分散分析

白鴎大学論集 第26巻 第2号

研究ノート

分散分析

沖 津

直 Analysis of Variance

OKITSUTadashi

はじめに 1．いくつかの平均値の差の検定 2．1元配置の分散分析

はじめに

 本稿の目的は、いくつかの平均値の差の検定、1元配置の分散分析にお ける理論構造、その考え方をわかりやすく、簡明に説明することである。 まず、その使い方を簡単な例題を用いて、解説していく。  分散分析は、1916年から1926年ごろにかけて英国の統計学者RA，フイ シャーによって展開され、開発され主に農業調査に用いられた。その後、 ほとんどすべての科学領域に応用できることがわかり、画期的な幅の広い 研究分野となっている。実験というものは変数間の関係を取り扱うもので すが、フイシャーは小麦の収量について、3種類のバラツキを分けて考え 一333一

沖 津 直 る必要があることに気づきました。まず、植物の生育に直接左右する天候 の影響によるバラツキであり、つぎに土壌の影響で土壌が持っ栄養が次第 に減ってゆくというバラツキであり、最後がバラツキのゆっくりした変化 で、ランダムに発生する小さな変動である。  分散分析とは、実験データに関するさまざまな統計モデルを使い、観測 されたバラツキを分類する方法であり、フイシャーは、分散を分けて考え ることを基礎にさまざまな統計手法を開発した。スチュデントの6検定は 2組のデータ平均値に統計的な有意差があるかどうかを見るものですが、 分散分析は、F検定を行ったあとにF表を使い、2組以上のグループ平均 値に有意差が存在するかどうかを見るものである。そして、有意差がある 場合、‘検定を2つの平均値の差に適用すれば、どこに違いがあるかがわ かるわけである。

1．いくつかの平均値の差の検定（1元分類）

 2つのグループの標本平均の間の差の有意性検定は、通常孟分布を用い る。しかし、3つ以上の標本平均値の間の差が有意であるかどうかを検定 するとき、いちいち2つづつ交互に検定していくことは、時間もかかり 煩わしいし、非常に非効率的である。そこで、3つ以上の標本平均値の 差の有意性検定を同時にできるものが、ここで扱う分散分析（analysis of variance）である。分散分析の手法は、フイシャー以来高度に発達してい るが、ここでは基本構造のいくつかの手法と使い方を取り上げて考えてい くことにする。  まず、各母集団とも平均μ1ニμ2一…二隔で分散が♂ニσ1ニ…一σ1 の正規分布に従っているものと仮定する。すなわち、1番目からん番目ま での各確率変数は、N（防，σ1）（乞一1，2，…・・，ん）に従っている。 さて、説明を解りやすくするために、次のような単純化された例題を用い て、手法の内容を進めていくことにする。 一334一

       分散分析  いま、同じ大きさの分散σ2をもつん個の正規母集団からとったん組の 標本観察値を次のように配列する。 母集団 1     2    …      ん 行平均 ％11     ％12    ●●●    劣1ん 一苅 ％21     κ22    ●●’    κ2た 一κ2 標本観察値 ●      ●      ■      ● ●      ●      ■      ● ●      ●      ●       ● κ”、1   ㌔2   ●●●   劣nψ 一劣”北        一      一 ← 列平均 ％．1     π・2    ’●●    劣・左 ％  xヴは第プ組の標本のズ番目の観察値で、ブ組の標本の大きさを吻、その標        た 本平均値を殉、母平均を巧、nニΣnノとする．王は総平均をあらわしてい        ノヨユ る。したがって、検定すべき仮説は   μ1＝，μ2ニ’●●＝μた となる。  例題1 3つのクラスにある科目についてそれぞれ異なる教え方が実施 されているとしよう。これらの異なる教え方が成績に異なる影響を与えて いるかどうかを検定したい。いま、受講後の各クラスから、無作為に5人 ずつのランダム標本が選ばれその成績結果が次の1表のように示されてい る。  ここで、要点をわかりやすくするために、つぎのような各設問を設定 し、これらを説明しながら解説をくわえて進めていくことにする。  （1）各クラスの平均点  （2）3クラスの総平均点  （3）等平均の帰無仮説のもとに（1）式および（2）式からそれぞれ     の母分散σ2の不偏推定値を求める。  （4）成績に有意な差があるかどうかを有意水準5％で検定する。 一335一

