命題概念 お よび様相概念 の意義再考*

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〔第2回 研 究助 成 成 果 報 告 〕

命題概念 お よび様相概念 の意義再考*

一 近年 の様 相 同伴 に つ い て の論 理 的研 究 をふ ま えて

山 崎 紗 紀 子**

1は じめ に

「命 題(propositiorL,Satz)」 と い う 用 語 は,哲 学 史 の 中 だ け で よ く用 い ら れ る 特 殊 な 術 語 の よ う に 思 え る.ま た,そ れ と は 別 に,現 代 の 数 理 論 理 学 な ど で 用 い ら れ る,や は り特 殊 で 技 術 的 ・形 式 的 な 性 格 の 強 い も の の よ う に 思 え る.し か し,実 際 に は,「 命 題 」 と い う 語 が 表 し て い る の は,私 た ち の ご く 日 常 的 な 営 み の 対 象 と な る も の で あ り,そ の 意 味 で,私 た ち の 誰 に で も 関 わ りの あ る も の だ と 言 う こ と が で き る.な ぜ な ら,命 題 と は, ま ず 第 一 に,最 も基 本 的 に は,私 た ち が 行 う論 証 ・証 明(proof)の 対 象 で あ り,第 二 に,も う少 し広 い 意 味 合 い で 言 え ば,「 知 る 」,「信 じ る ⊥ 「疑 う 」,「 宣 言 す る 」 と い っ た 語 が 表 す 私 た ち の 心 的 態 度 や 言 語 行 為 の 対 象(い わ ゆ る,命 題 内 容)で も あ る た め で あ る.つ ま り,例 え ば,私 た ち は,あ る 事 柄 を 疑 問 に 思 い,正 しい か ど うか 証 明 し よ う と し,そ れ が 反 駁 で き る か ど う か 検 討 す る が,こ の と き,そ の 事 柄 と は ま さ に 一 つ の 命 題 と考 え る

こ とが で き る と い う こ と で あ る.

以 上 の よ う な 性 格 を 持 つ 命 題 に つ い て,近 年 の 論 理 学 で は 重 要 な 解 明 が 進 め ら れ て い る.そ の 結 果 は,命 題 概 念 が 持 つ 哲 学 的 な 意 義 や 射 程 に つ い て も,私 た ち に 新 た な 見 解 や 知 識 を与 え て く れ て い る よ う に 思 わ れ る 。 そ の 中 で も特 に 明 ら か に さ れ つ つ あ る の は,一 見 す る と,単 層 的 で 単 純 な構 造 を成 す よ う に 思 わ れ る 命 題 と い う も の が,実 際 に は,相 互 に 区 別 さ れ る

*本 論 文 は,東 京 都 立 大 学 哲 学 会 第2回(2014年 度)研 究 助 成 に よ る研 究 成 果 の 一 部 で あ る.

**日 本 学 術 振 興 会 特 別研 究 員DC(首 都 大学 東 京)

べ き,多 様 で複雑 な階層構 造 を形成 している とい うこと,そ して,そ うし た 階 層 の 各 々 ご とに,互 い に 異 な っ た 論 理体 系 が対 応 して い る と考 え る 必 要 が あ る とい う こ とで あ る.以 上 の こ と を踏 まえ,本 論 文 の 目的 は,技 術 的 な 予 備 知 識 を前提 とす る こ とな く,可 能 な 限 りわ か りや す く,命 題 概 念 が 持 つ 多 様 性 や 階 層 性 に つ い て 説 明 す る こ とで あ る.そ こで まず,論 証 ・ 証 明 とい う こ との 仕 組 み や 構 造 につ い て も う少 し詳 し く説 明 して い きた

い.

論 証 ・証 明 と は,簡 単 に は,ま ず,そ れ 自 体 す で に 確 立 済 み の も の と し て 認 め ら れ て い る 命 題(公 理(axiom)や 定 理(theorem))た ち か ら 出 発 し,次 に,必 要 で あ れ ば,様 々 な 語 句 の 用 法 に 関 す る 取 り 決 め(定 義 (definition))を 併 用 し な が ら,さ ら に,妥 当 な 命 題 か ら,妥 当 な 命 題 を 引 き 出 す こ と を 可 能 に して くれ る 原 理(推 論 規 則(inferencerule),論 理 法 則(logicalIaw))た ち を 用 い て,そ し て 最 後 に,あ る 命 題 の 正 し さ を 疑 い よ う の な い 仕 方 で 確 立 す る こ と で あ る.こ う した,公 理 ・定 理,定 義 推 論 規 則 ・論 理 法 則 と は 何 か,ど の よ う な も の を そ う し た,公 理 ・定 理, 定 義 推 論 規 則 ・論 理 法 則 と して 認 め て 良 い か,そ れ が な ぜ か と い っ た 問 題 は,伝 統 的 に も,様 々 に 研 究 さ れ て き た が,現 代(フ レ ー ゲ 以 降)で は, と り わ け 次 の よ う な 特 徴 的 な 方 法 が 用 い ら れ る1.そ の 方 法 と は,一 つ の

1こ こ で 伝 統 的 な哲 学 に お け る命 題 の用 法 を確 認 してお きた い.本 論 文 で は,命 題 概 念 に つ い て の 哲 学 的 考 察 を 十 分 に行 う こ と は で きな い が,以 下 に述 べ る こ と は基 本 的 に 正 しい と 考 え て 良 い と思 わ れ る.

哲 学 史 にお け る 命 題 概 念 の 登 場 は ソ ク ラ テ ス の 頃 に ま で 遡 る と言 え る だ ろ う,ソ ク ラ テ ス は,「 魂 の あ り方 」 と い うこ とを常 に 問題 に し,人 々 に そ れ を気 遣 う よ う説 得 した.ソ ク ラ テ ス は,そ う した 説 得 の た め に,ア テ ナ イの 人 々 に 「対 話 」 を求 め たが,対 話 を行 うた め に は,[22]で の 表 現 を用 い れ ば そ の 前 提 と して,対 話 に参 与 す る人 々が 「吟 味 され る 命 題 を信 じそ れ に 関 与 して い る こ と」(中 畑2011,p.208)が 要 求 さ れ る.こ の こ と か ら, 対 話 を しよ う とす る と き,ソ ク ラ テ ス は 「命 題 」 概 念 が 存 在 す る こ と,ま た,そ れ が 「信 念 の 内 容 」 を担 う もの で あ る と考 え て い た と言 え る.プ ラ トン に関 して言 え ば,以 上 の よ うな ソ ク ラ テ ス の 考 え を受 け継 い で い る こ と は明 らか で あ る が,彼 の イ デ ア 論 で 展 開 され る イデ ア概 念 の 一 例 に,命 題 と い う もの(特 に,数 学 の 命 題 の よ う な も の)が 相 当 す る の で は ない か と考 え る こ と は,そ う お か し な こ とで は な い よ う に思 わ れ る.そ して,ア リ ス

トテ レス に 関 して は,よ く知 られ て い る通 りで あ る.

また,ア リス トテ レス か ら少 し時 代 は 進 む が,ラ イプ ニ ッツ は,命 題 を真 偽 の 基 体 と考 え, す で に思 惟 さ れ た 範 囲 だ け で な く,そ れ ら を超 え て,思 惟 され う る事 柄 の す べ て,と 命 題 を特 徴 付 け て い る(こ の 点 に つ い て は[17]を 参 照 の こ と).そ の 後,ヴ ォル フ,ヘ ー ゲ ル ら に よ っ て様 々 な 考 察 が 行 わ れ,そ の 中 で も,論 理 的意 味 合 い を強 く持 っ た 命 題 の 捉 え方 は フ レ ー ゲ らに 引 き継 が れ,現 代 的 な 命 題 概 念 の把 握 に 繋 が って い くこ とは よ く知 ら れ て

命題概念お よび様相概念の意義再考 ²⁵

言 語(論 理 的 言 語 ・形 式 言 語)を 設 定 す る こ と で あ る.一 つ の 論 理 的 言 語 を 定 め る と は,(1)ま ず 第 一 に,ど の よ う な 性 質 を 持 っ た,ど の よ う な 範 囲 の 諸 命 題 を 取 り扱 い 対 象 と す る の か を 定 め る こ と で あ り,(2)そ れ に 基 づ い て,こ れ ら の 命 題 の 問 で,ど の よ う な 推 論 を 行 う こ とが 許 さ れ る の か を 可 能 な 限 り正 確 に 特 定 す る こ と で あ る.こ の(1),(2)に つ い て も う 少 し詳 し く見 て み よ う.ま ず は(1)に つ い て で あ る が,ど の よ う な 範 囲 の 命 題 が 取 り扱 い 対 象 と な る か は,ふ つ う 以 下 の 三 種 類 の 演 算 子2に 依 存 し て 定 ま る.も う 少 し詳 し く言 え ば,そ れ ら三 種 類 の す べ て を 用 い る か,一 部 だ け を 用 い る の か,ま た,一 つ の 種 類 の 中 で もす べ て を 採 用 す る の か,あ る い は そ の 内 の い くつ か は 用 い な い こ と に す る の か,等 々 に よ っ て 変 わ っ て く る と い う こ と で あ る.三 種 類 の 演 算 子 と は,次 の も の で あ る.

