－1－ １ 解答解説のページへ 次の問いに答えよ。 (1) z +6 27 0= を満たす複素数z をすべて求め, それらを表す点を複素数平面上に図 示せよ。 (2) (1)で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順にz1, z2, …とするとき, z1, z と2 積z z を表す1 2 3 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ。ただし, 偏角は 0 以上2未満とする。
2017 金沢大学（理系）前期日程 問題 －2－ ２ 解答解説のページへ 座標平面上の放物線y=x2上に点P( ,t t2)(t >0)をとる。原点O( 0, 0 ) を通り, 直 線OP に垂直な直線を l とする。また, 0＜ ≦ として, 点 A( 0,a 1 a をとる。このと) き, 次の問いに答えよ。 (1) 直線 PA と l は交わることを示し, その交点 Q( , )u v の座標を t と a を用いて表 せ。 (2) t がすべての正の実数値をとって変化するとき, (1)で求めた点 Q( , )u v の軌跡が
(
1 , 1)
3 - を通るとする。このとき, 定数 a の値を求め, 点 Q( , )u v の軌跡を求め よ。－3－ ３ 解答解説のページへ 0< < とし, 0a 3 ≦ ≦x の範囲で 2 つの関数 ( ) 3f x = -asinx, g( ) 2cosx = 2x を考える。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) ( )f x ≧g( )x ( 0≦ ≦x )となるa の値の範囲を求めよ。 (2) 2 つの曲線C1:y= f( )x とC2 :y=g( )x が, ちょうど 2 つの共有点をもつとき, 共有点のx 座標x , 1 x2(x1<x2)とa の値を求めよ。また, そのときのC と1 C の概2 形を同一座標平面上にかけ。 (3) (2)のとき, C と1 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ。 2
2017 金沢大学（理系）前期日程 問題 －4－ ４ 解答解説のページへ 数列{a を n} 1 3 a = , n 1 12
(
n 7)
n a a a + = + (n =1, 2, 3, ) で定める。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) a >n 7 (n =1, 2, 3, が成り立つことを示せ。 ) (2) 数列 { }b を n 7 7 n n n a b a -= + (n =1, 2, 3, ) で定めるとき, 2 1 n n b+ =b (n =1, 2, 3, が成り立つことを示せ。 ) (3) lim n n¥a とlim 2 log( 7 ) n n n a -¥ - を求めよ。© 電送数学舎 2017 －1－ １ 問題のページへ (1) z +6 27= に対して, ( cos0 z=r +isin ) (r>0, 0≦ ＜ 2 ) とおくと, 6( cos6 sin6 ) 27 r +i = -すると, r = -6 27 =27よりr = となり, 2 3 r = 3 また, n を整数として, 6 =arg( 27 ) ( 2- = n+1)より 2 1 6 n = + となり, 6 = , 2 , 5 6, 76, 32, 116 よって, 3 cos
(
sin)
6 6 z= +i 3 3 2 2 i = + , 3 cos(
sin)
2 2 z= +i = 3i(
5 5)
3 cos sin 6 6 z= +i 3 3 2 2 i = - +(
7 7)
3 cos sin 6 6 z= +i 3 3 2 2 i =-(
3 3)
3 cos2 sin2 z= +i = - 3i(
11 11)
3 cos 6 sin 6 z= +i 3 3 2 2 i = -図示すると, 右図の正六角形の 6 つの頂点となる。 (2) z1= 3 cos(
6+isin6)
, z2= 3 cos(
2+isin2)
から,{ (
)
(
)}
2 1 2 ( 3 ) cos 6 2 sin 6 2 z z = + +i + =3 cos(
32+isin32)
すると, z1= +32 23i, z2= 3i, z z1 2= - +32 23 3iより, z2 =z1+2z z1 2 よって, 点z は点2 z と点1 z z を結ぶ線分の中点となるので1 2 , 3 点z1, z2, z z は1 2 一直線上にある。［解 説］
n 乗根と複素数平面を題材にした基本題です。 3 2 -3 2 3 -3 3 2 - 3 2 O x y2017 金沢大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －2－ ２ 問題のページへ (1) P( ,t t2)(t >0)に対して, OP の傾きは t より, O を通 りOP に垂直な直線 l の方程式は, 1 y x t = - ………① A ( 0, a)( 0＜ ≦a 1)に対して, 直線 PA の方程式は, 2 t a y x a t -= + ………② ここで, t2 a 1 t t - = - とするとt2 a 1 0 t - + = となるが, t >2 0, 0＜ ≦ から成a 1 立しない。よって, 直線 PA と l は交わる。 そこで, ①②を連立すると, t2 a x a 1x t t - + = - より, 2 at 1 x t a = -- + , 2 1 a y t a = - + ①と②の交点がQ( , )u v より, 2 1 at u t a = -- + , v=t2- +aa 1 (2) 点 Q( , )u v の軌跡が
(
1 , 1)
3 - を通ることより, (1)から, 2 at 1 13 t a - = -- + ………③, t2- +aa 1=1………④ ④よりt2- + = となり, ③に代入すると, a 1 a 1 3 t = となるので, ④から,(
)
1 1 1 2 3 a = + 2 3 = このとき, (1)から, 22 3 1 t u t = -+ ……⑤, 2 2 3 1 v t = + ……⑥ すると, v ¹ から0 t u v = - となり, ⑥に代入するとv(
3 u22 1)
