不均質媒体中の非線形波動電波に関する基礎研究

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【論 文 】 　 　　 日本建 築学会構造 系論 文 報 告 集 第 439 号 ・1992年 9 月

Journa］of　Struct．　Censしr，　Engng，　AIJ，　No、439t　Sep、，】992

AFUNDAMENTAL

　

STUDY

　

ON

　

NONLINEAR

　

WAVE

PROPAGATION

　

IN

　

INHOMOGENEOUS

　

MEDIA

不均 質媒体 中の_{非線 型 波動伝 播}に関する基礎 研究

Yasuhiro

　

OHTSUKA

＊ and 　

TakWf

　

KOBOR

∫＊

ま

　　　　　　　　大 塚 康 弘， 小 堀 鐸 二

　This　paper　investigates　the　characteristics 、　of　nonhnear 　wave 　propagation　in　inhomogeneeus media ．　The　density　of　the　inhomogeneous　medium 　treated　herein　is　assumed 　to　change 　slowly 　in the　spatial 　direction．　An　approach 　utilizing 　．the　Soliton　Theory　is　proposed　to　analyze 　nonhnear wave 　phenomena 　in（simple ）inhomogeneous　media ，　The　results 　are　summarized 　as　follows：The final　equation 　f6r　a　_plane　wave 　_propagating　in　a　l・dimensional　finite　elastic 　medium 　with 　in−

homogeneity　is　represented 　by　the　modified 　K−

dV

　equation 　including　the　

dissipative

　term．　From numerical 　analyses ，　the　number 　of　scattering 　solitary 　waves 　due　to　the　medium ’s　inhomogeneity increases　with 　the　intensity　of　the　inho皿ogeneity ．

　Keywords ：inhomogeneity，　nohlinear 　wa ・ve，50titon　theory，　modtfied κ一dV　e4uation _，　

dis5iPative

　term， 　　　　　　　　　∫跏 ガ館 deformatien

　　　　　　　　　不均質性，非 線 型 波 動，ソ リ トシ理 論，変 形

K

−

dV

方 程 式，散 逸 項，有 限 変 形

1

．　

lntroduction

　In　genera1，0ne 　of　the　characteri ’stics 　of　nQnlinear 　phenomena 　is　shown 　

by

　

destroying

　the　prinCiple　of superposition _（of　wave 　motion _）and 　most 　natural 　phenomeha 　are　governed　

by

　nonlinear 　wave 　motion ． As　is　wellknown _，　the　earthquake 　wave 　isan　example 　of　this　kind．of　wave 　motion ，

．

artd 　many 　resea _厂chers

have

　investigated　the　characteristics 　of　earthquake 　wave 　propagation　in　nonlinear 　soil　m ’edia、　Nonlinear waves 　can 　

be

　

broadly

　classified 　as　either　dispersive　waves 　or　

dissipative

　waves ．　In　particular

，　the

nonlinear −stationary 　wave

，　which 　is　gen6rated　by　balancing　the　nonlinear 　and　dispersive　effects ，　is

called 　a “

Solit6n

”

（or　

Solitary

　Wave _），

　About　160　yeaTs　ago

，　

John

　

Scott

−

_Russel

observed 　solitaエy　waves 　going　up 　a　cana1 ，　and 　D ．

J

．

Korteweg ＆

G

．　de　Vries　forIhulated　the　nonlinear 　constitutive 　equation 　

for

　solitary 　waves _，　the　so ・called

“

K −

dVequation

”

，　in　1895．　In　1965，　

N

，　

J

．　Zabusky ＆

M

．　D ，　

Kruskal

　solved 　numerically 　the　K −

dv

equation 　

by

　treating　the　solitary 　wave 　as　a　_particle，　which 　they　called 　a ‘‘

Soliton

”．　

Since

　theri

，　the

． Sohton　Theory　has　been　rapidly 　developed　by　many 　researchersi ｝一’4｝and 　applied 　in　many 　

fields

：Fluid

Mechanics_{， Ω}uantym 　Physics，　 Electronics　and 　so　on ．

　

In

　

Earthquake

　Engineering

， 1925，　 Matsuzawasl　postulated　that　earthquake 　waves 　showed 　the

characteristics 　of　solitary 　waves 　as　indicated　by　

furrow

　shaped 　corrugations 　appearing 　Qn　the　surface 　of rice 　fields　 after 　the　Great　Kanto　

Earthquake

　

_（

1923

_）．　

He

　theoretically　

discussed

　the　existence 　of

gravitatiorial　waves 　in　very 　soft　soil　covered 　with 　lnud ．　

Although

　

discuss

三〇n　of　viscous 　

fluids

　was applied 　to　waves 　propagating　

in

．soft　soil_，　he　could 　not 　prove　the　existence 　of 　solitary 　wa ヤes _（or ponlinear　stationary 　waves _）

by

　using 　

Stokes

’approxim 尋te　equations ，　 Recently，　 Kobori．　et　al．帥

＊ Senior

　Research　Engineer，　Kebori　Research　Cothplex．　Kajima

　　CorporaIion，　Sc．　M ．

鱒 Emerit

ロs 　Prof．，　Kyoto　Univ．

　　jimaCorporation，　Dr，　Eng．

Executive　Vice　President　_of　Ka．

鹿 島建 設 株 式 会 社 小 堀 研 究 室　主任研究 員・修 士（理学1 京都 大 学 名 誉 教 授　鹿 島建設株式会 社　副社長 ・博士 （工

学〉

一

₃₃

一

Architectural Institute of Japan

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ArchitecturalInstitute of Japan

proposed an approach utilizing the

Soliton

Theory

to analyze the_phenomena of earthquake wave rnotions, which seem to

be

stationary _processes, likesome of the _ground motions recorded

in

Mexico

City,

Sept.

1985.

Later,

Izumi

&

Xuenng}

investigatedthe characteristics of wave _propagationin

1-dimensional

homogeneous

elastic soils with a nonlinear relation of stress-deformation _gradient,

adopting the

Soliton

Theory

toanalyze earthquake wave _propagation duringa _greatearthquake.

They

noted that the relation

between

stress and

deformation

_gradientisnonlinear under the assumption of

finite

deformatio'n

in

an elastic medium,

hereafter

called "finite elastic medium", even though

it

is

assumed to

b,e

linear,

They

clarified that shear wave _propagationina

(homogeneous)

finiteelastic rnedium is_governed

by

the modified

K-dV

equation,

hereafter

callecl the "mK-dV

equation", as

is

well known

in

the

Soliton

Theory.

Thispapet extends the in"yestigations of Izumi

&

Xue tothe problem of nonlinear wave _propagationin

an inhomogeneous finiteelastic medium. The

density

of theinhornogeneousmedium treated herein

is

assumed to change slowly in the spatial direction.We

derive

the constitutive equation

for

an

inhomogeneous

finite

elastic mediurn and clarify the characteristics of wave _propagationinsuch a

medium.

2.

Propagation

ot

1-Dimensional

S-Wave

In

thisstudy, we consider

_plane

waves

(S-waves)

_propagatingina 1-dimensionalfinite

linear

elastic medium with inhomogeneity,

The

following

assumptions are made :

Al.

Deformation isfinite.

_(i.e.,

displacement

is

not

infinitesimal.)

A2,

Relation

between

stress and strain islinear.

(constitution

of material is

linear,

)

A3.

Density

of medium changes slowly inspatial

direction.

A4.

Length

of _propagation wave

is

sufficiently

long.

Let us derivea

balance

equation

based

on these assumptions. First,we show the nonLinear elastic constitutive _equation

derived

by

Izumi

&

XueSi･").

Usually

as

in

the

linear

elastic theory, the strain

potentialis represented by a _{quadratic polynomial} approximation of a strain component according to

Lagrangian

foTmulationie)

:

Z=A+BE+CE2:strainPotential-･-･-･-･･････････････････････-･････････-････"･･･-･････----･･-･･･････J･･･(2,1)

where

A=:S-,t+g(R+2,i),

B-,t+t(A+2stL

c-S(A+2;t),

E=g(pZ-1) : Lagrangi'anstrain, _p=

aaxU:cipformation gradient,

y(X, Y, t)==Y+u(X,t):Plane SLzvave motion, x,y:spatinl coondnates,

X,Y:materialcoordinates,

u:sheardsPlacement,

A,pt:Lame'sconstants,････････-･･-･-･･(2.2)

and the X-axis isdirectedalong the

direction

of wave propagation.

