解答例 ２次数学セレクション

［98 広島大］

(1) g( )t log



t1 



2 1

2 く ,



 



           

f (x) g(x 1)(x 1) g(x) log x 1 log x

2 1 2

1 2

1 2 1

2

1 2

＜x＜ , x1 x 2 0

1 2 0

＞ , ＜ ,



 



            

f (x) log x 1 log x log (x ) log ( x ) 2

1 2

1 2

1

2 1 1

(2) f(x)0 解 , x   1 x 1 x 0

x 0 , f(x) 最 値を ,

a0 。最 値 ,





f( )0 log 1 2

1 2

0 1





t  dt













log   t 1 dt



log t  dt

2 1 2

1 2

1 2

0 1 2

1 2 1





log ( t 1)dt



logt dt

0 1 2

1 2 1

ここ ,   t 1 s く ,



log ( t 1)dt



log (s ds)



logs ds

0 1 2

1 1 2

1 2 1

, f( )0 2 log 2



log



2



1log



log 2

1 2

1

2 2 1

1 2 1

1 2 1





t dt t tt     

(3) I 



tlog



t1 



dt

2 1 2

0 1





tlog ( t 1)dt



tlogt dt

0 1 2

1 2 1

ここ ,   t 1 s く ,

tlog ( t )dt ( s) log (s ds) ( s) logs ds



1



1



1

0 1 2

1 1 2

1 2 1

, I 



(1t) logt dt



tlogt dt



logt dt 1( log  )

2 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

［解 説］

(3) 積分 , (2) f( )0 値を使う しい いうこ , 問題文 匂 ま 。

実際, そ ました。

x 1

2 … 0 … 1 2 

f (x) － 0 ＋

［98 筑波大］

(1) g( )t t

  1

1

2 く , g( )t ＞0 ,

2x1＞x (x＞1) , f(x)＞0 2x1＜x (x＜1) , f(x)＜0

, f(x)0 , 2x 1 x け あ 。 わち, x  1

(2)        

   

f ( ) g( ) ( ) g( )

( )

x x x x

x x

2 1 2 1 2

2 1 1

1 1

2 2



    

 

  

1

2 2 1

1 1

2

2 2 1 1

2 2 2 2

x x x

x x

x x x

( )

( )( )

 

f (x) 0 , x x( 2)0 x 0, 2

(3) (1) , f(x) 最大値 x＞1 存在 , x＞1 け f(x) 値

増減を調べ 。

x 1 …… 0 …… ∞



f (x) ＋ 0 －

f(x) ₀

最大値 f( )0 1 1

2 0

1







t dt , ttan



  2 2



＜ ＜ く ,

f( )

tan cos

0 1

1 1

4

2 2

0 4

0 4



   



 _{ }d



 d 

［解 説］

逆 角関数 高校数学 範囲外 , 直接的 積分計算を回避し , 設問 答え

［98 東北大］

(1) yf(x)を同値変形 , x g(y) こ ,

y e

e e

x

x x



1 1  1

1 , (e )( y)

x _{1 1 1}

e

y y

y x

y y

x

     1 1  _

1 1 , log1

, g(y) log y

y

 _1 , g(x) log x

x

 _1

(2) x f( )t く dx f ( )t dt, またx f(a) ta, x f( )b

tb 。

さ , yf(x) 逆関数 yg(x) , g f



(x)



x





g g f f tf xf

f f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x dx t t dt t dt x dx

a b

a b

a b

a b







 



 





, f g

f f

( ) ( )

( ) ( )

x dx x dx

a b

a b











f(x dx) 



xf(x dx)

a b

a b







f(x) xf (x)



dx

a b







x x



dx

a b

f( ) 



xf(x)



_ab bf( )b af(a)

［解 説］

(2) 証明 , ま 右上 図 考えました。こ 位置関係 面積を考え 与式

成立 明 , こ 証明 言えませ 。積分 第 2 項 積分区間を



a, b



変更 こ , 置換 式を けました。 , 先日, 旺文社 入試

問題正解 を見 いた ころ, 本問を驚くこ 面積を用い 証明 をし, さ

aやb 負 同様, し あ ました ……。

0

y

f ( b ) f ( a )

［98 東京医歯大］

(1) f0(x)1 , f1





₀ 0

1

1 1 1

(x) log ( ) log ( )

t dt t x

x x





_    





f2 2

0

2 0

1 1

1

2 1

1

2 1

(x) log (t ) ( log ( ) ) ( log ( ) )

t dt t x

x x





_    





f3

2

3 0

3 0

1 2

1 1

1

6 1

1

6 1

(x) ( log (t ) ) ( log ( ) ) ( log ( ) )

t dt t x

x x





 _    

(2) fn x n

n x

( )

!( log ( ) )

 1 ₁

推測 , こ を数学的帰納法 証明 。

(i) n1 , (1) 成立 。 (ii) nk , 成立を仮定 ,





fk

k x

k x

x

k

t

t dt k k t

1 



 _   _  

0

1 0

1 1

1

1 1

1 1

( )

!

