離散剛要素法 による岩盤斜面 の解析
木 山
英郎・ 藤村
尚・ 西村
強
*海 洋 土 木 工 学 科 ・*土木 工 学 科
(1988年9月 1国受理)
DEA/f analysis for dynaH
c failure modes of discontinuous rock slopes
by
HideO KIYAMA,Hisashi FuJIMuRA and TSuyoshi NIsHIMURA
Departlnent of Ocean Civil EngineeringネDepartinent of Civil Engineering
(Received September l,1988)
The authors have demonstrated that DEh/1(Distinct Element lethod)iS a numerical method M/hich is very helpful in exaHlining the prOblem for foundation engineering The stability of rock slopes, especially during earthquake, becomes an irnportant engineering probleni to be solved
ln this investigation,fonowing three differeht kinds of models were analyzed by
DE 【
1)Stability of one block on a siope
2)Fa■ ure of a rOck block column composed of few same size square blocks 3)Failure of rock slopes composed of hundreds of same size rectangular blocks
Through the comparisons between DE [ results and theoretical results, the apphcability of DEM for such problems and the failure modes of rock slopes are discussed in this paper
1
緒言 急傾斜地をは じめ として,山
地,切
取斜面,ダ
ム貯水 池斜面な どの安定は土木工学のみな らず資源工学,応
用 地質学,地
質工学等の分野で極めて重大な問題である. また,発
電所等の重要構造物の建設が増すにつれ,斜
面 の安全桂,特
に,地
震に対す る安全性が要求される場合 が多い. これ ら斜面の安定に関 しては,幾
つかの解析手法が開 発され,既
に現実の斜面の安定問題に対 し数多 くの成果 を挙げている。 しか し,節
理,層
理,断
層等の発達 した 岩盤では,斜
面の安定性がこれ ら不連続面に大 きく支配 されるため,解
析手法の改良・修正,あ
るいは新たな解 析法の開発が望 まれ る。 従来,岩
盤斜面の破壊様式は,絶
壁などで発生す る分 離 崩落 (rOck falls)と,斜
面の形状と岩盤内部の性 質に支配 され るすべ り(sliding)の 2つに分雄 され ると 考えられてきた しか し,斜
面の傾斜がすべ り破壊を生ずるほ ど急峻で ないのに破壌が発生することがあ り,このような現象は 上述の2つの破壊様式だけでは説明できない。 そこで,Ashby,」 .P,(1971)は第3の破壊様式 として, 転倒・滑落 (toppling)を 提唱 した.転
倒・滑落破壊は, 岩柱あるいは岩塊の回転 を含む動力学的な破壊様式であ る.このような破壊は,鳳
化が進行 し,節
理の卓越 した 碩岩からなる急勾配の傾斜地では支配的になることが予 想され,斜
面破壊 としてあ り得る形態 と考えられる ところで,著
者 らは,地
盤の変形解析を行 うとき,地
盤のもつ粒状性あるいは不連続性 を考慮 した解析を行 う 必要があるという考 えか ら,離
散剛要素法 (Distinct Element Method,以下DEMと
略す)による解析を試み てきているt).こ の手法は,分
