トポス alg-d 年 5 月 5 日 1 トポス 定義. P, Q: C op Set を関手とする.P が Q の部分関手 ( 記号で P Q と書く ) 自然変換 θ : P Q で 各 a C について θ

トポス

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2018

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トポス

定義. P, Q : Cop → Setを関手とする．P がQの部分関手(記号でP ⊂ Qと書く) ⇐⇒自然変換θ : P ⇒ Qで「各a ∈ C についてθa: P a → Qaが包含写像になっている もの」が存在する． P ⊂ Qを部分関手とすると，自然性より，f : a→ bに対して次の図式が可換である． a b f P a Qa P b Qb ⊂ Qf P f ⊂ 従ってP f = Qf|P bとなる．特にx∈ P bに対してQf (x)∈ P aである． 逆にQ : Cop → Setを関手として，集合族_{{P a}a∈C} が次の条件を満たすとする: • a∈ C に対してP a ⊂ Qa． • f : a → b，x∈ P bに対してQf (x)∈ P a． このとき，f : a→ bに対してP f := Qf|P b: P b→ P aと定義するとP はQの部分関手 になることが容易に分かる．

定義. 有限完備な圏C の部分対象分類子(subobject classifier)とは，組⟨Ω, true⟩であっ

て，以下の条件を満たすものをいう:

(2) 任意のモノ射f : a→ bに対して，ある射χf: b→ Ωが一意に存在して，次の図式 がpullbackになる． a 1 b Ω ! true f χf trueを省略し，単にΩを部分対象分類子ということも多い． 定義. トポス(topos)*1_{とは，圏E であって以下の条件を満たすものをいう:} (1) E は有限完備である． (2) E はCartesian閉である．(「随伴関手」のPDFを参照．) (3) E は部分対象分類子を持つ． 命題 1. Cを小圏とするときC = Setb Cop はトポスである．特にSetはトポスである． 証明. まずCb は完備だった(「極限」のPDFを参照)．Cb がCartesian閉であることを 示す．

※

P, Q∈ bC とする．もしCbがCartesian閉であればQP _{∈ bC が存在するが，この} とき米田の補題により，a ∈ Cに対して

Hom bC(y(a)× P, Q) ∼= Hom bC(y(a), Q P_{) ∼} = QP(a) とならなければならない． P, Q ∈ bC とする．QP _{:= Hom bC}(y(−) × P, Q) ∈ bC と定義する．余米田の補題 (「余 米田の補題」のPDFを参照)によりP a ∼= ∫ c∈Cop HomC(a, c)× P cだったことに注意 *1以下で述べるGrothendieckトポスと区別する為に，この意味のトポスを初等トポス(elementary topos)という場合がある．また，Grothendieckトポスを単にトポスと呼ぶ場合もある．

すると，任意のX ∈ bCに対して自然に Hom bC(X, Q P ) ∼= ∫ c∈Cop HomSet(Xc, QP(c)) = ∫ c∈Cop

HomSet(Xc, Hom b_C(y(c)× P, Q))

∼ = ∫ c∈Cop HomSet ( Xc, ∫ d∈Cop

HomSet(HomC(d, c)× P d, Qd)

) ∼ = ∫ c∈Cop ∫ d∈Cop HomSet (

Xc, HomSet(HomC(d, c)× P d, Qd)

) ∼ = ∫ c∈Cop ∫ d∈Cop

HomSet(Xc× HomC(d, c)× P d, Qd) ∼ = ∫ d∈Cop ∫ c∈Cop

HomSet(Xc× HomC(d, c)× P d, Qd) ∼ = ∫ d∈Cop HomSet (∫ c∈Cop Xc× HomC(d, c)× P d, Qd ) ∼ = ∫ d∈Cop HomSet ( P d× ∫ c∈Cop HomC(d, c)× Xc, Qd ) ∼ = ∫ d∈Cop HomSet(P d× Xd, Qd) ∼ = Hom bC(X× P, Q) である(SetがCartesian閉なので，P d× −が余極限と交換すること，特にコエンドと 交換することに注意する)．よってCbがCartesian閉と分かった． 部分対象分類子の存在を示す．Ωを • a∈ C に対してΩ(a) := {P ∈ bC | P ⊂ y(a)}とする． • f : a → bをCの射としてP ∈ Ωbとする．u∈ C に対して (Ωf (P ))(u) :={k : u → a | f ◦ k ∈ P u} と定めるとこれは部分関手Ωf (P )⊂ y(a)を与える． . ..) l : u→ vとする．k ∈ (Ωf(P ))(v)に対してk◦ l ∈ (Ωf(P ))(u)を示せば よい．今k ∈ (Ωf(P ))(v)だからf◦ k ∈ P v である．P ⊂ y(a)が部分関手だ