( log ( ) )

! ( log ( ) ) 

11 1 

1

(k )!( log (x ) )

k

, n k 1 成立 。

(i)(ii) , n 1 fn x n

n x

( )

!( log ( ) )

 1 ₁

(3) fn fn x

x t

t dt

 





1

0 1

( ) ( ) , fn x fn x fn

x

   

 

1 1

1 0 0

( ) ( ), ( )

, Sn a Sn a



n x n x



dx

a

( ) 1( )



( ) 1( )

0 f f







(x ) n (x) n (x)



dx

a

1 1 1

0 f f







(x ) n (x)



dx

a

1 1

0 f 



(x ) n (x)



a

1 f 1 ₀

(a1)fn1(a)fn1( )0  

  

a

n a

n

1

1 1

1

( )!( log ( ) )

条件 , a

n a

a n

n



11 1    1 1

1

( )!( log ( ) ) ( )!

log (a1)＞0 , log (a1)1, a 1 e, a e 1 (4) (3) , n 2 , S e S e e

n

n1(  1) n( 1)

! 両辺×(1)

n

し, Sn(e 1) Sn く ,

( ) ( ) ( )

! 1 n n1  1 n n  1

n

S S e

n





( )

! ( ) ( )

 _{   } 



1 ₁

1 1 1 1

n

n

n n n

n e S S









( )

! ( ) ( ) ( ) ( )

 _{       }

 

 



1 ₁



1 1 1 1 1

2 2

1

1 1

k

k n

k n

k

k k k n n

, ( )





! ! ( )

 _{    }





1 ₁

1

1 ₁

1

1

k

k n

n n

k e S S

ここ , S

n x dx

n n

e

 1



 ₁

0 1

! ( log ( ) ) あ , 0 x e1 い , 0 log (x1) loge1 , 0 1 1

0 1

＜S ＜

n dx

e n

n

e

!  !





。

, lim

nSn 0

また, S x dx



x x



dx e e

e _e e

1 0

1

0 1

0 1

1 1 1 1 1





 log (  )  (  ) log (  )  



    ( )

以上 ,









( )

! lim

( )

! lim ( )

 _  _{       }

 

 _ 



1



1

1 1 1 1 1 1

1 1

k

k n

k

k n

n

n n

k k e S e

［解 説］

解を く , (3) 設問 ま しまいました。 いう , Sn1(a)を変形

し Sn(a)を作 計算を躊躇したた 。本番 遅疑逡巡 せ , 部分積分を

断 行 べ こ ろ , 本 番 い , Sn(a)Sn1(a) 値 を 求 い う

点 引 たわけ 。結果 し , うまい誘導 け , 内容的

部分積分 同 , 具体的 積分計算 ほ 必要あ ませ した。また

(4) , 隣接 2 項間型 漸化式an  an1 f(n) 解法 問題 級数 関連を考え

［98 山梨医大］

(1) f(x)ex( cosxsin )x ,

           

f (x) e x( cosx sin )x e x( sinx cos )x 2e xsinx

0

2

x  い , f(x)   e sinx  e sinx

x x

2 2

ここ , g(x) e sinx

x

₂ 

く ,

     

g (x) 2e xsinx 2e x cosx

 _2ex_{( sinx}_{cos ) x}

 

 _{2 2}  

4

e xsin x 

g(x) わち f(x) 最大値 , g

 



 

4 2

2

2 2

4 4

 e   e

(2) (1) , 0

2

x  f(x) 0 等号 x 0 , f(x) 単調減少

また, f( )0 1, f

 

2

2

  e

右図 , yx yf(x) た 1 交点を , 方程式x f(x) 解

た 1 け存在 。

(3) 条件 , xn1 f(xn) , a f(a) また, f(x) 0

2

x  連続, 0

2

＜x＜ 微分可能 , 平均値 定理を用 い ,

xn1 a  f(xn)f(a)  f (cn)  xn a

た しcn xn a 間 数

(1) , f(cn) K , xn1a K xn a

xn a x₁a Kn  a Kn ＜ Kn

1 1 1

2



ここ e e e



4 1 2

＞  , 0＜ 2e 4＜ 2＜1

e



こ , n  K e

n _  n _

( 2 4) 0

, さ うち 原理 , x_n a 0 (n ) わち, lim

nxn a

(4) 区間0

2

x  をn等分し 考え ,

 

 

Sn k k x dx n

n n

 1



_f   2



_f  2



2_f  

   



( ) ( )

x 0 … 

4 … 2 

g (x) ＋ 0 －

g(x)

0

y ₁

y=x y= xf( )

2



ここ , (e cos )x e cosx e sinx (x)

x x x

 _{  }  _  _{ f ,}





0 2

0

2 _{1 1}

 



_{f(x dx)}   _ex _cosx    _{( )} , lim

nSn 

2



また, lim( )

n

n n

S

 1 0 , _ ( ) 



