ディジタル通信 第2版 xft0148-01.ps : 0001 : 2016/10/17(09:54:49)
第
1
章 ディジタル通信の基礎
本章では，ディジタル通信を勉強するための基礎知識や，教科書の構成と先修 すべき内容について説明する．1.1
通信システム 一般的に通信システムは「情報をあるところから別のところへ届ける仕組 み」と定義できる．そう考えると現代社会では通信システムがいたるところに 存在する．人間同士をつなぐ電話やテレビ放送の通信システムだけでなく，人 間と機械，さらには機器同士が通信を行うシステムもある．これらの多様な通 信システムが人間の生活を支えている． 例えば，通信システムと言えば，携帯電話やスマートフォンがすぐに思い浮 かぶ．しかしその他にも毎日使うテレビのリモートコントロールも通信シス テムである．人間の命令をテレビに届けるので，通信しているわけである．ま たCDプレーヤーも通信システムと考えることができる．なぜなら人間の耳に CDに記録されている音楽を届ける役割を果たすからである． 機器間通信の代表例としては，インターネットにアクセスするためのWi-Fi や無線LANがある．人間が介在することなく，スマートフォンやコンピュー タがアクセスポイントと自立的に通信している．また，USBを使ったコンピ ュータと周辺機器間の接続も機器間通信と考えることができる．これら以外に も，近距離無線ネットワークではBluetoothやZigbeeの規格と，ICカード のNFC規格が使われ機器間の通信が行われている．1.2
ディジタル通信の特徴 近年，携帯電話のみならずほとんどの電化製品が「アナログ」から「ディジ タル」へ変化してきている．この理由は何だろうか．その答えを探るために，ディジタル通信 第2版 xft0148-01.ps : 0002 : 2016/10/17(09:54:49) 2 第1章 ディジタル通信の基礎 まずアナログとディジタルの違いを理解する必要がある． 1.2.1 アナログとディジタルの違い まずアナログ通信の例が示されている図1 1(a)を見てみよう．送信する波 形は情報を直接表している．例えば，人間の声をマイクで電圧に変換したらこ のような波形になる．アナログ信号の電圧は，細かく測定すれば無数な可能性 があるので，「アナログ=無数」だと言える．それを考えると信号の形も無数 にある．この「無数の可能性」がアナログの特徴である． 図1 1 アナログとディジタル通信の例 信号を送信すると雑音等によって必ず変化してしまうので，受信した信号は 送信したものと違う．受信側では，送信した信号がわからないので受信信号か ら推定する必要がある．アナログ通信では，上記で述べた通り無数の可能性が あるため，受信した信号から無数の可能性の送信信号を推定することが難し い． ディジタル通信はどう違うのか．図1 1(b)に示すように，送信電圧は2通 りしかない．つまり，ディジタル通信では信号の形を限定するので，「ディジ タル=有数」だと言える．このように限定することにより，受信側で送信信 号の推定が格段に楽になる． アナログ通信と同様にディジタル通信も受信信号が送信信号と異なる．しか し，送信信号の電圧が2通りしかないことからこの受信信号から送信信号が簡 単に推定できる．受信電圧が高いときは送信電圧が高かったと推定でき，低い
ディジタル通信 第2版 xft0148-01.ps : 0003 : 2016/10/17(09:54:49) 1.3 教科書の構成 3 ときは低かったと推定できる． 送信した信号が推定しやすいことから，ディジタル通信はアナログ通信より 高品質になる．例えばテレビ放送では，ディジタルで放送したほうがきれいな 音声や映像が楽しめる． 1.2.2 ディジタルだからできること ディジタル通信は高品質であるが利点はそれだけではない．ディジタル通信 を利用すれば様々な情報を混ぜて送ることができる．例えばディジタル放送で は，映像や音声の他に番組情報のようなデータも放送される．テレビの中でど のデータが映像でどのデータがニュースなのかは区別できるようになってい る．アナログ通信ではこのようなことは非常に実現しにくい． また，ディジタル通信を利用すれば暗号化も可能になる．初期の携帯電話は ラジオのような通信方式を使用していたため，受信機を持っていればだれでも 盗聴できていた．最近の携帯電話は盗聴しても内容が安易にわからない方式が 採用されている． 1.2.3 ディジタル通信の普及に至るまで ディジタル通信がアナログよりたくさん利点があるにもかかわらず，なぜも っと早く導入されなかったのだろうか．それは機器の能力不足にあった．ディ ジタル通信を行うためには，コンピュータによる複雑なディジタル処理が不可 欠である．例えば，電話等でディジタル通信を利用するためには，まず人間の 声のようなアナログ情報をディジタル化し，受信側で元のアナログ情報に戻す 必要がある．しかし，十分な能力を持つ低価格のコンピュータを作ることがで きなかった． この問題を解決したのは，半導体技術の飛躍的な進歩である．処理能力が高 く，小さくて安い装置が大量に生産できるようになったおかげで，ディジタル 通信を利用した機器が急速に普及することとなったのである．
1.3
