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慶應大学 総合政策学部 河添 健

フランスの

で裁縫職人

の子として生まれる。８歳のとき孤児となったが学才を認められ、１７９０年に



Ecole Polytrchnique

の教授となる。１７９８年に

Napoleon

のエジプト遠征に従軍、

G.Monge

らと一緒に文化工作に力を尽くし、帰国後、

Isere

県の長官になる。

Napoleon

没落後、

失脚するが、その後の熱伝導の研究によってフランス科学院会員におされ、１８２７年に

Academie Francaise

会員に選ばれる。

熱伝導の研究は、１８００年頃から始められ、１８１１年科学院の出題に答えて、科学

院賞を得た。すなわち、熱伝導方程式を導き、いろいろな境界条件のもとで解いた。その

際、任意の関数は３角級数で表されることを主張し、解析学に新しいエポックを画した。

証明は厳密ではなかった。

[

数学辞典（岩波書店）より

]

目次



第１章 講義概要＋フーリエ級数とフーリエ変換のお話



第２章 準備と基礎知識



第３章 三角関数＋周期関数＋区分的に連続な関数



第４章 フーリエ級数



第５章 フーリエ級数の収束



第６章 フーリエ級数の性質

[

デ ィレクレの定理、パーセバルの等式

] 

第７章 フーリエ級数の応用

[

熱伝導方程式、ラプラス方程式、振動方程式

] 

第８章 直交関数系

[

ヒルベルト空間、内積と正規直交系

] 

第９章 フーリエ積分

[

可積分関数、フーリエ積分、フーリエ変換

] 

第１０章 フーリエ変換の性質

[

デ ィレクレの定理、パーセバルの等式

] 

第１１章 フーリエ積分の応用

[

熱伝導方程式、振動方程式

] 

第１２章 フーリエ変換の局在性と不確定性原理



第１４章 フーリエ窓変換



第１５章 連続ウエーブレット変換



第１６章 離散ウエーブレット変換



第１７章 （工事中）



第１８章 高速フーリエ変換

+

線形システム

+

ウエーブレットの応用

Fourier

級数と

Fourier

変換の応用

常微分方程式、偏微分方程式、積分方程式の解法



熱伝導方程式



波動方程式



拡散方程式



ポテンシャル方程式



電気回路

 Abel

型積分方程式

通信システム、画像解析、医療画像、レーザー、音響学、制御システム、…

K 3 =K 0f0g

微積分



多項式

p(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +:::+a n x n dp dx =a 1 +2a 2 x+:::+na n x n01 R p(x)dx =a 0 x+a 1 x 2 2 +:::+a n x n+1 n+1 +C 

指数関数

e ax d dx e ax =ae ax R e ax dx = 1 a e ax 

三角関数

sin(ax)

、

cos(ax) d dx sin(ax) =acos(ax) d dx cos(ax) =0asin(ax) R sin(ax)dx = 01 a cos(ax) R cos(ax)dx = 1 a sin(ax) 

三角関数の直交性

1 n R 2 0 cos(mx)cos(nx)dx = 8 > > < > > : 0; m 6=n 1; m =n 6=0 2; m =n =0 1 n R 2 0 cos(mx)sin(nx)dx =0 1 n R 2 0 sin(mx)sin(nx)dx = 8 > > < > > : 0; m 6=n 1; m =n 6=0 0; m =n =0 

積の微分公式

(fg) 0 =f 0 g+fg 0 

部分積分の公式

R fgdx= R fdx g0 R ( R fdx) g 0 dx

 z =x+iy  z=x0iy  jzj 2 =zz=x 2 +y 2

オイラーの公式

e i =cos()+isin()

直交座標と極座標

 z =x+iy=re i  (x;y)$(r;)

定数係数の線形微分方程式の解法 次の形をした微分方程式を定数係数の線形微分方程式

と呼ぶ。

a n f (n) +a n01 f (n01) +:::+a 1 f 0 +a 0 f =0

このとき、

n

次方程式

a n z n +a n01 z (n01) +:::+a 1 z+a 0 =0

を特性方程式という。いまこの方程式が相異なる

n

個の解

 1 ; 2 ;:::; n

を持つとき、微分方程式の解は

c i (1in)

を任意定数として

f(x)=c 1 e 1x +c 2 e 2x +:::+c n e nx

で与えられる。



が

m (m>1)

重解のときは、

ce x

を

d 1 +e x +d 2 xe x +:::+d m x (m01) e x

と変える。

最小値をその周期という。

f(x+p)=f(x)

偶関数と奇関数

 f(x)=f(0x)  f(x)=0f(0x)  f(x)= 1 2 ((f(x)+f(0x)))+ 1 2 ((f(x)0f(0x)))

