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例外型のシューベルトカリ

＝ル

キュラス

福岡大学 理学部 鍛冶 静雄 ([email protected]) 第５６回トポロジーシンポジウム 北海道大学 2009年8月10日

R

3

内の４本の直線と交わる直線は何本引けるか？

空間内に与えられた４本の直線

三本は一葉双曲面の上

一本は双曲面と２点で交わる

全てと交点を持つ、二本の直線

Introduction Flag variety Schubert calculus Exceptional type Future Work

目次

導入 旗多様体の一般論 シューベルトカルキュラスの紹介 例外型における具体的な計算方法 応用・今後の課題

歴史

数え上げ幾何(Schubert, 19世紀) ⇒ 旗多様体の交差理論(=コホモロジー論)(Ehresmann, 20世紀) ⇒ ワイル群の組み合わせ論(Chevalley, 20世紀後半–) 旗多様体G/P:リー群の等質空間(例:グラスマン多様体) ワイル群W:有限コクセター群(例:対称群) シューベルト多様体Xw: W でパラメトライズされた部分多様体族 問題 Xw の幾何を、W の言葉で記述する

旗多様体

G: 単連結単純複素リー群 B⊂G: Borel部分群 P ⊃B:放物部分群 G/P:旗多様体 例1 Cnの中の線形部分空間の増大列₍旗₎ Fln:= {0(V1(V2(· · · (Vn= Cn} G=GLn(C)が推移的に右作用 固定化群は上三角行列全体B

Fln=GLn(C)/B: complete flag variety

例2 Cnの中のm次線形部分空間全体 Gr(m,n) xGLn(C) 固定化群はPm= „ Am ∗ 0 An−m « Gr(m,n) =GLn(C)/Pm:複素グラスマン多様体

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ワイル群

T ⊂B⊂G:極大トーラス n=dim T :ランク t_{: T} のリー環 s1, . . . ,sn∈GL(t∗):単純鏡映 W = hs1, . . . ,sni:ワイル群 l(w)∈ Z≥0:最短表示の長さ Fact 放物部分群Pは部分集合 P ( {1,2, . . . ,n}と対応 (B⇔ ∅) WP_{= hs} iii∈P: Pのワイル群 WP:= {w∈W | ∀i ∈ P,/ l(wsi) >l(w)} ∼=W/WP Pm: P = {1,2, . . . , ˆm, . . . ,n}に対応する放物部分群 例 G=GLn,P=Pmの時、W =Sn,WP =Sm×Sn−m WP= {w ∈Sn|w(1) < · · · <w(m),w(m+1) < · · · <w(n)}

型の分類

古典型 G/B GLn/B SO2n+1(C)/B Sp2n(C)/B SO2n(C)/B 次元(=2l(w0)) n(n−1) 2n2 2n2 2n(n−1) オイラー数(= #W ) n! 2nn! 2nn! 2n−1 n! 例外型 G/B G2/B F4/B E6/B E7/B E8/B 次元(=2l(w0)) 12 48 72 126 240 オイラー数(= #W ) 12 1152 51840 2903040 696729600

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シューベルト多様体

T yG/Pの固定点は、WPでパラメトライズされる有限集合 {wP/P} ,w∈WP その左B軌道の閉包 Xw :=BwP/P は、シューベルト多様体と呼ばれる部分多様体を定義する。 例 G=GLn,P=Pmの時、w∈WPm に対して、 Xw= {V ⊂ Cn|dim(V ∩ Cw(j)) ≥j} ⊂Gr(m,n)

例

: Fl

4

のシューベルト多様体

w=  1 2 3 4 3 4 1 2  ∈S4 最短表示はw=s2s1s3s2, l(w) =4 w=     0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     Bw =     ∗ ∗ 6=0 ∗ ∗ ∗ 0 6=0 6=0 ∗ 0 0 0 6=0 0 0     BwB/B=     ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     dimCBwB/B= #∗ =l(w) =4

