一般の線相互作用に従う 2 次元 Schr¨ odinger 作用素の固有値の漸近分布

(1)

一般の線相互作用に従う 2 ^次元 Schr¨ odinger ^作用素の固有値の漸近分布

小形知也

2020

年

1

月

29

日

1 序

まず,本研究の背景を述べる. 楕円型作用素の固有値の漸近分布については,古くから多くの研究者によって多岐にわたり研究が成されてきた

.

もっとも古典的なものは次の

Weyl

の定理である

Theorem 1 (Weyl

の定理

) ([16, Theorem XIII. 78]) Ω

を

R

^mの有界領域とし

, λ > 0

に対し

, Ω

上の負の

Dirichlet-Laplacian

の

λ

以下の固有値の総数を

N

D

(Ω, λ)

で表すと

lim

λ→∞

N

D

(Ω, λ)

λ

^m/2

= τ

m

(2π)

^m

Vol(Ω)

が成り立つ. ここで,

τ

mは

R

^mの単位球の体積を表す. 負の

Neumann Laplacian

についても同じ漸近公式が成り立つ.

この

Weyl

の結果には次の

Schr¨ odinger

方程式版がある.

Theorem 2 ([16, Theorem XIII 79]) V

は

R

^m上の非負値連続関数であり, その台はコンパクトであるとする.

R

^m上の

Schr¨ odinger

作用素

− ∆ − λV

の負の固有値の総数を

N(λ)

で表すと

lim

λ→∞

N (λ)

λ

^m/2

= τ

m

(2π)

^m

∫

R^m

V (x)

^m/2

dx (1.1)

が成り立つ

.

これらの結果は

Dirichlet-Neumann bracketing

と

Min-Max

原理を用いて証明するのが最も簡単である

.

これについては

[16, Chapter XIII, Section 15]

もしくは

[5, Capter 6, Section 4]

を参照されたい. この方法以外の,楕円型方程式の固有値の漸近分布の解析方法については

[17,

楕円型偏微分作用素]が詳しい. 上の二つの結果は固有値の個数関数の漸近展開の主要項を与えるものであるが, V. Ivrii[10]によって大幅な精密化が成された. 彼は波動方程式の方法を用いて個数関数の漸近展開の第

2

項まで導出している.

次にデルタ関数型のポテンシャルに従う

Schr¨ odinger

作用素の研究の歴史について簡単に述べる

.

この種の作用素についての考え方の萌芽は

E. Fermi[7]

まで遡るが,幅広く認知されているものの中で最も古典的なものは次の

Kronig-Penney

モデル

[13]

である：

− d

²

dx

²

+ β

∑

∞ j=−∞

δ(x − 2πj) in L

²

( R ). (1.2)

(2)

彼らによるこの作用素の導出法を説明する. 0

< a < 2π, b > 0

に対し,

V : R → R

を次の式を満たす

2π-周期関

数とする：

V (x) =

 



b, 0 ≤ x < a 0, a ≤ x < 2π

彼らは

,

作用素

−

_dx^d²2

+ βV (x)

の

discriminant

で

, ab = 1

という条件の下で極限

a → +0

をとったものを考察した. これにより

discriminant

は飛躍的に簡略化される. Kronig-Penneyモデルは固体物理学の標準的な教科書

[12]

で扱われている

.

なお

(1)

の正式な定義は境界条件を用いて定義される

[1, Section III. 2.3].

デルタ関数型のポテンシャルに従う

Schr¨ odinger

作用素の理論は,その後

von Neumann

や

M. G. Krein

による対称作用素の自己共役拡張の理論と結びつき,多岐に渡り発展させられた. それらの結果については

[1]

で詳しく述べられている.この種の作用素のうち,よく研究されているものの

1

つとして,線相互作用に従う

2

次元

Schr¨ odinger

作用素が挙げられる. P. Exnerと

K. Yoshitomi[6]

は,次のことを示した：Γを有限な平面曲線とするとき, Schr¨

odinger

作用素

− ∆ − βδ( · − Γ) in L

²

( R

²

)

の負の固有値の総数を

N(β)

とすると,それは漸近公式

lim

β→+∞

N (β ) β = | Γ |

2π (1.3)

( | Γ |

は

Γ

の長さ)に従う. 平面曲線上の相互作用については多くの結果がある. それについては

[1]

の

Appendix

を参照されたい. これらの結果では相互作用の強さが曲線上で一定である. 「これを可変にした場合にどうなるのか？」という興味が本修士論文の研究の動機である

.

本論文の主結果は

Theorem 3

である

.