As

we are considering 1-dirpensional

S-wave

_propagation along the X-axis and assume thatthe material isinitiallyinthe stress-free state, the nonlinear elastic constitutive equation can beexpressed

inthe

following

form8)･9}

:

T==

{Zi

£

p

=Lip+g

(A+2")pS

:PVola-1finchhoffpseudostress････････････････････-･--･-･････････i･J････-(2.3)

isthe shear stres$ acting on the surface

IX==constan4.

Therefore,itisconfirmed that the stress isrepresented

by

the nenlinear term, which is the third order

of

deformation

_gTadient,even

if

the relation

between

stress and strain

is

linear.

The 1-dimensional

finite

linear

elastic medium with inhomogeneity can

be

replaced by a

1-dimensional

lattice

inwhich an infinitenurnber of _particles

is

connected totheirnearest neighbouTs

by

inhornogeneoussprings.

Force

balance

on the nth mass

_point,

neglecting the

body

force,

is

_given

by

-34-NII-Electronic Library Service

AxA,

dd2tU,"

==

T..,-

7h･･:････i･･･1---･J･----･---･･･-･r-･--････-････････--･････････--･･--(2.4a

)

d2Un-i

.dt2 =:Th'7;z-i''''''''''''''''';''''''''''''''''-'-''''''''''''''''''-''"'''''''---･･･(.2.4b)

AXpn-i

'

where

u. : ctisplacement

of

nth-mass

Point,

A,:

densic),

of

nth-maFs

Point,

T. :stressofnth-massPoint,

AX

:

length

betzveen

t.ze,omassPoints･･･-･-･･,･････--･･-･････--･･-･--･･-･(2.5)

Subtractingeq,(2,4b)

from

eq.(2.4a), we

have

ph

(iTA(ih'i)

_ddt',

(Uniiilin-O=

Tn+i-(A2

_xL)i,+

Tn-]

･--･---･･･-",,,.m,,...".".-...".,,,(2.6)

From assumption A3, eq.

(2,6)

can

be

approximated as :

ddi,

("niiilln-i)

=il:

(

Tn-i-(A2 xTh),+

7h-i)

_{..HHH.HHH...HH..."...,..,,.,.".".,..(2.} 7)

Since

the

length

AX issufficiently small cornpared to the

length

of the _propagatingwaves, the

following

approximate expression

holds.

'

(Un-Un-1)

Pn=

Ax ''''"'""""'H'''''H""""'''HH'"H"HH'''H'''HH"'''''''''''''"'･･t-･･-･-･"････(2.8)

Substitutionof eqs,(2.3) and

(2,8)

intoeq.(2.7) _gives

ddt',

p.=ii;(

T"'iT(i

x7;>t,+

7}'-i)_{-････････････････････････:･･･････････････-:----･･-･-･･････-････････--････-<2.} g)

From Taylor'sexpansion of _p..,about _pn,

p.±i= p.±

AiX!

aaPx"+(A21I,l)2

Oa2i"!(A31;)S

.ao3i"+(A4i,I)`Oa`i"±････-･････-･･････････---･････-.(2.io)

Substituting

eqs.(2.3) and

(2.

10)

into

eq.

(2.9),

we can obtain the

balance

equatibn as

follows:

a,2

,"r-f.

(O,2i"+",

a,`.","+("l2g) a,Z.pi)･････････-･･･-･････････････----･-････････-･--･･-･-･･････

(2.ii)

This is the wave propagatingequation, called the Boussinesq equation with spatial vanable

coefficients inthe inhomegeneous medium. Here,we assume that

AX=1,

which means that the interval of the mass pointwithout an external

force

isunity.

The

thirdof the right side of eq.

(2.

ll)

has

the coefficient

depended

on the

dilatational

wave component

(i.e,,

A+2p).

This

component is automatically

due

to the nonlinear teTm of the nonlineai elastic constitutive equation

(2.3).

The

constitutive equation

(2.

3)shows the shear stressi acting on the surface with fixednormal

direction

of wave _propagation.It seems thatthe nonlinear term of eq.

(2.

3)

viith'

the

dilatational

_wave component is

induced by the assumption of

finite

deformationand the

distinct

directions

of the str6ss and the wave propagation. This isone of

discrepancies

between

the

finite

deformation

thgory and the infinitesimal

deformation

t,heory.

' '

3.

Derivationof

Modified

K-udV

Equation

inoluding

_Pissipative

Term

The

previoussection

derives

thenonlinear wave equati6n, which

describds

a_planewave _propagating

in a 1-dimensienal

finite'elastic

medium considering inhomogeneity, as follows:

c(ix),

aa2,P,

-aOiP,++, aax`P,+3K

aax

(p2

eOxP

),

for

V(x,

t)ERxR' ･---･････-･-･･･-･････-･･c3.i)

where

1

ac

c(x)2=p("x), C(X)ECco(R),

_oax

<1,

K=Al;2"=ii"-2". , p= oaxU, v:

pbissoh's

rntio ･････----･----･--･････-･---･-･--･････----･(3.2)_. and R, R' and Cco(R)

denote

the1-dimensionalreal space, the 1-climensionalpositivereal space and the

--Architectural Institute of Japan

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ArchitecturalInstitute of Japan

infinitely

differentiable

function

space over R, respectively.

Thissection

derives

a non}inear wave equation representing spatial evolution of _planewaves and we extend the Reductive PerturbationMethod, assurning a

long-wave-length

approximation

<assumption

A4),

proposed

by

Taniuti]) et al. tothe plane

S-wave

propagation_problem

in

theconsidering model

herein.

As

the

density

of the medium isassumed to change slowly inthe spatial

direction,

we introducethe

exten'ded

Gardner-Morikawa

transformationi)"`)as

follows

:

T-E"(f2 _,d,X.,-t),

g==E}(f2

_{,d,X.,)--･･････････････-･-･--･･--･---･･-･･-･･---･････････-･J(3,3)}

From

eq.(3.3), _partial

derivatives

with respect to

(X,t)

can

be

obtained as follows:

o

.,,..,."...-･-･a-･----･-''''''''''HH''''Z'''''"''''''(3.4)

Ei

c

Using

thistransformation and the asymptotic expansion about the constant value p{O' with respect to

infinitesimal_parameter E :

p= ptO)+EipU)+ Epva)+ Egp{3)+.", ..".."...,.,,.-""..."h..."-.H.,.,..,,.,,....,..,...,...(3.5) we transform eq.(3.1) to the _perturbedequation,

The term of theminimum order inthe_perturbedequation isESi2and thisequation

has

infinite_termsof

higher

order

(

e3,e'/2 in

due

order).

By

_puttingthe

first,

second and thirdorder terms, eS!2, E3 and E'12,

respectively, as

identically

_O,eq.(3.1) can

be

approximated

(up

to the thirdorder)

by

the

following

equatlons :

,a,

[

a,P,`i'+3,"

p["'

{lll;"+,,i,,

OSeii'+g

,O,

(-5)p"'l-=o,

--･････････-･･･--･･･････-･--････(3.6a)

,a,

(

O,Pe(2'+3,K

aP5';P`"+,,i,,

aSel2'+S

,Oe

(e)p`z)]-o,

･･-･･･････---･-･--･･-･---･･･-･･(3.6b)

,a,

(

O,pi3'+3,"

Op5'lp(3'+,,',,aSeiS'+-S

8,

(-iS')p(3]]

=

-oa.

I3

Kp`"'

aaPe`i'+3,K

aP5".P[!"+

C,K

oae

('5)p['"+,,ic,

(i,+3)

aa.:,Pii#

+,i,

(t,+2)

,a,

(i)

Ogel')1-e[ e3?li'+c

,O,

(2f)

ilili"]-･･---･-･････-･････(3.6c)

Finally,the mK-dV equation with spatial variable coefficients is obtained

by

integratingeq.

