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等価原理と非ユークリッド幾何学

等価原理と非ユークリッド幾何学

数理情報基礎講座

２章

２章

等価原理と非ユークリッド幾何学

等価原理と非ユークリッド幾何学

ƒ ƒ 時間変数と３個の空間座標の４次元時空は、ミンコ時間変数と３個の空間座標の４次元時空は、ミンコ フスキーとよばれ、４次元ユークリッド空間と似た性 フスキーとよばれ、４次元ユークリッド空間と似た性 質をもつ。そこでは、空間的なベクトルと時間を含め 質をもつ。そこでは、空間的なベクトルと時間を含め た４元ベクトルを定義する。 た４元ベクトルを定義する。 ƒ ƒ ベクトル場や、テンソルには「反変性」と「共変性」とベクトル場や、テンソルには「反変性」と「共変性」と いわれる性質が重要になる。計量テンソルは、時空 いわれる性質が重要になる。計量テンソルは、時空 間の性質を表わすもので、等価原理によって導か 間の性質を表わすもので、等価原理によって導か れるアインシュタインの重力場の方程式は、これを れるアインシュタインの重力場の方程式は、これを 決定する。ここでは非ユークリッド幾何学が成り立っ 決定する。ここでは非ユークリッド幾何学が成り立っ ている。重力による空間の歪みによって、ブラック ている。重力による空間の歪みによって、ブラック ホールなどが予想され、それは実際に存在するとい ホールなどが予想され、それは実際に存在するとい われている。 われている。

ベクトルの大きさ：スカラー

„ Ｌ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ （長さ）

→ ピタゴラスの定理

„ ｃ２τ２＝ｃ２ｔ２－（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２） （固有時）

基本テンソル：

η

μν

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 0 2 , ds dx dy dz cdt dx dx dx dx H ds dx dx μν μ ν μν μ ν η η = + + − = + + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

∑

－１ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ＝ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

ローレンツ変換

„ 電車の中（Ｓ’系：ｘ’、ｙ’、ｚ’、ｔ’） „ 電車の外（Ｓ 系：ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）

電車の進む方向をｘ方向に仮定すると、

ローレンツ変換

2 ' ' _{1 v} , , , ' ₁ ' ' ' , ' ' ct ct x x y y c z z ct ct x x y y z z γ βγ βγ γ γ β β γ βγ βγ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜₌ ⎟⎜ ⎟ _{= =} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜₌ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １

( )2 , , , , , , , ', ' ' ', , , , ( A x x dx dx ds dx dx dx dx dx dx ν μ ν ν μ μ μ ν ν μ μ μ μ ν μ ν μν μν μ ν μ ν μ ν λ κ μν λ κ μ ν λ κ μ ν μ ν λκ μν λ κ μν λ κ μ ν μν νλ λ μν μν μ γ βγ βγ γ α α α η η η α α η η α α η α α η η η η δ − ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = = ∴ = = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ （アインシュタインの和則） クロネッカーのデルタ）

a

_μ

=

η

_μν

a

ν

４元速度ベクトル

,

'

,

dx

u

d

u

u

μ μ μ μ ν ν

τ

α

=

=

４元ベクトルの内積

a b

• ≡

a b

μ

_μ

=

b a

μ

_μ

=

η

_μν

a b

μ ν

α、βをｘ

μ

_で書く

1

,

'

'

,

x

Jacobian

x

x

x

ν ν μ _μ ν ν μ _μ ν ν μ μ

β

α

α

−

β

∂

=

∂

∂

=

∂

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

共変ベクトル場

,

( )

( )

S x

S

x

x

μ _μ

∂

≡

∂

, ,

' ( ')

( )

S

_μ

x

=

β

_{μ ν}

ν

S

x

スカラー場 スカラー場の微分は、ベクトルになる。

２次形式

２次形式

ƒ ƒ ＬＬ２２_＝ｘ＝ｘ２２_＋ｙ＋ｙ２２_＋ｚ＋ｚ２２ _{（長さ）（長さ）} → → ピタゴラスの定理ピタゴラスの定理 ƒ ƒ ｃｃ２２_ττ２２_＝ｃ＝ｃ２２_ｔｔ２２_{－（ｘ－（ｘ}２２_＋ｙ＋ｙ２２_＋ｚ＋ｚ２２_{）） （固有時）（固有時）} →変形ピタゴラスの定理 →変形ピタゴラスの定理