離 した醐体プロ ック個々 に運動方程式 を立て,時
間増分毎に差分化 して解 く手法 であ り,す
べ りな どの並進のみな らず,回転を含む大変 形を経時的に追跡す ることが可能である. 本研究では,岩
盤斜面の転倒・滑落破壊の発生機構に 者 日して,まず,斜
面上に置かれた方形プロックの挙動 をDEM解
析によって追跡 し,従
来の報告 と比較す る. 続いて,方
形要素のDEM汎
用プログラムを開発す ると ともに,不
連続性岩盤モデルヘの適用 を試みる2,長
方形 プロ ックの挙動を支配す る幾何学的条件2-1
既往の研究 本章では,斜
面上に置かれた単一ブロッタの挙動の分 類に注目し,DEM解
析による条件と従来の研究による 条件 を比較す ることによ り,DEMを
転倒・滑落破壊に 適用 した際の妥当性 を検討す る 図-1に
示すよ うに,傾
斜角 αの斜面上にある,高
さh,底
面の長さとの長方形プロックを考 え,プ
ロ ックのす べ り落ちる運動に抵抗す る力は摩擦だけによる,す
なわ ち,粘
着力c=0と 仮定す る また,斜
面とプロ ックの間 の摩擦角 をφとす ると,このプロッタが,斜
面上で安定 な状態を保つための幾何学的条件は,tanα
≦tanφ
(1)
tanα
≦b/h (2)
の2式を満足す ることである。ここで,式
(1)は
, ブ ロ ックに作用する力の合力が0の状態 より導かれ,式
(2)は
,頂
点についてのモーメン ト(重カベ クトルが, ブロ ックの底面の外に出ない状態)の釣合いよ り導かれ る Ashbyは実験結果 より,式
(1)の
背反条件ですべ り, 式(2)の
背反条件で転倒,そして式(1〉,(2)の
両式の背反条件ですべ りと転倒を同時に起 こす とい うよ うな分類 を行い, これまでの破壊様式の条件を拡張 した この条件 を図-2に
示す. 図-3は
,Brayと Goodttane'が示 した ものである.彼
ら の条件の特徴は,純
粋なすべ りだけの領域は広 く,す
べ りと転例が同時に起 こる領域は狭 くなっている点にある. 国-1
斜 面上のフ ロッ ク鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第
19巻
これは,図-2が
,上
述の ように,静
的な力の釣合い の限界状態よ り求め られているのに対 し,図
-3で
は、 斜面下向きのすべ りによる運動量が考慮されていること tan φ による。 さらに,Sagasetae)は,これ らに対 し,回転に関する 条件が道切でない として次の並進・回転に関する運動方 程式 を解 くことによって図-4を
導いた.m gsinα ―T=m文 m gcosα 一
N=my
を
Th―
(歩a)N=￡
m(b￡
+h2)う
(3)
以上が,従
来の報告の概要である.2-2 DEM解
析結果 図-1に
示すよ うなプロ ックの挙動が,斜
面の傾斜角 αおよびブロ ックの細長比b/hの値によつて どの様に変化 するか解析す る 解析に用いた定数をは表-1に
示す. 解析は,まず,ブ
ロ ックの斜面下側に,壁
を仮定 して 静止状態 を求め る.そ
の後,壁
を取 り去 り,プ
ロックの 挙動を追跡す るものである.本
解析においては,す
べ り とは接触点においてT/ド〉tan φの条件が満たされること, また,転
倒・滑落 とはA点の周 りに回転 し,味
が斜面か ら離れ ることとしている。領域の境界付近では,す
べ り が先行 し,続
いて,転
倒・滑落が生 じる場合,あるいは, その逆の場合が考 えられ るが,これ らはすべ りと転団・ 滑落が同時に生 していると判定す る。なお,斜
面の傾斜 角αは,重
力の作用方向を反時計方向に回転することに より表現する。 図-5は
,今
回の解析結果の一例を示 したものである。 この図では,ブ
ロ ックの面積Sを 2(c B2)に,tan φを048
表-1
解析定数Kn/o JLy=Ks/o営
=3.85×
104(c師) ″n/o貿
=″s/o Fr=20× 10(cm・
△ t0
×10-5(seC)tan
φ0,48
国-2