(3.6a)

with respect to T as

follows:

a,"i')+3,K

p("'

O,P,`"+,,i,,

aii?i"+-li-

8g

(-5)p`"-o････-･･-････････････-････-･･-･･･････････-･････(3.7)

We introducethe.following change of variables :

n=fZ

_cfS,･

v-Cp`"--J･--･---･･-･--････-･--･･･--･････-･････････-･････----･-･･･-･････-･-･(3.s)

Finally,

eq.(3.7) can be transformed as follows:

- aoVrp_{+32K v2} aoV._+it

aa3.?+p(rp)v=o,

_{-i･i----･--･････-････････t････---･-･･････---････-･･･-･(3.g)}

where

3d

v(o)=-2

drp

(log

C}

--･---･･･---･･･---･･･--･････-･･--･･･-･･-･-･･･-･･･--･-････････-･-･･-･･-･

(3.

10)

Boussinesq

eq.

(3.1)

with spatial variable coefficients isthus reduced to the spatial evolutionary

7nK-dV eq.(3.9)

including

the

dissipative

term. For homogeneous media,

Le.,

where C(X) is constant with respeet toevery spatial value X, eq.

(3.

9)isequivalent tothe mK-dV equation obtained

NII-Electronic Mbrary

oataax

1-El 1 ETc aaraoe

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'

'

by

Izumi and Xue')t'9),

because

v(n) vanishes.

The above method of derivingthe model equation, making a balance between the n6nlinear and

.dispersiveterms with respect to the infimtesimalparameter

(e),

isusually called the Reductive

PeTturbation

Methodiir`),

'

'

4.

Conservative

Quantity

for

Modified

K-dV

Equation

lncluding

Dissipative

Term

.

In this sectio'n, we calculate a conservatiye _quantity

for

eq.(3.9) and 'predictthe behaviour of

propagating

waves ininhomogeneous media, '

Eq.

(3.9)

can

be

writteh in the

following

form:

'

. O,",==-,a.('l;v3+,i, a,2.e)-v(n)vH-:･""･---･---(4,i)

Let us assume the rapidly

decreasing

boundary

conditions of T at infinityas '

' a2v av =O----･-･--･---･･････-･---･--････-････････-･-･--･･t-･････-(4,2) =1im

1im

v=1irn T- ±co r-+±co aT T- ± oe Ort

These

conditions mean that the farfieldisan absorbing

barrier

or source-free of energy. The

'

following

discussion

is

also valid under periodic

boundary

conditions, ･ _,

First,

integration

of eq.(4.1) with respect to Tgives ･

ddn

Xi

vdT=-v(o)

X["

vdT ･････････-･-･-･-･････:･･･････-･･-･･･-･･-･-･-･･･-･･-･-･･････-････t-･･-･--････-･･･(4.3)

Then we obtain the

first

order conservative _quantityas

follows:

'

ddrp

L(n)=-v(rp)L(n),

A(v)

:=fvdT--･'''-'-'-'''''''''''''''''''''''''''H"''''''''H''''･-･--････(4.4)

Multiplying

both

sides of eq.

(4.

1)

by

v yields

e

OaVi

=-aa,

(3sK

v3+tt v

ao2,Z

_-dg

(OaV.

)2)-v(rp)v2･･････････-･--･････-･････----････････--(4.

_s)

Integrating

thisequation with respect to T yielcls

ll

8n

Jl'

v2dT=-v{ rp)

rf

v2dT ''''''''''-'''''''''''`'"''''''''''`'-''-'-''H'''''''"'''''''--'''''''''''''(.4,6)

Thus, we obtain the segond order conservative _quantityas

follows

:

ddny

ib(o)=-2 v(rp)h(rp),

G(n):

=

1'-ll[2-

dT･･---･･･---･----･･-･･･-･･-t-･･-･･--･･････-･･･--･･-(4.7)

From

the

boundary

conditions

(4.

2),theinhomogeneitycan

be

restricted toa

16cal

region

in

_o-space

and v(o) can

be

equal

to

O

in

the exterior of

local

regien, namely

sumplv(rp)IC[oi,rp2], o]:=n(XD>O, o!:=o(X:)>O･･････････････=-･---･v･････;･･･---･･･-･(4.8)

where `sump' means a support ef fupctionv(o).

Integrating

eqs,(4.4) and

(4.7)

with respect to _o yields

Jl(n)=A(oDexp(-JCr

y(s)ds], _11(oi):==

1;..,,.,vdr''''''''''''''''''"'''''''H'"'-"'''''-'(4･9)

h(n)=k(o)

exp(-2

J:r

v(s)ds],

G(oi):

=

ll..,.,

V2Z

dT''''''''''''''-''''''''-''-''-'''''''-

(4,

10)

Where rpsatisfies _o)o,, eqs.(3,10),

(4.9)

and

(4.10)'give

'

Il(n,)=L(o,)exp(glogCl:r]==L(v,)(:li)},

-･---･--･-･-r･･----･-････････-･･･-･･･････t･･･(4.ii)

h(

n,)=E(o,>exp

l3

1og

cl

:il=b(oJ

(

gl

)3

････-･･---･--･･･---･･･-･-･････---･･･････-･･--

(4.

12)

where

'

Ci=CCoJ

fornSrpi,

C2=

C(n2)

_forn2n2

-････････････････････････････････-･･----･････:･･---････v(4.13)

Considering

the inhomogeneous model as monotone

decreasing

the _phasevelocity C

(increasing

the

density

pdue tothe

first

expiession of eq.

(3.

2)

)

in

the_positive

direction

of

X,

eqs,

(4.

11) and

(4.

₁₂₎

t t

. .'

Architectural Institute of Japan

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yield the

following

importantresults :

ci>c2

=>

l

E((

:lliil

2:

Zij

--･････-････-･･････････-･･･-･･･････-･･････････+･･･--･-r･････-･-･･･----i･-･･

(4.

i4)

Therefore,

it

is

confirmed thattwo conservative _quantities

A

and

E

decrease

inthisinhomogeneous

model.

The

amplitude v of eq.

(3.

₉₎decreasesinthe inhomogeneous region because v<n)ineq.

(3.

10)

ispositivewith

decreasing

velocity

C.

Hence,

the second of eq.

(3,8)

_gives

C,

V(rpi,T)> V(rp,,T) => C,pS'i>C,pS"_O

pti'>pLiL･･･-･･-･--･-･･･-･･--･-"'''''-''''"''''''''''''

(4.

15) C2

Although

the

last

inequalityof

(4.

15)can not

determine

any sizes of

deformation

_gradients,

it

shows

the relation of

deformation

_gradientsat

different

_points,

5.

Influenceof DissipativeTerm due tolnhomogeneity '

This

section

discusses

the

influence

of the

dissipative

term

in

the

derived

equation

(3,

₉₎considering

the initialvalue _problem

for

one soliton that isan incidentwave.

Generally,

one _particular solution of eq.(3.9) without the

dissipative

term

(i,e.,

inthe case of

homogeneous

media) is

derived

as:

v=

rk

sechlk

(241c,

_rp-T+o)] '`'''''''''''''''''-''''''''''HH''''''''''H'''･'･････-･--(s.

_1>

where 0 isan integrationconstant.

If

the initial_point

is

defined

as _rp=e, eqs.(4.9) and

(4.10)

_give two conservative _quantities as

follows

:

L(o)=L(o)exp(-J('"v(s)ds),

-･-･-･･-･---･-t--･-･･-･････---･･-･･-･-･----･･--･--J--･･･--･-(s.2)

h(o)=k(o)expl-2Jl'"

v(s)dsl, ･--･･--･ -･･･--J ･----･･･--･-･･-･･---･･--･･-

(s.3)

where

2

Il(O) _: ==

XI.,,.,

_vdT,

h(O>

:=.II.,,.,-IZI

dr

''-''''''''''-''''''-'"''･･--･･･--･･-･-･--･･････--J-(s,4)

Assuming

that the _phase velocity

C(X)

is monotone

decreasing

in

thepositive

direction

of X, the

amplitude of the _propagating wave

(i,e.,

v(n,T))

decreases

due

to the

dissipative

effect.