連続関数と滑らかな関数

区分的に連続な関数、滑らかな関数

asin(x)

、

sin(ax)

、

acos(x)

、

cos(ax)

a n = 1 L R L 0L f(x)cos( nx L )dx (n=0;1;2;:::) b n = 1 L R L 0L f(x)sin( nx L )dx (n=1;2;3;:::)

をその

Fourier

係数という。

Fourier

級数

f : R! R

、

2L

周期関数に対して、

a n

、

b n

を

Fourier

係数としたとき、

a 0 2 + 1 X n=1  a n cos( nx L )+b n sin( nx L ) 

を

Fourier

級数という

注意

 f

が偶関数、奇関数のとき、係数はどうなっているか？

 f(x)

と

f

の

Fourier

級数との関係が問題である。一致するか？

例

f(x)= ( 0 (05x<0) 3 (0x<5) Fourier

係数

a n = 1 5 R 5 05 f(x)cos( nx 5 )dx = 3 5 R 5 0 cos( nx 5 )dx = 3 5 ( 5 n [sin( nx 5 )] 5 0 (n6=0) 5 (n =0) = ( 0 (n6=0) 3 (n=0) b n = 1 5 R 5 05 f(x)sin( nx 5 )dx = 3 5 R 5 0 sin( nx 5 )dx = 3 5 5 n [0cos( nx 5 )] 5 0 = 3 n (0cos(n)+1) Fourier

級数

3 2 + P 1 n=1 3 n (10cos(n))sin( nx 5 ) = 3 2 + 6   sin( x 5 )+ 1 3 sin( 3x 5 )+ 1 5 sin( 5x 5 )+::: 

問題 次の関数の

Fourier

係数と

Fourier

級数を求めなさい。

f(x)= ( 8 (0x<2) 08 (2x<4)

数列と級数の収束

関数列の収束



各点収束



一様収束



平均収束

級数の収束 部分和の関数列の収束

Fourier

級数の収束 以下、

f(x)

を周期

2

の周期関数とし、

Z 2 0 jf(x)jdx<1

とする。

（可積分条件）

Fourier

級数とその部分和を

1 X 01 ^ f(k)e ikx s n (x)= n X 0n ^ f(k)e ikx

とする。

D n (x)= 1 2 n X 0n e ikx = 1 2 sin(n+ 1 2 )x sin x 2

を

Dirichlet

核とよぶ。

R 2 0 D n (x)dx=1

である。ここで

(u;x)= 1 2 (f(x+u)+f(x0u))

とすると

s n (x)=2 Z  0 (u;x)D n (u)du

が成り立つ。この積分を

Dirichlet

積分とよぶ。

各点収束

定理

Fourier

級数が１点

x

で

c

に収束する必要十分条件は

(u;x)= 1 2 (f(x+u)+f(x0 u)02c)

としたとき、

Z  0 (u)D n (u)du!0 (n !1)

である。

定理（

Dirichlet - Jordan

）

f

が有界変動であれば、

Fourier

級数は各点で

1 2 (f(x+ 0)+f(x00))

に収束する。

lim n!1 s n (x)= 1 2 (f(x+0)+f(x00)):

有界変動

(bounded variation

）

f :[a;b] !R

が有界変動であるとは、ある定数

M

が存在して、全ての

[a;b]

の分割

a=x 0 <x 1 <:::<x n =b

に対して、

n X i=0 jf(x i )0f(x i01 )j<M

が成立すること。例えば、区分的に微分可能な関数は有界変動である（平均値の定理から

示してみよ）

注意 全ての有理点で

Fourier

級数が発散する連続関数が存在する。

注意 全ての点で

Fourier

級数が発散する可積分関数が存在する。

一様収束

定理（

Dini - Lipschitz

）

!(f;t)

を

f

の連続率としたとき、

Z a 0 !(f;t) t dt<1

であれば、

Fourier

級数は

f

に一様収束する。

kf0s n k 1 !0 (n !1):

連続率

f :[a;b]!R

の連続率とは、

!(f;t)= sup 0<<t max axb jf(x+)0f(x)j: jump

をもつ区分的に連続な関数の連続率はどうなっているか？ また定理の仮定は満たさ

れるか？

Gibbs phenomenon f : [0;2L)! R

で有界変動、

[0;c), (c;2L)

で連続、

f(c+0)0 f(c00)>0

とする。このとき

kf 0s n k 1 !( Z  0 sinx x dx0 1 2 )(f(c+0)0f(c00)) (n!1):

注意

Z  0 sinx x dx0 1 2 =0:08949:::

とき、

1 2 Z L 0L jf(x)j 2 dx= a 2 0 2 + 1 X n=1 (a 2 n +b 2 n ):