1

1

n n n

S 収束し い。

［解 説］

平均値 定理を適用した数列 極限 関 問題 。毎年, 必 1, 2校 出題さ

, 97年度 筑波大 出 いま 。本問 さ 区分求積法ま 入 い

［99 筑波大］

ま , (e sin )t e sint e cost

t t t

 _{  }  _ 

……… (etcos )t   etcostetsint………

＋ , e t



e t t



t t

 _{sin  }1  _{( sin cos )} 

2

－ , e t



e t t



t t

 _{cos } 1  _{( sin cos )} 

2 f(x)



xetsint dt

0  







   

 

1 2

1 2

1 2

0

e t( sint cos )t x e x( sinx cos )x

g(x)



xetcost dt

0 







  

 

1 2

1 2

1 2

0

e t( sint cos )t x e x( sinx cos )x

さ , f(x) 極 大 値 を , f(x) 符 号 正 負 変 わ ,

  

f (x) e x sinx , x (2k1) k 自然数 い あ 。









f (2 1) 1 ( ) ( ) ( )

2 1

1 2

1 2 1

2 1 2 1

k    e k     e k 

, k 値 増加 従





f (2k1) 値 減 少 , 極 大 値 最 大 , k1

わちx  あ 。

した , 増減表 , f(x) 最大値 f()1(  )

2 1 e 。

ま た, g(x) 極 値 を , g(x) 符 号 負 正 変 わ ,

  

g (x) e x cosx , x 



2k1



2  k 自然数 い あ 。









 

_

 

_

g 2 1

2

1

2 1

1 2

1 2 1

2 1

2 2

1 2

k   e k (  ) e k 

, k 値 増

加 従









g 2 1

2

k  値

増加 , 極

値 最 , k1 わちx  3

2 い あ 。

こ こ , g

 

3





2

1 2 1

3 2

  e  ＞g( )0 0 , g(x) 最 値 g( )0 0 。

［解 説］

曲線y e t

t

  _{sin t}

軸 さま た面積 い 考え , 結論 ほ 明 。

こ を明確 示 本問 い し う。

x 0 …  … 2 … 3 …



f (x) ₀ ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) ₀

x 0 … 1

2 … 3 2 …

5 2 …

7 2 … 

g (x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － 0 ＋

［99 東京工大］ In 



t e dtn t

0 1

く , 部分積分 ,

 

In  t en t n



tn e dtt  e nIn

0

1 ₁

1 0

1

………

また,

2 1 2 2 1

1

1 1

1 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

2 2 1

n n k

k n

k n

k n

k

n

k k n

k k

  



 

 

       



P



( )!



( )( )! ( )! ( )!

 









 



( )!

( )! ( )!

2 1 1

2

1 2 1

1 1

n

k k

k n

………

証明 べ 式 t e dt





k e n

n t n n k

k n

2 1 2 1 2 2

1 1 0

1

2 1 2 1

  

 





_  



P

( )!……(＊) , ,

(＊) ⇔





I

n e k k

n

k n

2 1

1 1

2 1

1 2

1

2 1 1



 

 



  

( )! ( )! ( )! ………

さ , I

n J

n

n

2 1

2 1



 

( )! く ,

⇔ J e





k k

n

k n

  _ 

 



1 1

2 1

1 2

1 1

( )! ( )! ………

ここ , ,

J I

n

e n I

n

e n

I n

n  n n n

      

1 2 1 2 2

2 1

2 1

2 1 2 1 2

( )!

( )

( )! ( )! ( )!

 e_     _   _

n

e n I n

e n

e n

I n

n n

(2 1)! ( )! ( )! ( )! ( )!

2

2 2 1 2 2 1

2 1 2 1





J e _ 

n n

n 1

2 1

1 2

( )! ( )!

n 2 , J J e





k k

n

k n

  _ 

 



1

1 1

1 2 1

1 2

( )! ( )!

ここ , J I te dt

 

te e dt e e

t t t

1 1

0 1

0 1 0

1

1 1

 



 



  ( )

, n 2 成立 , (＊) 成立 。

［解 説］

最初 式を数学的帰納法 証明しました。し し 式を眺 い , 直接的

［99 千葉大］

(1) n 1 , lim ( ) lim sin

sin

x n x x

x x

nx

nx n n

0f  0   

n0 , lim ( ) lim sin sin

x0 0 x x0 x 

0 ₀ f

, lim ( ) ( )

x0fn x fn 0 , fn(x) x 0

連続 あ 。

(2) I I n x

x dx

n x

x dx

n1 n1 



 





0 2

0 2

1 1

sin( ) sin

sin( ) sin

 





sin(  ) sin(  ) 



sin

cos sin sin

n x n x

x dx

nx x

x dx

1 1 ₂

0 2

0 2

 





2  2





 2 2

0 2

0 2

cosnx dx sin sin

n nx n

n

 

 (n 1 )