b/h tan φ tan a フ ロックの幸動 を支配する装何学的条件 (Ashbyに よる) tan φ tan φ tan a 図 ― も プ ロ ッ クの挙 動 を支酉とす る装 何宇 的条 件 (Brayと Ooodmant三 よる) b/ん rc,◆ 図-4
フ ロックの挙動 を支憑じす る装何■日〕条件 (3agasetaに よる ' SLIDlltG SしIDING AND TCPPしING ton a/ tan ` 国-5 Dと
ヽ1解析籍果に固定 している 図中の実線は,Sagattet4の解を描 いた ものであるが
,本
解析結果 とほぼ一致 している これは DEMが基本的には,運
動方程式を差分化 して解く方法で あることから当然の結果 とも言えるが,解
析結果の確か らしさを表 しているとも言える 図-2, 3と
比較 して 図-4, 5で
転倒 滑落領域が広がったことは,次
のよ うに説明できるX=き
hうy=―
をbうう
>0 (4)
a=O T/N<tanφ
これ らを転倒・滑落のみが生 じるときの境界条件 とし て,式
(2)に
代入すれば,重
力の各成分に比べ,慣
性 覇分だけ,Nは
大 きく,Tは
小さくなることがわか る. このため,従
来の結果と比較すれば,す
べ りは生 じにく くな り,転
倒・滑落のみの領域は広がると考えられ る. 図-5で
は,【n=X3,η n=ηoして解析を進めたが,図
-6で
は,ηn=2η 。 して解析 を進めた場合を示 してい る 同じく実線はSattase taの解を示 しているが,図
-5
とは異な り,両
者が食い違 う部分がみ られ る これは, 斜面法線方向と接線方向の反力の算定において,係
数が 異なるためであり,解
析定数の設定には注意を要するこ とを示 しているf しか し, このことは, DEMの
妥当性 を減 じるものではなく,む
しろ,垂
直方向とせん断方向 の剛性の異なるような材料についても,その挙動を的確 に表現 し得るもの と判断 している3
不連続面を有するブロ ックの解析 前章では,単
一プロ ックの斜面上における転倒・滑落 破壊のDEM解
析 を行 つた 本章では前章 をさらに進め, 単一 プロ ック内に複数の不連続面 を考慮 したモデルの解 析を行 う。そ して,この不連続面がプロックの挙動にど のように影響 を与 えるかを限界平衡法およびDEMを
用 いて検討する.3-1
限界平衡法の概要 限界平街法▲〕'5)とは,岩
盤ブロックを剛体 とみな し, 静的な力の釣合いか ら斜面の限界釣合い状態を解析する 方法である.この限界平衡法 を,以
下の岩柱プロッタモ デル を例にして述べ る 岩柱のブロ ックモデル として,斜
面上に縦・横2cDのブ ロックを積んだ場合の解析を行 う`ブ
ロ ックh個の場合に ついて,力の釣合 いを検討 したのが図-7(参
考文献4) より引用)である。斜面の傾斜角をα,ブ
ロッタ1個の 重さをWとす ると,最
頂部の プロ ックPIが面RI Slですべ りだす条件は,W・ sin α>tanφ 12・ W° COs α より
tan α>tan φ
:2
∴α>φiぞとなる.ここに, φ12は, プロ ツクPlとP2の間の摩擦角 である 面RI Slですべ りが生 しない場合
,ブ
ロ ックPlの 自重が面Ri Siで伝達 され, プロ ックPlとP2が体
となつ てすべ り出す条件は,同
様に, α<φ leでかつ,>φ
29 となる. したが って,プ
ロ ック1,2,……・,iが体
となつて面 面RISIで滑 りが発生 す る 条 件 :α>φ 国-6 DLM解
析結果(Кn=o5Xs) 回-7 n個
のフ ロックか らなる者杜の力の釣台い鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第
19巻
RiSiですべり出す条件は,
α<φ れj手i(j〈
i)か
つα>φi,Ⅲ
l (5)
とな り,α <φn→l,nの条件では
,n個
の岩柱は不連続面 にすべ りを生 しず,一
体として挙勤することがわかる しかし, φn,1,nはばらつきはあるが平均φの値を示すか ら,α ≧φn千1,n=φの場合,岩
柱はすべての不連続面で 同時にすべ りを生 じることになる.一
方,n個 のプロック が一体となつて転倒する条件は, α>Arc tan(1/3) である.3-2
