解答例＋引用題 文系数学 過去問

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つの曲線\ [_{と\ [ [}

で囲まれた図形を6とする。ただし6は

境界を含むものとする。

6の面積を求めよ。

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２ 解答解説のページへ

＜ ＜D EとしPQを自然数とする。

I ORJP DP EP ORJJ P D ORJE

P P

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点$ % を考える。線分$%上の点3と[軸上の点4が

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4A 解答解説のページへ

白玉個赤玉個があるとし同じ色の玉は区別できないものとする。

上の個をつの区別のついた袋$%に分けて入れる。入れる方法は何通り あるか。ただしいずれの袋にも個のうち少なくとも個は入れるものとする。

段の引き出しのついたタンスがつありその中に上記の玉個を分けて入 れたい。ただしどの引き出しにも個しか入れないものとする。各タンスの引 き出しは上から何段目か区別がつくがつのタンスは区別しないものとすれば

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実数の数列

^ `

D D D をみたすとき

D Dの値を求めよ。

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１ 問題のページへ

\ [_{……①と\ [ [}

……②の交点は

[ [ [ [ [

より [

6の面積を6とすると

^

`

6 [ [ [ G[

³

³

[ [ G[

①と\ [ N が接する場合は [ [ N [ [ N _{が重解をもつので} ' N N

②と\ [ N が接する場合は _{[ [ [ N [ [ N が重}

解をもつので

' N N 求めるNの範囲は図より≦ ≦N

［解 説］

本年の文系 題の中では最も基本的です。このレベルの問題が第 問以降も続け ば難易は昨年と同程度だったのですが実は全然違いました。

0

\

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I P I ORJQ DP EP ORJDQ EQ ORJ D E D E

IP Q ORJDP Q EP Q

から

DP EPDQ EQDP Q EP Q D DP Q E EP Q D EP Q D EQ P

DPDQ EQEPEQ DQ

DQ EQDP EP ＜（＜ ＜D Eより） DP EPDQ EQ _{DP Q EP Q}

＜ からI P I Q ＜IP Q ………①

J P J ORJQ DP ORJ EP ORJ DQ ORJ EQ P Q ORJDORJ E

JP Q ORJD ORJE P Q ORJD ORJ E

P Q P Q

から

J P J Q JP Q ………②

また曲線\ ORJ[は上に凸なので点 DP EP _{を結ぶ線分の中点を考えると}

I P ＞J P となる。またI Q ＞J Q から

I P I Q ＞J P J Q ………③

①②③より

IP Q ＞I P I Q ＞J P J Q JP Q

［解 説］

つの式の値の大小比較なので初めから適当に差をとっていたのでは運が悪い となかなか結論に達しません。上の解では曲線\ ORJ[ の形状に着目してまず

I P ＞J P から③の式とIP Q ＞JP Q を導きました。結局後者の式は

不要だったのですが最初はこの関係をもとにして残りの式の大小関係を考えました。 なお I P ＞J P を直接的に示すには相加平均と相乗平均の関係から不等式

DP EP _{D EP P D EP P}

＞ を利用します。

0 \

IP JP

[ DP DP P EP

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３ 問題のページへ

点4の[座標をNとし 4 N の直線 $%に関する対称点を5 D E とおく。

直線$%の方程式は[ \ ……①なので

法線ベクトルは となる。 25 24O N O O 線分45の中点が①上にあるので

˜ ˜N N O O O N………②

‘23% ‘43$より点5は直線23 \ P[上にあるので O P N O P O PN ………③

②③より P N PN PN P

N _PP

［解 説］

最近超頻出の反射の問題です。昨年も北大・文や東大・理で出ています。受験の 対策をするとき最新の入試傾向を研究したかどうかではっきり差が現れます。上の 解は反射の取り扱いの常套手段である折り返しを用いたものでこの方法が最も簡明 です。他には正接の加法定理を用いることも可能ですが計算が複雑になりしか も点4 が点 2 に一致するときや直線34 が\ 軸に平行になる場合のチェックのた めに記述量が倍程度にふくらみます。

2 $

%

3

4 5

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袋$に白を[個赤を\個入れ残りを袋%に入れるとする。

すると ≦ ≦[ ≦ ≦\ から [ \の組の個数は u 通り。

この 通りには [ \ の 通りの場合も数えられているの

で求める場合の数は 通り。

タンスを左右に並べて左側のタンスを$右側のタンスを%として区別する。 $に白を[個赤を\個入れ%に白を[個赤を\個入れるとすると

≦[ \≦ ≦[ \≦となることよりその入れ方は から通りとな る。

L [ のとき \

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

よって & u & u ˜ ˜ ˜ ˜ 通り

LL [ のとき \

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

[ \ [ \ では & u & u & u & 通り

よって & u & u ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ 通り

LLL [ のときLLと同じく通り

LY [ のときLと同じく通り

ここで題意はつのタンス$%を区別しないことなのでL∼LYより

u _{u 通り}

［解 説］

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4B 問題のページへ

DQ DQより D D D D D D D D D D………①

DQ DQより D D D D D D D D D D………②

①②より D D D D

D D D D D より DD ………③

D D D よりD D ………④

③④より DD D D

D D D

D D D ＞ からD ③よりD

数列

^ `

DD D D D からNを以上の整数として

L Q Nのとき

6Q N ˜ Q Q

LL Q Nのとき

6Q N ˜ Q Q

LLL Q Nのとき

6Q N ˜ Q Q

LY Q Nのとき

6Q N ˜ Q Q

Y Q Nのとき

6Q N ˜ Q Q

［解 説］