沖 津 直 1表 Aクラス       Bクラス       Cクラス 3      4      7 6      7      6 5      7      7 4      4      7 7      8      8 計 25      30      35  このような設定問題で各クラスの得点の平均は、μ1、μ2、μ3であるが、 分散についてはσ卜σ1一σ1ニσ2（共通の分散）の正規分布に従っている と仮定されている。この仮定は、異なる教え方が平均点に異なる影響を与 えても、得点の散らばりには影響を与えないことを意味しており、次の1 図のように図示できよう。 μ1 Grades μ3          1図 3つのクラスの得点分布  この例題1では、教え方に違いがあるかどうかであるから、帰無仮説は   E。：μ1ニμ2＝μ3 となる。対立仮説としては、3つの平均値はすべて等しくない、というこ とになる。この問題ではつぎのように接近できる。まず、3つのクラスは 一定の分散σ2をもつ3つの母集団である。もし、μFμ2＝μ3ニμ（共通 一336一

分散分析 の平均値）と仮定するならば、3つの母集団はひとっの大きな正規母集団 N（μ，σ2）とみなすことができる。したがって、3つの標本はひとっ の正規母集団からの標本とみなすことができよう。これら3つの標本分散 はそれぞれつぎのようになる。     1n1   51一一Σ（x∫1一笈1）2     n1∫＝1     1n2   S卜一Σ（X∫2一匠2）2     n2∫＝1     1n3   3多一一Σ（x’3一笈3）2     n3∫＝1  したがって、結合分散は次のようになる。        ヨ ワ      、 、 、ΣΣ（xザ晃ノ）2   δ2−nls1＋n232＋n3s3一ノ＝1f＝1       （1）      n1＋n2＋n3−3  n−3  この結合分散は、帰無仮説Hoが真であるか否かにかかわらず、σ2の推 定値となりうる。これを級内から推定された分散という。つぎに、分散σ2 を推定する第2の方法は、κの分布の推定値を表す％の標本分布理論よ り導かれ砺一σZを利用することである．（参考文献1．P8・7−P818 参照）。これは、つぎのようになる。   2    2   σ ニnσ＿      X  したがって、dを推定することによってσ2を推定することができる。 第1の標本に対して   σ2＝n1σ多誼n1（ヱ．1一ヌ）2 となる。第2と第3の標本に対しても、   σ2＝穐σ子二穐（晃2一晃）2   σ2鵬σ子弘（元3一晃）2 したがって、これらの左辺と右辺をそれぞれ合計すると、   3σ2＝2nノ（ヌゴー晃）2．・．σ2一⊥二nノ（晃ソーヌ）2     ∫＝1      3プニ1 不偏推定量を得るためには、3の代わりに、3−1ニ2の自由度を用い 一337一

沖 津 直 る。すなわち、      1 3

  ゲ＝鵡礁ソーザ     （2）

は、σ2を推定する第2の方法である。（2）式を級間から推定された分散 という。  この分散は、  （a）すべての標本が同じ母集団から抽出された場合  （b）別個の母集団だが、母集団平均がすべて等しい場合 のときのみσ2の推定値となりうる。  明らかに、（a）と（b）は同意義である。すべての母集団平均が等し くないとき、級間から推定される分散は、σ2＋cとなるであろう。c＞0 は母集団平均の不均等による誤差である。したがって、（1）式と（2） 式の次の比率     1 3