(i)文 結 合 子 。 こ れ は 与 え ら れ た(一 つ ま た は 二 つ の)命 題 に 適 用 さ れ て, 一 つ の 命 題 を 与 え る 演 算 子 で あ り ,そ の 表 記 は,よ く使 わ れ る 記 法 に 従 え

ば,「 〈」(連 言 演 算 子,「 か つ 」),「v」(選 言 演 算 子,「 ま た は 」),「 → 」(含 意 演 算 子,「 な ら ば 」),「「」(否 定 演 算 子,「で な い 」)で あ る3.(ii)量 化 子.

(「xは 人 間 で あ る 」,「yは 学 生 で あ る 」 と い っ た)変 項 を 含 む 文 に よ っ て 表 現 さ れ る 命 題 よ り精 確 に は,対 象 か ら 命 題 へ の 関 数 に 適 用 さ れ る こ と で,一 つ の 命 題 を 形 成 す る 演 算 子4.(iii)様 相 演 算 子.代 表 的 な も の は 「口 」(ボ ッ ク ス 演 算 子),「 ◇ 」(ダ イ ヤ 演 算 子)で あ り,形 式 的 に 言 え ば,こ れ ら は 文 結 合 子 の 一 種 と 見 な し て 良 い が,推 論 上 で の 役 割 こ の 後 に 述 べ る 論 理 的 公 理,お よ び 推 論 規 則 に よ っ て 規 定 さ れ る も の 一 は, (i)の 文 結 合 子 と は 異 な り,例 え ば,「 口A」 の 場 合 で 言 え ば 「Aは 必 然 で あ る/Aは 知 ら れ て い る/Aを 行 う こ と は 義 務 で あ る 」 な ど の よ う に,

い る 通 りで あ る(本 論 文 で は 詳 述 す る こ とが で きな か っ た ラ イ プ ニ ッ ツ以 降 の命 題 概 念 に つ い て の 考 察 は[15,16,17,18]に 詳 しい).

ラ イプ ニ ッ ツ や ヘ ー ゲ ル 以 後 の哲 学 史 の 中 で,命 題 概 念 が どの よ う な も の と考 え られ て きた の か につ い て 考 察 す る こ と は非 常 に 重 要 で あ るが,本 論 文 で はそ の詳 細 に は 立 ち入 ら ず,他 の機 会 に よ り詳 し く論 じた い,

2以 下 で は,「 演 算 子 」 と 「結 合 子 」 とい う 用語 が似 た 用 法 で 用 い られ るが,基 本 的 に は 同 じ 意 味 で 用 い られ て い る と考 え て 差 し支 え な い 。

3各 論 理 記 号 の表 記 に は 幾 つ か のバ リエ ー シ ョ ンが あ る.本 論 文 で も必 要 に応 じて,使 い 分 け る こ と とす る.

4よ り具 体 的 に は,「∀x.…x… ⊥ 「ヨy.…y・"」な どで あ り,そ れ ぞ れ 「あ らゆ るxに つ い て …」,

「あ るyに つ い て … 」 とい っ た 事 柄 を 表 す.

命 題Aに 対 し て 一 定 の 様 相 的 性 格 を付 与 す る こ と で あ る.

次 に,(2)に つ い て で あ る が,こ れ は 具 体 的 に は,(1)で み た 文 結 合 子 の 推 論 上 で の 役 割(基 本 的 な 性 質)を 定 め る 論 理 的 公 理 と,ど の よ う な 命 題 を 前 提 と し て,ど の よ う な 結 論 を 導 き 出 し て 良 い か を は っ き り と 定 め る 推 論 規 則 と を 定 義 す る と い う こ と で あ る.こ の 点 に つ い て は3章 で み る が,例 え ば,(iii)の 場 合 で 考 え れ ば,口 の 性 質 を 規 定 す る 様 々 な 公 理 が 存 在 し て お り,そ れ ら の う ち か ら ど れ を 選 び,ど う組 み 合 わ せ る か に よ っ て,実 際 に 口 の 性 質 が 変 わ っ て くる と い う こ と で あ る.ま た,推 論 規 則 は,一 つ 一 つ の 演 算 子 に つ い て 定 め ら れ る も の で あ る た め,言 語 内 に 導 入 さ れ る 演 算 子 が 増 え れ ば,そ れ に 応 じ て そ の 数 も 増 え て い く.つ ま り, (i)の 範 囲 の 命 題 を 扱 う場 合 は,命 題 間 の 関 係 に つ い て 説 明 す る 最 も 基 本 的 な 規 則 だ け が あ れ ば 良 い 。 典 型 的 に は,モ ー ダ ス ・ポ ネ ン ス(Modus Ponens)を 考 え れ ば 良 い.し た が っ て,(ii)の 場 合 に は,量 化 子 を 含 む 命 題 に 適 用 で き る 規 則 が,(iii)の 場 合 に は,様 相 命 題 に 適 用 で き る 規 則 が 必 要 に な る と い う こ と で あ る 。

さ て,こ こ ま で 見 た よ う な 仕 方 で 定 め た 言 語 を 用 い て,論 証 ・証 明 を 構i 成 し て い くの が 現 代 論 理 学 の 方 法 で あ る.そ の た め,論 理 的 公 理 の 定 め 方 に よ っ て 演 算 子 が 持 つ 性 格 が 決 ま り,そ の 性 格 の 違 い が,そ の 演 算 子 を 用 い て 扱 う こ と が で き る 命 題 の 範 囲 を 決 め ,結 果 と し て,論 理 体 系 の 間 に 強 弱 関 係 が 生 ま れ る こ と と な る の で あ る5.本 論 文 で は,考 察 対 象 を 命 題 論 理 に 限 る た め,(ii)は 考 慮 に 入 れ ず,(i)と(iii)の み を 考 察 す る6.ま た, (i)だ け か ら で き て い る 論 理 の こ と を 純 粋 な 命 題 だ け を 扱 う論 理 と い う こ と で,本 論 文 で は,純 粋 論 理(purelogic)7と 呼 ぶ.純 粋 論 理 に(iii)を 加 え た も の が,よ く知 ら れ て い る 様 相 論 理(modallogic)で あ る.こ こ で, 本 論 文 の 構 成 に つ い て 簡 単 に 説 明 を し て お き た い.上 記 の こ と を 踏 ま え て, 2章 で は 純 粋 論 理 の 幾 つ か の 論 理 体 系 に つ い て 簡 単 に 説 明 し,そ の 後,古

5本 論 文 で は 詳 し く扱 わ な い が,自 然 数 論 や集 合 論 な ど を論 理 的 言 語 と して 扱 お う と す る 場 合 に は,(1)で 見 た よ うな 結 合 子 や 量 化 子 な どに,そ の よ う な各 理 論 を扱 う こ と が で きる

よ う な 固有 の語 彙 を加 え,そ れ らを公 理 的 に定 義 す る必 要 が あ る.

6(ii)は 命 題 論 理 よ りも よ り一 般 性 の高 い 述 語 論 理 の考 察 対 象 と な る.

7「 純 粋 論 理 」 とい う呼 び方 は,完 全 に本 論 文 にお い て のみ の用 法 で あ り,決 して 一 般 的 な 呼 び方 で は な い こ と に注 意 してお く必 要 が あ る.

命題概念お よび様相概念の意義再考 ²⁷ 典論 理 と直 観 主 義 論 理 に焦 点 を絞 り,そ れ らの 体 系 が 扱 う命 題 が どの よ う な もの で あ る の か に つ い て 考 察 す る.3章 で は,古 典 論 理 や 直 観 主 義 論 理 に代 表 され る よ う な純 粋 論 理 の 各 体 系 が 扱 う命 題 が 持 つ 性 質 の 違 い を説 明 す る際 様 相 論 理 が 重 要 な役 割 を果 たす とい う近 年 の 研 究 を踏 ま え て,ま ず は じめ に,様 相 論 理 の 簡 単 な説 明 を してか ら,純 粋 論 理 と様 相 論 理 との 間 の 関 係 につ い て 説 明 をす る.そ して最 後 に ま と め と今 後 の課 題 を提 示 す

る.

