スカラーの線積分

ベクトル解析

- 線積分・面積分 -

1 ^st 2020/05/01 L ^st 2021/05/14

スカラーの線積分

( ) ( ) ( ) ( )

r   x t i   y t j z t k    a t b  

( ) ( ( ), ( ), ( ))

b b

C  dt  a  r dt  a  x t y t z t dt

  ^ 

( ) ( ( ), ( ), ( ))

b b

C a a

d r d r

dl r dt x t y t z t dt

dt dt

    

  ^{ }  ^

空間曲線Cのパラメータ表示

空間曲線C上におけるスカラー関数φ(x,y,z)の線積分

空間曲線C上におけるスカラー関数φ(x,y,z)の線積分 (1)

(2)

(3)

スカラーの線積分の例題 ³

【例題1】 スカラー場 φ=x+2yz について線積分を求めよ。

【解答】

(1) : (0 1)

C

 dt C r ti tj tk      t

 ^{   }

(2) :

2

(0 1)

C

 dl C r ti tj t k      t

 ^{   }

③ 媒介変数tについて定積分できる。

① 曲線Cの媒介変数表示が与えられている。

② 曲線C上のφを求める。

教科書p.93

スカラーの線積分の例題 ⁴

【続き】

④ 媒介変数tについて定積分できる。

① 曲線Cの媒介変数表示は与えられている。

② 曲線C上のφを求める。

③ 微小長さdlを 媒介変数tで表す。

ベクトルの線積分

( ) ( ) ( ) ( )

r   x t i   y t j z t k    a t b  

( ) ( ( ), ( ), ( ))

b b

C a a

d r d r

A dl A r dt A x t y t z t dt

dt dt

    

 ^{ }  ^{  }  ^{ }

空間曲線Cのパラメータ表示 (1)

空間曲線C上におけるベクトル関数A(x,y,z)の線積分 (2)

ベクトルの線積分の例題

【例題2】 ベクトル場 A^→ =2y(i^→)+x (j^→)+sin²z(k^→) を次の曲線Cに沿って積分せよ。

【解答】

(1) C

は点

P(1, 0, 0)

を始点、

Q(0,1, / 2) 

を終点とする線分

② 曲線Cのパラメータ表示（媒介 変数tによる表示）が求まった。

① 曲線Cの媒介変数表示が与えられていない。

教科書p.95

ベクトルの線積分の例題 ⁷

【例題2】 ベクトル場^→A=2y(^→i)+x (^→j)+sin²z(^→k) を次の曲線Cに沿って積分せよ。

【続き】

(1) C

は点

P(1, 0, 0)

を始点、

Q(0,1, / 2) 

を終点とする線分

④ 曲線C上のAを 求める。

③ 微小長さベクトルdl を媒介変数tで表す。

⑤ 媒介変数tについて 定積分できる。

教科書p.95

ベクトルの線積分の例題 ⁸

【例題2】 ベクトル場^→A=2y(^→i)+x (^→j)+sin²z(^→k) を次の曲線Cに沿って積分せよ。

【解答】

(2) cos sin 0

C r  ti  tj tk       t  2   

  

は常ら線

① 曲線C上のAを求める。

② 微小長さベクトルdl を媒介変数tで表す。

③ 媒介変数tについて 定積分できる。

教科書p.95

スカラーの面積分の例題

【例題3】 曲面 z=f(x,y)の法単位ベクトルn^とその面積Sはそれぞれ、次の式で表され ることを示せ。ただし、領域Dは曲面Sのxy平面への正射影である。

【解答】

① 曲線Cの方程式の x方向、y方向の変化 量を求める。

2 2

ˆ ,

1

x y

x y

f i f j k

n f f

  

  

  

2 2

1

_{x y}

S  

D

 f  f dxdy ^{教科書p.99}

スカラーの面積分の例題

【例題3の続き】 曲面 z=f(x,y)の法単位ベクトルn^とその面積Sはそれぞれ、次の式で 表されることを示せ。ただし、領域Dは曲面Sのxy平面への正射影である。

【続き】 ② x方向の変化量とy方向の変 化量の外積と大きさを求める。

③ 単位法線ベクトル を求める。

④ 曲面の面積 Ｓを求める。

2 2

ˆ ,

1

x y

x y

f i f j k

n f f

  

  

  

2 2

1

_{x y}

S  

D

 f  f dxdy ^{教科書p.99}

ベクトルの面積分の問題（解き方） ¹¹

【問3】次の面積分を求めよ。

【ヒント】

ただし、被積分関数のスカラーφ=x+y+zの S上の値は、φ_S=x+y+(4-2x-2y)

ただし、被積分関数のスカラーφ=x²+y-zの S上の値は、φ_S=x²+y-(2-2x-y)=

教科書p.100

一般直交曲線座標 12

（具体的な座標系の例）

スカラーの面積分

2 2

ˆ 1

x y

x y

r r

f i f j k

x y

n r r f f

x y

     

 

 

    

 

 

  

 