この定理は

(1.3)

の拡張になっており,かつ

(1.1)

の類似になっていることに注意されたい. 証明の手法は

Dirichlet-Neumann bracketing

と

Min-Max

原理, および

1

次元区間上の

Schr¨ odinger

作用素

− d

²

/dx

²

− βδ(0)

の固有値の評価の組み合わせで

ある. この形の

1

次元

Schr¨ odinger

作用素は

(1.1)

の証明では用いられていない. また,相互作用の強さを可変に

した為に

[6]

の証明とは異なる領域の分割が要求される.

本論文の構成について述べる

.

上で述べたように本論文の主結果は

Theorem 3

であるが

, 2.1

節においてこれを

Γ

が線分の場合に示し, 2.2節において

Γ

が一般の曲線の場合に示す. 論理的には

2.2

節の証明のみで充分であるが

, Theorem 3

の結果の右辺に現れる量

(2π)

⁻¹

∫

L

0

V (Γ(s)) ds

がどのようにして出てくるのかを見易くする為

に

2.1

節を設けている.主結果の証明に用いられる基本的な定理や概念を付録にまとめている. それらの定理のうち主要なものについては証明を載せている. 等式

(2.1)

等については,その証明を付録

A.5

で与える.

2 主定理の証明

Γ : [0, L] → R

²を自己交叉のない

C

⁴級曲線とする. Γは弧長でパラメータ付けされているとする

: | Γ

^′

(s) | = 1, ∀ s ∈ [0, L]. Γ

の跡を

SpΓ

で表し,

V : SpΓ → R

を非負値リーマン可積分関数とする.

β > 0

に対し, 2次形式

q

βを

q

_β

[u] = ∥∇ u ∥

²L²(R²)

− β

∫

L 0

V (Γ(s)) | u(Γ(s)) |

²

ds, Q(q

_β

) = H

¹

( R

²

)

で定め,この

2

次形式に対応する自己共役作用素を

H

βで表す.

σ

ess

(H

β

) = [0, ∞ )

が成り立つ.

H

βの多重度を込めた負の固有値の個数を

N (β)

とする

.

(3)

Theorem 3

上記の仮定の下で

lim

β→∞

N (β ) β = 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

が成り立つ.

2.1

線分の場合の証明

Step 1 :

まず, Γが線分の場合を示す. はじめに

V

が区分的に定数のときを考える.

n ∈ N

に対し,

h

₁

, . . . , h

_nを正定数とし, 0 =

s

0

< s

1

< . . . < s

n

= L

を

I = [0, L]

の分割とする. Γ(s) = (s,

0)

とし,各

j = 1, . . . , n

に対し,

V (Γ(s)) = h

j

, s ∈ (s

j−1

, s

j

)

とする

.

また

,

領域

Ω

0

, Λ

1

, . . . , Λ

n

, Ω

1を

Ω

0

= ( −∞ , 0) × R , Λ

j

= (s

j−1

, s

j

) × R , Ω

1

= (L, ∞ ) × R

で定め

, L

²

(Ω

0

), L

²

(Λ

j

), L

²

(Ω

1

)

上の二次形式

q

₀^±

, q

_β,j^±

, q

^±₁ を

l = 0, 1

として

,

q

_l^±

[u] = ∥∇ u ∥

²L²(Ωl)

, Q(q

_l⁺

) = H

₀¹

(Ω

l

), Q(q

⁻_l

) = H

¹

(Ω

l

)

と

q

^±_β,j

[u] = ∥∇ u ∥

²L²(Λ_j)

− βh

_j

∫

sj

s_j−1

| u(s, 0) |

²

ds, Q(q

_β,j⁺

) = H

₀¹

(Λ

_j

), Q(q

⁻_β,j

) = H

¹

(Λ

_j

)

で定義すると,

q

₀^±

, q

_β,j^±

, q

^±₁ は下に有界かつ閉である. また,上の各

2

次形式に対応する自己共役作用素をそれぞれ

H

₀^±

, H

_β,j^±

, H

₁^±と表すとする. このとき, Dirichlet-Neumann bracketing [16, Chapter XIII.15, Proposition 4]

より

,

H

₀⁻

⊕ H

_β,1⁻

⊕ · · · ⊕ H

_β,n⁻

⊕ H

₁⁻

≤ H

β

≤ H

₀⁺

⊕ H

_β,1⁺

⊕ · · · ⊕ H

_β,n⁺

⊕ H

₁⁺ が成り立つ. いま,

H

_β,j⁺ の負の固有値を求めたい. ここで,

L

²

((s

_j₋₁

, s

_j

))

上の作用素

T

_j⁺を

T

_j⁺

= − d

²

ds

²

, D(T

_j⁺

) = { u ∈ H

²

((s

j−1

, s

j

)) | u(s

j−1

) = u(s

j

) = 0 }

とおき,

L

²

( R )

上の

2

次形式

a

j

[u] = ∥∇ u ∥

²L²(R)

− βh

j

| u(0) |

²

, Q(a

j

) = H

¹

( R )

に対応する自己共役作用素を

A

⁺_j とすると

H

_β,j⁺

= T

_j⁺

⊗ I + I ⊗ A

⁺_j

(2.1)

が成り立つ

.