2現 代 論 理 学 に お け る命 題

1章 で 述 べ た よ う に,現 代 論 理 学 で は,言 語 の 体 系 と し て の 論 理 と い う 捉 え 方 が 中 心 的 な も の と な っ た.こ う し た 言 語 体 系 と し て の 論 理 と い う 見 方 は,そ も そ も ど の よ う な 言 語 を 設 定 す る の が 論 理 と し て 適 切 で あ る の か と い う 問 い を 生 じ させ,ま た さ ら に,新 し い 様 々 な 論 理 体 系 を 考 え る 余 地 を も与 え て い る と考 え て よ い,現 実 の 歴 史 の 展 開 は 実 際 に は も う 少 し 複 雑 で は あ る が,い ず れ に せ よ,現 代 論 理 学 は ま さ に こ の よ う な 方 向 で の 論 理 的 言 語(論 理 体 系)の 一 般 化 ・多 様 化 を 推 し 進 め て き た の で あ る.そ

う し た 様 々 に 異 な る 論 理 体 系 の 中 で も よ く 知 ら れ て い る の は,「 古 典 論 理 (classicallogic)8」 の 体 系 と 「直 観 主 義 論 理(intuitionisticlogic)9」 の 体 系 で あ る.古 典 論 理 は 直 観 主 義 論 理 に 公 理 「Aま た はAで な い(AVrA)」

を付 け 加 え る こ と で 得 ら れ る 体 系 で あ る.こ れ は,言 い 換 え る と,直 観 主 義 論 理 の 定 理 は す べ て 古 典 論 理 の 定 理 で も あ る と い う こ と で あ る10.一 般 に,こ の よ う に 二 つ の 論 理 体 系(L、 とL2)を 比 較 し た 結 果,L、 の 定 理 は す べ てL2の 定 理 で も あ る が,そ の 逆 は 成 り立 た な い と し た と き,「L2は L,よ り強 い 」,「L、 はL2よ り弱 い 」 と 言 う.し た が っ て,古 典 論 理 と 直 観 主 義 論 理 の 場 合 で 考 え る と,「 古 典 論 理 は 直 観 主 義 論 理 よ り 強 い 」 と い う こ と に な る.そ れ で は こ れ ら 二 つ の 体 系 以 外 に 一 体 ど の よ う な 論 理 体 系 を

8以 下,古 典 論 理 の こ と を 「CL」 と書 くこ と もあ る.

9以 下,直 観 主 義 論 理 の こ と を 「IL」と書 くこ と もあ る.

10た だ し,そ の逆 は 成 り立 た な い.つ ま り,直 観 主 義 論 理 の 定 理 で は な い が,古 典 論 理 の 定 理 で あ る よ うな,今 あ げ た 公 理 「A>rA」 の例 と な る形 を した論 理 式 が あ る とい う こ と で あ る.

考 え る こ とが で き る だ ろ うか.そ して ま た,そ れ らの 間 に は どの よ う な強 弱 関 係 が あ るの だ ろ うか 。 この 点 につ い て は,後 で 詳 し く見 るが,命 題 論 理 の 世 界 に は そ の強 弱 関係 に基 づ い た 様 々な 論 理 体 系 が 存 在 す る11.こ の と き,命 題 論 理 の 各 体 系 間で は,語 彙 と推 論 規 則 は 同 じで あ るが,各 体 系 で 採 用 され てい る公 理 が 異 な っ て い る12.採 用 され て い る 公理 が 変 わ れ ば, 当然 あ る 論 理 体 系 の 中 で 導 くこ とが で き る定 理 の種 類 が 変 わ っ て くる.

こ の こ とか ら,各 論 理 体 系 が どの 公 理 を採 用 して い る の か を見 る こ とで, 体 系 を 区 別 し,整 理 す る こ とが で きる とい う こ とが わ か る.で は 以 下 で, 純 粋 論 理 の各 体 系 が どの よ う な公 理 を採 用 して い る の か に つ い て見 て み よ

う.

2.1純 粋 論 理 の形 式化 され た 推 論 の体 系

一 般 に 公 理 系 ・形 式 体 系 と い う もの は,1章 で も触 れ た よ うに,語 彙 を 定 義 し,論 理 式 を 定 義 し,論 理 的 公 理(以 下,公 理)と 推 論 規則 を設 定 す る こ とか ら始 ま る(実 際 の論 理体 系 と して は,公 理 と推 論 規 則 とを分 けず, すべ て 推 論 規 則 の 形 で 定 式 化 す る よ う な体 系 も存 在 す る が,本 論 文 で は, わ か り易 さの た め,こ こ まで 述 べ て きた よ うに,公 理 と推 論 規 則 を分 け て 設 定 す る論 理体 系 に 即 して 問 題 を考 察 して い くこ と とす る.こ う した 〈公 理 と推 論 規則 を分 け た タイ プ の 体 系 〉 は ふ つ う 「ヒル ベ ル ト系 」 と総 称 さ れ る た め,以 下 で も 「ヒル ベ ル ト系 」 とい う用 語 を用 い る こ とが あ る)13.

本 章 で 扱 う範 囲 の 純 粋 論 理 の 各 体 系 を通 じて,語 彙 と論 理 式 はす べ て 共 通 で あ る.そ こで まず,こ の 二 つ を先 に確 認 して お く.

11簡 単 に は,最 も強 い体 系 が 古 典 論 理 と考 え て 良 い.古 典 論 理 と直 観 主 義 論 理 と の 問 に は 多 数 の 体 系 が 存 在 し(こ の よ うに,古 典 論 理 と直 観 主 義 論 理 の 間 に存 在 す る論 理 は ま とめ て, 中 間 論 理(intermediatelogics)と 呼 ば れ る),更 に,直 観 主 義論 理 よ り弱 い 論 理 体 系 と し てBPLやFな どが 存 在 す る(BPLとFに つ い て は後 で 見 る).

12た だ し,そ の公 理 の 中 に も,様 々 な論 理 の 中 で 共 通 な もの と,各 論 理 体 系 に 固 有 で あ る も の が あ る.

13ヒ ル ベ ル ト系 以 外 の 体 系 と して は,〈 公 理 と推 論 規 則 を分 け な い タ イ プの 体 系 〉 に分 類 さ れ る,ゲ ン ツェ ン に よ って 与 え られ た 自然 演 繹 ・シー クエ ン ト計 算 の 形 式 体 系 な どが あ る.

命題概 念お よび様相概 念の意義再考 ²⁹

定 義2.1(語 彙) 命 題 変 数p,q,r,…

論 理 記 号 ⊥(矛 盾),〈(か つ),v(ま た は 〉,→(な ら ば),「(否 定) 補 助 記 号(,)

語 彙 を定 め た ら,次 は論 理 式 を定 義 す る.

定 義2.2(論 理 式)

1.命 題 変 数 と ⊥ は 論 理 式.

2.A,Bが 論 理 式 な ら,(A〈B),(A>B),(A→B),(rA)も 論 理 式.

3.以 上 の み が 論 理 式.

た だ し,「rA」 は 「A→ ⊥ 」 の 省 略 形 と み な す.こ の と き,論 理 記 号 の 結 合 の 強 さ は,「「」 が 最 も 強 く,次 に 「〈」 と 「v⊥最 も 弱 い の が 「→ 」 と し, こ れ に 従 っ て カ ッ コ は 適 宜 省 略 す る.ま た,仮 定 か ら帰 結 が 導 か れ る と き, そ の こ と を 表 す た め に 「ト」 を 用 い る こ と と す る.例 え ば,あ る 論 理 体 系 Sに お い て,仮 定r(論 理 式 の 集 合)か ら 論 理 式Aが 導 か れ て い る 場 合,「P トsA」 と書 く.た だ し,rは 空 で も よ く,そ の 場 合 「トsA」 と 書 く.で は 次 に,公 理 と推 論 規 則 に つ い て 見 て い こ う.

先 ほ ど も 述 べ た よ う に,本 論 文 で 取 り上 げ る 純 粋 論 理 の 体 系 す べ て を 通 じ て,推 論 規 則 は 同 じで あ り,基 本 的 に は た だ 一 つ で あ る.そ れ は よ く知 ら れ たModusPonens(以 下,MP)で あ る.

←A→BトA トB

MPは,分 離 規 則(RuleofDetachment)と も 呼 ば れ,A→BとAが す で に 証 明 さ れ て い る と き,Bも ま た 証 明 さ れ て い る(Bを 結 論 し て 良 い),

と い う こ と を 述 べ て い る14.

次 に 公 理 に つ い て 見 て み よ う.話 を 分 か りや す くす る た め,ま ず,直 観

14ま た,「 な らば 」 の 持 つ 基 本 的 な性 質 につ い て 述 べ た もの で も あ る.