この等式を

Parseval

の等式とよぶ。

例

f(x)= ( 0x (02x<0) x (0x<2) Fourier

係数

a 0 = 1 2 R 2 02 f(x)dx = R 2 0 xdx =2 a n = 1 2 R 2 02 f(x)cos( nx 2 )dx (n6=0) = R 2 0 xcos( nx 2 )dx =[x1 2 n sin nx 2 ] 2 0 0 R 2 0 2 n sin nx 2 dx = 4 (n) 2 [cos nx ] 2 0 = 4 (n) 2 (cos(n)01a) b n = 1 2 R 2 02 f(x)sin( nx 2 )dx =0 Dirichlet

の定理

f(x) =1+ P 1 n=1 4 (n) 2 (cos(n)01)cos( nx 2 ) =10 8  2  cos( x 2 )+ 1 3 2 cos( 3x 2 )+ 1 5 2 cos( 5x 2 )+:::  Parseval

の等式

1 2 Z 2 02 jf(x)j 2 dx= Z 2 0 x 2 dx=[ x 3 3 ] 2 0 = 8 3 8 3 =2+ 64  4 (1+ 1 3 4 + 1 5 4 +:::) ) 1+ 1 3 4 + 1 5 4 +:::=  4 96

問題

Fourier

級数に

x=0

を代入した式と、

Parseval

の等式を使って、

1+ 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 +:::=  4 90

を示しなさい。

1 . f(x)=(0x) 2 (0x<2)

とする。

（１）

f

の

Fourier

係数を計算しなさい。

（２）

Dirichlet

の定理の形を書きなさい。

（３）

Parseval

の等式を用いて、

1 X n=1 1 n 4

を計算しなさい。

2 . f(x)= ( 0x; (02x<0) x; (0<x<2)

とする。

（１）

f

の

Fourier

係数を計算しなさい。

（２）

Dirichlet

の定理の形を書きなさい。

（３）

Parseval

の等式を用いて、

1 X n=1 1 (2n01) 4

を計算しなさい。

a . ((0x) n ) 0 =0n(0x) (n01) ; Z (0x) n = 01 n+1 (0x) n+1 . b . Z f(x)sin(ax)dx= 01 a f(x)cos(ax)+ 1 a Z f 0 (x)cos(ax)dx (a6=0). c . Z f(x)cos(ax)dx= 1 a f(x)sin(ax)0 1 a Z f 0 (x)sin(ax)dx: (a6=0).



線形空間

X:

和とスカラー倍（定数倍）の演算が定義され、その演算で閉じている。

和について可換群、スカラー倍について、結合法則が成立する。和とスカラー倍の間

には、分配法則が成立する。



ノルム空間

X:

次の条件を満たす

p : X!R

が存在するとき、

X

をノルム空間と

よぶ。

1) p(x)0; p(x) =0 , x=0 2) p(x+y)p(x)+p(y) 3) p( x)=j j p(x) p(x)

を

x

のノルムという。また、

d(x;y)=p(x0y)

を２点

x

、

y

の距離と呼ぶ。ノ

ルム空間は距離空間である。

 Banach

空間

X:

完備なノルム空間

X

を

Banach

空間と呼ぶ。

完備性

:

点列

fx n g

が、任意の

>0

に対して、ある自然数

N

が存在し、

n;m >N ) d(a n ;a m )<

とできるとき、

Cauchy

列と呼ぶ。一般に収束する点列は

Cauchy

列であるが、逆は

成立しない。

Cauchy

列が収束する空間を完備空間と呼ぶ。

 Hilbert

空間

X:

内積を持つ

Banach

空間を

Hilbert

空間と呼ぶ。

内積

: 1) <x;y>=<y;x> 2) <x 1 +x 2 ;y>=<x 1 ;y>+<x 2 ;y> 3) <x;y>= <x;y > 4) <x;x>0; <x;x>=0 , x=0

このとき、

kxk 2 =<x;x>

である。また、

j<x;y>jkxkkyk

（

Cauchy-Schwarz

の不等式）

が成立する。等号条件は、

c 1 x+c 2 y=0

となる

(c 1 ;c 2 )6=(0;0)

が存在すること（一

次従属）

。

例

 L p (T) f :R!R

なる

2

周期関数で、有限の

L p -

ノルム

kfk p = 8 < :  1 2 R 2 0 jf(x)j p dx  1=p (1p<1) sup 0x<2 jf(x)j (p=1)

を持つもの全体。

p=2

のときは、

<f;g >= 1 2 Z 2 0 f(x)g(x)dx

を内積として

Hilbert

空間となる。

 ` p

数列

fa n g

で有限の

` p -

ノルム

kfa n gk p = ( ( P 1 n=1 ja n j p ) 1=p (1p<1) supja n j (p=1)