このことと

, σ

ess

(A

⁺_j

) = [0, ∞ ), σ

d

(A

⁺_j

) = {− β

²

h

²_j

/4 } , σ

d

(T

_j⁺

) = { (π/(s

j

− s

j−1

))

²

k

²

| k ∈ N}

より,

σ

_d

(H

_β,j⁺

) = { τ

_j,k

| k ∈ N , τ

_j,k

< π

²

/(s

_j

− s

_j₋₁

)

²

}

となる. ただし,

τ

j,k

= − β

²

h

²_j

4 + π

²

(s

j

− s

j−1

)

²

k

²

(4)

である. ゆえに自己共役作用素

A

の単位の分解を

P

_Aとするとき,

N(A) = dim RanP

_A

(( −∞ , 0))

とすれば, #B を集合

B

の元の個数を表すこととすると

,

N(H

β

) ≥

∑

n j=1

# { k | τ

j,k

< 0 } ≥

∑

n j=1

( β

2π h

j

(s

j

− s

j−1

) − 1 )

= β 2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds − n

となる

.

したがって

,

lim inf

β→∞

N (H

β

)

β ≥ 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

が成り立つ. よって,もう片方側の評価も同様に用いれば,

lim sup

β→∞

N(H

β

)

β ≤ 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

となる. これらをあわせて,

lim

β→∞

N (β ) β = 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

を得る.

Step2 :

次に

V

が一般の場合を考える.

ε > 0

を任意にとる.

n ∈ N

に対し,

V

+

(s) =

∑

n j=1

( max

s∈[s_j−1,s_j)

V (Γ(s)))χ

_[s_j−1_,s_j₎

(s) V

₋

(s) =

∑

n j=1

( min

s∈[s_j−1,sj)

V (Γ(s)))χ

_[s_j−1_,s_j₎

(s)

と定義する

.

ただし

, χ

_[s_j−1_,s_j₎は

[s

j−1

, s

j

)

の特性関数であり

, s

j

= jL/n (j = 1, . . . , n)

である

. V

₋

≤ V ≤ V

+

は定義よりわかる.

V

のリーマン可積分性より,

n

を十分大とすれば,

∫

L 0

V (Γ(s)) ds −

∫

L 0

V

_±

(s) ds < ε

とできる. そのような

n

を一つ固定しておく. よって,

q

_β^±

[u] = ∥∇ u ∥

²L²(R²)

− β

∫

Γ

V

_∓

(s) | u(Γ(s)) |

²

ds, Q(q

_β^±

) = H

¹

( R

²

)

と定義すれば

, q

_β⁻

[u] ≤ q

β

[u] ≤ q

⁺_β

[u]

が成り立つ

.

ゆえに

, Step1

より

lim inf

β→∞

N (H

β

)

β ≥ 1

2π

∫

L 0

V

₊

(s) ds ≥ 1 2π

∫

L 0

V (s) ds − ε

lim sup

β→∞

N (H

β

)

β ≤ 1

2π

∫

L 0

V

₋

(s) ds ≤ 1 2π

∫

L 0

V (s) ds + ε

となるので,

ε → +0

とすれば,

lim

β→∞

N (β ) β = 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

となる

.

(5)

2.2

一般の曲線における証明

Lemma 1 [6, Lemma 2.1] Γ(s) = (Γ

₁

(s), Γ

₂

(s))

に対し,写像

Φ

_a

: [0, L] × [ − a, a] → R

²を

Φ

a

(s, u) = (Γ

1

(s) − uΓ

^′₂

(s), Γ

2

(s) + uΓ

^′₁

(s))

と定めるとき,ある正定数

a

1が存在し,

a ∈ (0, a

1

)

となる

a

に対して

Φ

aは単射である.

Proof. γ(s)

を曲線

Γ(s)

の曲率とする

: γ(s) = Γ

^′₁

(s)Γ

^′′₂

(s) − Γ

^′′₁

(s)Γ

^′₂

(s). J Φ

aを

Φ

aのヤコビ行列とする. このとき,

det J ϕ

a

= det [

Γ

^′₁

− uΓ

^′′₂

− Γ

^′₂

Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

Γ

^′₁

]

= (Γ

^′₁

)

²

− uΓ

^′₁

Γ

^′′₂

+ (Γ

^′₂

)

²

+ uΓ

^′₂

Γ

^′′₁

= 1 + uγ(s)

である. したがって, (s, u)

∈ [0, L] × ((2γ

+

)

⁻¹

, (2γ

+

)

⁻¹

), γ

+

= max

_s_∈_[0,L]

| γ(s) |

とするとき, det

J Φ

a

≥ 1/2

となる

.