(3) ま , I0 I1 dx

0 2

0

2

 , 







 _{, (2) l}を自然数 し ,

(i) n2l I I

l l

l l

2 1  2 1 1sin  0 , I2 1l I1

2

   

(ii) n 2l 1 I I

l

l

l

l l l

2 2 2 2 1

2 1

2 1 2

2

2 1 1

   _ sin    _ ( )

I I I I

k k S

l k k

k l

k

k

l k

l k

l

2 0 2 2 2

1

1

1 1

2

2 1 1 2

1

2 1 2

     _{ }    _{  }





 



( )



( )



( )

(i)(ii) , I0 0, n 奇数 In 

2, n 2以上 偶数 In  2Sn2

［解 説］

(3) しろい問題 。nを偶奇 分け 考え , (2) 結論 うまく利用

［99 名古屋大］

(1) ま , N個 箱 玉を1 k回入 , N

k

通 場合 あ 。

また, ち う k回目 玉 2 入 た箱 , N個 箱 k1個

箱を選 玉を1 入 , k回目 そ 選 箱 1 玉を入 場合 あ

。そ 場合 数 NPk1 (k1) 。 , P N( , k)  N k  

k

k N

P 1 ( 1)

(2) logP(2N, N1)F く , (1) ,

F N

N N

N N N

N N

N N

log _  _

( ) log

2

1

2 1

2 2

P P

log 1_ (  )(  ) (  ) 2

1 2

1

N N

N N N N

N



log 1_

    

  

2 1

1 ₁ 2 ₁

1

N _{N N}

N N



 (N  ) log log

   

 log   log

 



N N

N N

1 2 1 1 1 2  1

   

 







(N ) log log k

N

k N

1 2 1

1

, 1 1 2 1

 

1

1

N F N

N N

k N

k N

    





log log

 log2



log (1 )

0 1

x dx n 

 log2



(1 ) log (1 )



1₀ 



0 1

x x dx

log 2 1

, lim log ( , )

NN P N N

1 _{2 1 log 2 1}

［解 説］

確率 極限 区分求積法 融合 いう2, 3年 一度, こ 大学 出題さ

た問題 。こ タイプ 問題 , 確率 極限値を求 区分求積法を用い

いうこ 気付く ポイント , ここ 問題文中 誘導 あ ,

10 ［99 京都大］

(1) b

a

a b

a a

b b

b a

a

b a

b

12 02

12 02

12 02

12 02

12 12 02

12 12 02

1 1 1 1 1 1

          

  

 

( )( )

( )( )

b a b a

a b

12 12 02 02 02 1 02 1

0＜a0＜b0, 0＜a1＜b1 ,

b a

a b

a a

b b

12 02

12 02

12 02

12 02

1 1 1 1

   ＞   

(2) ま , 1 i＜j n し, xi  yj, xj  yi, xk  yk (ki, k j) , 条 件 ,



x1, x2,,xn

 

 y1, y2,, yn

 

 1, 2,,n



さ xi＞xj , (1)

x i

x j

x i

x j

y i

y j

i2 j j i i j

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 1 1 1 1

   ＞       

, S x

k

y k

n k

k n

k

k n



 

 



2



2 1

2 2 1

1 1

＞ , 同様 し 1 p＜q n xp＞xq , xp 値 xq 値を交換し いく , Sn 値 減少し いく。 , Sn 値 最 x1＜x2＜＜xn, わちxk k あ 。

以上 , S k





k k n k

n k

n

k n

k n

2 2 1

2 1

2 1

1 1

1 1

1 1

      

  







………

さ , f(x)

x

  1

1

2 , x＞0

    f ( )

( )

x x

x

2

1 0

2 2 ＜ , f(x)

単調 減少 。

右図 い , 面積を比較し , 1

1

2 1 k

k n







 







f(k)

_

f(x dx)

_

x dx

k

n _{n n}

1 0

2 0

1 1

＜ ………





x tan   

2＜ ＜2 , ntan



0＜ ＜2



, 1

1

1 1

1

2 3 2

2 8 5

2

0 _x dx 0 2 2 d 0 d

n

      





tan cos



.

     

 

＜ ＜ ………

, Sn＞n8

5, わち

x

k n

k

k

n 2

2

1 1

8 5

 





＞

［解 説］

(2) 前半 , わ い そ を表現 難しく, しく感 しま

O 1 2 n

1

y

x

11 ［2000 京都大］

(1) 部分積分を用い ,

c_n2  n



xn2 x dx

0 1

3

( ) cos









     



(n 3) 1 xn 2sin x 1 (n 2)xn sin x dx

0 1

1 0

1

   

 (n3)(n2)



_xn1_{sin x dx} 0

1

 









 (n3)(n2) 1 _xn1_{cos x}  1



_(n_1)xn _{cos x dx}

0 1

0 1

    

 (n3)(n2)( 1) (n3)(n2)(n1)



xn cos x dx

2 2 ₀

1

  

 (n3)(n2)(1c_n)