２次形式

２次形式

ƒ ƒ ＬＬ２２_＝ｘ＝ｘ２２_＋ｙ＋ｙ２２_＋ｚ＋ｚ２２ _{+ a + a xyxy + b + b yzyz + c + c zxzx} どうしてピタゴラスの定理は、 どうしてピタゴラスの定理は、 a=b=c=0 a=b=c=0なのか！？なのか！？ ƒ ƒ 平らな空間（ユークリッド幾何学）→平らな空間（ユークリッド幾何学）→a=b=c=0a=b=c=0 ƒ ƒ 曲がった空間（リーマン幾何学）→曲がった空間（リーマン幾何学）→a_a≠≠0,_0, bb≠≠0, c_{0, c}≠≠0₀

ユークリッド

ユークリッド

ƒ ƒ EukleidesEukleides （ （ 紀元前紀元前365₃₆₅年年? ? - - 紀元前紀元前275275 年 年?_?）） 古代ギリシア 古代ギリシアのの数学者数学者、、天文天文 学者 学者とされる。いわゆるとされる。いわゆる『『原原 論 論』』（（ユークリッド原論ユークリッド原論）の著者）の著者 である。ただし、実在を疑う説 である。ただし、実在を疑う説 もある。その説によると、 もある。その説によると、『『原原 論 論』』は複数人の共著であり、は複数人の共著であり、 エウクレイデスは共同筆名で エウクレイデスは共同筆名で ある。 ある。

リーマン

リーマン

ƒ

ƒ GeorgGeorg Friedrich Bernhard Friedrich Bernhard Riemann Riemann, , （（18261826年年-- 18661866年年）） は はドイツドイツのの数学者数学者。。解析学解析学、、幾何幾何 学 学、数論の研究は、現代数学へ、数論の研究は、現代数学へ の発展に大きな影響を与えた。 の発展に大きな影響を与えた。 だが、病身のために、その研究 だが、病身のために、その研究 生活は短く、先駆的な彼の研究 生活は短く、先駆的な彼の研究 は一部の数学者を除くと当時あ は一部の数学者を除くと当時あ まり理解されなかった。ただ、 まり理解されなかった。ただ、 リーマン幾何学 リーマン幾何学についての講演についての講演 については、数学者 については、数学者ガウスガウスが興が興 奮のあまり、同僚にしばらくこの 奮のあまり、同僚にしばらくこの 着想のすばらしさを語りつづけた 着想のすばらしさを語りつづけた といわれる。リーマンの数学は といわれる。リーマンの数学は20₂₀ 世紀になると多くの分野で再評 世紀になると多くの分野で再評 価され、現在では、１９世紀を代 価され、現在では、１９世紀を代 表する数学者の一人と考えられ 表する数学者の一人と考えられ ている。 ている。