教科書の構成 ディジタル通信の目的は0と1からなる情報系列を効率よく相手に送ることディジタル通信 第2版 xft0148-01.ps : 0004 : 2016/10/17(09:54:49) 4 第1章 ディジタル通信の基礎 である．本教科書はこの基本から始まり，主要通信方式について解説し，それ らの評価に使用する尺度を紹介する．具体的な内容は次の通りである． ² 通信に使用する諸信号とそれらの時間・周波数表現（第2章） ² 通信システムを解析しやすくするためのモデル化方法と性能評価方法 （第3章） ² アナログ信号をディジタル化して送信する方法（第4章） ² 信号を送るときに信号が劣化しないための方策（第5章） ² データを送信波形に変換するときの条件と具体的な方法（第6章） ² 正弦波に情報を載せて送信する方法（第7章） ² 複数ユーザが同時に通信できる方法（第8章）
1.4
先修すべき知識 本教科書は必要な知識を盛り込むように書かれているが，より理解を深める ために次の知識を先に修得することが望まれる． ² 微分積分学 ² 確率論（連続確率変数，正規分布） ² フーリエ解析（フーリエ級数，フーリエ変換） ² 信号処理（線形システム，インパルス応答，伝達関数）ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0001 : 2016/10/17(10:18:28)
第
2
章 通信で使う信号
本章では，通信でよく使われる信号について概説し，時間領域および周波数領 域の表現について説明する．2.1
正弦波 ディジタル通信とは言っても，実際に送信するのはアナログ信号である．例 えば携帯電話のアンテナから出る電波も，モデムによって作られる信号もアナ ログ信号である．アナログ信号の中で一番重要なのは，図2 1に示す正弦波 （sine wave）である． 図2 1 正弦波 正弦波はなぜ重要なのだろうか．理由は正弦波が自然によく現れるからであ る．しかしこのような形の波形が自然によく表れるのはなぜだろうか．そのカ ギは「円」にある．ひもに重りを付けて振り回すと，図2 2に示すようにその 重りは円を描く．回っている重りを横から見て，時間を横軸に，重りの位置を 縦軸にプロットすれば正弦波になる．というわけで，車輪や風車のような回っ ているものには正弦波が自然に付いてくる．壁のコンセントから出る100［V］ 交流電源も回転する発電機によって作られるので正弦波である． 回転に限らず振動の多くも正弦波に近い形であるので，実に多くの自然現象 が正弦波と深い関わりを持っている．また，正弦波を組み合わせるとどのよう な形の信号も構成できるという基本的な定理もある．これについてはあとで詳 しく説明するが，ここでは正弦波の重要性を理解してほしい．ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0002 : 2016/10/17(10:18:28) 6 第2章 通信で使う信号 図2 2 重りを回転させると正弦波が作られる 2.1.1 時間領域での表現 図2 3に示すような正弦波を時間の関数として考える場合，一般的に次式で 書くことができる． A cos(2¼ft + µ) (2 1)
ここで A,f,µはそれぞれ正弦波の振幅（amplitude），周波数（
fre-quency），位相（phase）である．tは時間を表している．tを秒［s］で表す と，fはヘルツ［Hz］でµはラジアン［rad］になる．電気信号の場合，信号 の電圧を測定することが多いので，Aはボルト［V］で表す．周波数は時間信 号から直接読みとれるわけではなく，正弦波の繰り返す周期Tを使う必要が ある． 図2 3 正弦波の振幅と周期 正弦波の位相は振幅と周波数と違って相対的なパラメータである．図2 4に 示す通り，位相は他の正弦波に対してどれくらいずれているかを表している． また，ずれの大きさは秒で表すのではなく，1周期の割合に換算しラジアンで 表す．例えば，位相が1周期ずれると位相が2¼［rad］になり，半周期ずれる と¼［rad］になる．正弦波は周期信号なので，2¼［rad］と0［rad］の位相は
ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0003 : 2016/10/17(10:18:28) 2.1 正弦波 7 等しい．そのため，位相の値は2¼の範囲があれば十分で，¡¼ < µ · ¼の範 囲を使うことが多い．例えば，3¼は¼と同じなので，¼とする． 図2 4 正弦波の位相 2.1.2 信号スペースダイアグラム 周波数が同じで振幅と位相が異なる正弦波を扱うとき，振幅と位相関係が一 目でわかる図を作ると便利である．式（2 1）を書き直すと，
A cos(2¼ft) cos µ ¡ A sin(2¼ft) sin µ (2 2)
となり，cos(2¼ft)を横軸，¡ sin(2¼ft)を縦軸と考えれば，周波数fを持 つ正弦波を2次元平面の座標(A cos µ; A sin µ)で表すことができる．この2 次元平面図は信号スペースダイアグラム（signal space diagram）と呼ぶ．