2



(2) c_n (n1)



xn cos x dx (n1)



xn cos x dx

0 1

0 1

  ………

0 x 1 い , x x x

n _cos n _,

(n ) x cos x dx (n ) x dx (n )

n

n n

   

 





1 1 1 1

1 1

0 1

0 1

 ………

(1) , 1

3 2

2

2

cn   _n  _n cn

( )( ) , cn 1を用い ,

1

3 2 3 2

2

2

2

cn  _n  _n cn _n  _n

( )( ) ( )( )

n→∞ 1c 0

n , lim

n∞cn  

1

(3) (2) , c c c

n n c

n   n   1 _{ } n

3 2

2

2



( )( ) ,

c c

n n c

n1    _{ } n

2

3

4 3



( )( )

, c c

c c

n n

n n

c c

n

n c c

n n

n n

n n

 



 



     



 

1 3

2

3 2

3 2

4 3

1 2

1 4

( )( )

( )( )

(2) , lim

n∞cn  

1 , lim ( )

( )

n n

n

c c

c c



 

     

∞

1 1 1

1 1 1

［解 説］

(1) 漸化式 , (2) lim

n∞cn

1 あ こ 容易 推測 ま 。後 こ を

12 ［2000 大阪大］

一般的 [x] x＜[x]1 , x1＜[x] x ,





2 2 2 1 2 2

2

2 2

2

2 2

2

n k

n

n k

n

n k

n

   

＜

各辺 k1 knま 和を ,

2 2 2 1 2

2 1

2 2

2 1

n k

n a

n k

n

k n

n k

n

  

 



＜



ここ , b

 

n k

n n

k n

n k

n

k n

   

 



2 1



2

2 2

2 1

2

1

く , 区分求積法を用い ,

lim

n∞bn

 

 _ 





lim

n k

n

n

k n

∞

1

2 2

1





2 2

0 1

x dx

    1    2 1 1

1

2 2 4

1 2 4

2

( )  

また, c

n k

n

n k

n

  





2 2 2 1

2 1

,

 

c

n

k n

n

n b n

n k

n

n

    





1

2 2 1

1

2





lim lim

n∞cn n∞ bn _n  

1 1

2 4



, c_n＜a_n b_n lim lim

n∞cn n∞bn  

1 2 4

 _{, lim}

n∞an  

1 2 4



［解 説］

さ うち 原理 区分求積法を用い 融合問題 。そ を やく見抜け 眼

力 必要 。

y

x

Ｏ 1

2

13 ［2000 大阪市大］

(1) 1 k n し , x 2k上 あ 領域内 格子点 個数 ,



1



2 2 1

1

2 2 1

( k)p   ( k)p 

x 2k1上 あ 領域内 格子点 個数 ,



1



2 2 1 1

1

2 2 1 1 2 1

1

2 2 1 1 2 ( k )p   ( k )p    ( k )p  , 領域内 格子点 個数L_p(n) , 原点 含 ,



 



L_p n k p k

k n

p

k n

( )  ( )   (  ) 

 





1 1

2 2 1

1

2 2 1 1 2

1 1

 







 









1 3

2 1

2 2 1 2

1

( k )p ( k)p

k n

  





1 3 2

1 2 ₁

2

n lp

l n

  





1 3 2

1 2 ₁

2

n kp

k n

(2) (1) , L n

n n n n k

p

p p p p

p

k n

( )

  



    



1 1 1

1

1 3

2

1 1

2 1

 

 

1 1 1

1

2 1

1 1 2

1 2

0 2

1 0

2 1

n k n

k

n x dx p x p

p

p

k

n _p

k n

p p p



 

 













   (n∞)

, p 1 , lim ( )

n p

p

p p

L n

n p p

 



 

  

∞ 1

1

1 2

2 1

2 1

［解 説］

曲線y x

p

1

2 い , x 偶数 曲線上 格子点 あ ま , x 奇数

14 ［2000 金沢大］

(1) f(x)

x

 1 (x＞0) , f(x) 減少関数 ,

1 1 2

1 3

1 1

1 1

1 1

   



 





n x dx xdx

n n

＞ f( )





logx



n log(n )

1 1

1 ……… (2) (1) 同様 し ,

1 2

1 3

1

1

  





n x dx n

n

＜ f( ) log 1 1

2 1 3

1 1

    

n＜ logn………

, log(n ) log

k n

k n

 





1 1 1

1

＜ ＜

log( )

log log log

n

n n_k k n

n

 _





1 1 1 1

1

1

＜ ＜ ………

さ n∞ ,

 

log( ) log

log( ) log log

log log

n n

n n

n

n n

1 _{ }   _  _

1 1

1 1

0 ,

lim log( ) log

n

n n



 _

∞

1 1

また, lim





log

n∞ _n 

1

1 1 , lim

log

n

k n

n k

∞



_ 

1 1

1

1

(3) ま ,

1

1 1

1

n

k k

k n

x

x dx

x

x dx

 





sin 





sin ………

k x k1 い ,

sinx sin sin

k

x x

x k

1 ,

1 1

1

1 1 1

k x dx

x

x dx k x dx

k k

k k

k k



  



sin



sin



sin ……… ここ , y x k く ,

sinx dx sin ( y k) dy siny dy siny dy

k k



1 



 