Let us examine a stationary wave solution forinitialvalues at _o=O

inothe

follewing

form

:

v1n..o=de sech(7il : T1''''''''"'''''''''''''''''''''''-''H""''''"''"-""i'"'-･`""-･･･--･･-(s.s)

First,

we seek a

formal

solution of eq.

(3,9)

satisfying the initialcondition

<5.5)

as :

v=vs+vp･･･-''''H-''''"''""''''''''''''''"""''''H''H''"''･･-･･'''H'''"'''''''-''''"'"''''''''''--(5.6)

The firstterm on the Tight side ef eq.

(5.

6) isa

damping

solitary-wave solution with

decreasing

_rp

inqluding an unknown

function

A(o)

as follows: _.

vs(n, T)=:tmi

n sechI7i:ltrpr

(i4

X"

Als)

ds-r)]

･･''･''-･･--･･-･--･--･-･･-･･-･-･-･･･-･･-･-･(s.7)

where

A(o)=c,--･･---･-･-･---･-･-･-･-t--･････---･････････････････-･-･-･･--･--;--･-･･-･･--････････---(s.s)

and vp isa selution excluding the

damping

solitary-wave soiution. .

The

second o.rder conservative _quantityof _v, isobtained from

li(O)=Jf

ZS:

d'=12

_{KIA(o).(SeCh2[thn}

("t

_J['"Als>

dS-r)ld'::'

nin

6K '''''''''''(5'9)

(Where

we use the

formula

./fsech2x

dx=2.)

-38- .

NII-Electronic Library Service

However, eq.(5.3) _gives

G(o)=

_i2

kc,

rfsech!(72:

rl _exp(-2

X"

v(s)ds]d; T

=ve]i6K exp

(-2

JC"

v(s)dsl:-･･-････--･･--･--････････････-･----･-･----････････--･

(s.

io)

Using

eqs.(5.6) and

(5,10),

we calculate the amplitude of eq.(5.7) as follows:

thn

=k _exp

['2X"

_v(s)ds]=th] exp

(3

iog

(

Ci?)))=k

(

Ci?))S--･--･

(s.

ll)

Substituting

thisequation into eq,

(5.

7),the

damping

solitary-wave solution v, can

be

represented

by

vs(n, T)==

de

(

Ci7))3

sech(

71i

(

Ci7))3

(

24ic,f"

(

Cii))`ds-Tll----t-4--･--

(s.

i2)

The firstorder _{conservative quantity}of _v takes the form

A(rp)=lvsdT+lvpdr=

rk

(

CiZ)

)S

Xsech

(

₇

:

(

Ci?))'

(

_24ic,

X"

(

Ci?))6ds- rl

ldT

+XvpdT=rd?+Xvpdr---･･･-･-･･････---･-･-･･････-･･---･･････----･････････(s.13)

Using eqs.(5,2) and

(5.5),

we have '

L(o)=rk

Xsech

(k

TldT exp

I-X"

v<s)dsl=

rd?=

exp

I-X"

y(s)ds] ････-･

(s.

14)

Subtracting

eq.

(5.

14)

from

eq.

(5.

13)

_yields the

first

order conservative _quantity of v. as follows:

'

.tl

vpdT=rdlk:

1exp

(-.]('"

v(s)ds]-il=

rdlii

I(

C6?))t-i]･i･･t･･･-････-･･･-1.,,.,...

(s.

is)

'

The

terrn

in

the

6race

has

negative values

due

tothemonotone

decrease

in

the_phase velocity. Hence,

we

have

the

following

ineqllality.

.L'vFdt<o''"-･-･････････-･･････:････-･lr･･･････････････-･･･････-･t･･････---････J････--･-･････････(s.i6)

This

ineqtialityshows thattheamplitude of vpwhich means thesolution excluding the solitary!wave

soluti.on,

is

negative on average.

For thesoil model with a monotene increasing_phasevelocity

(decreasing

soil depsity),the_term in

the

brace

on the right side of eq.

(5.

15)has_positive values. Thus, we havethefollowing

inequality.

,

JCv,dT)SOt･t--･･---･---･･･-････････-･--････-･････････-･･････････-･････････-･-･-･･;･････-･･･--･---･(5.17)

'

Consequently

the amplitude of v. is_positiv,eon' average.

"

This

shows the

influence

of the

dissipative

term inthe

derived

eq.

(3.

9)

forma,11y

solving the

initial

"

value _problem

for

the incidentsoliton. The

following

can

be

_predicted

based

on the analogy of the

theoryof an inhomogeneous nonlinear ladder-network`): _.

1)

Gererally

the solution _v.

is

c'alled a

lplateau'

and inducesthesecond solitary wave

(the

scattering

wave) _propagating through the

inhomogeneou$'region

in the soil model which has a monotone

increasing_ph4se velocity

(decreasing

soil density),'

'

2) The number of scattering solitary waves inducedby the _plateau increaseswith the intensityof the m6dium's inhomogeneity,

'

These estimations show theoccurrence of nonlinear scattering waves

due

tothe

inhomogeneity

of a medium assumed to

have

a

finite

deformation.

To

provetheses estimations, we will examine a solitary wave solution

for

the initiil values at _rp=o

in

'

the

following

form: ' ' '

vl n-uo=

Ao

sech

lVG-k-Aod

''H'''''''-'':'''-'H""''''''''''･'''-''''-'''''"''''''''"''"'''"'''"'''''''

(5･

18) where

A,

denotes

amplitude and v(o) satisfies'the inhomogeneous condition

(4.s).

-39-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute of Japan

From

the condition

(4.8),

eqs.

(5.2)

and

(5.3)

give two conservative _quantitiesas :

ll(ot)=Il(O>=JCAosechiV6-R'AoTldT=wh,

-･---･----･--･･･-･･--+･･･-･-･t･-････(s.1g)

h(o,)=h(o)=:XI!

L9

sech2

kl6KAoTIdr=

7gl

f

･--･･･---･･--･･･-･･-････-････-･･---･-･-･･-

<s.

2o)

If

N-solitary

waves of

distinct

amplitudes can

be

induced

by

the _plateaufor_o>n,, we

have

11(o>op,)=tf.li,

_JfAJ

sech(vte-]l-AJTIdT=th' , ･･---･･･--････-･･････-･･･----･---･--･･--･-

(s.21)

h(o>

rp2)=tY.,ISIsech:

IJ6-k"AJrI

_dT=,i.,

XIilf

'-"'''"---･-･･･t･･-････--･-･･････････-･-･･

(s.

₂₂₎

where A, denotes

jth

amplitude and A,XA,

(i#

j}

can be equal to O without

loss

in_generality.

Considering

the inhomogeneous condition

(4.8),

eqs.

(4.11)

and

(4.

12), eqs.(5. 21) and

(5.22)

become

k<op>n2>=L(n,)==L(o)exp

(-lir'

v(s)ds]=

_7Elir

(X'

)l,

･-･-･････--････-･･･-･---･-･･

(s.

23)

G(rp>lp)==

A(ip)=k{o)

exp

I-2

./Cr'y(s)dsl=

7glii=

(-Si'

)3

-･----･･･-････････----･･･-･･･-･･a･･-･

(s.

24)

Hence,

using eqs.(5.21)-<5.24), we can obtain the

following

equations:

C(o,)=:NiC(nD

for

VNEZ+'''m''''H'''''H''''''''H''""'"""'"H"''-'''''H"'''･･-''''-'''･･

(5.

25) N

£

A,=NeA,--･･--･･-･--･---･---･---･-J---･･･-･･-････--･･･-･･-･････--･･-･････(5.26)

J=1

where

Z"

denotes

the positive

integer

set.

Eq.

(s.

2s) shows that the _plateau

induces

solitary waves _propagatingthrough the

inhomogeneous

region inthe soil model which

has

a monotone increasing_phasevelocity,

but

any solitary waves are net

induced

by

the _plateau

in

the converse model,

because

C(rp2)<C(ni)

yields N<1.

