線形代数学 2 No.5 2004.11. 8
1.5 正規直交基底（解答） 担当：市原
問題8 3本のベクトルa= 1 4
0 B@
√−3 3 2
1 CA,b= 1
2 0 B@
√1 3 0
1 CA,c= 1
4 0 B@
−√ 3 1
−2√ 3
1
CA が正規直交系になっていることを確かめな
さい.
|a|= ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ 1 4
0 B@
−3√ 3 2
1 CA ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ
=1 4
q
(−3)2+ (√
3)2+ 22= 1, |b|= ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ 1 2
0 B@
√1 3 0
1 CA ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ
=1 2
q 12+ (√
3)2+ 02= 1
|c|= ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ 1 4
0 B@
−√ 3 1
−2√ 3
1 CA ŕŕ ŕŕ ŕŕ ŕ
=1 4
q (−√
3)2+ 12+ (−2√ 3)2= 1
(a,b) = 1 4×1
2׺
(−3)×1 +√ 3×√
3 + 2×0ť
= 0, (b,c) = 1 2×1
4׺ 1×(−√
3) +√
3×1 + 0×(−2√ 3)ť
= 0 (c,a) = 1
4×1 4׺
(−√
3)×(−3) + 1×√
3 + (−2√ 3)×2ť
= 0
問題9 次の各組のベクトルから,シュミットの直交化法を使って,正規直交系を作りなさい.
(1) Ã 1
0
! ,
à 1
−1
!
a
1= Ã 1
0
! , a
2=
à 1
−1
!
とおく
.
v
1= 1
|a
1| a
1= 1 1
à 1 0
!
= Ã 1
0
!
v
02= a
2− (a
2, v
1) v
1= Ã 1
−1
!
− ÃÃ 1
−1
! ,
à 1 0
!! Ã 1 0
!
= Ã 1
−1
!
− Ã 1
0
!
= Ã 0
−1
!
v
2= ¯ 1
¯ v
20¯
¯ v
02= 1 1
à 0
−1
!
= Ã 0
−1
!
(2) 0 B@
2 1 2
1 CA,
0 B@
1
−1 1
1 CA,
0 B@
2 2 1
1
CA a1=
0 B@
2 1 2
1 CA,a2=
0 B@
1
−1 1
1 CA,a3=
0 B@
2 2 1
1 CAとおく.
v1= 1
|a1|a1=1 3
0 B@
2 1 2
1 CA=
0 B@
2 3 1 3 2 3
1 CA
v02=a2−(a2, v1)v1= 0 B@
1
−1 1
1 CA−
0 B@ 0 B@
1
−1 1
1 CA,
0 B@
2 31 3 2 3
1 CA 1 CA
0 B@
2 31 3 2 3
1 CA=
0 B@
1
−1 1
1 CA−
0 B@
2 31 3 2 3
1 CA=
0 B@
1 3
−43
1 3
1 CA
v2= 1
|v02|v02= 1
√2 0 B@
1 3
−43
1 3
1 CA=
0 BB
@
1 3√
2
−3√42
1 3√
2
1 CC A
v03=a3− {(a3,v1)v1+ (a3,v2)v2}
= 0 B@
2 2 1
1 CA−
8>
><
>>
: 0 B@ 0 B@
2 2 1
1 CA,
0 B@
2 3 1 3 2 3
1 CA 1 CA
0 B@
2 3 1 3 2 3
1 CA+
0 BB
@ 0 B@
2 2 1
1 CA,
0 BB
@
1 3√ 2
−3√42
1 3√ 2
1 CC A 1 CC A
0 BB
@
1 3√ 2
−3√42
1 3√ 2
1 CC A 9>
>=
>>
;
= 0 B@
2 2 1
1 CA−
8>
><
>>
: 8 3
0 B@
2 3 1 3 2 3
1 CA+
ţ
− 5 3√
2 ű
0 BB
@
1 3√ 2
−3√42
1 3√ 2
1 CC A 9>
>=
>>
;
= 0 B@
2 2 1
1 CA−
0 B@
16 9 8 9 16
9
1 CA−
0 B@
−185
20 18
−185 1 CA=
0 B@
1 2
0
−12 1 CA
v3= 1
|v03|v03= 1 1/√
2 0 B@
1 2
0
−12 1 CA=
0 BB
@
√2 2
0
−
√2 2
1 CC A