リーマン幾何学

ƒ

ƒ

「空間が曲がっている」「空間が曲がっている」

ƒ

ƒ

三角形の内角の和が１８０三角形の内角の和が１８０°°にならない。にならない。

ƒ

ƒ

面積＝底辺面積＝底辺××高さ高さ÷÷２が成り立たない。２が成り立たない。

局所的平 面

球面の三角形

内角の和＞１８０° a b c a=c ∴a2_=c2 _a2_+b2_>c2 ピタゴラスの定理が成り立たない！

一つの星が２つ見える！？

一つの星が２つ見える！？

★

★

リーマン幾何学

ƒ

ƒ

「空間が曲がっている」「空間が曲がっている」

ƒ

ƒ

三角形の内角の和が１８０三角形の内角の和が１８０°°にならない。にならない。

ƒ

ƒ

面積＝底辺面積＝底辺××高さ高さ÷÷２が成り立たない。２が成り立たない。

ƒ

ƒ

なぜ、空間が曲がるのか？なぜ、空間が曲がるのか？

ƒ

ƒ

重力重力によって空間が曲がる。によって空間が曲がる。

ベクトル場の微分は、テンソルか？

2 ( ) ' ' ( ') ( ) ' ' ( ) ( ) ' ' ' ' x x A x A x A x x x x x x x A x A x x x x x λ ρ ν μ ν μ _{ν λ μ} ρ λ ρ ρ λ ρ ρ ν μ μ ν ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ → ∂ = _{⎜ ⎟} ∂ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ∂ _{+ ⎜ ⎟} ∂ ∂ _⎝ ∂ ∂ _⎠ おつりが出てしまう。

共変微分

( )

( )

A x

A x

λ

A

ν μ ν μ μν λ

∇

≡ ∂

− Γ

反変ベクトルの共変微分

Γは、リーマン接続係数、アフェイン係数という。

( )

( )

A x

μ

A x

μ μ

A

σ ν ν σν

∇

≡ ∂

+ Γ

の条件

2 ' ' ( ') ( ) ( ) ' ' ' ' x x x A x A x A x x x x x λ ρ ρ ν μ _{ν μ} λ ρ _{μ ν} ρ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ _{+ ⎜ ⎟} ∂ ∂ _⎝ ∂ ∂ _⎠ 2 ' ' ' ( ') ( ) ' ' ' ' x x x x x x x x x x x x x σ ρ λ σ λ λ τ μν _{ν μ τ} ρσ _{μ ν σ} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Γ = Γ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ μν

Γ

恒等式 テンソルの条件

{

}

{

}

' ' ( ) ( ) ' ' ' ' ( ') ' ' ( ) ( ) ' ' x x A x A x x x x x A x A A x A x x x σ ρ ν μ ν μ σ ρ σ ρ λ τ ν μ μν λ _{ν μ} σ ρ ρσ τ ∂ ∂ ∇ = ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − Γ = ∂ − Γ ∂ ∂

計量テンソル

g

μν

( )

( )

2 , 2 , ( ) ds dx dx ds g x dx dx μ ν μν μ ν μ ν μν μ ν

η

= =

∑

∑

'

'

'

x

x

g

g

g

x

x

λ ρ μν μν _{μ ν} λρ

∂

∂

→

=

∂

∂

特殊相対論では、ηは定数。

計量テンソルの共変微分

„ リーマン幾何学上での平行移動： „ 平行移動ではベクトルのスカラー積は不変： ( ) ( ) ( ) ( ) A xμ + Δx _& = A xμ − Δ Γxν _λνμ x A xλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g_μν x + Δx A xμ + Δx A x_& ν + Δx _& = g_μν x A x A xμ ν

0

g

g

g

g

x

μν σ σ λ μν _λ μσ νλ νσ μλ

∂

∇

=

−

Γ −

Γ =

∂

導く

クリストッフェルの三指標記号

λ

μν

Γ

1

2

g

g

g

g

x

x

x

ρν μρ μν λ λ λρ μν νμ _{μ ν ρ}

∂

∂

∂

⎛

⎞

Γ = Γ =

_⎜

+

−

_⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

Γは、リーマン接続係数、アフェイン係数という。

0

g

g

g

g

x

μν σ σ λ μν _λ μσ νλ νσ μλ

∂

∇

=

−

Γ −

Γ =

∂

解く

曲率

x

μ x x μ _{+ Δ} μ

x

μ

+ Δ

y

μ

x

x

y

μ

_{+ Δ + Δ}

μ μ 経路：A→B→D D C B A 経路：A→C→D

(

)

(

)

( )

A x

_μ

+ Δ

x

_&

=

A x

_μ

+ Δ − Δ ∇

x

x

ν _{ν μ}

A x

(

)

(

)

( )

