有理化（中学校で習った）
分母から
√をなくすことを
ゆう有 理
り化 という。
か★
×
★=
★=
★を利用する（
√と
2は
＋と
ーのようなもの
なので、同時に出てくるとキャンセルされます）
有理化（中学校で習った）
分母から
√をなくすことを
ゆう有 理
り化 という。
か√
★× √
★
= √
★ 2
=
★を利用する（
√と
2は
＋と
ーのようなもの
中学校の有理化（その
1）
√1 2
= 1× 2
√2×√
2 = 2 2 (√
2 × √
2 = 2
です
)中学校の有理化（その
1）
√1
2 = 1×√
√ 2
2×√ 2
=
√2 2 (√
2 × √
2 = 2
です
)√1
2 = 1×√
√ 2
2×√
2 =
√2 2 (√
2 × √
2 = 2
です
)中学校の有理化（その
2）
6√2 5√
3
= 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2
／
6 √ 6 5 ×／
3 1= 2√ 6 5
中学校の有理化（その
2）
6√2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√ 3
= 6 6 5 × 3
=
2
／
6 √ 6 5 ×／
3 1= 2√ 6 5
中学校の有理化（その
2）
6√2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2
／
6 √ 6 5 ×／
3 1= 2√ 6 5
中学校の有理化（その
2）
6√2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2
／
6 √ 6 5 ×／
3 1= 2 6 5
中学校の有理化（その
2）
6√2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2
／
6 √ 65 ×
／
3 = 2√ 6 5( ○＋□ )( ○−□ ) = ○
2− □
2( ○−□ )( ○＋□ ) = ○
2− □
2を利用する
有理化（高校で習う）
√
△
○＋
√□
=△
(√○−√
□) (√
○＋
√□
)(√○−√
□)
＋のときは−をかけ算する
√
△
○＋
√□
=△
(√○−√
□) (√
○＋
√□
)(√○−√
□)
＋のときは−をかけ算する
有理化（高校で習う）
√
△
○−
√□
=△
(√○＋√
□) (√
○−
√□
)(√○＋√
□)
−のときは＋をかけ算する
√
△
○−
√□
=△
(√○＋√
□) (√
○−
√□
)(√○＋√
□)
−のときは＋をかけ算する
高校の有理化（その
1）
√ 1
7 + √ 2
= 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その
1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
= 7 − 2
(√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その
1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その
1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2
= 7 − 2 5
高校の有理化（その
1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
√7 − √
2 √
7 − √ 2
高校の有理化（その
2）
√ 2
6 − √ 2
= 2( 6 + 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その
2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その
2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2( 6 + 2)
6 − 2 = 2( 6 + 2) 4
高校の有理化（その
2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2 2(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) 4
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その
2）
= 2(√
6 + √ 2) 4
=
1
／
2 (√6 + √ 2)
／
4 2=
√6 + √ 2 2
高校の有理化（その
2）
= 2(√
6 + √ 2)
4 =
1
／
2 (√6 + √ 2)
／
4 2= 6 + 2 2
高校の有理化（その
2）
= 2(√
6 + √ 2)
4 =
1
／
2 (√6 + √ 2)
／
4 2=
√6 + √ 2 2
高校の有理化（その
3）
√5 − √
√ 3
5 + √ 3
= ( 5 − 3)( 5 − 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2√ 15 5 − 3
高校の有理化（その
3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2√ 15 5 − 3
高校の有理化（その
3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2 15 5 − 3
高校の有理化（その
3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2 8 − 2√
15
高校の有理化（その
3）
= 8 − 2√ 15 5 − 3
= 8 − 2 15 2
=
4
／
8 − 1／
2 √ 15／
2 1= 4 − √ 15
高校の有理化（その
3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4
／
8 − 1／
2 √ 15／
2 1= 4 − √ 15
高校の有理化（その
3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4
／
8 − 1／
2 √ 15／
2 1= 4 − 15
高校の有理化（その
3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4
／
8 − 1／
2 √ 15／
2 1√
高校の有理化（その
4）
√3 − √ 2 3 − √
5
= ( 3 − 2)(3 + 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
高校の有理化（その
4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
高校の有理化（その
4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3 3 + 15 − 3 2 − 10 9 − 5
高校の有理化（その
4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10
高校の有理化（その
4）
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
= 3 3 + 15 − 3 2 − 10 4
高校の有理化（その
4）
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 4