また

, Φ

aは

C

³級であるから

,

ある定数

M

が存在し

, 1 ≤ | α | ≤ 2

なる任意の多重指数

α ∈ Z

²+に対し

,

| ∂

_y^α

Φ

^j_a

(y) | ≤ M, Φ

a

= (Φ

¹_a

, Φ

²_a

)

となる. よって, [18, Lemma 3.6]により,ある定数

a

₀

∈ (0, (2γ

₊

)

⁻¹

)

が存在し, Φ_aは任意の

k ∈ [a

₀

, L − a

₀

]

に対し

, [k − a

0

, k + a

0

] × [ − a

0

, a

0

]

上単射となる

.

ここで

,

τ = min

s,t∈[0,L]

|s−t|≥a₀

| Γ(s) − Γ(t) |

とおくと

, Γ

は自己交叉がないので

τ > 0

である

.

ゆえに

, a

1

= min { a

0

, τ /4 }

とおけば

, a ∈ (0, a

1

)

とするとき

, (s

1

, u

1

), (s

2

, u

2

) ∈ [0, L] × ( − a, a)

が

Φ

a

(s

1

, u

1

) = Φ

a

(s

2

, u

2

)

をみたすならば常に,

| Γ

₁

(s

₁

) − Γ

₁

(s

₂

) | = | u

₁

Γ

^′₂

(s

₁

) − u

₂

Γ

^′₂

(s

₂

) | ≤ 2a

₁ である

.

同様にして

,

| Γ

2

(s

1

) − Γ

2

(s

2

) | ≤ 2a

1

となる.

| Γ(s

₁

) − Γ(s

₂

) | ≤ 2 √

2a

₁

< 4a

₁

≤ τ

である. よって,

τ

の定義より,

| s

₁

− s

₀

| < a

₀となる. ゆえに上で述べた単射性より,

s

1

= s

2となる. ゆえに, (s₁

, u

1

) = (s

2

, u

2

)

となる.

a

1を上の

Lemma

の

a

1とし,

a ∈ (0, a

1

)

を任意にとる. また, Σ_a

= Φ

a

([0, L] × ( − a, a)), D

0

= R

²

\ Σ

aとおく. このとき, 2次形式

q

^±_a,βを

q

_a,β⁺

[f ] = ∥∇ f ∥

²L²(Σ_a)

− β

∫

L 0

V (Γ(s)) | f (Γ(s)) |

²

ds, f ∈ H

₀¹

(Σ

a

)

q

_a,β⁻

[f ] = ∥∇ f ∥

²L²(Σa)

− β

∫

L 0

V (Γ(s)) | f (Γ(s)) |

²

ds, f ∈ H

¹

(Σ

a

)

で定義する. ここで,任意の

ε > 0

に対して, ある正定数

C

εが存在して,任意の

u ∈ H

¹

(Σ

a

)

に対し,

∫

L 0

| u(Γ(s)) |

²

ds ≤ ε ∥ u ∥

²H¹(Σ_a)

+ C

ε

∥ u ∥

²L²(Σ_a)

(6)

が成り立つ

([11,

定理

3.9]).

従って

, q

_a,β^± は下に有界かつ閉である

.

この

2

次形式

q

_a,β^± に対応する自己共役作用素を

L

^±_a,βとおく. このとき, Dirichlet-Neumann bracketingより, 2次形式の意味で

( − ∆

^N_D₀

) ⊕ L

⁻_a,β

≤ H

β

≤ ( − ∆

^D_D₀

) ⊕ L

⁺_a,β となる. ただし,

− ∆

^N_D

0

, − ∆

^D_D

0 はそれぞれ

D

₀上の

Neumman Laplacian

と

Dirichlet Laplacian

を表す.