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Bruhat

順序

W の(strong)Bruhat順序: w ≤v ⇔v = [i1, . . .ik]の ∃subword[in1, . . . ,inj] =w W(GL4(C)) =S4のBruhat順序 全体 GL4(C)/Bに対応 青色 WP2 ⊂W : GL4(C)/P2=Gr(2,4)に対応 水色 {v ∈W |v ≤ [2,1,3,2]}: シューベルト多様体X[2,1,3,2] に対応

Bruhat

順序

W の(strong)Bruhat順序: w ≤v ⇔v = [i1, . . .ik]の ∃subword[in1, . . . ,inj] =w W(GL4(C)) =S4のBruhat順序 全体 GL4(C)/Bに対応 青色 WP2 ⊂W : GL4(C)/P2=Gr(2,4)に対応 水色 {v ∈W |v ≤ [2,1,3,2]}: シューベルト多様体X[2,1,3,2] に対応

幾何

⇔

組み合わせ論

dim Xw=2l(w) 最長元w0∈W ⇔Xw0=G/B w ≤v ⇔Xw⊂Xv Xwのsingularity⇔wの最短表示に現れるパターン H∗(G/P; Z) ∼=L w∈WPZ[Xw] σw:= [Xw]∨と定めると、H∗(G/P; Z) ∼=Lw∈WPZσw σw ∈H2l(w)(G/P; Z)をシューベルト類という H∗_{(G/P; Z)}は_torsion-freeかつ_Hodd_{(G/P; Z) =0} σu∪ σv =P wc w u,vσwとかける cuw,v をstructure constantと呼ぶ 問題(シューベルトカルキュラスの基本的な問題) ワイル群の組み合わせ論の言葉で Xwのsingularityを記述 cw u,vを計算する公式 cw u,v ≥0を証明

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コホモロジー計算のアルゴリズム

structure constantを計算するアルゴリズム Littlewood-Richardson rule

Chevalley formula

GKM type formula (localization formula) Duan’s formula

シューベルト多項式

現状では、例外型はあまり考慮されていない

目標

コホモロジーの

Borel

表示

H∗(G; Z)のtorsion prime G GLn(C) SOn(C) Sp2n(C) G2 F4,E6,E7 E8 p なし 2 なし 2 2,3 2,3,5 R:= Z[p−1] p:torsion primesとおくと、 定理(Borel) H∗_{(G/P;R) ∼=} H ∗_(BT;R)WP (H+_(BT;R)W₎ (H ∗_{(BT; Z) = Z[x1, . . . ,x} n]) H∗_(BT;R)WP : Pのワイル群の不変式環 (H+_(BT;R)W_{): Gのワイル群の正次数不変式で生成されるイデアル} G=GLn(C),Sp2n(C)の時、R= Z H∗_(G/B;R)は環として₂次のシューベルト類_{σ [1], . . . , σ[n]}で生成 W y{σ[1], . . . , σ[n]}は知られている

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例

: H

∗

(

Gr

(

m

,

n

); Z)

H∗_{(Gr(m,n); Z) ∼} = Z[x1, . . . ,xn] Sm×Sn−m (Z+_{[x1, . . . ,x} n]Sn) ∼ = Z[c1, . . . ,cm,c ′ 1, . . . ,cn′−m] (1+c1(x1, . . . ,xn) + · · · +cn(x1, . . . ,xn)) ci :=ci(x1, . . . ,xm),ci′:=ci(xm+1, . . . ,xn) Giambelli公式(σ_w の多項式代表を与える):σw =deti ,j  c′ w(m+1−i)−2i+j  σ4 [2]= (c1′)4≡2(c′2)2=2σ[2,1,3,2] 差分商作用素(多項式で与えられたクラスをXw 上で積分する): ∆[i1,i2,...,ik]= ∆i1◦ · · · ◦ ∆ik : Z[c1, . . . ,cm,c ′ 1, . . . ,cn′−m] ∆i(f) := f(x1, . . . ,xi,xi+1, . . . ,xn) −f(x1, . . . ,xi+1,xi, . . . ,xn) xi+1−xi ∆[2,1,3,2](c′ 1)4= ∆[2,1,3,2](x3+x4)4=2

