評価写像の代数的モデルとその有理 GOTTLIEB 群への応用
栗林 勝彦 (数理・自然情報科学科)
本研究の目的は,写像空間から値域空間への評価写像のモデルを用いて,基本群の部分群
であるGottlieb群を解析する方法を確立することである. 計算上の応用としてn次元トー
ラス上の1次元トーラスバンドルのGottlieb群が完全に決定される.
1. Gottlieb群
空間は基点付きのものを考え, 空間の間の写像は特に断らない限り基点を保つ ものとする. 空間U, X及び連続写像f : U → Xを考える. さらにUからXへ の基点を保つとは限らない写像全体がつくる空間F(U, X)のfを含む連結成分を F(U, X;f)と表す. このときUの基点u0を用いて評価写像
ev:F(U, X;f)→X
がev(ϕ) =ϕ(u0)で定義される. n次のGottlieb群Gn(U, X;f)は次で定義される n次ホモトピー群πn(X)の部分群である.
Gn(U, X;f) := Im{ev∗ :πn(F(U, X;f))→πn(X)}. 特にU =X, f =idX(Xの恒等射)である場合をGn(X)と表す.
Gn(X)は位相不変量である. さらに任意のnに対してGn(X) = 0ならば, Xを ファイバー持つ任意のファイブレーションX →E →Bが作るホモトピー長完全 系列は単完全列
0→πn(X)→πn(E)→πn(B)→0
に分解するという性質をもつ. このためGottlieb群は代数的位相幾何学において ば重要な研究対象の一つとなっている. しかしながらGn(−)は位相空間の圏から 群の圏への函手にはならない. すなわち写像f :U →Xを与えたときホモトピー 群上に誘導される準同型写像f∗ :πn(U)→πn(X)は一般にf∗ :Gn(U)→Gn(X) に制限されないのである. この非函手性がGottlieb群の取り扱いと計算を難しく する要因とも言える. 一般に
f∗ :Gn(U)→Gn(U, X;f)
が成り立つので, Gottlieb群の研究において群Gn(U, X;f)を考えることはごく自 然なことである[10], [11], [15], [16], [17], [18], [19], [20].
有理Gottlieb群Gn(X)⊗Qについていえば, Halperin-F´elix [4]による先駆的 な仕事がある. これが有理L-Sカテゴリの仕事の中に現れたことはGottlieb群の 応用を論じる上で非常に興味深い. Halperin-F´elix はこの有理Gottlieb群を与え られた空間のSullivanモデルの間のderivations全体と同一視することにより考 察している. 近年この解析方法はLupton-Smith [12], [13], [14]により一般の有理 Gottlieb群Gn(U, X;f)⊗Qにまで拡張されている. しかしながらこれらの方法 はXの単連結性を必要とするため,基本群の部分空間であるGottlieb群には残念 ながら適用されない.
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2 栗林 勝彦(数理・自然情報科学科)
私たちの研究手法は写像空間F(U, X;f)のBrown-Szczarbaモデルを基に評価 写像の有理モデルを具体的につくり, Xが有理化空間である場合にそれらを用い て,ベクトル空間Gn(U, X;f)の双対を考察するというものである. この手法は必 ずしもXが単連結であることを必要としないため, 適用範囲はLupton-Smithの 手法のそれよりも広い. 次の章で私たちの得た結果をまとめる.
2. 結果
Gを群とする. Γ1G=Gと定義しさらに,{xyx−1y−1 |x∈G, y ∈Γj−1G}で生 成されるGの部分群をΓjG= [G,Γj−1G] と帰納的に定義する. このときGの降 中心列
G= Γ1G⊃Γ2G⊃ · · · ⊃ΓjG⊃ · · · に対して,以下ΓqG/Γq+1Gを(Γq/Γq+1)Gと表す.
定理 2.1. [6, Theorem 1.7] f : U → X を連結巾零空間の間の写像とし, 以下
の(i)(ii)を仮定する. (i) f から誘導されるψ-ホモトピー空間の間の写像πψ1(f) : πψ1(X) → π1ψ(U) は単射である. (ii) U が有限CW複体であるかまたはX は dim⊕i≥2πi(X)<∞をみたす有理化空間. このとき,
(1) (Γk/Γk+1)π1(X)] 6= 0をみたすならば任意のi (i < k)に対して, dim³
ΓiG1(U, X;f)±
Γi+1π1(X)∩ΓiG1(U, X;f)´
⊗Q≤dim(Γi/Γi+1)π1(X)⊗Q−1.
(2) ([π1(X), π1(X)]/Γ3π1(X))] 6= 0ならば dim
³
G1(U, X;f)±
[π1(X), π1(X)]∩G1(U, X;f)
´⊗Q≤dimH1(X;Q)−2.