Moreover,

the same

equation shows that N

(i.

e. _, the number of solitary waves induced

by

the _plateau) increaseswith the ratio of _C(n2)to C(oi).

Those estimations are thus _proved and wi!1 also

be

confirmed

by

numerical analyses inthe

latter

sectlon.

6.

Comparison with CharacterjstjcsolLjnear Wave

This

section shows a comparison

for

linear

wayes _propagating

in

a 1-dimensional

linear

elastic medium with

inhomogeneity.

The

waye equation cQrresponding to

Boussinesq

equation

(3.

1)

is represerited hereinthe

following

form:

c(ix),

aa2tP,

=

aax2P,

,

for

V(x, t}ERxR', ･･･---･･･-･---･-･･-･----･･-･･--････････-･････(6.o where

c(x)!=p("x),

c(x>Ectu(R),

{IrgxC

<i･-･--･--･----･･･-･････-･----･-･･-･--･-･-･--･(6.2) The densityof the medium isassumed tochange slowly inthe spatial

direction,

as assumed insection

3.As in section 3, we trahsform eq.

(6.

1)

by

the extended

GaTdner-Morikawa

transformation

(3.

3)

to the spatial evolutionary wave-equation :

O,Pi"+g

,ae

(e)p"'-oJ･--･-･･----･---･----･---････--･････-･･--･---･･--･･･--･･-.."".(6.

3)

and transform this equation according to thetransformation

(3.8)

tothe

final

equation :

-40-NII-Electronic Library Service

aaVn+v(v)v==O''""'HH"'""""'-H"--'"-h'''''""'''''''H'''''''"'H''''''''''"m''''''''''--･(6.4)

'

where

v(n)=-g.ddo

(iog

c) ･･･････-･･-･･･････-･-････-･････-････---･-････････････････-･----････････-･･-･(6. s)

Evidently,

eq.

(6.4)

shows thefirstorder linearwave-equation with the nonlinear and dispersiye

terms

dropped.

The general solution of eq,(6.4) with an arbitrary

initial

wave,

f(T),

is ,

b(

rp,T)=f(T) exp

l-./C"

v(s)dsl=f(T)

(

Ci7)

){

-･･---･--･･･････

J･

･･･････-･-･･･････････(6.₆₎

By comparing the right side of eq.

(5.

12)with thatof eq.

(6,

6),itis confirmed thatthe

damping

of a

'

solitary wave isstronger than _that of a linear

inTave.

Thischaracteristic of the

damping

for

thenonlinear wave motion occurs

because

thesoiitary wave widens with

decreasing

amplitude' flom eq.

(5.

7). We･ confirm that there are

_po

scattering waves with the appearance of a plateau

in

accordance with

propagatingthe incidentwave through the inhomogeneous region.

7.

Numerical

Analysis

Method

'

,

Insections 3and 4,we confirmed thatthe

behaviour

of _planewaves _propaggting

in

a 1-dimensional

finite

linear-elastic

rnedium with

imhomogeneity

is

_governed

by

thenonlinear

Boussinesq

equation with

spatial variable coefficien'ts and this equation is reduced tothe spatial evolutionary mK-dV equation

includingthe

dissipative

term using the ReductivePerturbation

Method,

This

section formulatesthe

initialvalue problem

((3.9)

and

(5.5))

using _the

finite

difference

_{scheme as}

follows.

Since the _physical space

(X,

t)corresponds one to ong to the irnagespace

(n,

r) _given

by･the

coordinate'tFansformations

(3.

₃₎and

(3,

_8),eq,

(3.

₉₎can

be

approximated toadifference equation ina computational coerdinate

(no+iAn,

_th+nAT) transformed

discrete

data

of _physicalspace.

Using

the

central

differen,ce

with respect toT and the

Adams-Bashforth

Methodi])

with respect to_rpl

eq:

(3.9)

isreduced to _the followingform:

v7.i=v7+gg?-Sg7-i---･-r---･･-･-･-･-････-････････-･---･-･-r･･･-･---･･･--:-(711)

'

where

v? :== V<m7+-

iAv,

_th+nAT),

'

9?':=P[-litt V?'i-l'l}rAr2(v7'i}'-it

l

v7'i

'+

[5AT2(v7-'i)!-it

l

vl-i+"t v?･'2]-zSolt v7,

p : ==

i?rO,

, Z!T, Ao : incfements of r and o･---･--･-･---;-･･････････--･-･･･････--･..

(z

2)

'

Consequently, we can obtain a

difference

approximate solution which solves the'diffeience equatiop

(7.

1)and satisfies the

initial

condition

(5.

5).

Inparticular,if'weconsicler thestationary wave soiution as

'

v{o, r)=v(241c, n-v),

Cs

_: characteristic velociby, ････-･･-･-･･--･･---･-･･･････････････-････-･･(7.3) a necessary condition

for

convergence to an approximate solution

for

eq.<7.1) is

_given

by

2".

<4s

c,

---･----･･---･･-･---1･---l-".(7. 4)

In

fact,

the regions of

dependence

for

the initial value at rp==O, with respect to the exact

stationary-wave solutien at

(th,

Tb) ancl the

difference

approximate solution, are represented

by

9=[th-'241c, th,.Tla+241c, oo],-'''''''''''''''''''''''"H"'''"'-'"''''H-'''''''''''''''''''-'""'(7. s)

. t

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute of Japan

gA.=[Tb-2AAoT m, k+2AAor rpo], ---J･-･---･--J･･-･i--･･-････-･････-･---･･-･-･･････i---i(7,6) respectiyely.

Hence,

the necessary condition

for

convergence to an approximate solution is

9C9dr''''''''''`''""'""-''"-''''"'H''"i'''''''H'''-''''''''H`'''-"-"'-'''''''"'''''''-''''(7.7)

Then the

inequality

(7,4)

isvalid.

8.

Numerical Examples

To show the validity of the_predictionsof section _5,numerical solutions forthe

forrnulated

difference

equation

(7.1)

satisfying an

initial

condition

v1x--xe==

_7g=ks]

sech(k _{t],xoER"'''"'''''""''-''"'''H""'''"''''m'--''''''"'---･･･-(s. i)} are shown

in

the

following

typical models of studied soil media.

8.1 Amalyticalmodel

A homogeneous soil medium with a constant phase velocity expressed as :

C(X)=C,==C,･-･-･--･----･----･---･-･--･--･---･･･--･---･･･-･････----･-･･･-･-･･･････--(8.2)

is

noted as Model A. Next, an inhomogeneous soil medium with two

different

phase velocities

connected

by

a sine curve expressed as:

C,

XKX,,

Xi

+ X2

C(X)=

C';C!-Ci;C!sin(X-x,-lli, n) x,sx<-x,,`HHH'""'''""--H''''-H-"'''(8'3)

C,

X2X,

isnoted as Model B

(Fig.1(a)).

We also consider another inhomogeneous soil medium with an

inhomogeneous

region embedded ina homogeneous mediurn with _phase velocities connected

by

two

sine curves expressed as :

c, xsx,

gr

x2x.

X,+X,

Ci;C2.CiiC2sin(X-

x,-ft,

n)

XigXSX2,

c(x)=

---･-･---･(8.4) c, x,sxgx,,

X3+&

CisC2+Ci;C2sin(XM

x,-k, rr) x,sxSX"

This

model

is

noted as

Model

C

(Fig.1(b)).

The physicalpropertiesof these models are summarized inTable 1. As shown inTable 1,Model A-l and B-4 havetwo solitary initialwaves of

different

amplitudes and the value

in

the _parenthesisshows the initial_phase velocity with a

large

amplitude.

Model

B-5

shows the

linear

wave propagation.

Table

2 shows

discrete

data

ineach model.

Since

the setting up

data

satisfies the

inequality

T>e, we

can suppose, without

loss

of _generality,that e=1, whe.re E indicatesthe infinitesimalpararnetershown

in eq.(3.5).

In

Table2,

At

and

AX

are time and spatial

increments.