から u v l P u HomC(u, a) P v HomC(v, a) ⊂ −◦l −◦l ⊂ が可換となり，よってf ◦ k ◦ l ∈ P uである． これにより，f : a→ bに対して写像Ω(f ) : Ωb→ Ωaが定まる． で定義する．これは関手Ω : Cop → Setを与える． . ..) 明らかにΩ(ida) = idΩaだから，a f −→ b g −→ cに対してΩ(g◦ f) = Ω(f) ◦ Ω(g) を示せばよい．定義よりP ∈ Ωc，u∈ C に対して (Ωf (Ωg(P )))(u) ={k : u → a | f ◦ k ∈ (Ωg(P ))(u)} ={k : u → a | g ◦ f ◦ k ∈ P u} = (Ω(g◦ f)(P ))(u) だからΩf ◦ Ωg(P ) = Ω(g ◦ f)(P )である．

true : 1(= ∆1) ⇒ Ωをtruea(∗) := y(a)で定める．これらが部分対象分類子を与える ことを示そう． まずθ : P ⇒ Qをモノ射とする．つまりa∈ Cに対してθa: P a → Qaはモノ射(つま り単射)である．これによりP a⊂ Qaとみなす．a, u∈ C，x ∈ Qaに対して χa(x)(u) :={k : u → a | Qk(x) ∈ P u} と定義する． C Set u a P u ⊂ Qu P a ⊂ Qa ∈ x k P k Qk P Q これは部分関手χa(x)⊂ y(a)を定義する．

. ..) l : u → vを射とするとき，k ∈ χa(x)(v)に対してk ◦ l ∈ χa(x)(u)となること を示せばよい．それにはQk(x) ∈ P v ならばQ(k ◦ l)(x) ∈ P uを示せばよいが，そ れは明らか． u v a P u ⊂ Qu P v ⊂ Qv P a ⊂ Qa l k Ql Qk P l P k よって χa(x) ∈ Ωa であるから，χa: Qa → Ωa は写像である．これは自然変換 χ : Q⇒ Ωを定める． . ..) f : a→ bを射とする．次の図式が可換であることを示せばよい． a b f Qa Ωa Qb Ωb χa Ωf Qf χb 即ち，x∈ Qbに対して，y(a)の部分関手の等号χa(Qf (x)) = Ωf (χb(x))を示せばよ い．つまりu ∈ Cに対してχa(Qf (x))(u) = Ωf (χb(x))(u)を示す．これは定義より χa(Qf (x))(u) ={k : u → a | Qk(Qf(x)) ∈ P u} Ωf (χb(x))(u) ={k : u → a | f ◦ k ∈ χb(x)(u)} ={k : u → a | Q(f ◦ k)(x) ∈ P u} となるから成り立つ． よってCbにおける次の図式が得られた． P 1 Q Ω ! true θ χ これは可換である． . ..) a ∈ C に対して χa ◦ θa = truea◦ !a を示せばよい．即ち x ∈ P a に対して

χa(θa(x)) = y(a)を示せばよい．χの定義より，u∈ Cに対して χa(θa(x))(u) = {k : u → a | Qk(θa(x))∈ P u} だから，任意のk : u→ aに対してQk(θa(x)) ∈ P uを示せばよい．それはθ : P ⇒ Q が自然変換だから，次の図式が可換となり成り立つ． P u Qu P a Qa θu Qk P k θa この図式がpullbackになることを示す．その為に次の図式の実線部分が可換であると する． X P 1 Q Ω true θ χ ! σ τ a ∈ C とすると，χa◦ σa = truea ◦ !a だからx ∈ Xaに対して χa(σa(x)) = y(a) で ある．即ち任意のk : u → a に対してQk(σa(x)) ∈ P uとなる．特にk = ida と取れば σa(x)∈ P aが分かる．即ち，あるτa: Xa→ P aが存在してθa◦ τa= σaとなる．この τaは自然変換τ : X ⇒ P を与える． . ..) f : a→ bをCの射として次の図式を考える． Xa P a Qa Xb P b Qb τa P f Xf τb θa Qf θb θ が自然変換だから，右側の四角は可換である．またσa(= θa◦ τa)がaについて自

