p tn tn したがって, 点の座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点の座標は p p tn p tn よって, 点の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点は放物線 4 p 上を動くこと

(1)

２次曲線の三角関数による媒介変数表示 2 次曲線（放物線・楕円・双曲線）の標準形の

x

，

y

についての方程式と，三角関数による媒介変数表示は次のように対応している．１．放物線 (1) 2

4 y



px



( ,

x

y

)



( tan

p

2



, 2 tan )

p



(2) 2

4 x



py

( ,

)

2 ,

₂

tan

p

x

y









_{ }

_





２．楕円 2 2 2 2

1 x

y

a



b





( ,

x

y

)



( cos ,

a



b

sin )



３．双曲線 (1) 2 2 2 2

1 x

y

a



b



( ,

)

cos

,

tan

a

x

y

b









_{ }

_





(2) 2 2 2 2

1 x

y

a



b

 

( ,

)

tan

,

sin

a

b

x

y









_{ }

_





説明１．放物線 (1)

x

軸上に2 点F

( , 0) ,

p

F

(



p

, 0)

(

p



0)

とり，点Fを通り，

x

軸の正の向きとのなす角が



である直線を

l

とし，lと

y

軸との交点A において

l

に垂直な直線を

m

とする．直線

m

の

x

軸との交点をB，直線

l

と直線

x



p

との交点をC とし，点 B を通り

y

軸に平行な直線と，点C を通り

x

軸に平行な直線との交点をP

( ,

x

y

)

とする．直線

l

の方程式は

y



(

x



p

) tan



であるから，点A

(0 ,

p

tan )



において，直線

l

に垂直な直線

m

の方程式は

tan



'

0

のとき

1 _tan

tan

y

x

p



 



したがって，点B の

x

座標は 2

1 _tan

₀

_tan

tan



x

p



x

p













また，直線

m

と直線

x



p

の交点C の

y

座標は

(

) tan

2 tan

y



p



p





p



よって，点P の座標

( ,

x

y

)

は 2

tan

,

2 tan

x



p



y



p



と表され 2 2 2 2 2

(2 tan )

4 tan

4 y



p





p





p p







px

より，点P は放物線 2

4 y



px

上を動くことがわかる． (2)

y

軸上に2 点F

(0 ,

p

) ,

F

(0 ,



p

)

(

p



0)

とり，点Fを通り，x軸の正の向きとのなす角が



である直線を

l

とし，

l

と

x

軸との交点A において

l

に垂直な直線を

m

とする．直線

m

の

y

軸との交点をB，直線

l

と直線

y



p

x

y

( ,

x

y

)

とする．直線

l

の方程式は

y



x

tan





p

であるから，

tan



'

0

のとき点 A

, 0

tan

p















において，直線

l

に垂直な直線

m

の方程式は x y O p -p F F-A B C P

h

¥ m

x

=

p

h

(2)

1 tan

tan

p

y

x







 

_



_





したがって，点B の

y

座標は 2

1 tan

tan

p

y











 

_



_







また，直線

l

と直線

y



p

の交点C の

x

座標は

2 tan

tan

p

x



p

x











( ,

x

y

)

は 2

2 ,

tan

p

x

y





と表され 2 ₂ 2 2 2

2

4

4 tan

tan

p

x

p

py









_

_











より，点P は放物線 2

4 x



py

上を動くことがわかる．２．楕円原点を中心とする半径

a ( 0)



の円周上に動点Q をとり，線分OQ と

x

軸の正の向きとのなす角を



とおくと点Q の座標は

( cos ,

a



b

sin )



と表される．点Q から

x

軸に垂線QH を引き， QH：PH＝a：b (

b



0 ,

a

'

b

)

を満たす点 P を直線 QH 上にとると，点 P の座標

( ,

x

y

)

は

cos ,

sin

b

sin

x

a

y

a

b

a





 

と表される．このとき 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( cos )

( sin )

sin

cos

1 x

y

a

b

a

b

a

b















より点P は楕円 2 2 2 2

1 x

y

a



b



上を動くことがわかる．３．双曲線 (1) 原点を中心とする半径

a ( 0)



の円周上に動点A をとり，線分 OA と

x



とおくと点A の座標は

( cos ,

a



a

sin )



と表される．点 A における円の接線

l

と

x

軸との交点をB，直線 OA と直線

x



b

( 0)



y

x

( ,

x

y

)

とする．円 2 2 2

x



y



a

上の点A

( cos ,

a



a

sin )