を持つもの全体。

p=2

のときは、

<fa n g;fb n g>= 1 X 0 a n  b n

を内積として

Hilbert

空間となる。

 L p (R) f :R!R

なる関数で、有限の

L p -

ノルム

kfk p = 8 < :  R 1 01 jf(x)j p dx  1=p (1p<1) sup 01<x<1 jf(x)j (p=1)

を持つもの全体。

p=2

のときは、

<f;g >= Z 1 1 f(x)g(x)dx

を内積として

Hilbert

空間となる。

級数展開の解釈

f(x) = a 0 2 + P 1 n=1 (a n cos(nx)+b n sin(nx)) = P 1 n=01 c n e inx

ただし、

a n =c n +c 0n

、

b n =i(c n 0c 0n )

であり、

c n = 1  Z 2 0 f(x)e inx dx

である。このとき、

Parseval

の等式は次のように解釈することができる。

同型定理

T :L 2 (T)!` 2

を

T(f)=fc n g

と定めたとき、

kfk 2 =kT(f)k 2

である。このとき、

T

は二つの

Hilbert

空間の間の等長変換であり、

L 2 (T)  = ` 2

となる。

注意 この定理は

fe inx g

が

L 2 (T)

の完備な正規直交基底を意味する。

1;cos(x);sin(x);cos(2x);sin(2x);cos(3x);sin(3x);:::

も

L 2 (T)

の完備な正規直交基底である。

正規直交基底

: f n g

が

Hilbert

空間

X

の正規直交基底であるとは、

k n k=1 < n ; m >=0 (n 6=m)

を満たす。

X

の任意の要素

v

を

v = P c n  n

表すことができるとき、正規直交基底は完備

であるという。

一般論

Hilbert

空間には完備な正規直交基底が存在し、有限次元であれば

R n

と無限次元

方程式

区間

[a;b]

で

d dx p(x) df(x) dx ! 0(r(x)+q(x))f(x)=0  1 f(a)+ 2 f 0 (a)=0;  1 f(b)+ 2 f 0 (b)=0

を満たす関数

f

を求めることを、

Sturm - Liouville

境界値問題という。このとき、特定

の



に対してのみ、解が存在することが知られている。

（



を固有値、解をその固有関数

とよぶ）更に、異なる固有値に対する固有関数は、

<f;g >= Z b a f(x)g(x)r(x)dx

なる内積で直交する。

（

r(x)0

としておく）

問題

[a;b]=[0;]

とし、

f 00 +f =0; f(0) =0; f()=0

を解いてみなさい。

（

sin(nx)

の直交性）

直交多項式

 Legendre

の多項式

: (10x 2 )y 00 02xy 0 +n(n+1)y =0 L 2 ([01;1]); P n (x)= 1 2 n n! d n dx n (x 2 01) n  Tchebyche

の多項式

: (10x 2 )y 00 0xy 0 +n 2 y=0 L 2 ([01;1]; 1 p 10x 2 dx); T n (x)= (01) n (2n01)!! p 10x 2 d n dx n (10x 2 ) n0 1 2  Hermite

の多項式

: y 00 0xy 0 +ny =0 L 2 (R;e 0x 2 =2 dx); H n (x)=(01) n e x 2 =2 d n dx n (e 0x 2 =2 )  Laguerre

の多項式

: xy 00 +(10x)y 0 +ny=0 L 2 ([0;1);e 0x 2 dx); L n (x)= e x n! d n dx n (e 0x x n )  Jacobi

の多項式

: x(10x)y 00 +[ 0x]y 0 +n 2 y =0 L 2 ([0;1];x 01 dx); G n ( ;x)= 0( )x 10 (10x) 0( +n) d n dx n (x +n01 (10x) n0 )

長さ３の棒を考え、

と同一視する。

を時刻

における

の温度

とする。

 u(0;t)=u(3;t)=0 (

境界条件）

 u(x;0)=25

（初期条件）

 @u @t =2 @ 2 u @x 2

（熱伝導方程式）

Step 1:

変数分離

u(x;t)=X(x)T(t)

としてみる。

X(x)T 0 (t)=2X 00 (x)T(t)

より、

T 0 (t) 2T(t) = X 00 (x) X(x) =

を得る。

(a) T 0 (t)=2 T(t) Z 1 T dT =2 Z dt T(t)=Ce 2t

熱の伝わり方より、

 <0

、以下、

=0 2

とおく。よって、

T(t)=Ce 02 2 t

となる。

(b) X 00 (x)=0 2 X(x)

特性方程式

z 2 + 2 =0

の解は

z =6i

。よって

X(x) =c 1 e ix +c 2 e 0ix =d 1 cos(x)+d 2 sin(x)

以上のことから、

u(x;t) =e 02 2 t (Acos(x)+Bsin(x))

境界条件

0=u(0;t)=e 02 2 t Acos(x)