然だから外側の四角も可換である．従って Xa P a Qa Xb τa Xf θa = Qa Xb _τ P b Qb b Qf θb = P a Qa Xb P b P f τb θa となる．今θaはモノ射だったから Xa P a Xb P b τa P f Xf τb が可換となることが分かり，τ は自然変換である． よってθ◦ τ = σとなる自然変換τ : X ⇒ P が存在することが分かった． 逆に τ′: X ⇒ P が θ◦ τ′ = σ を満たすとすると，θ がモノ射だからτ′ = τ となら なければならない．よってこのようなτ が一意であることが分かる．従ってこの図式が pullbackであることが分かった．

2

層

X を位相空間，O(X)をX の開集合全体とする．O(X)は包含関係により圏となる． 関手P : O(X)op → SetをX上の(集合の)前層というのであった．更に，開集合U ⊂ X とU の開被覆 _{Ui}i∈I に対して次が equalizer となるとき，P を層と言うのであった． (「例: 位相空間上の層」のPDFを参照．) P (U ) ∏ i∈I P (Ui) ∏ i,j∈I P (Ui∩ Uj) e p q ここでe(x) :=⟨x|Ui⟩i∈I で，pはUi∩ Uj ⊂ Ui から得られる射，qはUi∩ Uj ⊂ Uj から 得られる射である． 定義. Cを圏とする．a∈ C に対して，部分関手S ⊂ y(a)をa上のsieveという．

で，V ∈ O(X)に対して

S(V ) ⊂ y(U)(V ) = Hom_O(X)(V, U ) = {

0 (=∅) (V ̸⊂ U のとき) 1 (={∗}) (V ⊂ U のとき)

である．よってS は写像_{O(X) → 2 = {0, 1}}，即ち部分集合S ⊂ O(X)とみなせる．更

に，Sが関手であることからW ⊂ V に対して写像

Hom_O(X)(V, U ) = S(V )→ S(W ) = Hom_O(X)(W, U )

が存在する．故にV ∈ S (即ちS(V ) = 1)ならば W ∈ S (即ちS(W ) = 1)でなければ ならない．またV ̸⊂ U ならばV /∈ Sである．以上により，U 上のsieve S は部分集合 S ⊂ O(U)で，条件 V ∈ S, W ∈ O(U), W ⊂ V =⇒ W ∈ S (1) を満たすものと同一視できる． {Ui}i∈I をU の開被覆とする．即ちU = ∪ i∈I Ui である．このとき S :={V ∈ O(U) |あるi∈ I が存在してV ⊂ Ui} と定義すればS は明らかに条件1を満たすので，S はU 上の sieveとみなせる．このS はU = ∪ V∈S V を満たす． 逆に，U 上のsieve S がU = ∪ V∈S V を満たすとすると S ={V ∈ O(U) |あるW ∈ S が存在してV ⊂ W } となる．そこで，U = ∪ V∈S

V となるsieveをcovering sieveと呼ぶ．

U 上のsieve Sは部分関手θ : S ⇒ y(U)であった．これにより，前層P に対して写像 i := Hom_O(X)\(θ, P ) : Hom_O(X)\(y(U ), P )→ Hom_O(X)\(S, P )が定まる．