主 義 論 理 の 場 合 に つ い て 考 え る.こ の 論 理 の 公 理 は 以 下 の 通 りで あ る が, た だ し,各 公 理 は 正 確 に は 一 個 の 式 で は な く,無 数 の 可 能 な 代 入 事 例 を代 理 す る 一 般 的 表 現 で あ る.こ の た め 公 理 図 式(axiomschema)と も 呼 ば れ る15.こ の と き,各 公 理 図 式 に,任 意 の 論 理 式 を 代 入 し た 結 果 は,そ れ 自 身,一 個 の 定 理 で あ る と見 な し て よ い16.

定 義2.3(直 観 主 義 論 理 の公 理AxJ)

Axl Ax2 Ax3 Ax4 Ax5 Ax6 Ax7 Ax8 Ax9 Ax10

A→(B→A)

(A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) A→(AVB)

B→(AVB)

(A→C)→((B→C)→((AVB)→C)) (A〈B)→A

(A〈B)→B

(C→A)→((C→B)→(C→(A〈B))) (A→B)→((A→rB)→rA) A→(rA→B)

さ て,以 上 の 公 理 図 式 は,幾 つ か の グ ル ー プ に 分 か れ て 各 結 合 子 を 特 徴 付 け る.Ax1とAx2は 「→ 」,Ax3か らAx5は 「v」,Ax6か らAx8は 「〈⊥

Ax9は 「「」 の 働 き を,ま た,Ax10は 矛 盾 か ら任 意 の 論 理 式 が 導 け る こ と17を そ れ ぞ れ 表 し て い る.ま た,「な ら ば 」の 性 質 に つ い て 述 べ たAx2は, さ ら に 次 の よ う な 三 つ の 公 理 に 分 解 す る こ と が で き る が,こ の よ う に 分 解 す る こ と で,よ り詳 細 に 「な ら ば 」 の 性 質 を 検 討 す る こ と が で き る よ う に

15例 え ば,以 下 で 見 るAx1は(p〈q)→(r→(p〈q))やp→(rr→p)な ど の 形 を した論 理 式 を 代 表 して い る とい うこ とで あ る.ま た,こ れ 以 降 も公 理 は 公 理 図 式 とみ な し議 論 す る。

16こ の よ う に,公 理 の代 入 事 例 を定 理 と考 え る こ と をMPと は 別 に推 論 規 則 とす る こ と も あ る が,こ こで は こ の 点 に つ い て は 措 く.

17Ax10は(A〈(A→ ⊥))→Bと 同値 で あ り,⊥ →Bと 考 え て よい.

命題概念お よび様相概念の意義再考 ³¹

な る18

Ax2.1 Ax2.2 Ax2.3

(B→C)→((A→B)→(A→C)) (A→(B→C))→(B→(A→C)) (A→(A→B))→(A→B)

こ の と き,直 観 主 義 論 理 の ヒ ル ベ ル ト系HJは 且J=MP+AxJと し て 与 え る こ とが で き る19,

先 ほ ど も 述 べ た よ う に,古 典 論 理 の ヒ ル ベ ル ト系HKはHJに 排 中 律 に あ た る 「AxllAVrA」 を 加 え れ ば 手 に す る こ と が で き る.つ ま り, HK=HJ+Ax11と な る.そ の た め,直 観 主 義 論 理 と 古 典 論 理 の 違 い は 排 中 律 を 認 め る か 認 め な い か の 違 い で あ る と 簡 単 に 説 明 さ れ る こ と も あ る.で

は,直 観 主 義 論 理 よ り 弱 い 論 理 の 公 理 系 は ど の よ う に 設 定 す れ ば よ い だ ろ う か.実 は,上 記 の よ う にAx2を 分 解 し,分 解 し た も の の 中 か ら 適 当 な 一 部 だ け を 公 理 と し て 認 め 直 す こ と で ,直 観 主 義 論 理 よ り も 弱 い 論 理 の ヒ ル ベ ル ト系 を 手 に す る こ と が で き る の で あ る 。 例 え ば,直 観 主 義 論 理 よ り も 弱 いBasicPropositionalLogic(BPL)と い う 論 理 に つ い て 考 え る と き に は,以 下 で 与 え る よ う に,Ax2を 分 解 した の ち の,Ax2.1だ け を 残 し(以 下 で 与 え る2),Ax2.2とAx2.3は 落 と す.そ し て,〉 と くの 公 理 を 付 け 加 え る(以 下 で 与 え る3‑8).さ ら に こ の と き,Ax2を 分 解 し て 弱 め て し ま っ た こ と に よ っ て 公 理 と し て 付 け 加 え る 必 要 が 生 じ た と概 ね 考 え て 良 い も の (以 下 で 与 え る10‑12)を 加 え る.以 上 の こ と を 踏 ま え る と,BPLの 公 理 は 以 下 の よ う に 与 え ら れ る20.

18こ の 分 解 は コ ン ビネ ー タ論 理 や ラ ム ダ計 算 の 分 野 との 関 連 で 考 察 さ れ る こ とが 多 い.こ こ で の 分 解 は[20コ に よる 。

19直 観 主 義 論 理 の ヒル ベ ル ト系 の 公 理 の と り方 に も様 々な もの が あ る が,こ こで の 公 理 の と り方 は[19]に よる.

20BPLは,[13]に お い て 与 え られ た 論 理 で あ る が,そ の と きの 形 式 体 系 は 自 然 演 繹 で あ っ た.こ こ で の ヒ ル ベ ル ト流 の 形 式 体 系 は[10]に よ る.た だ し,[10]で は2に あ た る も の は2と 同 値 な((A→B)〈(B→C))→(A→C)で,同 様 に,5に あ た る も の は ((A→C)〈(B→C))→((AvB)→C)で,8に あ た る もの は((C→A)〈(C→B))→(C→(A〈B)) で そ れぞ れ 与 え ら れ て い る。

定 義2.4(BPLの 公 理AxB)

のC

↓仏

↓砂

↓

)仏A( DC_↓砂 仏く_↓0_↓$( 湧B硫_↓⑩_↓砂_↓⑩(

郡 認 鉱 蜜 A v A B

↓↓↓↓↓唱B↓↓べ↓↓A$AB仏仏仏ω⊥仏AA

(U‑占9一123456789111 の祀NB血_↓B のB仏(

こ こ で 注 目 し た い の は,「 な ら ば 」 を 特 徴 付 け る 公 理 と し て 採 用 さ れ て い る も の が,直 観 主 義 論 理 とBPLと で ど う 違 っ て い る の か と い う こ と に つ い て で あ る.BPLで はAx2を 分 解 し た 三 つ の 公 理 の う ち,Ax2.1だ け が 「な

ら ば 」 の 性 質 を 定 め る 公 理 と し て2で 残 っ て い る.こ の こ と か ら,BPL で は,直 観 主 義 論 理 よ り 「な ら ば 」 の 性 質 が 弱 く な っ て い る こ と が わ か る.

こ の と き,BPLの 「な ら ば 」 を 特 徴 づ け る の は1,2,11と 考 え ら れ る.ま た,そ の 詳 細 に つ い て,こ こ で 詳 し く述 べ る こ と は し な い が,BPLよ り も弱 いFと い う 論 理 体 系 も あ る[3]21.Fの 公 理 はAxBか ら,1と12を 落 とせ ば 手 に で き る.し た が っ て,Fの 「な ら ば 」 を 特 徴 付 け る の は2,11

21Fの ヒ ルベ ル ト系 を与 え る と きに は,新 しい 規 則 と してMPの 他 に 以下 の よ うな推 論 規 則 「A Fortiori(AF)」

トA トB→A

も加 え る必 要 が あ る.ま た,MPに 当 た る も の も こ こ で 与 え た もの と は 形 が 少 し異 な る.

しか し,[10]の 中 で,こ こ で 与 え たBPLの ヒル ベ ル ト系 がFの ヒル ベ ル ト系 を拡 張 した 体 系 で あ る こ と に つ い て の 議 論 が な され て い る の で,こ こで は,Fの 公 理 が ど の よ うな も の で あ る か に つ い て の み特 定 で きれ ば十 分 で あ る.