0 1

0 1

0 1

 1





 2

0 1

 cosy 

そこ い , k1 knま 各辺 和を ,

2 1

1

2 1

1

1

1 1

 k  

x

x dx k

k n

k k

k n

k n







 







sin



, 2 1 1

2 1

1 1

1

1

 k  

x

x dx k

k

n _n

k n













sin



O x

y

1 23 n

O x

y

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1

1

1

  _    











log log

sin

log

n k n

x

x dx n k

k

n _n

k n

………

(2) , lim

log

n

k n

n k

∞ 



_ 

2 1 1 2

1

 





lim

log lim log

n

k n

n

k n

n k n k n



  



     





∞ ∞

2 1 1

1

2 1 1

1 1

1 2

1 1

  

した , lim

log

sin

sin

n

n

n

x

x dx y dy













∞

1 2

1 1

0 1

 _



［解 説］

金沢大・理系 入試問題 , 毎年, く練 た難問 1 題出題さ ま , 今

年 本 問 そ 当 た ま 。(3) (2) 極限値を う 使う いうこ を考

15 ［2000 北海道大］

(1) Aex  x 0 , A x ex xe

x

  

ここ , g(x) xe

x

 

く ,

       

g (x) e x xe x (1 x e) x

Ag(x) , 0＜x＜3 範囲 異 2

解を 条件 , 右表 ,

3 1

3

e ＜A＜e 。

(2) ま , (e cos )t e cost e sint

t _{ } t _ t

……… (etsin )t  etsintetcost………

＋ , 2e t e t e t

t_{cos (} t_{cos } t_{sin ), e}t_cost1



_et_{( costsin )t}





2 , etcost dt



et( cost sin )t





e



0 2

0

2 2

1 2

1

2 1

  



   

(3) 2

0

2 _{f( ) cost t dt c}





 く , 条件 , log (f x)  x 3 c f(x)ex 3 c ec3ex

(2) , c e e t dt e



e



e





e e

c t c c

         



2 2 1

2 1

1

1

3 0

2 3 2

3 2

cos

  

ここ , A





e e

 1 1

3 2



く , c Ae

c

 , Aec  c 0………

さ , A



 



e e e e e e

e

e

      



3 1

4 1 4 1 16

4 0

3 3

2

3 3 2

3 3

3 2



＞ ＞

また,





1 1

4 0

3

2 2

e A e e e  

＞

, 3 1

3

e A e

＜ ＜ , (1) 0＜c＜3 異 2 解を ,

f(x) 2 存在し, 条件f( )0 1

3 0

_ec _e 

＜ を満たし い 。

以上 , 与え た条件を満た f(x) 2 存在 。

［解 説］

(1) (2) 無 関 係 , そ 両 方 (3) 誘 導 い 形式 問題 。 , (3) , f( ) cost t dt c

0 2





 最初 置 ました , (1) 関連を考え, 置 換えを上

う 変更しました。

x 0 … 1 … 3



g (x) ＋ 0 －

g(x) ₀ 1

e

3

3

16 ［2000 九州大］

(1) t1 , 1 1

1

1

1 1

2 1

   _{t t t}   _t  _  _

t t

t t

n n n



x＜1 し , 両辺を0 xま 積分 ,

(1 2 1)

0    





x t t  tn dt 

  



1



1 1

0 tdt 0

t tdt

x x n







t        





t t t

n t

t tdt

n x

x x n

2 3

0 0 0

2 3  log 1 1

, f(x) x

k k k n  



₁         





x x x x

n x

t tdt

n _x n

2 3

0

2 3  log(1 ) 1

(2) ま , 0 t x 1 3

い ,

t t

t t

n n n

1 ₁ 1

3 3 2  _ , t tdt t dt t n x n

n _x n n x n

x 1 3 2 3 2 1 3 2 1 1 0 ₀ 1

0    



  

 





( )

また,  1

3 x t 0

い ,

t t

t

t t t

n n

n n

1  1  ( )

t tdt

t

t dt t dt

t n x n n n n x n n x x x n n

1 1 1 1 1 1

0 1 0

0 0

1 1









        



_{( ) ( )}  _{( )}  

, t

tdt n x 1 0 



( )      x n x n

n 1 n 1

1 1

さ , (1) , f(x) log( x)

t tdt n x     



1 1 0 …… ,

f( )log(  ) 







x x t

tdt n x 1 1 0 ………

, f(x) f( x) log( x) log( x) t

tdt

t tdt

n

x x n

          





 1 1 1 1 0 0

f(x) f( x) log x

x t tdt t tdt n x n x       



 