F＝3−1》（前

    3η・       （3）

    ΣΣ（xゲヌソ）2     ノ＝1∫＝1       n−3 をとるとき、Fが有意におおきければ、平均の均等を疑う理由が存在す る。あるいは各標本が同じ母集団から抽出された、ということを疑うこと ができる。もし、μ1＝μ2＝μ3の仮説が真であれば、（1）式と（2）式の 両推定量は、母分散のσ2を推定しているので同じぐらいの大きさの値で あると期待できる。すなわち、（1）式と（2）式の比率は1に近いであ ろうと期待できるのである。逆に、もしμ1＝μ2＝μ3の仮説が真でないな らば、標本平均ア．1、ア．2、ア．3は、偶然に帰せられる以上にアからも離れ ているであろうと期待される。このことは、分子の推定量（2）は、 （アゴーア）2を含んでいるから大きくなることを意味している。しかし、 分母の結合された標本分散から得られる推定量（1）は、（鞠一アザ）2がそ れぞれの標本内のあるものであるから、鴎の違いから影響をうけない。 一338一

       分散分析 したがって、当然、μFμ2＝μ3の仮設が真でないならば、（3）式によっ て示されたF比は1よりも大きくなるであろう。ゆえに、F比が1より も大きくなればなるほど、標本平均アゾの間の変動がより大きくなり、し たがって、母集団平均μ∫の間の差が大きいと推論することができよう。 この分散分析の考え方は、これまでの同じ方法で行うことができる。以上 のことを念頭におきながら例題1の各設問の解いていくと次のようになろ う。       25     30     35  （1）晃1ニー＝5，晃2ニー＝6，晃3＝一＝7       5      5      5  （2）ヌー25＋30＋35＝6        15  （3） _{X，1，（X∫r晃1）2 X∫2，（X’2一兄2）2 X’3，（X∫3一晃3）2}

3   4

6   1 5    0 4    1

7   4

4   4

7    1 7    1

4   4

8   4

7    0 6    1 7    0 7   0 8   1 計 25   10 30   14

35   2

分散σ2を推定する第1の方法は、（1）式より       め     ΣΣ（xヴーり2   （2ノ＝1，認1    1   σ＝     ニー（10＋14＋2）＝2．17       n−3    15−3 分散σ2を推定する第2の方法は（2）式より ゲ詣客吻（可一311（5）｛（5−6ア＋（6−6ア＋（7−6ア／−5 したがって、（1）式と（2）式の比をとったF値を求めると、         1 3        菊署nノ（晃ブー新5

 （4） F＝3nノ  ー 一2・3

      2．17         ΣΣ（xヴー晃ソ）2         ノニ1f＝1 となる。一方、常に1以上のF比が予想されるので、有意水準も右片側        一339一

沖 津   直 噸だけ にとられる。自由度（2，12）の有意水準5％の対応する境界点は、 付表のF分布表（出所：参考文献1p1086）より、   礁（0．05）一3．88 である。標本から求めたF比と境界点の大きさを比較すると、2図に示 しているように、   F−2．3＜瑞（0．05）一3．88       ∫ 5％       0      1      F＝2．3       3．88  F       2図 自由度2、12のF分布 となる。ゆえに、帰無仮設Hoを採択する。したがって、3クラスの得点 の平均値の間には有意な差はみられない。すなわち、3つの標本平均は均 等である、あるいは同じ母集団から抽出された、ということを支持してい る。  以上は、各標本の大きさ物がすべて等しい場合（n1＝吻二κ3）であっ たが、nプが同じでない場合にも適用できる。たとえば、標本がん個ある 場合の（1）式の一般式は、       え ハノ       ΣΣ（xジ晃ノ）2