命題概 念お よび様相概念の意義再考

³³

この よ うに,直 観 主 義 論 理 よ り も弱 い論 理 とい うの は,「 な らば 」 の 性 質 が 直観 主 義 論 理 の 「な ら ば」 よ り弱 く,直観 主 義 論 理 が 扱 う推 論 の うち,

「な らば 」 の 性 質 を弱 め て 特 殊 化 した 範 囲 だ け を取 り出 して い る よ う な論 理 と考 え る こ とが で きる22.以 上 の こ とか ら,純 粋 論 理 の論 理 体 系 とい う の は,基 礎 と な る最 も弱 い論 理 が あ っ て,そ こ に必 要 な 公理 を 次 々 と足 し て い く こ とで 段 々 に 強 く して い く(証 明 で きる定 理 の 範 囲 を広 げ て い く) こ とが で きる よ うな,あ る種 の 階 層 構 造 を な してい る と考 え られ る23.こ こ で 見 た 論 理 につ い て言 え ば,Fか ら始 ま り,次 にBPL,直 観 主 義 論 理 そ して最 後 が古 典 論 理 とい っ た 具 合 に段 々 とそ の 証 明 力 が 強 くな って い く とい う こ とで あ る.で は,こ の 論 理 間 の 階 層構 造,あ るい は,強 弱 関 係 を 踏 まえ た と き,そ れ ぞ れ の 論 理 体 系 に属 す る命 題 は,他 の 体 系 に属 す る命 題 とは 異 な る どの よ うな 特 徴 的 性 格 を持 つ と言 え る だ ろ うか.こ の 問 い に 関 す る 完 壁 な答 え を即 座 に与 え る こ と は難 しい.し か し,一 般 に,各 々 の 論 理 体 系 に属 す る命 題 が 特 徴 的 に持 つ 性 格 とは,当 の論 理 体 系 の基 本 に据 え られ て い る論 理 的 ア イデ アや 理 念 とい っ た もの つ ま り,そ の論 理 体 系 が ま さ にそ の こ とを探 究 す る た め に設 計 され た と言 え る よ うな,こ の体 系 の 根 本 目的一 に よっ て規 定 され て お り,い わ ば そ の 反 映 に他 な らな い と考 え て よい はず で あ る.し たが っ て,各 体 系 の理 念 や 目的 を明 らか にす る こ とで各 体 系 が 扱 う命 題 の特 徴 を捉 え る こ とが で き るの で は な い か と考 え られ る.こ の よ う に考 え るの な らば,特 に古 典 論 理 と直 観 主 義 論 理 の ケ ー ス に つ い て は,次 の よ う に,非 常 に見 通 しの 良 い 対 比 を認 め る こ とが で き る.

22こ こ で は 詳 し く述 べ る こ とは しな い が,中 間論 理 の ひ とつ で あ る,公 理 図式rAVrrAに よ っ て 特 徴 付 け ら れ るJankovlogic(cf.[2]),公 理 図 式(A→B)v(B→A)に よ っ て特 徴 付 け られ るG6del‑Dummettlogic(cf.[2])も,直 観 主 義 論 理 と 「な らば 」 の 強 さが 異 な る論 理 の 一 つ と考 え られ る.こ の 点 につ い て は,後 で 見 る.

23最 も弱 い論 理 か ら始 め て,順 番 に 純 粋 論 理 の 体 系 を 手 に す る こ とが で きる とい う こ と に つ い て の 議 論 は[14]の 中 で,ラ ベ ル 付 き シー クエ ン ト計 算(labelledsequentcalculus)を 用 い て 行 なわ れ て い る.

2.2古 典 論 理 の命 題 と直観 主義 論 理 の命 題

古 典 論 理 と直 観 主 義 論 理 の 命 題 の 普 遍 性 は 非 常 に 高 く,あ る 命 題 が 一 度 成 り立 つ,あ る い は,仮 定 し て 良 い,と い う こ とが わ か っ た ら,そ の 命 題 を 何 度 も使 っ て 推 論 す る こ とが 許 さ れ る.こ こ で は 詳 し く述 べ な い が,線 形 論 理(linearlogic)な ど で 扱 わ れ て い る 命 題 の よ う に,普 遍 性 が 低 く, 証 明 で 一 度 使 用 さ れ た ら,消 費 さ れ 消 え て し ま う よ う な 命 題 も 考 え る こ と が で き る24.で は,古 典 論 理 と 直 観 主 義 論 理 の 命 題 の 違 い は ど こ に あ る の だ ろ う か.こ の 点 に つ い て,以 下 で 見 て い こ う.

2.2.1古 典 論 理 と 直 観 主 義 論 理 の 論 証 概 念

ま ず,大 ま か に 結 論 か ら述 べ て み る こ と に す る.直 観 主 義 論 理 の 中 心 的 関 心 は,論 証 過 程 そ の も の,つ ま り,一 定 の 仮 定 が 与 え ら れ た と き,そ こ か ら い か に し て 何 ら か の 帰 結 が 論 証 さ れ う る か と い う 〈過 程 自体 〉 に あ る と考 え る こ と が で き る.こ れ に 対 し て,古 典 論 理 の 場 合,も ち ろ ん こ こ で も論 証 は 常 に 重 要 で は あ る が,し か し そ の 主 た る 関 心 は,論 証 過 程 以 上 に, そ こ で 何 が 論 証 さ れ る か,つ ま り,〈 論 証 の 結 果 〉 の 側 に あ る.こ の 点 は 次 の 例 を 考 え て み れ ば 分 か り や す い.

「A→(BVC)」 と い う 式 図 式 を 考 え る.実 は,直 観 主 義 論 理 に お い て は, 一 般 に 「A→(B>C)」 型 の 式 が 証 明 さ れ て い る 場 合 に は 必 ず ,「A→B」

か 「A→C」 に 当 た る 式 の 少 な く と も一 方 が,証 明 可 能 と な っ て い る.す な わ ち,「 トILA→(B>C)」 な ら ば,そ の と き 「トILA→B」 か,ま た は

「トILA→C」 だ,と い う こ と で あ る25.一 方,古 典 論 理 の 場 合 に は,こ れ は 必 ず し も 成 り立 た な い.例 え ば,Aにp→qを,Bにrpを,Cにq

を 代 入 し た も の を 考 え る と,「 トCL(p→q)→(rpVq)」 で は あ る が,隔CL (p→q)→rp」 で あ り,か つ 隔CL(p→q)→q」 で あ る.つ ま り,「 トCL

24線 形 論 理 は ジ ラー ル[4]に よ って 導 入 され た 論 理 で,「 か つ」 と 「ま た は 」 の概 念 が さ らに そ れ ぞ れ 二 つ に分 解 され る.線 形 論 理 につ い て は,[21]に 詳 しい.

25こ れ は,証 明 論 的 手 法 を用 い る こ とで,実 際 に メ タ論 理 的 に証 明 で きる こ とで あ る.こ の こ と を,よ り正 確 な形 で言 え ば,直 観 主 義 論 理 で は 「論 理 式AVBが 証 明 可 能 な ら,AかB の いず れ か が 証 明 可 能 で あ る」 が 成 り立 つ(選 言 文 特 性(disjunctionproperty))と い う

こ と に な る.

命題概 念お よび様相概 念の意義再考 ³⁵

(P→q)→(rpvq)」 で あ る が,「 トc、(P→q)→rP」 と 「トcL(P→q)→q」

の 両 方 が 不 成 立 に な る と い う こ と で あ る 。 こ の 違 い は 何 を 意 味 し て い る の だ ろ う か.

い ま 見 た 例 は,次 の よ う に 捉 え 直 す こ とが で き る.つ ま り,ま ず 直 観 主 義 論 理 で は,一 組 の 仮 定(A)に 関 し て,そ こ か ら の 帰 結 の 候 補 と な る よ う な 幾 つ か の 選 択 肢(BとC)が 与 え られ て い る 時 あ く ま で そ の 選 択 肢 の 中 の 特 定 の 一 つ が(直 観 主 義 的 に 許 さ れ た)推 論 規 則 に 従 っ て,導 き 出 さ れ て い な く て は な ら な い,と い う こ と で あ る.こ れ は,も う 少 し 一 般 化 し て 言 う と 次 の よ う に な る.す な わ ち,直 観 主 義 論 理 で は,論 証 と は 何 よ り も 「構1成 的(constructive)な 論 証 」 一 そ の 一 つ 一 つ の 推 論 ス テ ッ プ に お い て,常 に,仮 定(前 提)か ら 帰 結(結 論)が 実 効 的(effective)な 仕 方 で 産 出 さ れ る こ と と な っ て い る よ う な 論 証 一 で な け れ ば な らず,直 観 主 義 論 理 の 体 系 の 基 底 に あ る 考 え(目 的)と は,ま さ に,こ の よ う な 構 成 的 な 論 証 と 認 め る こ と の で き る あ ら ゆ る 可 能 な 論 証 を(し か も そ う し た 論 証 の み を)構 築 可 能 に さ せ る よ う な 論 理 体 系 を 作 る こ と で あ る.