8.2

Results

of

Aualyses

The results of the analyses are shown in

Fig.2-Fig.7.

In

each Figure, the

horizontal

axis 'istime

(seconds)

and the vertical axis isthe

deformation

_gradientcoordinate _p.

The

lowest

line

of each

Figure

isthe input

line

and the solved wave shapes _propagateupward.

These

_propagatingwaves are _plottedat equal 10.0rn intervals.

Fig.2

shows the

behaviour

ef nonlinear waye _propagation with two solitary

incident

waves of

different

amplitudes inthe

homogeneous

medium.

Generally,

as iswell

known

influid

clynamics,

electronics and so on, we confirm the typical

interaction

of two solitons at succeeding spaces so that _the

-42-NII-Electronic Library Service

Table1Physicalpropertiesof numerical models

c(x)

C2

Cl

Xl

X2･

(a)

Model

B

(Ci

<

C2)

Fig1 Configurationof analytical in

{m}x=so XIO-1Max,=4,9Max.=4,9 X.70 Max.=4.9 ' X=60X.50 'Max.=4,g X.40 Max.=4.7Max.=4.6 X=30X.20 Max.=4.3Max.=3.8 X.10xi Max.=3,4 oX=-IO Max.=3.e x--2e' Max.=43Max.=4,6 X=-30 Max,-4 X.-40 Max,=4.e X=-50X.-60 Max,=4.9Max.=4,9 X.-70 _Max.=4.9 x=-se Table2

c(x)

e2

Cl

Discretedataof numerical models

Xl

X2

X3

X4

(b)

Model

C

(Ci

(

C2)･

'

homogeneous medium

(Phase

velocity)

x=(?o)3 '. X= 40u

e

x=3e"X. 20t

v

X.IO"x= ot

s

XsOt

s

7 x.2ot

s

7 X2.-30Xl=-40X.-50 Fig.2o 2o 4o eo eo loo12o14o16oleo2oo22e24o26o(sec)

Wave _{prppagation produced} by incident two-solitons in homogeneous medium

(Model

A-1)

eFig.3lo2o 3o 4o so 6e 7o sogo.teollo12o13o14elso(see}

Wave _{propagation produced} by incident

soliton in inhornogeneous medium

(Model

B-1)

fast

soliton is_pushed

forward

apd the slow one

is

retarded without

destructien

by

mutual collision or

passing.

The

rate of _phase shift of the small-amplitucle

(slow)

soliton isgre4ter than that of the

large-amplitude

_(fast)

one.

This

is

due

to the interactionof the two solitons,

Fig.3 shows the

behaviour

of nonlinear wave _prop'agationinthe inhomogeneous medium with a

decreasing

_phase velocity

(increasing

soil'clensity) with' sine shaped variation,

for

Model

B-1.

It

is

confirmed that the scattering wave with anegative amplitude

(plateau)

is_generated

clue

to the

influence

of

inhomogeneity

and afterward inducessmall oscillatory waves. The region of srnall oscillatory wav'es

widens with increasing

distance

X.

Fig.4 shows the

behaviour

of nonlinear wave _propagationinthe inhomogeneous medium with

increasing_phase velocity

(decreasing

soil

density)

with sine shaped variation.

As

shown

in

Fig.

_4,the scattering wave with a positiveamplitude

(-plateau)

is

generated

by

the

incident

wave.propagating

in

the

inhornogeneousregion and

develops

the second s.olitary wave. By comptiring Fig,4(a)w'ith

Eig.

4(b),.

-43-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute ofJapan X. 50X. 40X. 30X. 20X.10x=X=-10X.-20 m) XIO-1Max.=5.0

::

Mar.=5.2Max.=5.1 30 Max.=5.1 20 Max,=5.1

:1

Max.=5.0Max,=4,9 20 Max.=4.6 X2="Ot

s

Xl=-40-X.-50-XXXXXxXXX2

90 tOO "O rl2e(see)

xl..4o- M29 x=-soW M29 O 10 20 Fig.4 30 40 50 60 70 SO

(a)

Model B-2

Wave _{propagationproduced} byincident

o lo' 2o 3o 4o so 6o 7o so go loo(sec)

(b)

ModelB-3

soliton ininhomogeneous meclium

x= {m} _M,,.X.194' =80 Max,=7.2 .70 Max,=7,3 =60 Max.=7.3 =50.40.-.30.20.10 x.=7,Ox..7.0Max,=6.1Max.=3.8Max.=3.4 =o Max.=3.B =-10 Max.=4.3Max.=4.6Max.=4,S .-20.-30.-40..50=-60=-70=-80 Max.=4.8Max,;4.9Max.=4.9Max,-4.9

20 40 60 8e 100120140 160-18e2ooan0240{sec} Wave _{propagation produced} byincident two-solitons in inhomogeneous _medium

(Model

B-4) (mX= 50x= 4eX.30x= 2eX2= 10X= D }x

x

ii

r

s

2

l

l

2

r

a

2

u

s

2

=JAJ=

=

, Xl=-lon v 6 x..2on

v

6 x..3on v M06 x..4on v 6 x=-se- 6 oFig.5 Fig6o lo 2o 3o ao so 6o 7o so{sec} Wave _{propagation produced}

by

incidentsoliton

ininhomogeneousmedium

(Model

B-5)

it

is

confirmed that the number of scattering solitary waves

increases

with the intensityof

inhomogeneity. Thus, Figs.3-4 confirm that the estimations insection

5

are numericaliy valid.

Fig.5shows the behaviourof nonliner wave _propagationwith two solitary incidentwaves of

different

amplitudes inthe inhomogeneous medium with increasingphase velocity

(decreasing

soil

density)

with sine shaped variation, for

Model

B-4. The second solitary wave is_generated due tothe inhomogeneity

and the

interaction

of two solitons isshown inFig.5. Since the phase velocity

depends

on the wave

amplitude, as shown inthe solution

(5.

12),the behaviourof _phase shifts due tothe interactionof two solitons isdifferent

from

that in

homogeneous

mediurn,

Modei

A-1

(Fig.2).

Fig.6 shows the

behaviour

of

linear

wave propagatign

in

the

inhomogeneous

medium with

increasing

phase velocity

(decreasing

soil

density)

with sine shaped variation,

for

Model

B-5.

Although the change

in

wave amplitude

due

to the inhornogeneityisas shown inFig.6,no scattering waves

(plateau

)

are

induced

by

the inhomogeneity of the medium, unlike the nonlinear wave

propagation.

_'(a)

Fig,

7

shows the

behaviours

of nonlinear wave _propagationin the inhomogeneous medium. InFig.

7

(Model

C-1),

themedium

has

an embedded region

[-30.

0m, -20. 0m] of smaller

Phase

velocity

(larger

soil

densi,ty)

than the

homegeneous

region.

As

shown in

Fig.

7(a),asmall _plateau

is

induced

by

the

inhomogeneity

and _propagationinthe medium without destruction,Figs,7(b), 7(c)and 7(d)$how

the

behaviour$

of nonlinear wave _propagation in the inhomogeneous medium with the embedded region

-44-NII-Electronic Library Service x=(sMo} Max.X--.ioO.g` X. 40t

s

X= 30j

l:i:fx=

oj

jX4=11OXs=･20t

s

Xl=-30Xl=-40x.Lso Mex.=O,3 xlD-1 x.(sMo)d

i

Max18 x.4oe

c

Max19 x.3o" . Max18 x.2o" Max19 x.Ioe

c

Max19 x=X4=-10X3=-20X2=-30 ' 'o" M24Max,=3.0Max,=6.0 Max.=O.6

u

l

v

Xl=-40-xu-soW o lo 2o 3o 4o _{so 6o 7o so go} loo(sec)

(a)

Model

C-1

x.(sMo)tn

v

.E1201i O 10 20 30 {m)X= 50 40._{50 6.0}70 _{8090:oOllO12013o14o{sec}.}

(b)

Model

C-2

XIO･1 Max.=1.7

x.4o" Max24X= 40. Max.=1.7

x=3o" Ma25 x=2o" Max23 X,.lon

y

M3

t

s

x=3s c Max2O X3=.OX=-,10X,=-20Xk.30

t

s

t

v

t

s

4-x=aoxs= oX=:10X2=-20X.-30 x-2o" Max3O

t

s

t

s

k

4

k

e

t

s

5 xt.-4o.W M2g Max.=2.g 'X=-soU M29 _x..so- Max2g O 10

?O

3040 50 6070 80 90100"O120130140(seC) O 10 20 30 40 50 60 70 80 go loOllO120{sec)

(c)

Model

C-3

(d)

Model

C-4

Fig.7 Wave propagation produced by incidentsoliton ininhomogeneousmedium

of

larger

_phase velocity

(smaller

soil

density)

than the

homogeneous

region,

i.

e., the converse of

Model

C-1

_(Fig.