系 2.2. [6, Corollary 1.8] Gottlieb群G1(U, X;f)が可換群であり, かつ
³
[π1(X), π1(X)]/Γ3π(X)
´]
6
= 0 ならば次の不等式が成立する:
dimG1(U, X;f)⊗Q≤dim([π1(X), π1(X)]∩G1(U, X;f))⊗Q+dimH1(X;Q)−2.
上の定理と系はGottlieb群がホモトピー群の部分群としてどのくらい”小さく”
なるのかを意味している.
具体的計算への応用を述べる. n次元トーラスTn上のS1バンドル S1 →Xf →Tn
を考える. この分類写像f : Tn → K(Z,2)がH2(Tn;Z) ∼= [Tn, K(Z,2)] 上で H1(Tn;Z)の基底{ti}1≤i≤nを用いて,
ρf =X
i<j
cijtitj と表せるとする. さらに(n×n)-行列AfをAf =¡
c0ij¢
と定義する. ただしc0ij =cij (i < j), c0ij =−cji (i > j), cii = 0 である. 今AfをQ上に成分を持つ行列と見る
とき, Af の階数をrankAf と表す. このとき次を得る.
定理 2.3. [6, Theorem 1.9] G1(Xf)∼=Z⊕(1+n−rankAf).
写像空間の有理モデル 3
3. 評価写像の有理モデル
連続写像f :U →XのSullivanモデルより写像空間F(U, X)のBrown-Szczarba モデルEの0-単体∆(E)の中にある元uを定義し, それが単体的集合の圏と位相 空間の圏の同値対応のもとで再びfに対応することが示される. このuを用いて, 写像空間F(U, X;f)のBrown-Szczarbaモデル(E/Mu, δ)を構成する.
定理 3.1. [6, Theorem 3.3] 次を仮定する.
dim⊕q≥0Hq(U;Q)<∞ or dim⊕i≥2πi(X)⊗Q<∞. (∧W, d)をXの極小モデルとするとき, ι(v) =v⊗1で定義される写像
ι : (∧W, d)→(E/Mu, δ) は評価写像ev :F(U, X;f)→XのSullivanモデルである.
こうして写像空間の任意の連結成分に対して, 比較的扱いやすい評価写像モデ ルが得られたことになる.
さらにGottlieb群の定義から次の可換図式を得る.
(Γi/Γi+1)π1(F(U, X;f))
ev∗
²²²²
ev∗
++W
WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW
M := ΓiG1(U, X;f)/(Γi+1π1(X)∩ΓiG1(U, X;f)) // //(Γi/Γi+1)π1(X).
この図式の双対に[1]における基本群の有理ホモトピー論的解釈を適用して上述 の結果が得られるのである.
4. 現在までと展望
写像空間自身が連結である場合の評価写像モデルは論文[7]で与えられた. そ れを利用して論文では,写像空間のHaefligerモデル[5]とBrown-Szczarbaモデル [2]の等価性定理が証明されている.
評価写像モデルのさらなる応用として, 有理係数上反復巡回的ホモロジーの幾 何学的解釈も[9]で与えられている. また論文[8]ではBrown-Szczarbaモデルの詳 細な解析により, 基点付き写像全体がなす空間のループ空間への分解問題が取り 上げらている. このようなBrown-Szczarbaモデルの汎用性に加え,今回考察され ている連結成分のモデルと得られた評価写像モデルは多くの応用を生み出すこと が期待されている. 事実今回の結果達はいずれも”応用”のひとつに過ぎない(高
次元Gottlieb群への応用は[6]参照). そして私たちのこれからの目標は次のとお
りである：
•Lie群Gが等質空間G/Hに引き起こす線形作用はGからG/H上の自己同型写 像全体がなす空間に連続写像ρ:G→aut1(G/H)を誘導する. この写像が有理ホ モトピー群上で単射かどうかを考察する. 仮に単射である場合, ρはG/Hの微分 同相群Diff1(G/H) を経由することから微分同相群のホモトピー群の中に, 新た な生成元を発見できる可能性がある. 一般的にDiff1(G/H)の幾何学的構造は明 らかにされていないため, この研究は非常に意味がある.
•論文[3]では連結写像空間のオペラディクモデル(正標数モデル)を構成してい る. 今まで用いてきた有理ホモトピー論的考察を応用して,連結成分のオペラディ
4 栗林 勝彦(数理・自然情報科学科)
クモデルを構成することが目標となる. これが可能になり, さらに評価写像モデ ルもオペラディク世界で構成されれば, 上述の結果の正標数版が得られることが 期待される.
謝辞研究助成金は論文[6]の執筆に当たり情報収集のための「専門的知識の提供」
に対する謝金及び図書備品に充てられました。ここに深く感謝いたします。
References
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