2 v ⋅ + = から, 2 3u v 2 v + = , 3u2+v2=2v, 3u2+(v-1)2=1 ここで, ⑤を 2 1 3 u t t = -+ と変形すると, 1 3t 2 3 t + ≧ から 1 0 3 u - ≦ ＜ となり, また⑥から, 3t + > より 02 1 1 < < である。 v 2 以上より, 点 Q の軌跡は, 楕円3x2+(y-1)2= の第1 2 象限の部分である。［解 説］
パラメータ表示された点の軌跡の問題です。ただ, 軌跡に限界が現れる点には注意 が必要です。 P A O Q t a x y l 2 t© 電送数学舎 2017 －3－ ３ 問題のページへ (1) ( ) 3f x = -asinx ( 0< <a 3), g( ) 2cosx = 2xに 対 し て, 0≦ ≦x の 範 囲 で ( )x ≧ ( )x f g となる条件は, 2
3-asinx≧2cos x, 3-asinx≧2 2sin- 2x
ここで, sint= xとおくと, 0≦ ≦ において, t 1 2 3-at≧2 2- t , 2t2+ ≧1 at………① まず, 0t = のときは①はつねに成立し, また 0＜ ≦ のときは, ①から, t 1 1 2t a t + ≧ ………② そこで, h t( )=2t+ とおくと, 1t 2 1 ( ) 2 h t t ¢ = - 2t22 1 t -= すると, 0＜ ≦ のときt 1 h t の増減は右表( ) のようになり, ②が成立する条件は 0＜ ≦a 2 2である。 よって, 0≦ ≦x の範囲で f( )x ≧g( )x となる条件は, 0＜ ≦a 2 2である。 (2) (1)と同様にして, ( )f x =g( )x で, sint= xとおくと, ①から 2 2t + =1 atとなり, t = では不成立。 0 そこで, 0＜ ≦ においてt 1 , ②から2t 1 a t + = ……③となり, これよりs=h t( )とs= のグラフは右図のようになる。 a すると, 0< <a 2 2のとき③は解なし, a =2 2のとき③の 解は 1 2 t = のみ, 2 2< < のとき③の解はa 3 0＜ ＜ にt 1 2 個存 在する。 さらに, t=sinx( 0≦ ≦x )のグラフは右図のよう になり, 0≦ ＜ のときはt 1 1 個の t に対して x は 2 個 の値が対応し, 1t = のときは 2 x= のみ, それ以外の t に対しては対応するx はない。 よって, C1: y= f( )x とC2:y=g( )x がちょうど 2 つの共有点をもつ条件, すなわち ( )f x =g( )x が 2 つ の実数解をもつ条件は, ③の解 t が 0＜ ＜ にt 1 1 個だ けあることよりa =2 2となり, このときsin 1 2 x = から , 3 4 4 x= である。すると, x1=4, x2=34よ り, C と1 C の概形は右図のようになる。 2 t 0 … 12 … 1 ( ) h t¢ × － 0 ＋ ( ) h t × 2 2 3 t 1 3 1 2 2 2 s O a O 1 t x 2 C1 C2 2 O x 4 3 4 1 2 3 y
2017 金沢大学（理系）前期日程 解答解説
© 電送数学舎 2017 －4－
(3) (2)より, ( ) 3 2 2 sinf x = - x, g( ) 2cosx = 2x= +1 cos2xとなる。
すると, C と1 C で囲まれた図形の面積 S は, 直線2 x=2についての対称性から, 2 4 2 {3 2 2 sin (1 cos2 ) } S x x dx =
ò
- - + 2 4 2 ( 2 2 2 sinx cos2 )x dx =ò
- -2 4 1 2 2 2 2 cos sin2 2 x x x é ù = êë + - úû 4(
)
4 2(
2)
( 1) 2 4 2 = - + - -3 =-［解 説］
微積分の総合問題です。三角関数の置き換えが絡んでいますので, 解の個数に注意 が必要です。なお, (1)(2)については, 定数分離の手法を利用しています。© 電送数学舎 2017 －5－ ４ 問題のページへ (1) a = , 1 3 n 1 12
(
n 7)
n a a a + = + で定義される数列{a に対して, 1, 2, 3,n} n = で 7 n a > であることを数学的帰納法を用いて示す。 (i) n = のとき 1 a = >1 3 7より成立している。 (ii) n= のとき k a >k 7と仮定すると,(
)
1 7 12 7 7 k k k a + - = a +a -2 7 2 7 2 k k k a a a + -= ( k2 7 )2 0 k a a -= > よって, ak+1> 7となり, n= + のときも成立する。 k 1 (i)(ii)より, 1, 2, 3,n = で, a >n 7である。 (2) 7 7 n n n a b a -= + ……①で, (1)から複号同順で, 2 1 7 ( n2 7 ) n n a a a + = なので, 1 1 1 7 7 n n n a b a + + + -= + 2 2 ( 7 ) ( 7 ) n n a a -= +(
)
2 7 7 n n a a -= + 2 n b = ………② (3) ②より, 0b > なのでn logbn+1=2logbnとなり, logbn =2n-1logb1ここで, ①より 1 1 1 7 3 7 7 3 7 a b a - -= = + + 2 (3 7 ) 8 3 7 2 -= = - となり, 1 log 2n log( 8 3 7 ) n b = - - ………③ すると, 0 8 3 7 1< - < なのでlog( 8 3 7 ) 0- < となり, n ¥ のとき logb -¥n , 0b +n ①より, b an( n+ 7 )=an- 7となり, n 7 ( n1 1) n b a b - + = - から, 7 lim 7 1 n n¥a -= = -また, ③よりlog 7 2 1log( 8 3 7 ) 7 n n n a a -- = -+ なので, 2 log(n 7 ) n a - - 2 { log(n 7 ) 2n 1log( 8 3 7 ) } n a - -= + + 2 log( 7 ) 1log( 8 3 7 ) 2 n n a -= + + -よって, lim n 7 n¥a = から, lim 2 log( 7 ) n n n a -¥ - =1 log(8 3 7 )2 - となる。