7(a)

).

These

figures

confirm thatthe

behaviours

of

induced

solitary waves

drastically

change

due

to the

length'

and

intensity

of the medium's

inhomogeneity.

.

9.

Conclusions-

, ,

Concluding

remarks and the

future

direction

for

research

based

on this

investigation

are as

follows.

1) A _planewave propagatingina 1-dimensional

finite

linear-elastic

medium with inhomogeneity is

governed

by

the mK-dV equation includingthe

dissipatiye

term, which isobtained

by

approximating the nonlinear

Boussinesq

equation with spatial variable coefficients using the

Reductive

Perturbation

Method2)

A _plateauis_generatedby an incidentwave _propagatingin an inhomogeneous region with a

monotone increasingthe _phase velocity

(decreasing

soil

density),

and

develops

a second solitary wave

(scattering

waye), The sign ofthe amplitude of the second solitary wave

depends

on thephase velocity

(or

the density)'ofthe medium. _. ･ ,'

' 3)

The

nurnber of scattering solitary wayes increaseswith the

intensity

of the mediuni]s

in-homogeneity,

The

characteristics of'scattering

_selitary

wayes

drastically

change

due

to

discrepancies

in

the medium's inhomogeneity.

These results are obtained

from

analyses

based

on the

first-order

perturbed approximation. However,

in the approximate expression with increasingintensityof inhomogeneity, we must censider _the

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

influence

　of　terms　up　to　

higher

　order ，　as　a　

fttture

　study 　topic．　

Another

　

is

　to　

investigate

　actual

phenomena 　of　earthquake 　wave 皿otion 　in　the　finite　_elastic 皿 edia　with 　the　inhomogeneity　treated　

herein

．

　

Computation

　was 　made 　on 　the　YHP −DN 　10000　at　Kobori　Research　Complex 　of　Kajima　Corporation．

Helpful

　suggestions 　

by

　

Dr

．　

K

．　

Miura

　_and 　

Dr

，　

M

．　

Motosaka

　of　the　

Kobori

　Research　

Complex

　of　

Kajima

Corporation

　are　gratefully　acknowledged ．

Re暫erences

1＞ Taniuti，　T．　and　Mslhhara ，　K．；NonlineエWaves ，　John　Wiley ＆ Sons　Ltd．，ユ986

2） Toda，　M ．：Nonlinear　Waves 　and 　Soliton，　Nippon・HyouTon−Sha　Co．，　Ltd．，1983．5

3） Toda，　M．　and　Watanabe，　S．；Nonlinear　Mechanics，　Kyourltsu・Sy皿ppan　Co．，　Ltd．，1984．1 4） Watauabe ，　S．：Introductio皿 to　Soliton　Physics，　Baifukan　Co．，　Ltd．，1985．6

5） Matuzawa，　T．；On　the　Possibility　of　GravitationaL　Waves　in　Soil　and　Allied　Problems，　Journal　of　lnstitute　of　Astrenomy　and

　 　 Geophysics，　 No．3，　pp．161〜174，1925．

6＞ Kobori，　T．　and　Yamada，　A．　et　al．；The　Propagation　Characteristics　of　Nenlinear　Seismic　Waves，7th　Japan　Earthquake

　 　 Engineering　Symposium，　pp．505−510，1986．12

7） Izumi，　M 　and 　Xue，　S．：AStudy 　on　Nonlinear　Wave 　Propagating　Equation，　Annuat　Meeting（Summarie＄ofAIJ _），No．2403_，

　 　 pp．805−806，　1989．10

8） Izumi，　M．　 and 　Xue，　S．：Nonlinear　Wave 　Propagation　in　Elastic　Continua，　 Joumal　of　Stru_伽 ral　_and　Construction

　 　Eng重neering _（Transactiens　of　AIJ_）．　No．414，　pp．47〜54，1990．8

g） Xue．　S．；Derivation　of　Censtitutive　Laws　for　Nonlinear　Viscoelastic　Material　with 　Fading　Memory 　and　Their　Applicatiens

　 　to　Wave 　Propagation　Prob［ems 　in　Earthquake　Engineeiing，　Doctoral　Thesis（Tohoku　Univ．_），1991．1

10）　Eringen，　A、　C．　and 　Suhubi，　E．　S．：Elastodynamics ，　Vol．1，　Academic　Press　New　York　and 　Londen，　lg74． 11）　Roache，　P．J．：Computational　Fluid　Dynamlcs，　Hermosa　Pub_且ishe［s　Inc．，1976，

　 　（Papers　listed　above 　are　written 　in　Japanese　except 　1_｝，5_），6_＞，9_），10_），11_）．_）

〔ManuscTipt　 received 　November 　5，1991 ；Paper　Accepted　June　8，1992_＞

和 文要約 1．序 　本 研 究で は，媒 体の密 度が空 間 方 向に緩や かに_変化 す る よ う な不 均 質 性 を持つ 1次 元 有 限 変 形 線 型 弾 性 体 中を 伝 播す る非 線型波 動の特 性 を検 討する。こ の よ うな不 均 質媒体 中の_非線 型 波 動 が 散 逸 項 を持つ変 形 丿（−dy 方 程 式で記 述さ れ ることを 示し，数 値 解 析に よ り不 均 質 性に よっ て発 生する （散 乱 ）弧 立 波の挙 動を調べ る。 2．1次 元S波 伝 播 問 題 　本 研 究で は 以下の仮定を充た す不 均質な 1次元有限変 形 線 型 弾 性 体を伝 播す る平 面 波 （S波 ）を考察の対 象と す る ： Al ． A2． A3 ， A4 ， 有 限 変 形 応 力 度とひずみ度は線 型 関 係 媒 体の密 度は空 間 方 向に緩 やか に変 化 する 対 象とする平 面 波は長 波 長の波とする 　こ の節で は以上の仮定を充たす 媒 体 を伝 播 する平 面 波 を 支 配 する平 衡 方 程 式 を 導く。 最 初に和 泉 ・薛 （文 献 8），9））に よっ て導 出され た非 線 型 構 成 式 を示す。 　一般に線 型 弾 性 理 論で は，Lagrange の定式化により， ひずみポテ ンシャ ルは （2，1） 式 （文 献10 ））で，_{応 力} 度 と変形 勾 配 との 関 係 を 表 す 非 線 型 構 成 式は （2．3） 式 で与え ら れ る。（2．3 ）式は X 面に作 用する せ ん断 力 を 表し，有限変形仮定の もと で は応 力 度 とひずみ度が線 型 関係で あっ て も，応 力 度は変 形 勾 配の 3次の非 線 型 項で 表され るこ とがわか る。 　次に_， 1次 元 有 限 変 形 線 型 弾 性 体 を “ば ね一質 点 系モ デル”に置 換 する と，π 番 目の質点に働く力の釣合式は （2．4）式で_表さ れ る。不均質性の 仮 定を考慮して （2．4） 式を計 算す る と平 衡 方 程 式 （2．11 ）が_導か れ る。こ れ は 空間変数係 数 を 持つ （非 線 型）Boussinesq方 程 式である。 　 （2，11）式の右 辺 第 3項は非 線 型 構 成 式 （2．3）の非 線 型項に_対応する P波 成 分 （λ＋2_μ）に比 例する係 数を含 む。これ は有限変形 仮 定であること， 波の伝 播 方 向 と 応 力の向き が異なることに起 因 すると考えられ る。 3．散逸 項 を含む変形K −dY 方 程式の導 出 　前節の議 論か ら不 均質な 1 次元有限変形線 型弾性体 中 一