H

∗

(

Gr

(

2

,

4

))

と４直線の問題

R3内の４本の直線と交わる直線は何本引けるか？ ⊗C&同次化(ax+by+cz=d ⇒ax+by +cz−dw =0) R3内の与えられた直線と交わる直線全体 ⇒ C4内で、原点を通る平面と交わる平面全体 = {V2_{⊂ C}4_|dim(V2_{∩ C}2_{) ≥1}} = X =X0 @ 1 2 3 4 1 3 2 4 1 A 置換 1 2 3 4 1 3 2 4  の最短表示はs2 対応するシューベルト類は σ[2] R3内の与えられた４本の直線全てと交わる直線全体 Y :=X∩X∩X ∩X #Y = Z Gr(2,4) σ[2]4 =2

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多項式によるアプローチ

“良い”多項式代表:シューベルト多項式 Giambelli公式:陽な公式 差分商作用素: (Bruhat順序で)上からの再帰 transition公式:下からの再帰 リー群 古典型 例外型 シューベルト多項式 ○ × 差分商作用素 ○ ○ Giambelli公式 △ × transition公式 ○ △ 問題(とりあえず) 例外型の場合に、(力づくで)多項式表示を探す

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目標

例外型の旗多様体について、 1 コホモロジーを環として生成する {σ wj}を見つけ出す π : Z[σw1, . . . , σwk] ։H ∗_{(G/P; Z)} 2 それらが満たす関係式を求める kerπ = (ρ1, . . . , ρh) ⇒H∗(G/P; Z) ∼=Z[σw1, . . . , σwk] (ρ1, . . . , ρh) 3 任意のw ∈Wについて、σ wを {σwk}達の積和で表す σw=fw(σw1, . . . , σwk) ∈ Z[σw1, . . . , σwk] (ρ1, . . . , ρh)

方針

次の単射準同型が存在: H∗(G/P; Z) = M w∈WP Zσw ֒→ M w∈W Zσw=H∗(G/B; Z) σw 7→ σw ⇒ H∗_{(G/B; Z)}が親玉 困難:計算機を用いても、直接には手に負えない大きさ 例 rank(H∗_{(E8/B)) = |W| =696729600⇒大きすぎる!} 解決策:小さな部分に分割する 例 rank(H∗_{(E8/P2)) = |W} P2| =17280⇒何とかなる

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方針

ファイバー束 (∗) P/B֒→ι G/B−→p G/P P/B,G/B,G/Pは全て旗多様体 Serreスペクトル系列はE2-collapse H∗_{(G/P; Z) =H}∗_{(G/B; Z)}WP  Z[σvi] ։ H ∗_{(G/P; Z)} Z[ι∗_(σ ui)] ։ H ∗_{(P/B; Z)} ⇒Z[σvi, σui] ։H ∗_{(G/B; Z)} †二つのパートH∗_{(P/B; Z)& H}∗_{(G/P; Z)に分解}

方針

‡ディンキン図式の頂点をひとつ引き抜いて、A型かC型にできる c cs α1 α2 c c c c s α1 α2 α3 α4 c c c c c c s α1 α3 α4 α5 α6 αn α2 ⇒(∗) ( GLn(C)/B֒→G/B p −→G/P2 (G=G2,En) Sp2n(C)/B֒→G/B−→p G/P1 (G=F4) Pm: {1,2, . . . , ˆm, . . . ,n}に対応する極大放物部分群 H∗_(GL n/B; Z),H∗(Sp2n/B; Z) のBorel表示は簡単