A x

_μ

+ Δ

y

_&

=

A x

_μ

+ Δ − Δ ∇

y

y

ν _{ν μ}

A x

曲率

{

}

{

}

{

}

{

}

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x y A x x y x A x y y A x x x A x A x x y x y A x A x y x A x A x x A x A x x y x y A x x y y x A x y x A x ν μ μ ν μ λ λ ν μ ν μ ν λ μ ν λ μ μ λ σ ν λ σ μ μ ν μ ν ν μ ν μ ν λ ν λ λ ν λ ν μ λ ν μ + Δ + Δ = + Δ + Δ − Δ ∇ + Δ − Δ ∇ + Δ − Δ ∇ = + Δ + Δ − Δ ∇ Δ ∂ + −Δ ∇ Δ ∂ + − Δ ∇ = + Δ + Δ − Δ + Δ ∇ − Δ Δ + Δ Δ ∂ ∇ + Δ Δ ∇ ∇ & 経路：A→B→D

曲率

経路：A→C→D

{

}

{

}

{

}

{

}

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x y x A x y x y A x y x A x y y A x A x y x y x A x A x x y A x A x y A x A x y x y x A x y x x y A x x y A x ν μ μ ν μ λ λ ν μ ν μ ν λ μ ν λ μ μ λ σ ν λ σ μ μ ν μ ν ν μ ν μ ν λ ν λ λ ν λ ν μ λ ν μ + Δ + Δ = + Δ + Δ − Δ ∇ + Δ − Δ ∇ + Δ − Δ ∇ = + Δ + Δ − Δ ∇ Δ ∂ + −Δ ∇ Δ ∂ + − Δ ∇ = + Δ + Δ − Δ + Δ ∇ − Δ Δ + Δ Δ ∂ ∇ + Δ Δ ∇ ∇ &

曲率

(

)

( ) ( ) ( ) A x_μ + Δ + Δx y _& − A x_μ + Δ + Δy x _& = Δ Δxν yλ ∇ ∇ − ∇ ∇_{λ ν ν λ} A x_μ

(

∇ ∇ − ∇ ∇

_{λ ν ν λ}

)

A x

_μ

( )

≡ −

R

_{μνλ σ}σ

A x

( )

R

_μνλσ

曲率テンソル

R

_μνλσ

≡ ∂ Γ − ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ

_{λ μν}σ _ν σ_μλ σ_{ρλ μν}ρ σ_ρν ρ_μλ A→B→D A→C→D

リッチのテンソル

R

_μν

≡

g

ρσ

R

_σμρν

=

R

_μρν

ρ

=

R

_νμ

スカラー曲率

g R

μν

_μν

g g

μν

ρσ

R

_σμρν

≡

=

R

アインシュタイン・テンソル

1

2

G

_μν

=

R

_μν

−

g R

_μν

ビアンキ恒等式

0

G

μν μ

∇

=

エネルギー運動量テンソル

( )

_matt

( )

_EM

( )

T

μν

x

=

T

μν

x

+

T

μν

x

0

1

1

( )

4

EM

T

μν

x

F F

μλ _λν

g F F

μν λρ _λρ

μ

⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )) det[ ] N i i i i matt i i i i i _{i i} dx dx T x m c d x x d d g μ ν μν _τ τ τ _{δ τ} τ τ = = − −

∑ ∫

電磁テンソル

0

/

/

/

/

0

/

0

/

0

x y z x z y y z x z y x

E

c

E

c

E

c

E

c

B

B

F

E

c

B

B

E

c

B

B

μν

⎛

⎞

⎜

₋

₋

⎟

⎜

⎟

=

⎜

−

−

⎟

⎜

₋

₋

⎟

⎝

⎠

F

μν

(

_x

,

_y

,

_z

)

E

=

E E E

JG

(

_x

,

_y

,

_z

)

B

=

B B B

JG

電場 磁束密度

マクスウェルの方程式

0 0 2 0 0 0 0 0 ( , ) 0 F j c j divE c divB B rot E t E rot B j t μν ν μ

μ

μ ρ

ρ

_{μ ρ}

ε

μ

μ ε

∂ = − = − ⎧ _{= =} ⎪ ⎪ ⎪ ₌ ⎪ ⎨ _∂ = − ⎪ ∂ ⎪ ⎪ _∂ = − + ⎪ _∂ ⎩ G JG JG JG JG JG JG G

ガウスの法則

ガウスの法則

ファラデーの法則

アンペール・

マクスウェルの法則

連続の式

_{(保存の式）}

( )