他 方,古 典 論 理 の 場 合 に は,上 の 例 か ら わ か る 通 り,一 組 の 仮 定 に つ い て, そ こ か ら の 帰 結 と な る 幾 つ か の 候 補 が あ る 時 そ の い ず れ か が 間 違 い な く 導 き 出 さ れ る こ と は 要 求 さ れ て い な い.で は,こ う し た 古 典 論 理 の 基 本 に あ る 考 え は ど の よ う な も の だ ろ う か.よ く知 ら れ て い る 通 り,古 典 論 理 で は 文 結 合 子 に つ い て の 真 理 関 数 的 意 味 論 と い う 特 徴 的 な 考 え が 採 用 さ れ て お り,さ ら に そ の 前 提 と し て,い か な る 命 題(特 に,原 子 命 題)も 真 か 偽 の い ず れ か 一 方 に 定 ま る と い う 二 値 原 理 の 考 え 方 が 採 用 さ れ て い る26.

26真 理 関 数 的 な性 格 を 持 つ もの と して結 合 子 の 性 質 を ま とめ た もの が 真 理 表 で あ る.こ こ で は,古 典 論 理 の 「な らば 」(A→B)の 真 理 表 の み 与 え る.

N

^{真 偽}

真 真 偽

偽 真 真

この と き,AとBは 各 々真 に も偽 に もな る 可 能 性 を持 っ て お り,そ の 組 み 合 わせ の仕 方 に よ っ てA→Bの 真 偽 が 計 算 さ れ る.こ の表 か ら もわ か る よ うに 古 典 論 理 の 「な らば 」 は, 前 件Aが 偽 で も,A→Bは 全 体 と して 真 に な って し ま う.こ れ は古 典 論 理 の 「な らば 」 が 直 観 主 義 論 理 の 「な らば 」 とは 異 な り,「 な ら ば」 式 の前 件 と後 件 の 繋 が りに 重 き を置 い て い な い とい う こ と,全 体 と して 真 に な れ ば細 部 は 気 に し な い と考 え て い る と い うこ との 表 れ で あ る と言 え る.

で は,そ れ はなぜ だ ろ うか 。 そ れ は一 言 で言 え ば,古 典論 理 の 目的 が,い わ ゆ る 「トー トロジ ー(恒 真 命 題)」(式Aが トー トロ ジー で あ る とは,A中

に現 れ る どの 原 子 命 題pに つ い て も,pが 真 で あ ろ う と偽 で あ ろ う とA自 身 は 真 に な る,と い う こ とで あ る)の 概 念 を明 確 化 し,さ ら に はそ の 論 証

を行 う こ と,つ ま り,あ らゆ る可 能 な トー トロ ジ ー を(し か もそ れ ら のみ を)論 証 す る こ とが で きる よ うな体 系 を構 築 す る こ とに あ るか らで あ る27.

で は,古 典 論 理 が そ う した 目的 を追 究 す る こ と に は どの よ う な ポ イ ン トが あ るの だ ろ うか.

の ち に ク リ プ キモ デ ル との 関 係 で 補 足 す るが,一 般 に直 観 主 義 論 理 や そ れ よ り弱 い 論 理 で は,二 値 原 理 の 考 え は採 用 され てお らず(実 際,直 観 主 義 論 理 や そ れ 以 下 の 体 系 で は,原 子 命 題 は真 で も偽 で もな い場 合 が あ っ て も よい),こ れ に伴 っ て,文 結 合 子 に つ い て の真 理 関 数 的 な見 方 も取 られ て は い な い,そ の 意 味 で,古 典 論 理 の考 え は,(常 識 的 ・一 般 的 に信 じ ら れ て い る こ と と は異 な って)か な り独 特 で,極 端 な もの で あ る と さ え見 え る よ う な もの で あ る と言 え る.し か し同時 に,古 典 論 理 的 な二 値 的 ・真 理 関 数 的 な捉 え方 が,そ れ 以 外 の 弱 い 論 理 の 結 合 子 の捉 え方 と不 整 合 で あ る わ け で は な く,そ れ は弱 い 論 理 の 結 合 子 の 捉 え方 と整 合 的 な範 囲 内 で の最 大 限 の 強 化 と な って い る,と い う こ と を念 頭 に置 い てお く必 要 が あ る.実 際 例 えば,直 観 主 義 論 理 の ク リ プ キモ デ ル を参 照 す る こ とに よ っ て理 解

され る とお り,一 般 に一 つ の 式 に登 場 す る原 子 式 の真 偽 が す べ て確 定 して い る場 合 に は,そ の 式 全 体 の 真 偽 は,た と え直 観 主 義 的 な方 法 に従 っ て算 出 した と して も,古 典 的 な真 理 関数 を用 い て算 出 した場 合 と完 全 に一 致 す る。 つ ま り,古 典 論 理 は,二 値 原 理 お よ び真 理 関数 的解 釈 を採 用 す る こ と で,よ り弱 い 論 理 にお け る文 結 合 子 の働 きと整 合 性 を保 ち なが ら行 い うる 最 大 限 の 強 化(定 理 の 増 大)を 行 っ た,文 字 通 りの極 限 的体 系 に他 な らな い の で あ り,こ こに古典論理 とい う体系 の固有 のポイ ン トが認 め られる と い う こ とで あ る.

27こ の 点 を踏 まえ れ ば,古 典 論 理 に お い て 「トCL(p→q)→(rpVq)」 で あ るの は問 題 な く,望 ま しい こ とで あ る 。と い うの も,こ の 式 の 前 件p→qが 真 の 場 合 に は,必 ずrpが 真 で あ る か, qが 真 で あ る こ と と な り,(p→q)→(rpVq)は ま さ に トー トロ ジー と な るか らで あ る.

命題概念 お よび様相概念 の意義再考 ³⁷ こ う して,直 観 主 義 論 理 と古 典 論 理 との違 い は,最 も基 本 的 に は,そ れ ぞ れ の体 系 が 何 を 目的 と して い る の か に あ り,特 に,論 証 とい う営 み の ど の よ うな 側 面 に焦 点 を据 え る の か とい う点 に あ る こ とが 分 か る.こ こ で, 以 下 の点 につ い て考 え て み よ う.一 般 に,一 つ の論 理体 系 が 具 現 す る 論 証 的 連 関(「 ト」 に よ っ て 表 さ れ る 関 係)を もっ と も直 接 に反 映 す る文 結 合 子 は,「 な らば 」 で あ る と考 え て よい28.こ れ は 言 い 換 え れ ば,一 般 に 一 つ の論 理 体 系 が 何 を 目的 とす る か(論 証 関係 の どの よ うな 側 面 に 焦 点 を当 て る か)は,ま さに そ の論 理体 系 に お け る 「な らば 」 の 振 る舞 い の う ち に 反 映 さ れ て い る と考 え て よい,と い う こ とで あ る.2.1節 で 見 た よ う に, 直 観 主 義論 理 よ りも弱 いBPLやFと い っ た論 理 体 系 は,文 結 合 子 「な らば」

の性 質 を変 え る(弱 め る)こ とに よっ て 得 られ る もの で あ った.し た が っ て,こ こ まで の 考 察 を次 の よ うに ま とめ る こ とが で き る.す な わ ち,古 典 論 理 か ら直 観 主 義 論 理 を経 てBPL,F等 へ と下 っ て い く純 粋 論 理 の 諸 体 系 の 階層 構造 は,直 接 に は 「な らば 」 の 論 理 的 強 さの 違 い を識 別 指 標 とす る こ とで 特徴 づ け る こ とが で き る.し か し,実 はそ の 根 底 に は,直 観 主 義 論 理 と古 典 論 理 の ケ ー ス につ い て 見 て きた よ う に,そ れ ぞ れ の 体 系 が 論 証 活動 とい う もの の 何 を(ど の よ う な側 面 を)焦 点 化 しよ う と して い るか の 相 違 ・対 比(強 弱 関 係)そ の もの が あ る.し た が っ て,こ の点 を さ らに究 明 して い くこ とで,そ れ ぞ れ の 論 理 体 系 に属 す る命 題 が 持 つ 特 徴 的 な性 格 を,よ り明 らか に して い くこ とが 可 能 で あ る と考 え られ る,と い うこ とで あ る.そ して,こ こ で見 た純 粋 論 理 の 各論 理体 系 の 階 層構 造 の 識 別 指 標 は, 次 章 で 見 る よ う に,様 相 論 理 に話 を移 してみ れ ば,口 の論 理 的強 さ の違 い と して も よい とい う こ とが わか る.そ こ で,次 章 で は こ の点 につ い て さ ら に詳 し く検 討 してい くこ と とす る.

28実 際 ふ つ う 「な ら ば 」 は, あ る と説 明 され る.

メ タ概 念 で あ る 「ト」 を 当 該 言 語 の う ち に 内在 化 した 結 果 で

3純 粋 論 理 と様 相 論 理

本 章 で は,前 章 で 指 摘 した純 粋 論 理 の 各 論 理 体 系 の 問 の階 層 構 造 が,様 相 論 理 の 口 演 算 子 の 論 理 的 強 さ につ い て考 察 す る こ と で,整 理 し説 明す る こ とが 可 能 で あ る こ と につ い てみ てい く.そ こ で まず,様 相 論 理 の簡 単 な 説 明 か ら始 め てい き たい と思 う.