解析結果の比較 図-8は
, 5つの プロッタを傾斜角45° の斜面上にお いた ときの挙動を解析開始か ら0,025秒毎に0.2秒まで構 いた ものである.岩
柱が一体 とな って転倒するとき,上
端部が先行するのでなく,中
央部が先行 し,腹
み出すよ うな状態になる様子がわかる。 図-9は
,上
記 した限界平衛法 とDEM解
析結果 を比 較 したものである.φ=25.6° として,式
(5),(6)
を図示 したものが図中の実線であ り,プ
ロ ット点はDE
M解析結果である.●
は静上 したことを,日
はすべ りを 生 じたことを,また,▲は転倒 したことを示 している. ○,□ ,△
は数個のプロ ックを重ねた ものを同一サイズ の単一プロックとして解析 した ものである. 図-9よ
り,限
界平衡解析にお いては,n≧3の
とき, α>Arc tan(1/n)と なるから,n>3の
場合,岩
柱は一体 とな つて転倒することになる 一方,DEM解
析結果 をみると,限
界平衡解析に比べ, 転倒が若千小 さな角度で生 じる傾 向が認め られ るが,両
者はよく一致するとみな して良いであろ う.4.不
連続性岩盤斜面への適用4-1解
析モデルの設定 前章での検証に続いて,本
章では,不
連続性岩盤の簡 単なモデルヘの適用 を試みる。図-10ヽ
12各
(a)図 に示すように縦lcD・ 横2c日の長方形プロ ックを約500個用 いて解析モデルを設定 した.各
要素に与えた定数は表 一 1に示す。 図-10は
各層交互 に積 まれてお り,
“ち どり積みルとょぶ ことに し,また,図
-11, 12は
“ 方眼積み"とよぶ ことにす る.図
-11と
図-12の
相 遠は,図
-11で
は,各
岩柱はす ぐとな りの岩柱 と接 し, 干渉 し合 っているのに対 し,図
-12で
は,各
岩柱間に 0 01cBのわずかな隙間を設けたこ とにある.また,い
ず れの図においても積層面に対する斜面傾度は約63° とし ている 解析の手順は概ね次の通 りである。まず,各
要素 を重 力の作用下で静止 させ る.続
いて,0.5(rad/sec)の 速度40
傾30
斜25,6
角20
α10
0 滑 り 滑 り と 転 倒 領 の 領 域 α=φ
転 劉 領 域 安 定 領 域 2 3 5 6 プ ロ ッ ク の 個 数n(個
) 図-9
限界平綺解析とDEM解
析の比較(6)
図-8
不 連続 面 を持つプ ロ ックのDEM解
析 例で重力の方向を反時計方向に回転 させる 不連続面 と重 力方向のなす角を変化 させて
,斜
面の筋壌形態 を観察す るものである4-2
解析結果 図-10∼
12に
解析結果 を示 している を図におい て(a)図は静止状態を,(b)図
以降はは崩壊過程 を描 いた ものである.図
中の θは,基
盤の傾斜角を, tは基 盤の傾斜角 を固定 してか らの経過時間を示 している 図 中の接触点の線分は,接
触力をベク トル表示 した もので あ り,接
点をはさんで作用力 と反作用力を表 し,両
者は 大きさ等 しく,方
向が逆で一本の線分となる。この全線 分長が図中の要素の長辺の長さに等 しいとき接触力の大 きさは20個
の要素重量に相当する. まず,図
-10に
示 したちどり積みについてみる (a)図をみると,上
表面が平坦な部分では,接
撤力が鉛 直方向を指すのに対 し,斜
面部では徐々にその方向を変 え,斜
面 とほぼ平行の方向を指す ようになる(b)図
以 降に示 しているように,崩
壊はθが25.5° とな つたとき 生 し始める。これ以下の傾斜角では,基
盤の回転を一時 的に停止 しても,崩
壊は生 しなかった この25.5° とい う角度は,要
素に与 えた表面摩擦角に等 しいものである. このことか ら,崩壊は,静
止時の水平方向の成層面に沿 つたすべ りが先行 して生 しているといえる. つぎに,図
-11に
示す方眼積みにつ いてみる。 (b) 図以降に示すように,基
盤の傾斜角が23.0° となった と きに,法
肩付近に亀裂が生 じ始め,時
間の経過 と共に, プロ ックは柱状 となって転倒 し,崩壊が生 じる。前章の 限界平衡解析からすれば,基