礁薯響一㌦一ん  （4）

また、標本ごとに大きさが違うときは、     を ガノ     ΣΣ（xゲ垣ノ）2

  ＾2ノニ1∫＝1      （5）

  σ ＝       n一ん となる。一方、標本がん個ある場合の（2）式の一般式は、      た     n∫Σ（ろ一ヌ）2

  （2 ノ；1       （6）

  σ ＝       た一1       −340一

分散分析  また、標本ごとに大きさが違うときは、     え     Σnノ（ろ一晃）2

  ＾2ノ＝1      （7）

  σ ニ       ん一1 となる。  （4）式あるいは（5）式と（6）式あるいは（7）式とはいずれも母 分散の不偏推定量である。4式のδ2はん個の標本が同じひとつの母集団に 属するという仮定のもとに計算された母分散の推定値であるが、（6）式 のδ2は、このような前提とは関係なしに個々の標本内部のバラツキから直 接に計算した母分散の推定値である。もし、帰無仮説H・μFμ2＝…  ， 傷が正しくん組の標本がいずれも同一母集団からの標本であったとすれ ば、この2っの母分散推定量（4）式のδ・2と（6）式のδ・2の期待値は一致 するはずであり、また、仮説Hoが問違っていて母平均μ1，μ2，… ， 繊のうちに等しくないものがあるときには、（4）式のδ2の期待値はδ2の 期待値よりも大となるはずである。したがって、検定統計量として、      （4）式から推定された分散   Fニ      （6）式から推定された分散 を考え、Fが1よりも極端に大きくなる場合に仮設H。を棄てるという方 法で検定すればよい。このとき、検定統計量Fの自由度は、ん一1，n一ん である。  平均値の有意検定は分散分析の最も簡単な応用例である。この応用では、 観察値を1種類の効果要因についての効果の有無を検定しているので、こ のような効果要因の配置法を一元配置という。効果要因の観察は1種類に っいてだけでなく、同時に2種類またはそれ以上の種類の効果要因にっい て観察することもある。たとえば、作物の品種と肥料の配合を組み合わせ るような場合である。このような配置法を2元配置あるいは一般に2種類 以上の配置法を多元配置という。2元配置は次の機会にとりあげたい。 一341一

沖 津 直

2．1元配置の分散分析

 前述した平均値の差の有意検定の方法は分散分析と呼ばれる統計分析法 の一つの応用であるが、分散分析法というのは変数の分散を種々の要因に 分解して、変化の原因をさぐる方法ということができよう。  いま、前節のところで、観察値梅の全体を正規母集団からの大きさ   え n一Σnノのひとつの標本と考えると、母分散の不偏推定量は、  プ＝1     を ぼノ     ΣΣ（xゲ晃）2

  δ2＝ノ＝1f＝1       （8）

      n−1 である。これはσ2の第3の推定の方法である。この式の分子は、つぎの 形に書き改めることができる。   え パノ       た め      な   ΣΣ（Xジ晃）2一ΣΣ（Xゲ晃ノ）2＋Σnノ（㍉」）2    （9）   プ＝1∫＝1        ノ＝1∫21         ノ；1

    ST ニ  SE  ＋  Sオ

 STは観察値の総平均からのバラツキの全体であり総変動といい、SEは 同一標本内の観察値のバラツキを示し、亀は標本平均値内のバラツキを 示している。SEは観察値をいくつかの組に分けたときの級内のバラツキ を示すから、級内変動とか誤差変動、これに対してSみを級間変動とい う。（9）式は観察値の総変動が誤差変動（1元配置のときには、こちら の言葉が適している）と級内変動に分けられることを示している。いいか えると、級問変動は観察値の総変動のうちの、たとえば例題1の場合であ れば教え方によって説明される変動を表しており、説明されないで残った 変動分が誤差変動である。一元配置の場合、総変動を唯ひとつの変動（例 題1の場合、教え方）のよって説明しようとするものであり、教え方以外 の変動で得点に影響を与えるものを含めて残ったものが説明されない変動 となる。当然、後者の変動は大きくなる傾向になり、その結果として、F 比の分母が大きくなり有意差が現れにくくなる。1変数よりも2変数ある いは3変数の場合が、説明されないで残る変動の部分は小さくなる傾向に 一342一