0

T

μν

x

μ

∇

=

0

E

t

∂

=

∂

0

P

t

∂

=

∂

JG

エネルギーの保存 運動量の保存

重力方程式を作ろう。

„ 時空間を決めるテンソル： アインシュタイン・テンソル „ ビアンキ恒等式 „ 物理的な保存の法則

0

G

μν μ

∇

=

材料

1

2

G

_μν

=

R

_μν

−

g R

_μν ( ) 0 T μν x μ ∇ =

もしかして・・・

G

μν

∝

T

μν

等価原理

等価原理

ƒ

ƒ

重力場で自由落下する系は、重力場のない重力場で自由落下する系は、重力場のない 系と同じ物理法則がなりたつ。 系と同じ物理法則がなりたつ。

ƒ

ƒ

フリーホール：ボックスの外を見ることができフリーホール：ボックスの外を見ることができ なければ、どの方向に落下しているのかわか なければ、どの方向に落下しているのかわか らない。 らない。

等価原理

等価原理

ƒ

ƒ

慣性質量と重力質量は本来同一のもので、慣性質量と重力質量は本来同一のもので、 加速度によって生じる見かけの力と重力とは 加速度によって生じる見かけの力と重力とは 原理的に区別できないものである。 原理的に区別できないものである。

ƒ

ƒ

適当な基準系を採用すれば、任意の世界点適当な基準系を採用すれば、任意の世界点 の近傍のごく小さい領域で重力の影響を消し の近傍のごく小さい領域で重力の影響を消し 去ることができる。 去ることができる。

等価原理

等価原理

ƒ ƒ 全ての物理法則は、任意の座標系において、いつも全ての物理法則は、任意の座標系において、いつも 同じ形で表される。 同じ形で表される。

重力のない系とある系

重力のない系とある系

ƒ ƒ 重力のない系（局所慣性系）重力のない系（局所慣性系） ƒ ƒ 重力のある系重力のある系

_{( , , )}

_{x y z}

( ', ', ')x y z 2

'

'

1

'

2

'

x

x

y

y

z

z

gt

t

t

=

⎧

⎪

₌

⎪

⎨

_{= +}

⎪

⎪

=

⎩

2 ' ' 1 ' 2 ' x x y y z z gt t t = ⎧ ⎪ ₌ ⎪ ⎨ _{= +} ⎪ ⎪ = ⎩ ' ' ' ' dx dx dy dy dz dz gtdt dt dt = ⎧ ⎪ ₌ ⎪ ⎨ _{= +} ⎪ ⎪ ₌ ⎩ 固有時の微分：ｄτ， 原点付近（x’，y’，z’)＝（０，０，０） ∴ｚ’＝０， 2 1 2 , 2 z z gt t g = − = −

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) (

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 ' ' ' ' 2 1 ds dx dy dz c dt dx dy dz gtdt c dt g t dx dy dz gtdzdt c dt c = + + − = + + + − ⎛ ⎞ = + + + − −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ を代入すれば、

２次形式

２次形式

2 2 2 2 2 2 2 1 ( , , ) 1 , 1 L x y z axy byz czx a c x x y z a b y c b z = + + + + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = _{⎜ ⎟⎜ ⎟} ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 ( , , , ) 0 0 1 0 0 0 0 1 c c t x y z ct x ct x y z y z τ − = − + + + − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 ₂ ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 ( , , , ) 0 0 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 0 0 ( , , , ) 0 0 1 0 2 0 0 1 g t ds dx dy dz gtdzdt c dt c g t gt cdt c c x cdt z y z y z gt c gz gz cdt c c x cdt z y z y z gz c ⎛ ⎞ = + + + − −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − + ⎜ _{⎟⎛ ⎞} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟⎜} ⎟ ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ₋ ⎞ − − ⎜ _{⎟⎛ ⎞} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎜ ₋ ⎟_{⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