横軸と縦軸が直交しているのと同じで，cos(2¼ft)と¡ sin(2¼ft)が「直 交している」と考えることができる．この場合の直交（orthogonal）とは， 次のように定義する．信号s1(t)とs2(t)が時間[0; T]において Z T 0 s1(t)s2(t)dt = 0 (2 3) が 満 足 し て い れ ば，s1(t) と s2(t) が 直 交 で あ る と い う．cos(2¼ft) と ¡ sin(2¼ft)が直交であることを確認しよう． Z T 0 cos(2¼ft) sin(2¼ft)dt = 12 ZT 0 sin(4¼ft)dt = 12 ¡ cos(4¼ft)4¼f ˜ T t=0 = 12 1 ¡ cos(4¼fT)4¼f ˜ (2 4)
ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0004 : 2016/10/17(10:18:28) 8 第2章 通信で使う信号 ここで，f = n=(2T)という条件を付ければcos(2¼ft)と¡ sin(2¼ft)が直 交になる． 一般的に，座標(x0; y0)が与えられたとき，この座標で表される正弦波信 号は， x0cos(2¼ft) ¡ y0sin(2¼ft) (2 5) と表される．図2 5に示す例を見てみよう．点Aの座標は(3; 0)なので，点 Aで表される信号は3 cos(2¼ft)である．同様に点Bの座標は(0; ¡2)なの で，点Bで表される信号は2 sin(2¼ft)である． 図2 5 信号スペースダイアグラムの例 点Cはどうだろうか．座標は(2 cos(3¼=4); 2 sin(3¼=4))になるので，点 Cで表される信号は，
2 cos(3¼=4) cos(2¼ft) ¡ 2 sin(3¼=4) sin(2¼ft) = 2 cos(2¼ft + 3¼=4) (2 6) となる．この結果からわかるように，信号の振幅は座標(0; 0)からの距離で， 位相は正方向の横軸に対する角度になる． 点Dについて，上記の結果を利用すれば信号が簡単に求められる．座標が (¡2; ¡1)なので，(0; 0)からの距離はp5で，角度は µ = tan¡1(1=2) + ¼ (2 7) または，角度を¡¼ < µ · ¼の範囲にすると，
ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0005 : 2016/10/17(10:18:28) 2.1 正弦波 9 µ = tan¡1(1=2) ¡ ¼ ¼ ¡2:68［rad］ (2 8) になる．結果として信号は
¡2 cos(2¼ft) + sin(2¼ft) =B5 cos(2¼ft ¡ 2:68) (2 9)
と表される． 2.1.3 周波数領域での表現 A.スペクトル 簡単な例として，次のような電圧波形v(t)について考えよう． v(t) = d + a cos(2¼fat) ¡ b sin(2¼fbt); (fa< fb) (2 10) このv(t)は直流，正弦波から成っており，これが時間的にどう変化している かを図示しようとすると，たとえd; a; b; fa; fbのすべてがわかっていても 極めて難しい．一方，正弦波は振幅，周波数，位相の三つがわかれば一意的に 定まるから，これを図的に表現する方法が考えられる．いま，式（2 10）を周 波数領域で表現すると，図2 6のように図示できる． 図2 6 v(t)の周波数スペクトルV(f) つまり周波数0（直流）のところに大きさdの直流が，fa のところに振 幅aの正弦波，fbのところに振幅¡bの正弦波があることを示している．こ のように，周波数領域で表現されている正弦波のことを周波数スペクトル （frequency spectrum）という．このスペクトルはf = 0; fa; fbのときに のみ値をもつ線スペクトル（line spectrum）である．
ディジタル通信 第2版 xft0148-02.ps : 0006 : 2016/10/17(10:18:28) 10 第2章 通信で使う信号 ところで，三角関数については，cosとsinは振幅が負であるということは 位相が¼だけ進んでいると考えることができ，次式が成立する．
¡ sin(x) = sin(x + ¼); ¡ cos(x) = cos(x + ¼) (2 11)
よって式（2 10）は次のようにも書ける． v(t) = d + a cos(2¼fat) + b sin(2¼fbt + ¼) (2 12) ただし，fb のスペクトルはsin(2¼fbt)より位相が¼だけ進んでいるので， 何らかの形でこれを表現する必要がある．そこで周波数スペクトルを振幅と位 相に分けて表現すると図2 7のようになる．式（2 10），式（2 12）および図 2 6，図2 7を比較すればわかるように，周波数スペクトルが負になっている ということは，実は位相が単に¼だけずれていることを意味していることに ほかならない． 図2 7 式（2 12）で表現するv(t)の振幅スペクトルjV(f)jと 位相スペクトルµ(f) さらに，sinとcosの間には次の関係がある． sin(x) = ¡ cos #x + ¼2 ; (2 13) よって式（2 10）をcosで統一して v(t) = d + a cos(2¼fat) + b cos #2¼fbt + ¼2 ; (2 14) と書くとsinとcosの区別の必要がなく便利である．このとき，周波数fbの 正弦波はcos(2¼fbt)に比べて位相が¼=2だけ進んでいるから，同様にして周 波数スペクトルを振幅と位相に分けて表現すると図2 8のようになる．この図 からわかるように振幅スペクトル（amplitude spectrum）jV(f)jは正弦波