分散分析 なり、正確な検定が可能となる。  さて、誤差変動は標本ごとの内部変化であるから、同一母集団の仮説が 正しいか否かとに関係なく、いわば偶然のバラツキを示すと考えることが できる。一方、級内変動はもし同一母集団の仮説が正しければ偶然の変化 であるが、仮説が真でなくて標本ごとに母集団が違うのであれば、そのバ ラツキの大部分は母集団の差、したがって平均値の有意差に帰せられるこ とになる。したがって、級間変動が誤差変動に比べて偶然として説明でき る以上に大であれば、帰無仮説でたてたいくっかの平均値には違いがある ことになる。  以上の説明は、次のような形で正確に定式化することができる。確率変 数為が平均値μノ分散σ1（一σ2）の正規分布をすると考える。Xグの観測 値梅は次のように書くことができる。       ∫＝1・2’●●，n／   xヴニμノ＋εヴ       ノニ1，2… ，左  ここで、砺は撹乱項で平均値0、分散σ2の独立な正規分布をするもの とする。さらに、平均値μノをμ＋偽と書き換えると、   xヴ＝μ＋αノ＋εヴ ここで、μおよび傷はそれぞれ次式で定義されている。

甑、ニ、，、，、／㈹

一343一

沖 津 直 母集団 1 ε11 α1 κ11 μ1 母集団 2 α2 μ2 母集団 3 α3 μ3       μ      κ          3図 3つのクラスの得点分布  以上のμ、μノ、αゴの関係を図を用いて視覚的に示すことにしよう。3 図は3つの母集団を描き、μ1、μ2、μ3がμからα1、α2、α3離れている 状況を表現している。μは総平均、αゾは各母集団平均μノの総母集団の平 均μからの偏差であり、個々の母集団の固有の効果を示し、級効果とい う。（10）式の下の式を総計すると、   え      え      た   Σα声Σ（μノーμ）一Σμバ初＝o   ノ；1    ノ＝1        ノ＝1 である。これは、総平均μの定義の仕方の結果である。   傷二〇（ノ＝1，2，… ，ん）のとき、   μ1＝μ2＝● ● ●＝μん すなわち、αゴニ0はすべての母集団の平均μノが等しいことを示し、これ は帰無仮説を表す別の表現法である。どちらで表しても同じである。  （11）式から（13）式で示される確率変数の構造の理論模型を線形モ デルという。いくつかの平均値の差の検定は、このような理論モデルで級 効果ゼロの仮説、すなわち、   H。：傷一〇（ブー1，2，… ，ん）   H1：αゴ≠0 （少なくともブの1つの値に対して） 一344一

分散分析 を検定することを意味する。  さて、梅は正規確率変数で、その母分散はσ1（ニσ2）であるから、   え ぼノ   ΣΣ（xヴーヌ）2

  ノ＝1f＝1   ST       （11）

     2         2     σ       σ は自由度φ一％一1のκ2分布をする。同様に、   え ルノ   ΣΣ（xヴー鴎）2      （12）   ノ＝1，ニ！     SE      2      2     σ        σ は自由度φニ％一んのπ2分布に従い、また、   た   Σnノ（ろ一ヌ）2      （13）   ノー1      Sオ      2         2     σ       σ は自由度φ＝ん一1のκ2分布をし、かつSEと亀に独立であることがわ かっている。さらに、κ2変数の期待値は自由度に等しいから、 E（藷1）一♂

E（壽ん）一♂      （14）

E（藷、）ニ♂ の関係が得られる。これら3つの統計量は、いずれも母分散σ2の不偏推 定量である。2番目の期待値は帰無仮説の真偽に関わりなく成り立つのに 対して、3番の期待値は、帰無仮説が真のときのみ成り立つのが特徴であ る。後の2者は互いに独立であるから、検定仮説が真で母集団が1つであ れば、次の分散比