− ∆

^N_D₀

, − ∆

^D_D₀

≥ 0

なので,

L

^±_a,βの負の固有値について調べればよい. ここで,

L

²

((0, L) × ( − a, a))

上の

2

次形式

b

^±_a,βを

∂

s

=

_∂s^∂

, ∂

u

=

∂

∂u として,

b

⁺_a,β

[f ] =

∫

L 0

∫

a

−a

{ (1 + uγ(s))

⁻²

| ∂

s

f |

²

+ | ∂

u

f |

²

+ W (s, u) | f |

²

} duds − β

∫

L 0

V (Γ(s)) | f (s, 0) |

²

ds

b

⁻_a,β,j

[f ] =

∫

L 0

∫

a

−a

{ (1 + uγ(s))

⁻²

| ∂

s

f |

²

+ | ∂

u

f |

²

+ W (s, u) | f |

²

} duds − β

∫

L 0

V (Γ(s)) | f (s, 0) |

²

ds

− 1 2

∫

L 0

{ γ(s)

1 + aγ(s) | f (s, a) |

²

− γ(s)

1 − aγ(s) | f(s, − a) |

²

}

ds

− 1 2

∫

a

−a

[ (1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′

(s) | f (s, u) |

²

]

s=L s=0

du

で定義する. ただし,

Q(b

⁺_a,β

) = H

₀¹

((0, L) × ( − a, a)), Q(b

⁻_a,β

) = H

¹

((0, L) × ( − a, a))

であり,

W (s, u) = 1

2 (1 + uγ(s))

⁻³

uγ

^′′

(s) − 5

4 (1 + uγ(s))

⁻⁴

u

²

γ

^′

(s)

²

− 1

4 (1 + uγ(s))

⁻²

γ(s)

²

である. 2次形式

b

^±_a,βが下に有界かつ閉であることが,上と同様にしてわかる. これに対応する自己共役作用素を

B

^±_a,βとおく

.

Lemma 2

作用素

U

_aを

f ∈ L

²

(Σ

_a

)

に対し,

(U

a

f )(s, u) = (1 + uγ (s))

¹²

f (Φ

a

(s, u))

と定義すると

U

aは

L

²

(Σ

a

)

から

L

²

((0, L) × ( − a, a))

上へのユニタリー作用素であって

, U

_a^∗

B

^±_a,β

U

a

= L

^±_a,βが成り立つ.

Proof. Lemma 1

より

U

aのユニタリー性は直ちに従う

.

以下

f

s

=

^∂f_∂s

(Φ

a

(s, u)), f

u

=

^∂f_∂u

(Φ

a

(s, u))

と表すとする.

⟨∇ f , ∇ g ⟩ −

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻¹

f

_s

g

_s

duds −

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))f

_u

g

_u

duds = 0 (2.2)

をまず示す.

JΦ

a

= [

Γ

^′₁

− uΓ

^′′₂

− Γ

^′₂

Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

Γ

^′₁

]

より,

J Φ

⁻_a¹

= (1 + uγ(s))

⁻¹

[

Γ

^′₁

Γ

^′₂

− (Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

) Γ

^′₁

− uΓ

^′′₂

]

= [

∂s/∂x ∂s/∂y

∂u/∂x ∂u/∂y

]

(7)

であるから,

∂f

∂x = (1 + uγ(s))

⁻¹

(Γ

^′₁

f

_s

− (Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

)f

_u

), ∂f

∂y = (1 + uγ(s))

⁻¹

(Γ

^′₂

f

_s

+ (Γ

^′₁

− uΓ

^′′₂

)f

_u

)

となるので, Γ^′₁

Γ

^′′₁

+ Γ

^′₂

Γ

^′′₂

= 0

に注意すれば,

∇ f · ∇ g = (1 + uγ (s))

⁻²

f

s

g

s

+ (1 + uγ(s))

⁻²

{ (Γ

^′₁

− uΓ

^′′₂

)

²

+ (Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

)

²

} f

u

g

u

となる. よって, (Γ^′₁

− uΓ

^′′₂

)

²

+ (Γ

^′₂

+ uΓ

^′′₁

)

²

= (1 + uγ(s))

²となり

(2.2)

が得られる.

次に

q

_a,β⁻

(f, g) − b

⁻_a,β

(U

a

f, U

a

g) = 0

となることを示す

.

以下

f, g

が実数値でも計算は変わらないので実数値とする. 先に

b

⁻_a,β

(U

a

f, U

a

g)

の中身を計算する.

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻²

(U

a

f )

s

(U

a

g)

s

duds = 1 4

∫

L 0

∫

a

−a

u

²

(1 + uγ(s))

⁻³

γ

^′

(s)

²

f g duds + 1

2 ∫

L 0

∫

a

−a

uγ(s)(1 + uγ(s))

⁻²

(f g)

_s

duds +

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻¹

f

s

g

s

duds

∫

L 0

∫

a

−a

(U

a

f )

u

(U

a

g)

u

duds = 1 4

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻¹

γ(s)

²

f g duds + 1

2 ∫

L 0

∫

a

−a

γ(s)(f g)

u

duds +

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))f

u

g

u

duds

であり

− β

∫

L 0

V (Γ(s))(U

a

f )(s, 0)(U

a

g)(s, 0) ds = − β

∫

L 0

V (Γ(s))f (Γ(s))g(Γ(s)) ds

− 1 2

∫

L 0

{ γ(s)

1 + aγ(s) (U

a

f )(s, a)(U

a

g)(s, a) − γ(s)

1 − aγ(s) (U

a

f )(s, − a)(U

a

g)(s, − a) }

ds

= − 1 2

∫

L 0

∫

a

−a

γ(s)(f g)

u

duds

となる

.