計量テンソル(メトリック)：ｇμν Φは、単位質量当たりの重力ポテンシャル

( )

2 3 3 2 0 0 0 2 1 2 3 2 2 1 0 0 0 1 0 0 , . 0 0 1 0 2 0 0 1 c d g dx dx gz gz cdt dx c c dx dx g dy dx dz dx gz c μ ν μν μ ν μν τ = = − = ⎛ ₋ ⎞ − − ⎜ ⎟ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟} = ⎜ _{⎟ ⎜} ⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎜ ₋ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑∑

00 _{2 2} 2 2 1 gz 1 g c c Φ = − − = − −

00 00 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 R g R c c c κ ρ c κ ρ − ≈ − ∇ Φ − − = − ∇ Φ + 2

R

κ ρ

c

∴ ≈

比例定数κの決定

1

2

G

μν

=

R

μν

−

g R

μν

=

κ

T

μν 00 2 2 2 00 00 _{2 2} 1 1 2 1 ( ) ( 1 ) 2 2 R R g c c Φ ≈ ≈ ∇ = ∇ − − = − ∇ Φ 1 2 2 g_μν ⎛_⎜ Rμν − g Rμν ⎞_⎟ = −R R = κ g T_μν μν ⎝ ⎠ 00 2

,

T

≈

c

ρ

他は、ほとんど０．

準静的仮定 00 2 T c κ ≈ κ ρ 2 4 Gπ ρ ∇ Φ = 万有引力のポアソン方程式： 4 8 G c

π

κ

= − 2 2 2 2

1

1

2

c

c

c

κ ρ κ ρ

∴−

∇ Φ +

=

4 2 2 c _κρ ∴∇ Φ = −

アインシュタインの重力方程式

4

1

8

2

G

R

g R

T

c

μν

₋

μν

_{= −}

π

μν

計量テンソルを決定する方程式＝重力方程式 4 1 8 2 : G R g R g T c g T R R μν μν μν μν μν μν μν π − − Λ = Λ ：メトリック、 ：エネルギー運動量テンソル、 ：リッチ・テンソル、 リッチ・スカラー、 ：宇宙定数 ( ) 1 4 4 1 1 4 1 1 4 1 , . 1 2 R R R g R R x x g g g g x x x α μν μνα μν μν α μ ν α α α α σ α σ βμν μ νβ ν μβ μσ νβ νσ μβ σ βν αβ μ να αβ μν β α ν ν − = = = − = ⎡ ⎤ ≡ ≡ _{⎣ ⎦} ∂ ∂ ≡ Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎡ ⎤ Γ ≡ _{⎣ ⎦ ⎜} + − _⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ４ ＝１ −

重力方程式の解

重力方程式の解

ƒ

重力方程式の解

重力方程式の解

ƒ ƒ 特別な解として、「ブラック・ホール」解特別な解として、「ブラック・ホール」解 ƒ ƒ 宇宙が膨張するか収縮するかを予想宇宙が膨張するか収縮するかを予想 → → 膨張する宇宙膨張する宇宙 → → ビッグバンビッグバン 宇宙の年齢（１３７億年） 宇宙の年齢（１３７億年） インフレーション宇宙（佐藤理論） インフレーション宇宙（佐藤理論） ƒ ƒ 宇宙は、無限なのか有限なのかを予想宇宙は、無限なのか有限なのかを予想 → → 閉じた宇宙閉じた宇宙

まとめ

まとめ

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特殊相対性理論特殊相対性理論 ミンコフスキー時空間（ ミンコフスキー時空間（₄₄次元）次元） → → ユークリッド幾何学（平らな時空）ユークリッド幾何学（平らな時空）

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一般相対性理論一般相対性理論 → → リーマン幾何学（歪んだ時空）リーマン幾何学（歪んだ時空）

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重力方程式（アインシュタイン方程式）重力方程式（アインシュタイン方程式） → → ブラックホール、ビッグバンブラックホール、ビッグバン