Fニ％1     （15）

   s％一ん

は自由度φ1ニん一1、φ2−n一んのF分布をする。そして、右片側検定 で有意水準をαとすれば、F検定の棄却域は、次の境界点F協（α）より も、上側の領域で与えられる。（15）式は（8）式と同じ内容であるが、 分散分析表から接近するときの分散比である。分散分析の計算は、通常次 のような2表のようにまとめられる。2表の中のST、SE、亀の計算は、 一345一

沖 津   直 次の式によるのが便利である。          た ガノ     北汚   （ΣΣxヴ）2   5T＝ΣΣ｛Xヴ2一∫；1∫＝1 ｝     ノ＝1∫＝1       n

亀一溜一捻｛（斜

      尭 ηノ

亀一書｛（薯｝（準

（16） 2表 1元配置の分散分析表（反復のある場合） 要因 平方和 自由度 平均平方

F

級間 誤差    た S，＝Σnノ（㌃7）2   ∫＝1   κ n／ SE一ΣΣ（xジ7ゴ）2   ノ＝h＝1 乃一1 冗一ん S且／ん一1 SE／％一ん   s添、） F＝   s搬、局 計   た n／ 3T＝ΣΣ（xジヌ）2   ノ＝1∫＝1 n−1  なお、一元配置の場合において、帰無仮説が棄却されるとき、各母集団 の母平均μ∫の95％信頼区間は、次の式で求められる。

輪厚・巧・職厚  ω）

ここで、‘0．025の自由度は、n一んである。  以上に説明してきたことを、さらに次のような2、3の例題を用いて具 体的に計算し、その使い方を示すことにしよう。  例題2 ある一定の耕作地にある作物に種類の異なる5種の肥料を決め て、それぞれ4回反復して与えたところ、次のような収穫の結果が得られ た。収穫に有意な差があるかどうかを検定しよう。収穫高は正規分布に従        一346一

分散分析 うものとする。有意水準α一〇．05とする。          3表 収穫高のデータおよび計算 反復 A1 A2 A3 A4 A5 計 平方表

1回目

3

5

7

12 19

9

25 49 144 361

2回目

5

6

10 16 24 25 36 100 256 576

3回目

2

6

8

12 17

4

36 64 144 289

4回目

3

9

9

10 18

₉

81 81 100 324 劣・プ 13 26 34 50 78 47 178 29 644 1550 ， 呂物 47 178 294 644 1，550 2，713 苫 （鉱ノ）2 _{169 676 1156} ， 2500ナ 6084ナ 10585 ， （鬼プ）2 _{169 676 1，156 2500} ， 6084， 笏

4

4

4

4

4

この場合、5種類の平均収穫量をμ、、μ2、… 、μ5とするとして仮説を 次のように設定する。   ｛   H。：μ1＝μ2＝μ3ニμ4ニμ5    H1：μノ  ブー1，2，… ，5はすべて等しくない あるいは仮説を次のように設定する。   E・：αノ＝0 （ブー1，2，3，4，5）   H1：αノ≠0 （少なくともブの1つの値に対して）  まず、分散分析表を作成するために必要な全変動ST、誤差変動SE、級 間変動S孟の計算を行う。データを種類ごとに合計し、3表の右側のよう に、それらの二乗値の合計などを計算する。さらに、3表の左側下のよう に、各標本のデータの合計、それらの二乗値、右側の平方表の合計などを 左側の下に移して計算を行ってある。        （20）2   ST＝2713一一＝692，95         20        10585   SEニ2713一  ＝66．75         4 一347一