  1

1 01 1

0

f(x) f( x) log x

x t tdt t tdt n x n x      



 



  1

1 0 1 1

0 t tdt t tdt n x n x 1 1 0 0   





 ………

(i) 0 x 1

3 t tdt t tdt x n x n n

x x n n n

1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1      





(  ) ( ) t tdt t tdt x n x n n x n

x n n

1 1 1 1

(ii) 1

3 x 0

t tdt

x n

n

x n

1 1

0

1

 





t tdt

t tdt

x n

x n

n

x

n

x n n

1 1

3

2 1

3

2 1

0

0

1 1

      



  





( )

( ) ( )

(i)(ii) い 場合 , f( ) f( ) log

( )

x x x

x

x n

n

   

 



1 1

5

2 1

1

………

(3) x 1

3を代入 ,

   

 

f 1 f

3

1

3 2

5 1 3

2 1

1

  





log

( )

n

n

n2 ,

 

 

5 1 3

2 1

5 2

1 3

1 3

5 162

1 100

1

3

n

n



   

( )

＞

n3 ,

 

 

5 1 3

2 1

5 2

1 4

1 3

5 648

1 100

1

4

n

n



   

( )

, n3 , log2 f

   

1 f 3

1 3

  誤 差

1

100以 ,

求 log2 近似値 ,

    

 



f 1 f

3

1 3

1 3

1 2

1 9

1 3

1 27

1 3

1 2

1 9

1 3

1 27

56 81

             

［解 説］

(3) 結論を導く , たいへ 丁寧 誘導 け いま 。し し, そ し

17 [筑波大]

(1) 0f(x)＞ , )f(x 0 x 1 い 単 調 増 加 , 0 x＜t )

( ) (x f t

f ＜ , t＜x 1 f(x)＞f(t) 。





_









    

 1

0 1

0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) (

t t

dx x x t dx

x x t dx

x x t t

I f f f f f f









  

 1 1

0

0 ( ) ( ) ( )

) (

t t

t t

dx x x dx x t dx x x dx x

t f f f

f









_



_



 1

0 2

2

) ( )

( )

( 2 2 1 ) (

2 t

t

dx x x dx x x t

t t

t _{f f f f}









_



_

 t t tx x dx tx x dx

1 0

2 _{( ) ( ) ( )}

2

1 _{f f f}

,









( )

2 1 )

( ) ( ) ( 2 1 )

( 2 )

(t t t t2 t t t t t t2 t

I  f   f  f  f   f

(2) (1) ,







( )

2 1 2

1 )

(t t t t

I    f

0 ) (t ＞

f , 右 表

2 1 

t

) (t

I 最 。

［解 説］

絶対値 いた関数を積分 問題 。た し, 0f(x)＞ いう条件 あ た ,

煩雑 計算 必要あ ませ 。

t 0 …

2 1

… 1 )

(t

I － 0 ＋

18 [東京工大]

(1) (i) 1 1

t (0＜t 1)







_x



a

a x _x t e dx t e t a S 0 0 1 1 ) , ( 



   　    　 　 　 t a e a  

  ₁

(ii) 1＜1

t

ea (1＜t ea)

t

ex 1 解 , xlogt ,









dx

t e dx t e t a S a t x t x





       log log 0 1 1 ) , ( 　 　 　 　 　 　 　 　



 



a

t x t x x t e x t e log log 0 1

1 _{ }

 

   _2_{log } 2_ a _1

e t a t t

(iii) e a t



＜

1 _{(t e}a₎

＞





dx

t e t

a

S 



a x 

0 1 ) , ( 　 　 　 　 t a e a  



  ₁

, 10＜t 0

) , ( 2＜ t a dt t a dS 

 , )S(a, t 単 調 減 少 し,

a

e

t＞ 0

) , ( 2＞ t a dt t a dS

 , )S(a, t 単調 増加 。

また,

a e t ＜ 1 2 2 2 2 log 2 2 2 log 2 ) , ( t a t t a t t t dt t a dS     

 。こ

0 ) , (  dt t a dS

解 , 2

a

e

t あ ,

) , (a t

S 増減 右表 う 。

さ , )S(a, t

a

e t

t1,  い

連続 , 2

a

e

t 最 値を ,



,



2 1

)

(  2  2  a 

a a e e e a S a m

(2) (1) ,



2



2

0 2 2 0 2 0 1 lim 1 2 lim ) ( lim a e a e e a a m a a a a a a       _   _  

ここ , b

a _

₂ く , a0 b0 ,



1



1₄

lim 4 1 ) ( lim 2 0 2 0    _  b e a a m b b a

［解 説］

積分計算 い 理解を問う問題 。(2) 極限 e 定義を適用 。

t 1 … 2

a e … a e dt t a dS( , )

－ 0 ＋ )

19 [岡山大]

(1) f(t)et , 



1 

0

)

(x et x dt

g 。

(i) x＜1 ( ) ( )