3.1様 相 論 理

こ こで い う様 相 論 理 とは,後 で 詳 し く述 べ る が,古 典 命 題 論 理 に対 し て,口 と◇(◇ は 「□ 「 と定 義 可 能)を 加 え た体 系,つ ま り,古 典 論 理 を拡 張 した体 系 で あ る.先 ほ ど見 た よ う に,古 典 論 理 に登 場 す る文 結 合 子 は真 理 関 数 と して解 釈 され てい る ため,様 相 論 理 の体 系 の場 合 に もそ こ に 登 場 す る演 算 子 は,こ う した真 理 関数 的 な見 方 をベ ー ス と し,あ くま で そ の 拡 張 と して理 解 され るべ きで あ る と思 わ れ るか も しれ な いが,文 結 合 子 と は異 な る様 相 演 算 子 と して の口 や ◇ につ い て は,素 朴 な真 理 関 数 的 な解 釈 を与 え る こ と はで きない.し か し,の ち に説 明す る ク リプ キ モ デ ル の手 法 か ら明 らか な よ う に,口 や ◇ につ い て も真 理 関数 的解 釈 の 自然 な拡 張 と 言 え る よ う な,真 理 条 件 的 解 釈 を行 う こ とが で きる.と こ ろが そ れ と同 時 に,様 相 論 理 とい う もの を古 典 命 題 論 理 の 単純 な 拡 張 で あ る と捉 え るの は, 様 相 論 理 が 持 つ 表 現 力 につ い ての 重 大 な見 落 と しに繋 が っ て しま う.そ れ は,古 典 論 理 よ り弱 い体 系 で あ る,直 観 主 義 論 理 の体 系 や,BPL,F等 に お い て 扱 わ れ てい る命 題 に対 して,一 定 の 適 切 な 翻 訳 手 続 き(の ち に見 る, S4翻 訳)に 従 っ て,様 相 論 理 に属 す る 一 定 の命 題 を対 応 させ る と,こ の 様 相 論 理 の 命 題 はそ の 推 論 上 で の 振 る舞 い に 関 して,翻 訳 さ れ る前 の命 題 が も との体 系 で 果 た して い た 役 割 と等 価 で あ る こ とが 示 せ るか らで あ る。

で は なぜ この よ う な こ とが 起 こ るの だ ろ うか.そ れ は簡 単 に は,も との弱 い 体 系 に お け る 原 子 命 題pを 様 相 論 理 の 原 子 命 題pへ と翻 訳 す る の で は な く,口p(あ る い は,p〈 口p)へ と翻 訳 して い る か ら で あ る.そ して この と き,も う一 つ 重 要 な こ と は,も との体 系 で の 「A→B」 を 「口(Aロ

⊃B口)」 へ と翻 訳 して い る こ とで あ る(後 ほ ど説 明 す るが,こ こで の 「⊃」

命 題概念 お よび様相概 念の意義再考

³⁹

「(・)口」 はS4翻 訳 を表 す),以 上 の こ とか ら,直 観 主 義論 理 以 下 の 弱 い 論 理 体 系 の 原 子 命 題 は,様 相 論 理 の 口 演 算 子 付 きの 原 子 命 題 に よ って シ ミュ レー トされ る とい う こ と,こ の と きの ポ イ ン トが,□ の 性 質(特 に,□ が 論 証 上 で どの よ うな 役 割 を果 た す の か とい う点)に あ る とい う こ とが 予 測 で きる とい う こ とが わ か る.純 粋 論 理 の 原 子 命 題 が 様 相 論 理 の 口pへ と 翻 訳 され る とい う こ とにつ い て は,ま た後 ほ ど詳 し く見 る.

で は,も う少 し,口 が 論 証 上 で どの よ うな役 割 を果 たす の か とい う点 に つ い て 考 察 を して み よ う.実 は,現 在 で は,口 や ◇ の 理 解 の 仕 方 と して は,多 様 な ものが 提 案 され て い る29.し か し,こ こ で は最 も弱 い様 相 論 理 の体 系(以 下 で見 るK)か ら,最 も強 い部 類 の体 系(S4やS5)ま で を通 じて ほ ぼ一 貫 して お り,ま た基 本 的 で あ る と考 え られ る,「 〜 は確 立 済 み」

とい う読 み 方 で説 明 して み よ う.そ こで,口 と◇ を 「口p:pは(論 証 や そ の 他 の検 証 手 段 を 通 じて)十 分 に確 立 済 み で あ る/◇p:rpが 確 立 さ れ て い る わ け で は な い.pの 余 地 が あ る」 と読 む こ とに し,議 論 を進 め て い くこ と にす る.こ の 読 み 方 を採 用 した の に は幾 つ か の理 由が あ る.ま ず 第 一 に,今 も述 べ た よ う に,弱 い体 系 か ら強 い体 系 ま で,お お よそ一 貫 し て この 読 み 方 を維 持 で きる とい う こ と,第 二 に,こ こ で は詳 し く述 べ な い が,口 や ◇ の読 み方 の一 例 で あ る認 識 様 相 的 な読 み や,義 務 様 相 的 な 読 み も若 干 の条 件 を加 え れ ば,こ こで の読 み 方 か ら派生 させ る こ とが 可 能 で あ る と予 想 さ れ る こ と,そ して 第 三 に,3.2節 で検 討 す る様 相 同 伴(modal companion)(簡 単 に は,強 弱 様 ・々な純 粋 論 理 の論 理 体 系 に対 して,そ の 各 々

に対 応 す る 適切 な様 相 論 理 が 存 在 し,前 者 か ら後 者 へ の 埋 め 込 み が 可 能 で あ る とい う こ と)の 意 義 を理 解 す るた め に,こ の 読 み 方 が 最 も最 適 で あ る とい う こ と,で あ る,で は以 下 で,第 一 の 理 由で 言 及 した点 につ い て もう 少 し詳 し く見 て い こ う.

29こ の と き,も っ と も有 名 な もの は,ア リス トテ レ スか ら ラ イ プ ニ ッ ツへ と受 け継 が れ て き た 真 理 様 相 的 な 読 み 方,す な わ ち,「 口p:pは 必 然 的/◇p:pは 可 能 的 」 で あ る.し か し他 に も,(厳 密 に は,3.1.1で 説 明 す る公 理 の う ち,ど れ を採 用 す る の か に 応 じて 様 々 な 違 い が 生 じて く るが)例 えば,「 口p:pと い う こ とが 知 られ て い る/◇p:pで な い と は 知 られ て い な い(pか も しれ ない)」 とい う よ うな 認 識 様 相 的 な読 み や,「 口p:pを 行 う義 務 が あ る/◇p:pで あ る こ と は許 され る」 と い う,義 務 様 相 的 な読 み も十 分 正 当 な もの と 認 め られ て い る,

3.1.1様 相 論 理 の 公 理

様 相 論 理 の公 理 系 の説 明 に入 る前 に,様 相 論 理 の 語 彙 と論 理 式 に つ い て 確 認 して お く.定 義2.1に,論 理 記 号 と して□ と◇ を加 え た もの を様相 論 理 の 語 彙 とす る.そ れ に伴 い,(口A)と(◇A)を 定 義2.2に 加 え た もの が 様 相 論 理 の論 理 式 とな る.様 相 論 理 は古 典 論 理 を拡 張 した体 系 で あ る の で,様 相 論 理 の 「な らば 」 は古 典 論 理 の 「な らば 」 と 同一 視 して 良 い が, こ こ で は,議 論 の都 合 上,様 相 論 理 の 「な らば 」 の 記 号 と して は 「⊃ 」 を 用 い る こ と とす る.様 相 論 理 の論 理体 系 は,古 典 論 理 の 論 理体 系 に,口 に つ い て の推 論 規 則 と公 理 を加 え る こ とで 手 に す る こ とが で きる.口 につ い て の推 論 規 則 は,ふ つ う 「必然 化 規 則 」 と呼 ば れ る もの で,次 の よ う に定 式 化 され る.

トA ト ロA

一 般 に,□ 演 算 子 を体 系 内 に 導 入 す る 場 合,も っ と も基 本 的 には,次 の よ うな理 論 的 意 図 が あ る と考 え て よい.す な わ ち,口 演 算 子 は,当 該 の 論 理 体 系 に対 す る メ タ言 語(こ の 体 系 の諸 性 質 につ い て語 る た め の高 次 の言 語) に属 す る記 号 と して の 「ト」 定 理 性 とい う メ タ概 念 を表 す 記 号一 の 働 きを,体 系 自身 の 中 で(可 能 な 範 囲 で)シ ミュ レー トす る(つ ま り,体 系 に 一 定 の仕 方 で 内 在 化 させ る)た め の もの で あ る,と い う こ と で あ る.