より、

A=0. 0=u(3;t)=e 02 2 t Bsin(3)

より、

= n 3 (n2Z)

（

B =0

は題意に会わない）

Step 3:

重ね合わせの原理

u(x;t) = P 1 n=01 B 0 n e 02( n 3 ) 2 t sin( nx 3 ) = P 1 n=1 B n e 02( n 3 ) 2 t sin( nx 3 ) Step 4:

初期条件

25=u(x;0)= 1 X n=1 B n sin( n 3 x)

左辺の

25

を

[03;3]

の奇関数に拡張し、

Fourier

級数を計算する。

a n =0 b n = 1 3 R 3 03 f(x)sin( nx 3 )dx = 2 3 R 3 0 25sin( nx 3 )dx = 2 3 25 3 n [0cos( nx 3 )] 3 0 = 50 n (0cos(n)+1)

よって、

B n = 50 n (0cos(n)+1)

となる。

以上の計算により、

u(x;t) = P 1 n=1 50 n (0cos(n)+1)e 0 2n 2  2 t 9 sin( nx 3 ) = 100   e 0 2 2 t 9 sin( x 3 )+ 1 3 e 02 2 t sin(x)+ 1 5 e 0 50 2 t 9 sin( 5x 3 )+::: 

位とする。

 u(0;t)=u(L;t)=0 (

境界条件）

 u(x;0)=f(x)

（初期条件）

 u t (x;0)=0

（初速度なし）

 @ 2 u @t 2 =a 2 @ 2 u @x 2

（振動方程式）

Step 1:

変数分離

u(x;t)=X(x)T(t)

とし、

u(x;t)=(A 1 cos(at)+B 1 sin(at))(A 2 cos(x)+B 2 sin(x))

を導く。

Step 2:

境界条件

0=u(0;t)=u(L;t)

より、

A 2 =B 1 =0

および

= n L (n 2Z)

を導く。

Step 3:

重ね合わせの原理

u(x;t) = P 1 n=01 C 0 n sin( nx L )cos( nat L ) = P 1 n=1 C n sin( nx L )cos( nat L ) Step 4:

初期条件

u(x;0)=f(x)

より、上の式は

f(x)

を

[0L;L]

へ奇関数として拡張し

たときの

Fourier

級数展開にほかならない。

C n = 1 L Z L 0L f(x)sin( nx L )dx

以上の計算により、

u(x;t) = P 1 n=1 C n sin( nx L )cos( nat L ) = P 1 n=1 Cn 2  sin( n(x+at) L )+sin( n(x0at) L  = 1 2 (f(x+at)+f(x0at))

問題 熱の伝導と弦の振動の違いを考えよ。

級数は

周期関数

を正規直交基底

で展開するもの

であった。ここで周期

L

を

L!1

とすることを考える。形式的に、

f(x) = P 1 n=01 c n e i n L x = P 1 n=01 1 2L R L 0L f(y)e 0i n L y dy1e i n L x = 1 2L R L 0L f(y)  P 1 n=01  L e 0in  L (x0y)  dy

であるから

L!1

として、

f(x)= 1 2 Z 1 01 Z 1 01 f(y)e 0iy dy  e 0ix d

となる。括弧の中を

f

の

Fourier

変換と呼び、

^ f()= Z 1 01 f(y)e 0iy dy

と書く。よって

f(x)= 1 2 Z 1 01 ^ f()e 0ix d

である。この計算は積分と無限和の交換、積分順序の交換などを行っているので、あくま

で形式的なものである。しかし、

f

に適当な条件を仮定すると許される。

定理

f 2L 1 (R)

とすると、

 k ^ fk 1 kfk 1  ^ f

は連続関数

 j ^ f()j!0 (jj!1)

（

Riemann - Lebesgue

の補題）

Fourier Sin

変換、

Cos

変換

F s ()= 1 2 Z 1 01 f(x)sin(x)dx; F c ()= 1 2 Z 1 01 f(x)cos(x)dx

をそれぞれ

Fourier Sin

変換、

Cos

変換とよぶ。

^ f()=2(F s ()0iF s ())

例

f(x)= ( 1 (jxja) 0 (jxj>a)

の

Fourier

変換は

^ f() = R 1 01 f(x)e 0ix dx = R a 0a e 0ix dx =[ 1 0i e 0ix ] a 0a = 1 i (e ix 0e 0ix ) = 2sin(a)  f(x)= ( 10x 2 (jxj<1) 0 (jxj1)

の

Fourier

変換は

R 1 01 e 0ix dx = 2sin()  R 1 01 x 2 e 0ix dx =[ 1 0i e 0ix x 2 ] 1 01 + 2 i R 1 01 xe 0ix dx = 1 0i (e 0i 0e i )+ 2 i  [0 1  e 0ix x] 1 01 + 1  R 1 01 e 0ix dx  = 2sin()  + 2  2 (e 0i +e i )0 2  2 1 2sin() 