ゆえに

,

q

⁻_a,β

(f, g) − b

⁻_a,β

(U

a

f, U

a

g) = − 1 2

∫

a

−a

[ (1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′

(s)f g ]

s=L

s=0

du + S,

ゆえに,

S = 1

2 ∫

L 0

∫

a

−a

{ (1 + uγ(s))

⁻³

u

²

γ

^′

(s)

²

f g − u(1 + uγ(s))

⁻²

γ

^′

(s)(f g)

_s

} duds

− 1 2

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′′

(s)f g duds

(8)

である. ここで部分積分により,

− 1 2

∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′

(s)(f g)

_s

duds = 1 2

∫

a

−a

[ (1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′

(s)f g ]

s=L s=0

du +

∫

L 0

∫

a

−a

1 2 ( − 2)(1 + uγ(s))

⁻³

u

²

γ

^′

(s)

²

f g duds + 1

2 ∫

L 0

∫

a

−a

(1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′′

(s)f g duds

となる. ゆえに,

q

_a,β⁻

(f, g) − b

⁻_a,β

(U

a

f, U

a

g) = 0

を得る.

以下では再び

V

が区分的定数の場合を考える. すなわち,

n ∈ N

に対し,

h

1

, . . . , h

nを正定数とし, 0 =

s

0

<

s

₁

< . . . < s

_n

= L

を

I = [0, L]

の分割とする. 各

j = 1, . . . , n

に対し,

V (Γ(s)) = h

_j

, s ∈ (s

_j₋₁

, s

_j

)

であるとする

.

つぎに,

γ

₊^′

= max

_s_∈_[0,L]

| γ

^′

(s) | , γ

₊^′′

= max

_s_∈_[0,L]

| γ

^′′

(s) |

とおき,

W

_±

(s, a) = ± 1

2 (1 − aγ

+

)

⁻³

aγ

₊^′′

− 5

4 (1 ± aγ

+

)

⁻⁴

a

²

(γ

^′₊

)

²

− 1

4 (1 ± aγ

+

)

⁻²

γ(s)

² と定義すると

(s, u) ∈ [0, L] × [ − a, a]

のとき,

W

₋

(s, a) ≤ W (s, u) ≤ W

+

(s, a)

である. ここで,

K

₊

= max

s∈[0,L]

a∈[0,a1]

| W

₊

(s, a) | , K

₋

= min

s∈[0,L]

a∈[0,a1]

| W

₋

(s, a) |

としておく. 以下では先ほど定義した

b

^±_a,βをさらに評価することを考える. まず

b

⁺_a,βについて考える.

j = 1, . . . , n

に対して, 2次形式

˜ b

_a,β,jを

˜ b

⁺_a,β,j

[f ] = (1 − aγ

₊

)

⁻²

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f

_s

|

²

duds+

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f

_u

|

²

duds+K

₊

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f |

²

duds − βh

_j

∫

sj

s_j−1

| f(s, 0) |

²

ds,

Q(b

^±_a,β,j

) = H

¹

((s

_j₋₁

, s

_j

) × ( − a, a))

と定義すれば

,

下に有界かつ閉である

. Dirichlet-Neumann bracketing

と

W (s, u) ≤ K

+

, (s, u) ∈ [0, L] × [ − a, a]

により, この

2 B ˜

_a,β,j⁺ とすると,

B

_a,β⁺

≤

⊕

n j=1

B ˜

⁺_a,β,j

(2.3)

が成り立つ. 次に

b

⁻_a,βについて考える.

b

⁻_a,βに含まれる項に注目すると,

− 1 2

∫

a

−a

[ (1 + uγ(s))

⁻²

uγ

^′

(s) | f |

²

]

s=L

s=0

du ≥ − 1

2 (1 − aγ

₊

)

⁻²

aγ

₊^′

∫

a

−a

( | f (L, u) |

²

+ | f (0, u) | )

²

du

となる. ゆえにトレース定理より, ある正定数

M

が存在して

− 1

2 (1 − aγ

+

)

⁻²

aγ

₊^′

∫

a

−a

( | f (0, u) |

²

+ | f (L, u) |

²

) du

≥ − (1 − aγ

₊

)

⁻²

aγ

₊^′

∫

a

−a

∫

L 0

∂f

∂s

²

dsdu − (1 − aγ

₊

)

⁻²

aM γ

₊^′

∫

a

−a

∫

L 0

| f (s, u) |

²

dsdu

(9)

が成り立つ

.