における接線

l

の方程式は 2

( cos )

a



x



( sin )

a



y



a



x

cos





y

sin





a

（← 2

1 1 x x y yr ） x y O

h

Q H P ba a -a -a a x y O p -p F F-A B C P

h

¥ m

y

=p

(3)

であるから，x 軸との交点B の座標は

cos



'

0

のとき

, 0

cos

a















と表される．一方，直線OA：

y



x

tan



と直線

x



b

との交点の

y

座標は

tan

y



b



( ,

x

y

)

は，

,

tan

cos

a

x

y

b





となり 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1 ( tan )

cos

x

y

a

b

a

b

a



b











_

_







2 2

1 tan

1 cos









（← 2 2 1 1 tan cos



  ）より，点P は双曲線 2 2 2 2

1 x

y

a



b



上を動くことがわかる． (2) 原点を中心とする半径

b

( 0)



の円周上に動点A をとり，線分 OA と

x



とおくと点A の座標は

( cos ,

b



b

sin )



と表される．点A における円の接線

l

と

y

軸との交点をB，直線 OA と直線

y



a

( 0)



x

y

( ,

x

y

)

とする．円 2 2 2

x



y



b

上の点A

( cos ,

b



b

sin )



における接線

l

の方程式は 2

( cos )

b



x



( sin )

b



y



b



x

cos





y

sin





b

（← 2

1 1 x x y yr ）であるから，

y

軸との交点B の座標は

sin



'

0

のとき

0 ,

sin

b















と表される．一方，直線OA：

y



x

tan



と直線

y



a

との交点の

x

座標は

tan



'

0

のとき

tan

a

x



x









( ,

x

y

)

は，

,

tan

sin

a

b

x

y





となり 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1 tan

sin

x

y

a

b

a

b

a



b















_

_



_

_









2 2

1

1 tan



sin







 

（← 1 ₂ 1₂ tan sin

1 



  ）より，点P は双曲線 2 2 2 2

1 x

y

a



b

 

上を動くことがわかる． x y O a x=b -a h ¥ A B C P b -a a x y O a y=a h ¥ A B C P b b -b -b

(4)

例題１．

x

軸上に定点F

( , 0) (

p



0)

をとり，点F を通り傾きが

tan





2

2 





  



の直線と

y

軸との交点をA とし，点 A を通り，直線 AF に垂直な直線と

x

軸との交点をB とする．このとき，点A に関して点 B と対称な点 P

( ,

x

y

)

の軌跡を求めよ．

s

直線AF の方程式は

y



(

x



p

) tan



したがって，

y

軸との交点の座標はA

(0 ,



p

tan )



0 

' のとき，点A を通り，直線 AF に垂直な直線の方程式は

1 (

tan )

(

0)

tan

y

p

x

y

p



_



 

 





 



0 y



とおくと 2

0 tan

tan

x

p



x

p



 





 

したがって，点B の座標は 2

(



p

tan



, 0)

となる．点A は線分 BP の中点であることから 2 2

tan

,

(0 ,

tan )

( ,

)

( tan

,

2 tan )

2

2 p

x

y

p

x

y

p



_









_

_

_

_

_









これから，

tan



を消去すると 2 2 2 2

4 tan

4 y



p





p p







px

0 



のとき，2 点 A，B は原点 O に一致するから，点 P も原点になり，上式に含まれる．よって，求める点P の軌跡は放物線 2

4 y



px

である．

u

上の例題から， 2

( ,

x

y

)



( tan

p



,



2 tan )

p



も放物線 2

4 y



px

の三角関数による媒介変数表示となる．中心が原点の半径

r

の円周上の点P の媒介変数表示も，OP と

y



とすればP

(



r

sin



, cos )



と表される．このように角



の取り方によって，いろいろな媒介変数表示が考えられるので，どの角が



で，どの方向を正の回転とするのかをきちんと確認することが必要である． ■ 練習問題．１．放物線 2

4 y



px

上の点P

(

x

₁

,

y

₁

)

における接線と

x



とおくとき，点P の座標を



を用いて表せ．２．

xy

平面上の双曲線 2 2

1

25

4 x

_

y

_{ }

を

C

とし，点P



tan

,



cos

B

A



_

は常に

C

上を動くとする．ただし，

2

2 

_



  

であり，A，Bは定数である．更に， 0 2

lim

A

tan

  



 

かつ 0 2

lim

cos

B

  



 