沖 津   直     10585（201）2   Sオ＝  一  二2646．25−2020．05ニ6262      4   20  これらの計算が正確だったかどうかを、（9）式の計算で確かめておく。   ST−SEニ692．75−66．75＝6262  以上の計算より、次の4表が作成できる。検定統計量Fの値は、      4表 1元配置の分散分析表（反復のない場合） 要因 平方和 自由度 平均平方

F

級間 誤差 Sニ626．2 S＝66．75 ん一1＝5−1ニ4 π一んニ20−5＝15 156．55 4．45   156．55 F＝    ＝35．2   4．45 全変動 S＝692．95 π一1＝20−1＝19

FニSκ一1＝15655＝3i2

   8％｝んヰ45

となる。一方、有意水準α＝0．05に対応する検定の境界値は、自由度（ん 一1−4、n一κ＝15）であるから、F分布表より、   η1（0．05）＝3．06 を得る。Fの値と境界値の大小を比較すると、   F−35．2＞君1（0．05）＝3．06 ∫ 5％  0      3．06      F        F＝35、2ははるか右になる       4図 自由度4、15のF分布 となる。ゆえに、帰無仮説Hoを棄却する。したがって、それぞれ異なる 種類の肥料を与えられた作物の平均収穫の間には、有意な差があると考え られる。ひとまず、肥料A5が高い収穫高をもたらすと判断できよう。そ 一348一

分散分析 れでは、5種類の肥料を与えた作物の平均収穫高μノ（ブニ1，2，…  ， 5）はいくらぐらいだろうか。いま、μプの信頼係数95％の信頼区間を求 めてみよう。（17）式に、それぞれに該当する数値を4表から見つけて代 入すると、

茅2131、摩＜μ＜￥＋2131、厚

    1  ＜  μ1 ＜  5．5 以下同様に、   4．25    ＜  μ2 〈  8．75   6．25    ＜  μ3 〈  10．75   10．25   ＜  μ4 ＜  14．75   17．25   ＜  μ5 ＜  21．75  となる。  例題3 次の5表は、土質のまったく等しいとされる土地区画に、化学 肥料A1、A2、A3をそれぞれ4回反復して施して得られたある種の小麦の 1反あたりの収穫を示している。次の設問を回答してみよう。       5表 反復 AI       A2       A3 1  2  3  4 48        47        49 49        49        51 50        48        50 49        48        50 （1）肥料の種類ごとの平均収穫高 （2）すべての種類に対する総平均 （3）全変動ST、誤差変動SE、級間変動亀をそれぞれ求めて分散分析   表を作成せよ。 （4）等平均の帰無仮説のもとでの級間変動、誤差変動からそれぞれ母分 一349一

沖 津 直    散σ2の不偏推定値を求める。 （5）収穫に有意な差があるかどうかを検定せよ。収穫は正規分布に従う    ものとする。有意水準5％とする。もし、有意なら、μプの95％信    頼区間を求めてみよう。  変動の値に影響を与えないから、すべてのデータから、計算を簡略にす るため、ある適切な数、この例では45を引いておく。したがって、分散 分析表を作成するために必要な計算は、つぎの6表のようになる。        6表 反復 AI   A2   A3 計 平方表

1

3    2    4 9    4    16

2

4    4    6 _{16   16   36}

3

5    3    5

_{25   9   25}

4

4    3    5

_{16   9   25}

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 （2）アニーニ4

      12 よって、もとのデータの総平均は、45を加えて1反当り45＋4ニ49kgで ある。

 （3）全変動

  S，＝ΣΣ（xヴー晃）2一（3−4）2＋（4−4）2＋（5−4）2＋（4−4）2     ノ ノ   ＋（2−4）2＋（4−4）2＋（3−4）2＋（3−4）2＋（4−4）2＋ 一350一