ここで

,

各

j = 1, . . . , n

に対して

, 2

次形式

˜ b

⁻_a,β,jを

˜ b

⁻_a,β,j

[f ] = A

₋

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f

_s

|

²

duds +

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f

_u

|

²

duds − M

₋

∫

sj

s_j−1

∫

a

−a

| f |

²

duds − βh

_j

∫

sj

s_j−1

| f (s, 0) |

²

ds

− γ

+

∫

s_j s_j−1

( | f (s, a) |

²

+ | f (s, − a) |

²

) ds, Q(˜ b

⁻_a,β,j

) = H

¹

((s

_j₋₁

, s

_j

) × ( − a, a))

と定義すると下に有界かつ閉である. ただし.

A

₋

= (1 + aγ

+

)

⁻²

− 1

2 (1 − aγ

+

)

⁻²

aγ

₊^′

, M

₋

= K

₋

− (1 − aγ

₊

)

⁻²

aM γ

₊^′

とおいた

.

この

2 B ˜

_a,β,j⁻ とおく

.

さらに

, a

が十分小さいとき

,

− 1 2

∫

s_j s_j−1

{ γ(s)

1 + aγ(s) | f (s, a) |

²

− γ(s)

1 − aγ(s) | f (s, − a) |

²

}

ds

≥ − 1

2 γ

₊

(1 − aγ

₊

)

⁻¹

∫

s_j s_j−1

( | f(s, a) |

²

+ | f (s, − a) |

²

) ds

≥ − γ

₊

∫

sj

sj−1

( | f(s, a) |

²

+ | f (s, − a) |

²

) ds

となることと, Dirichlet-Neumann bracketingと

W (s, u) ≥ K

₋

, (s, u) ∈ [0, L] × [ − a, a]

を用いることにより,

2

次形式の意味で

,

B

_a,β⁻

≥

⊕

n j=1

B ˜

⁻_a,β,j

(2.4)

となることがわかる. いま,

T

_a,β,j⁺ を

2

次形式

t

⁺_a,β,j

[f] =

∫

a

−a

| f

^′

(u) |

²

du − βh

j

| f (0) |

²

, Q(t

⁺_a,β,j

) = H

₀¹

(( − a, a))

に対応する自己共役作用素とし

, T

_a,β,j⁻ を

2

次形式

t

⁻_a,β,j

[f ] =

∫

a

−a

| f

^′

(u) |

²

du − βh

_j

| f (0) |

²

− γ

₊

( | f (a) |

²

+ | f ( − a) |

²

), Q(t

⁻_a,β,j

) = H

¹

(( − a, a))

に対応する自己共役作用素とする. また,

S

_a,j⁺

= − (1 − aγ

+

)

⁻²

d

²

ds

²

+ K

+

, D(S

_a,j⁺

) = H

₀²

((s

j−1

, s

j

)), S

⁻_a,j

= − A

₋

d

²

ds

²

− M

₋

, D(S

_a,j⁻

) = { f ∈ H

¹

((s

j−1

, s

j

)) | f

^′

(s

j

) = 0, f

^′

(s

j−1

) = 0 }

と定義する. このとき,

B ˜

^±_a,β,j

= S

_a,j^±

⊗ I + I ⊗ T

_a,β,j^±

(2.5)

が成り立つ

.

まず

N (β)

を下から評価する

. [6, Proposition 2.4]

より

, T

_a,β,j⁺ は

β

が十分大のとき

,

ただ一つの負の固有値

τ

_β,j⁺ をもち,

− β

²

h

²_j

4 < τ

_β,j⁺

< − β

²

h

²_j

4 + 2β

²

h

²_j

exp ( − 1

2 βh

j

a

)

(10)

が成り立つ

.

いま

, S

_a,j⁺ の

k

番目の固有値

η

_a,j⁺

(k)

は

η

⁺_a,j

(k) = (1 − aγ

₊

)

⁻²

π

²

(s

j

− s

j−1

)

²

k

²

+ K

₊ とかける. 従って,

N ( ˜ B

_a,β,j⁺

) = # {

k ∈ N

(1 − aγ

+

)

⁻²

π

²

(s

j

− s

j−1

)

²

k

²

+ K

+

+ τ

β,j

< 0 }

≥ # {

k ∈ N

(1 − aγ

₊

)

⁻²

π

²

(s

j

− s

j−1

)

²

k

²

+ K

₊

− β

²

h

²_j

4 + 2β

²

h

²_j

exp ( − 1

2 βh

_j

a )