よって、

^ f() = R 1 01 (10x 2 )e 0ix dx =0 4  2 cos+ 4  3 sin

問題 次の関数の

Fourier Cos

変換を 係数を求めなさい。

f(x)=e 0mx (m>0)

公式

R e ax cos(bx)dx= e ax a 2 +b 2 (acos(bx)+bsin(bx)) R e ax sin(bx)dx= e ax a 2 +b 2 (0bcos(bx)+asin(bx))

定理（

Dirichlet

）

f 2L 1 (R)

とし、

f

、

f 0

が区分的に連続とする。このとき、

1 2 Z 1 01 ^ f()e ix d = 1 2 (f(x+0)+f(x00)

である。

定理（

Parseval

）

f; g 2L 1 (R)\L 2 (R)

とすると

Z 1 01 f(x)g(x)dx= 1 2 Z 1 01 ^ f()^g()d Z 1 01 jf(x)j 2 dx= 1 2 Z 1 01 j ^ f()j 2 d

定理（

Plancherel

）

Fourier

変換は、

L 2 (R)

から

L 2 (R)

への等長変換に拡張され、同型

写像となる。逆変換は

1 2 Z 1 01 f()e ix d

で与えられる。

定理

f; g 2L 1 (R)

に対して、その結合積を

f3g(x)= Z 1 01 f(t)g(x0t)dt

で定めると

(f 3g) ^ ()= ^ f()^g()

が成立する。

問題 上の式を導きなさい。

f(x)= ( 1 (jxja) 0 (jxj>a)

の

Fourier

変換は

2sin(a) 

であった。

Dirichlet

の定理より

1 2 Z 1 01 2sin(a)  e ix d = 8 > > < > > : 1 jxj<a 1 2 jxj=a 0 jxj>a

である。この式から、

Z 1 0 sin(a)cos(x)  d= 8 > > < > > :  jxj<a  2 jxj=a 0 jxj>a

を導きなさい。特に、

a =1

、

x=0

とすれば、

Z 1 0 sin  d=  2

を得る。

問題

2  e 0x (x0)

の

Fourier Sin

変換をもとめよ。

 R 1 0 x(mx) x 2 +1 dx=  2 e 0m (m>0)

を示せ。



何故、

m=0

のときは、成立しないのか？

 R 1 0 x 2 x 2 +1) 2 dx=  4

を示せ。

問題

3 f(x)= ( 1 (0x<1) 0 (x1)

の

Fourier

変換を求め、

Z 1 0  10cosx x  2 dx=  2 ; Z 1 0  sinx x  2 dx=  2

を示しなさい。

長さ無限の棒を考え、

と同一視する。

を時刻

における

の

温度とする。

 u(0;t)=0 (

境界条件）

 u(x;0)=f(x)

（初期条件）

 @u @t =a @ 2 u @x 2

（熱伝導方程式）

解法

1 Step 1:

変数分離

u(x;t)=X(x)T(t)

することにより、

u(x;t)=Be 0a 2 t (Acos(x)+Bsin(x)) Step 2:

境界条件

0=u(0;t)=e 0a 2 t A

より、

A=0. Step 3:

重ね合わせの原理

u(x;t)= Z 1 0 B()e 0a 2 t sin(x)d Step 4:

初期条件

f(x)=u(x;0)= Z 1 0 B()sin(x)d

より、

B()= 2  Z 1 0 f(x)sin(x)dx

以上の計算により、

u(x;t) == 2  Z 1 0 Z 1 0 f(u)sin(u)du  e 0a 2 t sin(x)d

  @u @x  ^ (;x)=i^u(;t)   @ 2 u @x 2  ^ (;x)=0 2 ^ u(;t)   @u @t  ^ (;t)= d dt ^ u(;t)

これを用いて、熱伝導方程式を

Fourier

変換すると、

^ u(;t)=0a 2 ^ (;t)

よって、

^ u(;t)=Ce 0a 2 t

となる。初期条件

u(x;0)=f(x)

より、

u(;^ 0)= ^ f()

。よって、

C = ^ f()

となり、

^ u(;t) = ^ f()e 0a 2 t

を得る。ここで、

0 @ s 1 4at e 0 x 2 4at 1 A ^ =e 0a 2 t

に注意すれば、左辺の括弧の中の関数を

E t (x)

とし、

u(x;t) =f3E t (x) = R 1 01 f(y) q 1 4at e 0 (x0y) 2 4at dy = R 1 01 f(x02z p at)e 0z 2 dz

と書くことができる。

変位とする。

 u(0;t)=0 (

境界条件）

 u(x;0)=f(x)

