集する努力が大切である。
統計の場合には、データに関数を当てはめる と いう立場になる。従ってデータの形を知ることは 大事な訳である。実際のデータとは例えば次の ようなものである。一目して、2つの集団が混合 していることが分かる。2つに分離すれば、一方 の中心部は、何とか楕円をなしているように思 える。
3. 終わりに
今回の発表は、主に、確率密度関数を取り上げた が、幾つかの空間図形について、その断面の図形と全 体像としての図形に触れさせ、その関係を体得すると いう趣旨からすれば、狙いが少し多様化し過ぎたの ではないかと懸念している。確率密度関数は、母数、
変数が具体的な意味を持ち、具体的意味と図形とい うことからすれば望ましいと思われるが、断面と全 体という趣旨からすれば、その他の章で触れたよう な、基本的な空間図形、更にもっと基本的な立方体、
円柱、円錐などに限る方がよいと思える。
また、描かれた空間図形も、所詮平面の上であっ て、空間図形そのものに触れたさせたわけではない。
更に、その図形を描いたのも教師側であり、学生は単 に描かれたものを見るという受け身の立場でしかな い。授業の中で、学生に図形を描かせる、あるいはそ れを頼りに模型を作らせてみるなど、学生自身の操 作・活動を促す方向への工夫が残されている。
更に、見えるように描くということと、分かり易く 描くということは、往々にして、異なる。我々は、教 科書などによく立方体の図を見るが、それは必ずし も見えるようには描かれてはいない。正方形を斜め にずらしてできる図形を描いているだけである。こ
の図形の方が、見えるように描かれた立方体よりも、
理解しやすい。これらの点からも、今後の工夫が求め られる。
算数・数学の学習を通して、数式、関数、各種の断 面の図形、全体の図形、具体的な意味 などが、互い に結びついていくことが大切である。数式を嫌がる児 童・生徒は多いかも知れないが、図形を見て嫌がる児 童・生徒は意外に少ないかも知れない。インターネッ ト上に、関数のグラフを描いてみて、初めて数学に感 動したということも報告されている。数式を操作す ることは難しくても、それに対応する図形の操作は 意外に簡単かも知れない。このためにも、図形につい ての操作・活動は大事と考えるものである。