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E

型の場合

t1= − σ[1]+ σ[2], t2= σ[1]+ σ[2]− σ[3], t3= σ[2]+ σ[3]− σ[4], t4=σ[4]− σ[5], ti = σ[i]− σ[i+1], . . . ,tn= σ[n], と置くと、({ti}は σ[n]のWP2-軌道) H∗_{(BT; Z) = hσ[1], . . . , σ[} n]i = hσ[2],t1, . . . ,tni WP2_{= hs1, ˆs2, . . . ,s} ni,W = hWP2,s2i WP2_y{t_{1, . . . ,t} n}:置換 WP2_yσ[2]_:自明 ci :=ci(t1, . . . ,tn) : i 次基本対称式 ⇒ H+(BT; Z)WP2_{= σ[2],c2, . . . ,c} n
⇒ H∗_{(P2/B; Z) ∼=H}∗_(GL n(C)/B; Z) ∼= H∗_{(BT; Z)} H+_{(BT; Z)}WP
∼= Z[σ[2],t1, . . . ,tn] σ[2],c2, . . . ,cn

E

型の場合

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2

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E

型の場合

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2 H∗_(GL n(C)/B; Z) ∼= Z[σ[2],t1, . . . ,tn] (σ[2],c2, . . . ,cn)

E

型の場合

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2 H∗_(GL n(C)/B; Z) ∼= Z[σ[2],t1, . . . ,tn] (σ[2],c2, . . . ,cn) H∗_(E n/P2; Z) ∼=H∗(En/B; Z)WP2 ∼=Lw∈WPZσw Z[1 p][σ[2],c2, . . . ,cn] ։H ∗_(E n/P2; Z[1_p]), (p:torsion primes)

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差分商作用素

W yH∗_{(G/B; Z)} si(σw) = ( σw (l(wsi) =l(w) +1)) −σw−P(α∨, αi)σwsisα (l(wsi) =l(w) −1)) (ここでαは、l(wsisα) =l(w)なる正ルート全体を動く) i ∈ {1, . . . ,l}, ∆i :H∗(G/B; Z) →H∗−2(G/B; Z)

∆i(f∪g) = ∆i(f) ∪g+si(f) ∪ ∆i(g), f,g∈H∗(G/B; Z) ∆iσw = ( σwsi (l(wsi) =l(w) −1) 0 (l(wsi) =l(w) +1) w = [i1, . . . ,ik] ∈W ∆w = ∆i1◦ · · · ◦ ∆ik :H ∗_{(G/B; Z) →H}∗−2l(w)_{(G/B; Z)} f(σvi) = X ∆w(f)σw シューベルト類の積和 ⇒ シューベルト類の線形和

例外型グラスマン

E

n

/

P

2 低い次数から順に、 Z[σ[2],c2, . . . ,cn]の単項式を、差分商作用素によりシューベルト類の線形 和で表示 Im`Z[σ[2],c2, . . . ,cn] →H∗(En/P2; Z) ´_{に入らないシューベルト類} σwk を 探す Z[σ[2],c2, . . . ,cn, σwk]として上記を繰り返す ker(∆w)についても同様に、その生成元rk を特定 ⇒H∗_(E n/P2; Z) ∼= Z[σwk] (rk)

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E

6

/

P

2

においての実際の計算

deg 2 4 6 8 WP2 [2] [4,2] [3,4,2], [5,4,2] [1,3,4,2], [3,5,4,2], [6,5,4,2] G2:= {σ[2],c2,c3,c4,c5,c6}: generator set R2:= ∅: relation set   degree 4 1 _σ2 [2]= σ[4,2] 2 _c2=4σ[ 4,2] 3 _G 4:= {σ[2],cˆ2,c3,c4,c5,c6} 4 _{R4:= {g2=4σ}2 [2]} degree 6 1 _σ3 [2]= σ[3,4,2]+ σ[5,4,2] 2 _c3=2σ[ 3,4,2]+4σ[5,4,2] 3 _G 6:= {σ[2],σ[5,4,2],cˆ3,c4,c5,c6} 4 _{R6:= {g2,g3=2σ[} 5,4,2]+2σ3[2]} H≤6(E6/P2; Z) ∼= Z[σ[2], σ[5,4,2]]

主結果

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2

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主結果

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2 Z[t1, . . . ,tn] ։H∗(GLn(C)/B); Z)