（初期条件）

 u t (x;0)=0

（初速度なし）

 @ 2 u @t 2 =a 2@ 2 u @x 2

（振動方程式）

Step 1:

変数分離

u(x;t)=X(x)T(t)

とし、

u(x;t)=(A 1 cos(at)+B 1 sin(at))(A 2 cos(x)+B 2 sin(x))

を導く。

Step 2:

初速度なし

0=u t (x;t)

より、

B 1 =0 Step 3:

重ね合わせの原理

u(x;t)= Z 1 0

(A()cos(x)+B()sin(x))cos(at)d Step 4:

初期条件

u(x;0)=f(x)

より、

f(x)= Z

1 0

(A()cos(x)+B()sin(x))d

を得る。従って

A()= 1  Z 1 0 f(x)cos(x)dx; B()= 1  Z 1 0 f(x)sin(x)dx;

以上のことから、

u(x;t) = 1  R 1 0 R 1 01

f(v)(cos(v)cos(x)+sin(v)sin(x))cos(at)ddv = 1  R 1 0 R 1 01 f(v)cos((x0v))cos(at)dvd = 1 2 R 1 0 R 1 01

f(v)(cos((x0v+at))+cos((x0v0at)))dvd =

1 2

(f(x+at)+f(x0at))

定理

f 2L 2 (R)

とすると、次の不等式が成り立つ。

Z 1 01 x 2 jf(x)j 2 dx1 Z 1 01  2 j ^ f()j 2 d 1 4 kfk 4 2

ここで、等号条件は

f(x)=ce 0ax 2 (a>0)

のときに限る。

証明

f 2C 1 c (R)

とする。一般の

f 2L 2 (R)

に対しては、近似を行う。

 2 j ^ f()j 2 =j ^ f()j 2 =ji ^ f()j 2 =j(f 0 ) ^ ()j 2

であるから、

R 1 01 x 2 jf(x)j 2 dx1 R 1 01  2 j ^ f()j 2 d = R 1 01 x 2 jf(x)j 2 dx1 R 1 01 j(f 0 ) ^ ()j 2  = R 1 01 x 2 jf(x)j 2 dx1 R 1 01 jf 0 (x)j 2 dx j R 1 01 x  f(x)f 0 (x)dxj 2   R 1 01 <(x  f(x)f 0 (x))dx  2 =  R 1 01 x(f 0  f+  f 0 f) 2 dx  2 =  1 2 R 1 01 x(jf(x)j 2 ) 0 dx  2 =  1 2 [xjf(x)j 2 ] 1 01 0 1 2 R 1 01 jf(x)j 2 dx  2 = 1 4 kfk 4 2

注意

 f(x)

が

x=0

に局在

, R 1 01 x 2 jf(x)j 2 dx

の値が小さい。

 ^ f()

が

 =0

に局在

, R 1 01  2 j ^ f()j 2 d

の値が小さい。

 f(x)

が

x=0

に、

^ f()

が

=0

に同時に局在することはできない。

以下、

w(x); xw(x)2L 2 (R)

とする。

w b; (x)=w(x0b)e ix

とすると、

^ w b; () = R 1 01 w(x0b)e ix e 0ix dx = R 1 01 w(x)e i(x+b) e 0i(x+b) dx =e ib e 0ib R 1 01 w(x)e 0ix(0+) dx =e ib e 0ib ^ w(0) =V b; ()

であるから、

^ f(;b) = R 1 01 f(x)w(x0b)e ix dx =< f;w b; > =< ^ f;w^ b; > =< ^ f;V b; >

となる。このとき、

w b;

は

f

の

x=b

の回りの情報に

V b;

は

^ f

の

 =

の回りの情報に

注目している。したがって、上の等式は、

(x;)=(b;)

の回りの情報に

注目している。このことを超局所化といい、また

W

、

V

を窓関数と呼ぶ。

注意



不確定性原理により、

W

、

V

の窓を同時に小さくすることはできない。

 V(); V()2L 2 (R)

のとき、

^ f(;b)

を短時間

Fourier

変換（

STFT

）と呼ぶ。

 w(x)= 1 2 p  e 0 x 2  2

のとき、

^ f(;b)= 1 2 p  Z 1 01 f(x)e 0 (x0b) 2  2 e 0ix dx

となる。この変換は、

Gabor

が研究（

1946

）

。

以下、

2L 1 (R)\L 2 (R)

とし、

a>0

、

b2R

に対して、

a;b (x)= 1 p a x0b a !