盤の傾斜角が4° とな つた ところで平坦部の岩柱は一体 とな って転倒を開始す るこ とにな るため,図
-10に
比べ,か
な り小 さい角度で崩 壊が生ずるはずである このことは,次
のように説明 さ れる. 本解析プログラムでは, 1頂点は複数の要素 と接触可 能(方形の場合,接
触可能相手は最高3個 )で ,また, 1頂点は,接
触相手の最高2つの辺 と接触可能であると している.このため,この図の例では, 1要素は,上
下 の要素のみならず,斜
め上あるいは斜め下の要素とも接 触することができる.(■
)図で,接
触力の作用方向が鉛 直か ら少 しずれているのはこのためである したがって, 図-11は
,図
-10の
配列に比ぺ,上
下の要素間の噛 み合わせ量が小 さくな ったちどり積みの一例 と考えるこ とも可能であろ う。このことが,崩壊開始角度が2う°と 9=255‐ t=0.05sec 9=25.5' t=0.20sec 凹-10 DLM解
析結 果(ちと り禎,鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第
19巻
(d, 9=13 t=U 20Sec(a)静
止状態 θ=9°(b)
θ=23° t=0.05sec(d)
θ=23° t=0,20sec 図-1l DEM解
析結果(方眼積, 図-12 DLM解
析結 果(万H員禎 層間Uけ lcn,やや大きくなつた一因 と考 えられ る そこで
,各
岩柱間にわずかな隙間 を設けた例が図-1
2である.斜
面崩壊は傾斜角が, θ=13,0° になった時 に生 じ始める.その形態の図-11と
異なる点は,不
連 続面の開回の進展が法肩部では観察 されず,内
部でみら れること,平
坦部の岩柱の倒れ込みによって,斜
面部を 構成する岩柱は転倒よ りむ しろ座屈に近 い状態 を呈 して いることの2点である。 以上のように,配
列 あるいは不連続面の初期状態にお ける開口幅の相速によって,斜
面の強度や崩壊時の形態 が異なることがDEM解
析によって示す ことができる5
結語 本研究は,岩
盤斜面の崩壊機構に着 目して, 3種類の モデルのDEM解
析を実施 し,既
往の結果及び限界平衡 解析結果等 と比較 した。得 られた結論を示す と以下の通 りである. 1)単一プロックの解析 斜面上おかれた単一プロックの挙動を解析 した その 結果ブロックの挙動は,そ
の細長比,斜
面の傾斜角およ び摩擦角の大小関係によって,安
定,す
べ りのみ,転
倒 のみ,す
べ りかつ転倒す る,の
4つに分類 され る.本
解 析で得 られた結果は,AshbyやGoodttan&Brayの解 よりも慣 性力を考慮 したSagasetaの解に一致することが証明 され た。 2)岩柱プロッタの解析 斜面上に複数のプロックを柱状におき,その個数 と転倒 開始角の関係を求め,限
界平衡解析結果 と比較 した,そ
の結果,DEM解
析は限界平衡解析 とよく一致する解 を 与えることがわか つた、 3)岩盤斜面モデルの解析 解析プログラムを数百程度の要素数のモデルにも適用 できるものに拡張 し,岩
盤斜面モデルの解析を実施 した 要素の配列によって,斜
面の崩壊開始角度や崩壊形態が 異なることが示 された, なお、岩盤斜面モデルの設定に当たつては、模型実験 で研究 を先行 しておられ る名古屋大学工学部川ホ膠L万先 生始め同研究室の皆様の御指導をいただいた。今後両者 の詳細な比較検討に研究 を進め る予定である。 参考文献1)た
とえば,木
山英郎・藤村 尚・西村 強:DEM
解析によるFenner一 Pacher型
支保特性 曲線の実現 と考察,土
木学会論文集,Io.3,4/Ⅲ-9 pp37-44,1988.2〉 Bray,J,V, & Goodman,R.E : The Theory of Base
Friction Modeis, Int.J. Rock Hech. Hin. Sci., Vol,18, No.6, pp.453-468.
3) Sagaseta.C. : On the Hodeis oF Instability oF a Rigid 31ock on an lnclined Plane, Rock Mech,
& Rocに Eng.,Vol.19,PP,261-266