1

1 0 1

0      





e x dt e xt x e

x t t

g

こ , 関数g(x) 単調減少 。 (ii) 1 x e









1

log log

0 1

log log

0 ( ) ( )

)

( t x t _x

x t x

t _{x dt e x dt e xt e xt}

e

x 



  



    

g

1 3

log 2 ) log 1 ( ) ( log ) 1

(          



 x x x e x x x x x x e

1 log 2 3 1 2 log 2 )

(      

 x

x x x x

g

, 関数g(x) 増減 右表 う 。 極 値 ,

2

) 1 ( 1 2 )

( e e e  e

g

あ 。

(iii) x＞e

1 )

( )

( 1

0     





e x dt x e

x t

g

こ , 関数g(x) 単調増加 。 (i)(ii)(iii) , )yg(x グラフ 概形 右図

う 。

(2) 条 件

 

2 1 f 

a , ま たbf(0), )cf(1

く。 , )f(t 単調増加関数 , b＜a＜c 。 さ , )F(t)f(t く ,

(i) x＜b (x)





(t)x



dt 



F(t)xt



F(1)F(0)x

1 0 1

0 f

g

こ , 関数g(x) 単調減少 。 (ii) b x c

x u) (

f , わち ( )

1 _x

uf く ,











 



1

0 1

0 ( ) ( ) ( ) ( )

)

( u _u

u u

xt t F xt

t F dt x t dt

x t

x 



 f  



f     

g

) 1 ( ) 0 ( 2

) (

2F u  xuxF F

 

1 2 2

) ( 2 1 2

2 ) ( 2 )

(         

 u

dx du x dx du u dx

du x u dx du u F

x f

g



( )



2 2 1 2 2 2 1

2 1       



  _u

dx du x dx du x u

dx du x dx du x

f f

1 ) ( 2 1

2   1 

 _{u f} _x

x 1 … e … e

) (x

g － 0 ＋

) (x

g _{e2 1}

O x

y

1 1

e

2



e

1



e

条件

 

2 1 f 

a ,

2 1 ) (

1 _

 _a

f あ 。

さ , )f(t 単 調 増 加 関 数 , )(

1 _x



f 単 調 増 加 関数 , 0g(x) わち

2 1 ) (

1 _

 _x

f 解 x a 。

さ g(x) 符 号 , xa 前 後 負 正

変わ 。

, 関数g(x) 増減 右表 う 。

(iii) x＞c (x)







(t)x



dtF(1)F(0)x

1

0 f

g

こ , 関数g(x) 単調増加 。

(i)(ii)(iii) , )g(x べ x 対し 連続 , x a 最 値を 。

［解 説］

(2) (1)を一般化した , 同 う 論理を展開 こ ま 。し し,

逆関数 扱い方 , 難易度 アップしま 。

x b … a … c

) (x

g － 0 ＋

) (x

20 [東京大]

ま ,



 





    2 0 2

0 sin( ) ( ) 2 (sin cos cos sin ) ( )

2 x y x y y dy

a dy y y x

a _{f f}



_



_



 _  2

0 2

0 cos ( ) cos sin ( )

sin

2 x y y dy x y y dy

a _{f f}

また,



 





    2 0 2

0 cos( ) ( ) 2 (cos cos sin sin ) ( )

2 x y x y y dy

b dy y y x

b _{f f}



_



_



 _  2

0 2

0 cos ( ) sin sin ( )

cos

2 x y y dy x y y dy

b _{f f}

ここ , 



 

2

0 cos ( )

2

1 _{y y dy}

A f …… , 



 

2

0 sin ( )

2

1 _{y y dy}

B f …… く ,

x x dy y y x b dy y y x a

x cos( ) ( ) sin cos

2 ) ( ) sin( 2 ) ( 2 0 2

0     

 _



 f _



 f

f x x x B x A b x B x A

a( sin  cos ) ( cos  sin )sin cos  x Ab aB x bB

aA 1)sin ( 1)cos

(       ……… , 







    



 2 0 2 cos ) 1 ( cos sin ) 1 ( 2

1 _{aA bB y y aB Ab y dy}

A







     

 _ 2

0 2 ( 1)sin2 ( 1)(1 cos2 )

1 2

1 _{aA bB y aB Ab y dy}



 2( 1) 2

1 2

1 _{   }

 aB Ab

1

2AaBAb , 1(2b)AaB ………

, 







    





2 0

2 _{( 1)sin cos}

sin ) 1 (

2

1 _{aA bB y aB Ab y y dy}

B







     

 _ 2

0 2 ( 1)(1 cos2 ) ( 1)sin2

1 2

1 _{aA bB y aB Ab y dy}



 2( 1) 2

1 2

1 _{   }

 aA bB

1

2BaAbB , 1aA(2b)B ………

をま , 

                      1 1 2 2 B A b a a b ………

さ , )f(x た 1 定ま ,       B A

た 1 定ま こ 同値 ,

1 2 2         a  b

a b

存在 。

0 )

2

( b 2a2  , )a(2b

こ , 