       分散分析   （6−4）2＋（5−4）2＋（5−4）2ニ14   SE一ΣΣ（xグー晃ソ）2一（3−4）2＋（4−4）2＋（5−4）2＋（4−4）2      ノ ゴ   ＋（2−3）2＋（4−3）2十（3−3）2＋（3−3）2＋（4−5）2十   （6−5）2＋（5−5）2＋（5−5）2ニ6      た   3オーΣnノ（ろ」）2−4｛（4−4）2＋（3−4）2＋（5−4）2｝一8     ノ＝1  例題1と同じように、6表の諸計算を利用して求めると、つぎのように なる。  （4）   ST−2・6一（48）2−14       811   SE＝206一一二6        4

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沖 津 直 7表 1元配置の分散分析表 平方和 自由度 平均平方

F

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S＝8

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  ％ 全変動

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となる。一方、有意水準5％に対するFの境界点は、自由度（2，9）で あるから、F分布表より、   罵2（0．05）一4．26 を得る。両者の大小を比較すると、   F−6＞罵2（0．05）一4．26 ∫

0

4．26   F＝6  F

         5図 自由度2、9のF分布図

となる。ゆえに、帰無仮設H。を棄却する。したがって、それぞれ異なる 種類の化学肥料を与えられた小麦の平均収穫量の間には、有意な差がある と結論できる。  それでは、μノの95％信頼区間を求めてみよう。自由度n一ん＝12−3 −9の‘の境界点は、あ．05−2．262であるから、（17）式にそれぞれの数値 を代入すると、

49−Z262降く角＜49＋Z262惇

一352一

分散分析     48．08  ＜  μ1 ＜49．92 以下同様に、     47．08  ＜  μ2 ＜48．92     49．08  ＜  μ3 ＜50．92 となる。  以上のように、これまでの分散分析の問題は、ただ1っの変数あるいは 因子の場合である。例題2にあいても肥料という因子だけが作物の収穫に 影響をあたえるものとしてきた。土壌の質などについてはまったく考え ず、同質なものとして扱ってきた。土壌の質が作物の収穫高に影響するこ とはあきらかである。このように、この種の実験では、観察値や観測値に 影響を与える変数はいくつも考えられる。たとえば、そのほかのものとし て日照時間とか降雨量とか気温とかが考えられる。分類する変数を2っに 限定した場合を2元配置の分散分析という。2元配置の分散分析は、次の 機会に譲ることにしたい。  F分布を使う利点は、次のように言うことができよう。これまでに述べ てきたように、‘検定は、式の構造上2つが限界であるが、たとえばA、

B、Cの3っの場合でも、AとB、BとC、AとCというふうに、3回の

孟検定を行えば、統計的検定が出来ることになる。しかし、この方法には 大きな欠点があり、間違いの確率が高くなってしまうのである。統計的検 定には間違いを犯す可能性が存在する。たとえば有意水準を5％に設定す るということは、間違いの確率を5％未満に抑え、95％の確率で正しい 判断をすることを意味する。ところが、統計的検定を複数回行うと、正し い判断をする確率が95％よりも低くなってしまう。上の例でも3つの6検 定の結果が全て正しいことが理想であるけれども、ここで、個々の結果が 正しい確率を95％に設定しても、3つの分析結果が全て正しい確率は、 0．95×0．95×0．95−0．875となるのである。正しい判断の確率が95％の分析 をしたはずなのに、分析を3つ重ねると確率が88％程度に低下してしま 一353一

沖 津 直 う。このように、3つ以上の平均値2つの平均値の差の検定に分けて分析 すると、全体として問違いの確率が高くなり、分析の信頼性が低下してし まう。これが、3つ以上のカテゴリーを全て同時に扱う分析法が必要にな る最大の理由なのである。 参考文献  1． Statistics  2．Elementary statistics  3．統計学入門 4．統計学入門 taro Yamane 3ed，Harper Row      1973 PG．Hoel  4ed．JohnWiley Sons，Inc． 1975 アイリーン・マグネロ著 神永正博監修 井口耕二訳   講談社  2010 沖津 直著  八千代出版       1998 （本学経営学部教授） 一354一

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