2 2 1

x y

D D

r r

S dxdy f f dxdy

x y

 

    

 

 ^{ } 

( , ) r   x i   y j   f x y k 

( _{x y} )

r r

d s dxdy f i f j k dxdy

x y

 

     

 

    

 曲面Sの方程式

曲面S上の微小面積ベクトル _{( , )}

( , )

x

y

f f x y

x

f f x y

y

  

 

  

  



曲面S上の法単位ベクトル

曲面Sの面積とスカラーの面積分 (1)

(2)

(3)

(4)

 ^{, , ( , )}  x ² y ^{2 1} D  x y f x y f  f  dxdy



(5)

ベクトルの面積分

ˆ cos _n

S A ds   S A dsn   S A  ds  S A ds

 ^{ }  ^  

x y z

A A i     A j A k   

2 2

ˆ 1

x y

x y

r r

f i f j k

x y

n r r f f

x y

     

 

 

    

 

 

  

 

2 2

1 _{x y}

r r

d s d s dxdy f f dxdy

x y

 

     

 

 

 

( _{x y} )

r r

d s dxdy f i f j k dxdy

x y

 

     

 

    

 (1)

(2) (3)

(4)

(5)

ベクトル関数

曲面S上の微小面積ベクトルとその大きさ

曲面S上の法単位ベクトル

曲面S上のベクトルの面積分

ベクトルの面積分の問題 ¹⁵

教科書p.100

この講義のまとめ ¹⁶

ベクトルの線積分のまとめ

C A d l 

 ^{ }

C A d l 

 ^{ }

線路 線路Cが 閉じてい ることを示 す記号

線路Cが閉 じていない

（開いてい る）ことを示 す記号

線素dlに平行で Cの方向を示す

微小線素 内積記号 線路C上にあるベクトル量 線路

※ 計算結果は、ベクトルFの単位[○]と長さ[m]との積になる 微小線素 内積記号 線路C上にあるベクトル量

リングを構成す る線分1つあた りの長さ

サーカスリング 微小線素dl

全線路長C

=∑dl 微小線素dl

全線路長C

=∑dl 方向

線素dlに平行で Cの方向を示す

右回り or 左回り どちらでもよい

ミミズ

ミミズを構成す る消化管1つあ たりの長さ

方向

消化した土が排 泄される方向 ミミズの進行方向

（逆向き）でもよい

循環という物理量

ベクトルの線積分のまとめ

 t ^ˆ n ^ˆ  ^ˆ t C A dl   C A t  A n  dlt  C A dl

 ^{ }  

: tangential t

接線の（接線成分）

法線の（法線成分）

dl   dlt ˆ

積分路Cに対して常に接線方向を向いた微小長さベクトル

ˆ ˆ

t n

A A t    A n

積分路C上のある点におけるベクトル（物理量）

A t

dl

ˆ ˆ

t n

A A t    A n dl   dlt ˆ



C A n _n ˆ

t ˆ A t

積分路Cに対するベクトルAの接線成分

: normal n

A n

積分路Cに対するベクトルAの法線成分（垂直成分）

t ˆ

積分路Cに対して接線方向を向いた単位ベクトル

n ˆ

積分路Cに対して法線方向を向いた単位ベクトル

ミラーボールを 構成する鏡1枚 の面積

ベクトルの面積分のまとめ

S A d s 

 ^{ }

S A d s 

 ^{ }

ミラーボール

表面積 面Sが閉 じている ことを示 す記号

面Sが閉じ ていない

（開いてい る）ことを 示す記号

全表面積S

=∑ds 微小面積ds

微小面積dsに垂直 で外向きを示す

※ 図では赤道上 は大きく見えるが、

実際は無限小の 大きさ

表面積

微小面積 内積記号 面S上のベクトル量

全表面積S

=∑ds

パズルを構成 するピース1枚 の面積

微小面積ds

※ 内側は表面で はなく裏面として 考えるので、表面 積Sに含まない

微小面積dsに垂直

で外向きを示す

※ 計算結果は、ベクトルFの単位[○]と面積[m²]との積になる 微小面積

面S上のベクトル量 内積記号

風船と熱気球の違いでもよい

流束という物理量

19 ベクトルの面積分のまとめ

 t ^ˆ n ^ˆ  ^ˆ n

S A ds   S A t  A n  dsn  S A ds

 ^{ }  

: tangential t

接線の（接線成分）

法線の（法線成分）

ˆ ds dsn  

積分面Sに対して常に法線方向を向いた微小面積ベクトル

ˆ ˆ

t n

A A t    A n

積分面S上のある点におけるベクトル（物理量）

A t

積分面Sに対するベクトルAの接線成分

: normal n

A n

積分面Sに対するベクトルAの法線成分（垂直成分）

t ˆ

積分面Sに対して接線方向を向いた単位ベクトル

n ˆ

積分面Sに対して法線方向を向いた単位ベクトル

ds

ˆ ˆ

t n

A A t   ˆ  A n ds dsn  

 S

n ˆ A n

t ˆ A t

20