と定める。このとき、

^ a;b () = 1 p a R 1 01  x0b a  e 0ix d =e 0ib 1 p a R 1 01  x a  e 0ix d = p ae 0ib ^ (a)

となる。

f 2L 2 (R)

に対して、

による

f

の

Wavelet

変換を

W f(b;a)=<f; a;b >= 1 p a Z 1 01 f(x)  x0b a ! dx

とする。このとき、

W f(b;a) =< f; a;b > =< ^ f; ^ a;b > = p a R 1 01 ^ f() ^ (a)e ib d

である。

逆変換公式

はさらに次の許容条件（

admissible condition

）を満たすものとする。

2 Z 1 0 j ^ ()j 2 d jj =C <1

注意

^

は連続関数であるから、許容条件を満たすとき、

^ (0) = R 1 01 (x)dx=0

である。

L 2 (R)

の部分空間

H 2 (R)

を

H 2 (R)=ff 2L 2 (R) ; ^ f()=0 (<0)g

01

であったから、

^ W f(;a) = p a ^ f() ^ (a)

である。また、

a;b (x)

の

b

についての

Fourier

変換を

^ 9(a;x;)

とすれば、

^  9(a;x;) = 1 p a R 1 01   x0b a  e 0ib db =e 0ix 1 p a R 1 01   b a  e 0ib db = p ae 0ix ^ (a)

となる。以上のことから、

R 1 01 R 1 0 W f(b;a) 1 p a  x0b a  db da a 2 = R 1 0 <W f(1;a);  1;a (x)> da a 2 = R 1 0 < ^ W f(1;a); ^ 9(a;x;1)> da a 2 = R 1 0 R 1 01 aj ^ (a)j 2 e 0ix ^ f()d da a 2 = R 1 0 R 1 0 aj ^ (a)j 2 e 0ix ^ f()d da a 2 = R 1 0 R 1 0 j ^ (a 0 )j 2 da 0 a 02 e 0ix ^ f()d = C R 1 0 ^ f()e 0ix d = C R 1 01 ^ f()e 0ix d = C f(x)

定理（逆変換公式）

2L 1 (R)\L 2 (R)

は許容条件を満たすとする。このとき、

f 2H 2 (R)

に対して、

f(x)= 1 C Z 1 0 Z 1 01 W f(b;a) b;a (x)db da a 2

問題 許容条件を

2 Z 1 0 j ^ ()j 2 d jj =2 Z 1 0 j ^ (0)j 2 d jj =C p si<1

とすることにより、定理の逆変換公式は

f 2L 2 (R)

で成立することを示せ。

いろいろな

変換

 (x)= 1 2 p  e 0 x 2 a 2 e 0ix

（

Gabor

）

W f(b;a)= 1 p a Z 1 01 f(x) 1 2 p  e 0 (x0b) 2  2 a 2 e 0i( x0b a ) dx  (x)=(102x 2 )e 0x 2

（ メキシカンハット ）

 (x)= 8 > > < > > : 1 (01x<1) 0 1 2 (03x01; 1x3) 0 (jxj>3)

（フレンチハット ）

 (x)=2f(2x)0f(x); f(x)= sin(x) x

（

Shannon

）

 2C 1 (R)

となる例 （

Meyer

）

 2C (n) c (R)

となる例 （

Daubechies

）



粒子

,f(x)

波動関数

(x)  j (x)j 2

存在密度関数

Z 1 01 j (x)j 2 dx=1  (x;x+1x)

に存在する確率

j (x)j 2 1x  j ^ ()j 2

運動量密度関数

^ ()= 1 p 2 R 1 01 (x)e 0ix dx Z 1 01 j ^ ()j 2 d =1  (h;h(+1))

である確率

j ^ ()j 2 1  Schrodinger

方程式

ih @ @t (x;t)= 0 h 2m @ 2 @x 2 +V(x) ! (x;t)

ただし、

V

はポテンシャル

,m

は質量である。

 V 0

のとき

,

自由粒子とよぶ。

例

f(x)= (x;0)=  1 a 2  1 4 e 0 x 2 2a 2 +im 0 x

として波動方程式を解くと

(x;t) = 1 2 R 1 01 ^ f()e ix0 h 2 2m t) d = 1 2 R 1 01  a 2  1 4 e 0 1 2 a 2 (0m 0 ) 2 e ix0 h 2 2m t) d j (x;t)j 2 = (a 2 +( h ma ) 2 t 2 ) ! 0 1 2 e 0 1 a 2 +( h ma ) 2 t 2 (x0 hm 0 m t) 2

m t

であり

,

分散は

a 2 +( h ma ) 2 t 2

となる

波の伝播

e 0i!()t

の

!()

で決まる



弦の振動

!()= 

素粒子

!()= 2 

水の波

!()= q c1  +  c2 tanhc 3 

∼

 3 2 

電磁波

!()=(10c 2  2 0 0 ) ( 2 00) 2 +c3 2

∼

 

電子

!()= p c 1  2 +c 2

∼