とする．このとき，A，Bの値を求めよ． (改上智大) x y O h A B P F 0p , 01 x y O 1 -1 1 -1 h P

(5)

例題２．xy平面において，次の式が表す曲線を

C

とする． 2 2

4 1 ,

0 ,

0 x



y



x



y



P を

C

上の点とする．P で

C

に接する直線を



とし，P を通り



と垂直な直線を

m

として，x軸と

y

軸で囲まれてできる三角形の面積を

S

とする．P が

C

上の点全体を動くとき，Sの最大値とそのときのP の座標を求めよ． (東北大)

s

C：

2 2

1 ,

0 ,

0

1

4 y

x





x



y



上の点 P の座標は



cos ,

1 sin



0



2

2 



 



とおける．したがって，接線



の方程式は

 

1 (cos )

4 sin

1

2 (cos )

(2 sin )

1 x

y

x

y













点P を通り



に垂直な直線

m

の方程式は



1



(2 sin )(

cos ) (cos )

sin

0

2

3 2 sin

cos

sin cos

2 x

y

x

y













これから，直線

m

の

x

軸との交点の座標はA



3 cos , 0



4 

y

軸との交点の座標はB



0 ,

3 sin



2 



となるから，三角形の面積を

S

は

1 1 3

_cos

3 _sin

9 _{sin cos}

9 _{sin 2}

2 2 4

2

16

32 S

 

OA OB



 















ここで，

0

2 



 

であるから

0 

2  



よって，

2

2 





すなわち

4 





のとき最大値

9

32

をとり，このときの点 P の座標は

1

1 ,

2 2 2













である．

t

2 2 2

1

2

1

2

4

1

4

2 x

x



y





y







y

 



0 ,

0 x



y



より 2

1 ₍₀

₁₎

2 x

y





 

x

これから 2 2

2 2 2 1

2 1

x

y

x



 

 





したがって，

C

上の点P

,

1

2

2 a

a



_











における法線

m

の方程式は x y O C P  m S A B 1 1 2 直線axby c 0に垂直で点(x₁, y₁)を通る直線の方程式は 1 1 ( ) ( ) 0 b xx a yy 

(6)

2 2 2 2

1 2 1

2 1

3 1

(

)

2

2 a

a

y

x

a

y

x

a













これと

x

軸，y軸との交点の座標はそれぞれA



3 , 0



4 a

，B 2

3 1

0 ,

2 a



_













ゆえに，三角形の面積を

S

は 2 2

1 1 3

3 1

9 ₁

2 2 4

2

16 a

S

 

OA OB



 

a







a



a

と表され 2 2 2 2 2

9

2

9 1 2

9

1 (1

2 )(1

2 )

16 _{2 1}

16 ₁

_{16 1}

a

S

a







 

_



 

_















より，増減表は右のようになる．よって，増減表より P

1 ,

1

2 2 2













のとき

S

は最大面積

9

32

をとる．

q

2 2

4

1 x



y



より

2

8

0 (

0)

4 x

x

yy

y









 

' から求めても可． ■ 練習問題．３．O を原点とする座標平面において楕円 2 2

1

25

18 y

x 





① を考える．x 軸の正の部分と①が交わる点をA とし，y 軸の正の部分と①が交わる点をB とする．また，①上の点で第1 象限にあるものを P とする．P における①の接線が

x

軸，

y

軸と交わる点をそれぞれQ，R とする． (1) A，B の座標はそれぞれ A



ア

,

イ



，B



ウ

,

エオ



である． (2) P の

x

座標が1 のとき，Q の

x

座標はカとなる． (3) △OQR の面積は P の

y

座標がキのとき，最小値クケをとる． (4) 四角形 OAPB の面積は P の

x

座標がコサシのとき，最大値スをとる． (近畿大) ４．双曲線

p tn tn したがって, 点 の 座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点 の 座標は p p tn p tn よって, 点 の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点 は放物線 4 p 上を動くこと

x

y

4

y



px



( ,

x

y

)



( tan

p



, 2 tan )

p



4

x



py

( ,

)

2

,

tan

tan

p

p

x

y











 







1

x

y

a



b





( ,

x

y

)



( cos ,

a



b

sin )



1

x

y

a



b



( ,

)

cos

,

tan

a

x

y

b







p tn tn したがって, 点の座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点の座標は p p tn p tn よって, 点の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点は放物線 4 p 上を動くこと

_{ }

_

_{ }

_

_{ }

_