まえがき（pdf）

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hyperbolic 2016/5/10(9:55) 3/208 pLaTeX2e(2005/01/04)

まえがき

本書は『計算で身につくトポロジー』の思想を引き継いで企画された双曲幾何学についての教科書である．双曲幾何学は非ユークリッド幾何学の典型的な例として19世紀に発見されたものだが，21世紀の現代に到って双曲幾何学を学習するとなると，多くは「複素数と分数一次変換からの入門」[5]だったり「ミンコフスキー空間とローレンツ計量からの入門」[1][3]である．双曲幾何学の「その先」として低次元トポロジーやクライン群を見据えるならば，このような入門の仕方は実に正しい．そのような状況を認めた上で「素朴に面白い双曲幾何学の教科書」を計画した．双曲幾何学を「補助線」，「コンパスと定規の作図」，「平面座標」，「複素座標」という4つの切り口から同時並行で（しかも作図が一番偉いものとして）進めていくというのが本書のコンセプトで，「日常生活の役に立たないかもしれないが，とにかく予備知識ナシで数学をひたすら考えまくることが好き」な人のための教科書となっている．実は，同じ作図で双曲幾何学を考えるのでも，上半空間モデルでは易しく，ポアンカレディスクモデルでは難しい．本書ではあえてポアンカレディスクモデルですべての作図を試みたい．作図や補助線で双曲幾何学を理解しようとするその背景として，明治以降の「平面幾何学の古きよき時代」を懐かしむ意味もある．平面幾何の美学と称されることもあるが，要するに「幾何学の証明はあくまで補助線によるものが美しい」という考え方である．本書もできる限り「美しい証明」を心がけることにする．作図にはGeoGebraを用いることにした．このことからGeoGebraの入門もかねて，インストールの仕方から基本的な使い方を解説することにした．筆者が日本でGeoGebraを広める活動に参加している立場からも，本書とあわせて GeoGebraと双曲幾何学の両方を学習していただきたく切望する．なお，明治大学大学院を2016年3月に修了した大西隆太さんには，本稿を精読していただき，式の誤りなども指摘していただきました．心より感謝いたします． 2016年4月筆者