この 角 度 か ら考 え る な らば,上 記 の 必 然 化 規 則 の 趣 旨 は,Aが 証 明 され て い る な らば,口Aも ま た 証 明 さ れ る(Aだ け で な く,口A自 身 を も 「証 明 され た 命 題 」と して考 え て よ い)と い う こ と に な る.と い うの も,そ れ は, 口Aの(目 下 意 図 さ れ て い る)意 味 合 いが,「Aは 証 明 さ れ て い る 」 とい う こ とに 他 な らな い か らで あ る.

この こ とは,必 然 化 規 則 につ い て だ け で は ない 。 口 につ い て の 様 々 な公 理 も また,あ る 程 度 も っ と も と言 え る範 囲 で,上 の よ う な趣 旨 に従 っ て 理 解 す る こ とが で き る.で は 以 下 で,こ の 点 に つ い て見 て い こ う.た だ し, 目下 の 説 明 で は,「口 」が シ ミュ レー トし よ う と して い るの は,基 本 的 に 「ト」

(あ る体 系 内 で の証 明可 能性,定 理 性 を表 す 記 号)そ の もの で あ る と した が, 実 際 には,口 に よ って 意 図 され て い る概 念 を,単 純 に,個 々の 体 系 に特 殊

命題概念 お よび様相概 念の意義再考 ⁴¹

化 され た 「ト」 の 働 きの シ ミュ レー シ ョ ンだ け に あ るか の よ うに理 解 す る の は適 切 で な い とい う こ と に注 意 して お か な けれ ば な ら ない.と い うの も, 一 般 に論 理体 系 が 変 わ れ ば,そ れ に応 じてその体系 に対応す る定理性 の概 念 も変 わ り,つ ま り 「←」 の 意 味 も変 わ る と考 え て よい が,し か し本 来 口 が 意 図 して い るの は,そ う した相 違 を超 え た,よ り一 般 的 ・根 本 的 な意 味 合 い で の 定 理 性 を捉 え る こ と で あ るか らで あ る.こ の よ うな理 由 に よ り本 論 文 で は,ひ と まず 「口A」 の読 み と して,「命 題Aは 十 分 に確 立 済 み とな っ てい る(wellestablished)」 とい う言 い 回 しを用 い て い る の で あ る.そ れ で は,具 体 的 な検 討 に入 っ て い こ う.

口 の働 きを定 め る 公理 は,一 つ で は な く複 数 あ る が,こ の こ と は様 相 論 理 に とっ て重 要 な特 徴 の 一 つ で あ る.た だ し,そ の 複 数 あ る公 理 の 中 に は 基 本 的 な もの とそ うで な い もの が 存 在 す る.一 番 基 本 と な るの は,K公 理:

口(A⊃B)⊃(口A⊃ 口B)で あ り,こ の公 理 に加 え て他 の どの 公 理 を採 用 す る か に よ って 口 の 意 味 合 い は変 わ って くる.K公 理 の 直 観 的 な 意 味 は,

⊃ 上 で の 口 の 分 配 で あ り,AがBを 含 意 す る こ と(A⊃B)が 確 立 済 み で,そ の 前 件Aも 確 立 済 み な ら,そ の 後 件Bも 確 立 済 み とい う こ とで あ る.

ま た,こ のK公 理 は,口 式 に対 す るMPの 適 用 を 許 す もの と も言 わ れ る.

K公 理 の 次 に 基 本 的 で よ く用 い られ る の はT公 理:□A⊃Aで あ る.丁 公 理 の意 味 す る と ころ は,確 立 済 み の 命題 は 成 立 す る,と い った こ とで あ る と理 解 して よい と言 え る.

さ らに 以 上 に加 え て,ふ つ う 「4公理 」 と呼 ば れ る もの,口A⊃ 口 口A や,ま た 「5公 理 」 と呼 ば れ る もの,◇A⊃ 口 ◇Aな どが 必 要 に応 じて 加 え られ て い く.4公 理 の 趣 旨 は,Aが 確 立 済 み で あ れ ば,そ の こ と自体 が確 立 済 み で あ る,と い っ た こ とで あ るが,の ち に説 明す る ク リプ キ モ デ ルの 考 え を参 照 して捉 え た方 が わか りや す い と思 わ れ る.ク リプ キ モ デ ル に よ れ ば,4公 理 が 意 味 して い る の は,可 能 世 界 大 まか に言 っ て,私 た ちが 不 断 に進 展 させ て い く命 題 の確 立 の営 み の プ ロ セ ス に お け る,個 々 の段 階 フ ェー ズ とい った もの と考 え て よい の 間 の到 達 可 能 性 関係 が, い わ ゆ る 「推 移 性 」 を 持 つ こ とで あ り,言 い 換 えれ ば,各 可 能 世 界(命 題 を確 立 す る営 み の 中 の 各 フ ェー ズ)は,そ こか ら始 ま る到 達 可 能 性 関 係 の 系 列 に登 場 す る す べ て の 可 能 世 界(よ り後 の フ ェー ズ)に 直 接 到 達 し うる

とい うこ と,つ ま り,各 可 能世 界 で確 立 され た 諸 命 題 は,そ の 世 界 を引 き 継 い で進 展 して い くプ ロ セ ス すべ て を 通 じて,一 貫 して確 立 済 み の もの と

して保 存 さ れ る,と い うこ とで あ る.

他 方,5公 理 の趣 旨 は,一 般 に命 題Aの 否 定 が確 立 され て い な い(つ ま り◇Aで あ る)な ら ば,こ の と き,そ の こ と 自体 は確 立 済 み だ と して よ い,と い うこ とで あ り,実 は か な り強 い性 格 の もの(あ る 意 味 で,命 題 の 確 立 の営 み を無 時 間化 し,こ の営 み か らプ ロ セ ス とい っ た 進 展 の 性 格 を取 り去 る もの)と 見 る こ とが で きる.と い うの も,5公 理 に よれ ば,も しも 事 実 と して◇Aで あ る な らば,た と え◇A自 身 は未 だ 明示 的 に確 立(証 明) さ れ て い な く と も,す で に確 立 済 み で あ る と考 え て よい,と され るか らで あ る.後 に触 れ る 通 り,5公 理(ま で の すべ て の 公 理)を 受 け入 れ た 様 相 論 理 の 体 系(い わ ゆ るS5)は,ち ょ う ど古 典 論 理 に対 応 す る もの(古 典 論 理 を埋 め込 む こ とが で きる よ うな体 系)で あ る こ とが 知 られ て お り,本 論 文 で は これ 以 上 議 論 す る こ とは しな い が,い ま見 た よ う な5公 理 の 性 格 は,ま さ に古 典 論 理 的 な 「←」 の 基 本 性 格(す べ て の トー トロ ジ ー を論 証 可 能 とさせ る こ と)を 反 映 して い る と考 え る こ とが で きる.

さ て,以 上 の各 公 理 は互 い に独 立 で あ る が,例 え ば,T公 理 と5公 理 か らは,4公 理 が 帰 結 す る とい っ た具 合 に,一 つ(あ るい は複 数)の 公 理 が 別 の公 理 を含 意 す る とい っ た 関係 が成 り立 つ.こ の と き,口 の働 きは どの 公 理 を認 め る か に よっ て変 化 して くる の で,働 きの 異 な る 口 の種 類 の 数 だ け,様 々 な様 相 論 理 の体 系 を考 え る こ とが で きる.し た が っ て,最 も簡 単 で基 本 的 な体 系 は,古 典 論 理 に新 しい規 則 と して先 ほ ど見 た 必 然 化 規 則 を 加 え,新 しい 公 理 と して はK公 理 だ け を加 え た体 系 で あ る と考 え られ る.

こ の体 系 は,様 相 論 理Kと 呼 ば れ る最 も基 本 的 な様 相 論 理 の 体 系 で,こ の体 系 に どの公 理 を加 え る か に よ っ て,様 々 な様 相 論 理 の体 系 を考 え る こ と が で き る.例 え ば,様 相 論 理KにT公 理 を 加 え たKTや,4公 理 を 加 え たK4な どが 考 え ら れ る.ま た,4公 理 とT公 理 を加 え たKT4(普 通, S4と 呼 ば れ る),5公 理 とT公 理 を加 え たKT5(普 通,S5と 呼 ば れ る) な ど もよ く知 られ た様 相 論 理 の体 系 で あ るが,先 ほ ど も少 し触 れ た よ うに, の ち に こ れ らは本 論 文 の議 論 に お い て重 要 な役 割 を果 た す こ とに な る30.

こ こ まで,口 や◇ の 意 味 を 明 らか にす る た め に口Aや ◇Aと い う論 理