主結果

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2 Z[t1, . . . ,tn] ։H∗(GLn(C)/B); Z) H∗_(E n/P2; Z) ∼= Z[σwk] (rk)

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主結果

GLn(C)/B ι ֒→En/B p −→En/P2 Z[t1, . . . ,tn] ։H∗(GLn(C)/B); Z) H∗_(E n/P2; Z) ∼= Z[σwk] (rk) ciを、H∗(En/P2; Z)の中で多項式表示したものをgi と置くと、 H∗(En/B; Z) ∼= Z[t1, . . . ,tn] ⊗H∗(En/P2; Z) hci−gii , (i =1, . . . ,n) 定理(Nakagawa-K) H∗(En/B; Z) = Z[σ[i], σwk] (ci−gi,rk) , (i =1, . . . ,n)

シューベルト類

σ

w

の多項式代表

w ∈W は、w =u·v,u∈WP,v ∈WPと分解できる

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シューベルト類

σ

w

の多項式代表

w ∈W は、w =u·v,u∈WP,v ∈WPと分解できる lP(w) :=l(v)と定める σw= σuv ∈H∗(G/B) ⇒ ( σu∈H∗(G/P) u∈WP σv ∈H∗(P/B) v ∈WP

シューベルト類

σ

w

の多項式代表

w ∈W は、w =u·v,u∈WP,v ∈WPと分解できる lP(w) :=l(v)と定める σw= σuv ∈H∗(G/B) ⇒ ( σu∈H∗(G/P) u∈WP σv ∈H∗(P/B) v ∈WP u ∈WP⇒ σu∈H∗(G/P; Z):計算機で列挙可能

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シューベルト類

σ

w

の多項式代表

w ∈W は、w =u·v,u∈WP,v ∈WPと分解できる lP(w) :=l(v)と定める σw= σuv ∈H∗(G/B) ⇒ ( σu∈H∗(G/P) u∈WP σv ∈H∗(P/B) v ∈WP u ∈WP⇒ σu∈H∗(G/P; Z):計算機で列挙可能 v ∈WP_{⇒ σ} v ∈H∗(P/B; Z): 古典型に帰着

シューベルト類

σ

w

の多項式代表

w ∈W は、w =u·v,u∈WP,v ∈WPと分解できる lP(w) :=l(v)と定める σw= σuv ∈H∗(G/B)⇒ ( σu∈H∗(G/P) u∈WP σv ∈H∗(P/B) v ∈WP u ∈WP⇒ σu∈H∗(G/P; Z):計算機で列挙可能 v ∈WP_{⇒ σ} v ∈H∗(P/B; Z): 古典型に帰着 補題(Transition公式もどき) σw = σuσv− X w′:lP(w′)<lP(w) ∆w′(σ_uσ_v)σ_w′ を用いて、再帰的にlP(w) =0⇔ σw ∈H∗(G/P; Z)に帰着

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応用

定理 H∗_{(G/B; Z) =} Z[σ[i], σwk] (rk)  (の具体的な表示) σwk: GのChow環A ∗_{(G)の生成元 ⇒A}∗_(G)の決定 (rk): W の不変式環に関係 ⇒W のstable invariantsの決定 H∗_{(G; Z)の決定[Duan-Zhao]} H∗_{(G; F} p)を Ap代数として決定[Duan-Zhao]

今後の課題

torsion index ∃t(w) ∈ N,t(w)σw ∈ Im (H∗_{(BT; Z) →H}∗_{(G/B; Z))} decomposability σw が次数の低いシューベルト類の積和に分解する条件 予想:σw がindecomposable⇒ σw はグラスマン由来 シューベルト多項式 例外型の場合の特徴付け transition公式 Giambelli公式 T -同変コホモロジーの多項式環による表示

orbifold Schubert calculus

T の有限部分群H∼=L Z/λiZ yG/P

等質空間G/P(λ) :=H\G/P (weighted projective spaceの一般化)

H∗_{(G/P(λ); Q) ∼=H}∗_{(G/P; Q)}