₄₆

一 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service を 伝 播する平面 波の支配方程式は変 数 係 数の非 線型波 動 方 程 式 （3．1）に帰 着された。こ の節で は_，谷 内 （文 献1）） に よっ て提 案 され た長 波 長 近 似 を用い た逓 減 摂 動 法 を拡 張 し て不 均 質モ デ ル に対する S波 伝 播問題に適用 する。 （3，ユ）式は，拡 張 型Gardner−MQrikawa 変 換 （3．3＞式 （文 献1）〜4））と微 小パ ラメ ータ εに対す る摂 動 展 開 （3．5） 式 を 用い て （3．6） 式に変 換され る。特に_，εにつ い て の最 低 次 数の （3．6a ＞式 をτ につ いて積分 し，さ らに 変数 変 換 （3．8） を施せ ば最 終 方 程 式 （3．9）を得る。 こ の式は非 線 型 波 動の空 間 発 展 を記 述す る変形 K −dV 方 程 式であり， 媒 体の不 均 質 性 が散 逸項 （3．10）と して取 り込 まれ てい る点が特 徴 的である。特に，媒体が均 質な 場合は この散 逸 項が消え て和 泉 ・薛 （文 献 9））に ょっ て得 ら れ た変 形K −dV 方 程 式と一致す る。 こ の節で述 べ _{た方 法}は_， 一般に逓 減 摂 動 法 （文 献 1））と呼ばれ る もの で，微 小パ ラ メータ に関 して非線型 項 と 分 散項と を 釣り合わ せ て モ デル方 程 式 を導く方 法で あ る。 4．散 逸 項を含む変形 K−dy 方 程 式の保 存 量 　最 終 的に_得られた変形 K −dV 方 程 式 （3，9）の保 存 量 か ら，媒体の不 均 質 性に よ る波 動の ふ る まい を予 想 する。 　τ に関す る無 限 遠 方で の境 界 条件 （4，2｝の下で （4．1） 式 を τ につ い て_積分 する ことによ り，1_次の _{保 存 量 （}4．4_） 式が得ら れ る。ま た， （4，1）式の 両辺 に v を掛けて τ にっ い て積 分す ると2次の保 存 量 （4．7）式を得る。 　こ こで， 媒体の不 均質性を あ る局所領 域に制 限し，そ の領域の外 部で は均質性を仮定す る。 2つ の保 存 量から 位相速 度と保存量 との 関 係 式（4．9）〜（4，13 ）が導か れ る。 特に，位相速度C （密度ρ）が X の正方 向に単 調 減 少 （単 調増加

1

す る媒体モ デル に対 し て は関係式 （4．14）が成 立する。したがっ て，非 線 型 波 動が この よ う な 不均質領 域 を伝 播する時に は 2つ の保 存 量は減 少する こと が わ か る。 さ らに （3．8 ）式の第 2式か ら不 均 質 領 域にお け る 任 意の 2 点問の変形勾配の関 係 式 （4，15）が得 ら れ る。 5．不 均 質 性に よ る散 逸 項の影 響 　散 逸項を含む変形 K −dV 方 程式に対して

Soliton

波 を 入射 波と す る初 期 値 問題 を考 察する ことに よ り_， 不 均 質 性に よる散 逸 項の影 響を検 討 する。 　一般に散 逸 項を持た ない変 形 κ一dV 方 程 式の特 殊 解 は （5．1）式で与えら れ る。今， 初 期 値 を η＝0で与え る と_，2つ の保 存 量は _（5．2），（5．3）式で表 され る。ま た，媒 体の不 均 質 性は，位 相 速 度 C （密 度 ρ）が X の 正方 向に単 調減少 （単 調 増 加 ）す るモデルと仮 定す る。 こ の_時，前節の_議論か ら波 動の_{振 幅}は_{散逸効 果}に _{より η} の増 大と と もに減少す る。 　この よ う な不 均 質 媒 体モデル にお け る初 期条 件 （5．5） に対する定 常 波 解の挙 動を検 討する。まず， （3．9 ）式の 解を形 式 的に （5．6）式で与え る。こ こ で （5．6）式の第 ユ項は （5．7），（5．8）式で表され る よ うな減 衰 型の弧 立 波 解であり，Vp は減 衰 型の弧 立 波 解 以 外の解と する。 そ こで_， Vs の 2次 保 存 量が （5．　9_），_（5．10_{） 式}で表さ れ ることに着 目し，これらを等 置す ることに より減 衰 型 弧 立波解の振 幅 （5．11 ）式 を得る。これ を （5．7）式に代 入 す るこ とに よ り，減衰型_強立 波 解 Vsが （5．ユ2 ＞式で 示さ れ る。 次に， v に対す る1．次保 存量 （5．13）， （5．14） 式か らVp「に関す る 1次 保存量 （5，15）式 を得る。位 相 速 度の_単調減少 性か ら不等式 （5．16）得る。これ よ り Vp は平 均 的に負の振幅を持つ こと が わ か る。 逆に， 位 相速度 （密度 ）が単調増加 （単調 減少 ）す るモ デル に お い て は v。は平均 的に正の振 幅 を 持つ。し た がっ て， 不 均一な非 線型 は し ご回路 の 理論 （例えば，文献4））の 類推か ら；1）一般に，_{位 相}速度 （密度〉が単 調 増 加 （単 調 減 少）す るモ デル において_， Vpは plateau と呼 ばれ， 第 2弧 立 波を 発生さ せ る， 2）不 均 質 性 が 強く な ると発 生 する 徹 乱 ）弧 立 波の数が増 大 する，こと が予 想さ れ る。 　こ_{れ ら}の_{予 想}は以 下の _{よ う}に して証 明さ れ る。 初 期 値 をη＝0で （5．18）式で与え る と き，（4．8）式に よ り2 つ の 保存量 が （5．19 ），（5．　20）式_で表_{さ れ る}。今，1V 個の_{弧 立 波}が遠 方で plateauによっ て発 生する と仮定す れば2つ の_保存量 は （5．21＞， （5．22）式で示され る。こ れ らの式と （5．23 ），（5．24）式 を等 置す るこ とに よ り弧 立波の_個数と位相 速度の _{関係式 （}5．25 ）と初期値で与え た弧立波の振 幅と発 生 し た弧 立波の 振幅との _{関 係 式} （5．26 ）を得る。し た がっ て，（5．25）式か ら位 相 速 度 が単調 増 大す る不 均質モ デル で は N≧ 1と なっ て散 乱 弧 立波が発生 し， 不 均質性が強く な るとその個 数 が 増 加 す るこ と がわ か る。これ らの予 想は後 節で数 値 計 算に より 再 確 認さ れ る。 6．線型波動と の比 較 　こ の _節で は，不 均 質 媒 体 中 を 伝 播 する線型波 動との比 較を行う。 　 （3．1）式に対応す る線型 波 動 方 程 式は （6．1）式で示 ． さ れ る。媒 体の_不均質 性は 3・節と 同 様に_， 媒 体の密 度の 空間 的に緩や か な変化と仮定す る。 3節の議論に従っ て， （6．　1）_式に

Gardner

・Morikawa変 換 （3．3）と変数変換 （3．8＞を施すことに よ り空間 発 展型の線型波 勤 方 程式 （6．4）を_得る。 この方 程 式は，（3．9 ）式の非 線型項と 分散 項が落ち た式に なっ て お り，η＝0にお け る任 意の 初期波形 ∫（τ）に対 し て一般 解 （6．6）を持つ。（5．12） 式 右辺 と比較 し て明か なように_， 弧 立 波の減 衰は線 型 波 の そ れ よ りも強い こと がわ か る。 こ の非 線 型 波の減 衰 特 性は，弧 立 波の振 幅が減 衰すると波の幅が広が るためで あ る （例え ば，（5．7）式）。ま た，入 射 波 が 不 均 質 領 域 一 47 一 N工 工一Eleotronio _Library