< 0 }

≥ 1 − aγ

+

2π (s

_j

− s

_j₋₁

)βh

_j

√

1 − 4K

₊

h

⁻_j²

β

⁻²

− 8 exp ( − 1

2 βh

_j

a )

− 1

となるので

, h

⁻

= min

j=1,...n

h

j

, h

⁺

= max

j=1,...n

h

jとすると

1 β

∑

n j=1

N ( ˜ B

_a,β,j⁺

) ≥ 1 − aγ

+

2π

√

1 − 4K

+

(h

⁻

)

⁻²

β

⁻²

− 8 exp ( − 1

2 βh

⁺

a ) ∫

L

0

V (Γ(s)) ds − n β

ゆえに, (2.3)より

lim inf

β→∞

N(B

_a,β⁺

)

β ≥ 1 − aγ

₊

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

である.

H

_β

≤ B

_a,β⁺ に注意すれば,

a

は任意だったから

lim inf

β→∞

N (β ) β ≥ 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

を得る

.

次に上から評価をする

.

いま

, T

_a,β,j⁻ の第

l

固有値を

τ

_β,j,l⁻ で表し

.

さらに

, S

_a,j⁻ の第

(k + 1)

固有値を

µ

⁻_k,jとする. このとき

(2.4)

より,

N (B

_a,β⁻

) ≤

∑

n j=1

N ( ˜ B

_a,β,j⁻

) =

∑

n j=1

# { k ∈ N

0

| µ

⁻_k,j

+τ

_β,j,1⁻

< 0 } +

∑

n j=1

# { (k, l) ∈ N

0

× N | l ≥ 2, µ

⁻_k,j

+τ

_β,j,l⁻

< 0 }

となる. ここで最右辺の第一項を

S

1

(β)

とし,第二項を

S

2

(β)

とおく.

[6, Proposition 2.5]

¹より,

T

_a,β,j⁻ についても

β

が十分大ならば,

τ

_β,j,1⁻ は唯一つの負の固有値であり, ある正定数

C

が存在して,

− 1

4 β

²

h

²_j

− Cβ

²

h

²_j

exp (

− 1 2 βh

j

a

)

< τ

_β,j,1⁻

< − 1 4 β

²

h

²_j が成り立つ.従って,

µ

⁻_k,j

= A

₋

π

²

(s

j

− s

j−1

)

²

k

²

− M

₋

1ただし,この論文における正定数Cは2205/16とあるが,これは誤りである. だが,正しく評価することにより同じような評価が可能である.

(11)

であることに注意すれば, 下の評価と同様にして

S

1

(β) ≤

∑

n j=1

#

 



  k ∈ N

0

k < s

j

− s

j−1

2π βh

j

v u

u t M

₋

β

⁻²

h

⁻_j²

+ 1 + C exp

( −

^βh₂^j^a

) A

₋

 



 

となる

.

ゆえに

lim sup

β→∞

S

1

(β)

β ≤ 1

2π √ A

₋

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

と評価できる. 従って,

A

₋

→ 1 (as a → 0+)

より

lim sup

β→∞

S

1

(β)

β ≤ 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

を得る

.

一方で

, k

0

= min { k ∈ N

0

| µ

⁻_k,j

≥ 0 }

とすると

,

{ (k, l) ∈ N

0

× N | l ≥ 2, µ

⁻_k,j

+ τ

_β,j,l⁻

< 0 } ⊂ { (k, l) ∈ N

0

× N | l ≥ 2, k < k

0

τ

_β,j,l⁻

< − µ

⁻_k,j

}

であるから,

− µ

⁻_k,j

≤ M

₋であることに注意すれば, [8, Lemma 3.2]より,

# { (k, l) ∈ N

0

× N | l ≥ 2, k < k

₀

τ

_β,j,l⁻

< − µ

⁻_k,j

} ≤ 2 (

1 + [ a

π M

₋

])

であることがわかる. ゆえに,

S

2

(β ) ≤

∑

n j=1

{ s

j

− s

j−1

πA

₋

√ M

₋

+ 1 }

× 2 (

1 + [ a

π M

₋

])

となる. 以上より,

lim sup

β→∞

S

2

(β) β = 0

を得る. 従って,

S

1

(β), S

2

(β)

の評価をあわせて

lim sup

β→∞

N (β) β ≤ 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

がわかる. ゆえに両側の評価より,

lim

β→∞

N (β ) β = 1

2π

∫

L 0

V (Γ(s)) ds

が成り立つ.

V

が一般の場合は線分のときと同様にして得られる.

一般の線相互作用に従う 2 次元 Schr¨ odinger 作用素の 固有値の漸近分布