定理 3. 位相空間X上の前層P が層

⇐⇒任意の開集合U ⊂ X 上のcovering sieve Sに対して i : Hom_\

O(X)(y(U ), P )→ HomO(X)\(S, P ) が全単射を与える．

証明. {Ui}i∈I を開被覆とする． E ∏ i∈I P (Ui) ∏ i,j∈I P (Ui∩ Uj) ⊂ p q をp, qのequalizerとするとE := { ⟨xi⟩i∈I ∈ ∏ i∈I P (Ui) xi|Ui∩Uj = xj|Ui∩Uj } である． Sを{Ui}i∈I から定まるcovering sieveとする．このとき全単射f : Hom(S, P ) → E が 存在する． . ..) θ ∈ Hom(S, P )とする．S(Ui) = 1 ={∗}だからθUi(∗) ∈ P (Ui)である．よっ て写像f : Hom(S, P ) → ∏ i∈I P (Ui)をf (θ) := ⟨θUi(∗)⟩i∈I ∈ ∏ i∈I P (Ui)と定義する ことができる．f (θ)∈ Eである． . ..) i, j ∈ I に対してθUi(∗)|Ui∩Uj = θUj(∗)|Ui∩Uj を示せばよい．θ が自然変換 だから S(Ui∩ Uj) P (Ui∩ Uj) S(Ui) P (Ui) θ_Ui∩Uj θ_Ui S(Ui∩ Uj) P (Ui∩ Uj) S(Uj) P (Uj) θ_Ui∩Uj θ_Uj

は可換である．よって θUi(∗)|Ui∩Uj = θUi∩Uj(∗) = θUj(∗)|Ui∩Uj となり成り 立つ． よってf : Hom(S, P )→ E とみなすことができる．このf の逆写像gが存在する ことを示せばよい． ⟨xi⟩i∈I ∈ Eとする．V ∈ O(X)に対してθV : S(V )→ P (V )を次のように定める: • V /∈ Sのとき，θV は一意な射S(V ) =∅ → P (V )とする． • V ∈ Sのとき，V ⊂ Ui となるi∈ I を取りθV(∗) := xi|V と定める．

(xi|Ui∩Uj = xj|Ui∩Uj だから，これはwell-definedである．)

. ..) V ⊂ W に対して次の図式が可換であることを示せばよい． S(V ) P (V ) S(W ) P (W ) θV θW W /∈ S，即ちS(W ) =∅ならば自明だからW ∈ S とする．この場合V ∈ Sで あるから，θW(∗)|V = θV(∗)を示せばよい．これはxi|W|V = xi|V ということ だから成り立つ． よって自然変換 θ : S ⇒ P が得られる．これによりg(⟨xi⟩i∈I) := θ と定義する． つまりV ∈ Sに対してg(⟨xi⟩i∈I)V(∗) = xi|V である．このとき ( g◦ f(θ))_V(∗) =(g(⟨θUi(∗)⟩i∈I) ) V(∗0) = θUi(∗)|V = θV(∗) f◦ g(⟨xi⟩i∈I) =⟨g(⟨xi⟩i∈I)Ui(∗)⟩i∈I =⟨xi⟩i∈I

だからg = f−1 である． よってf : Hom(S, P )→∏ i∈I P (Ui)とみなせば Hom(S, P ) ∏ i∈I P (Ui) ∏ i,j∈I P (Ui∩ Uj) f p q はequalizerである． 次の図式を考える． Hom(S, P ) ∏ i∈I P (Ui) ∏ i,j∈I P (Ui∩ Uj) Hom(y(U ), P ) P (U ) f p q i e ∼ = この図式の左の四角は可換である． .

..) θ ∈ Hom(y(U), P )を取る．θに対応するx∈ P (U)はx = θU(idU)で与えられ るから，θ を右回りで写したものは_⟨θU(idU)|Ui⟩i∈I になる．一方，左回りで写すと

f◦ i(θ) = ⟨θUi(∗)⟩i∈I になるからi∈ Iに対してθU(idU)|Ui = θUi(∗)を示せばよい． θが自然変換でUi ⊂ U だから次が可換である． Hom(Ui, U ) P (Ui) Hom(U, U ) P (U ) θ_Ui θU ∗ θU(idU)|Ui idU θU(idU) θ_Ui θU よってθU(idU)|Ui = θUi(∗)が分かる． (=⇒) S を開集合U ⊂ X 上のcovering sieveとする．{V }V∈S はU の開被覆である から，上記の議論により次の図式を得る． Hom(S, P ) ∏ V∈S P (V ) ∏ V,W∈S P (V ∩ W ) Hom(y(U ), P ) P (U ) f p q i e ∼ = 仮定よりeがequalizerとなるからiは同型である．

(⇐=) {Ui}i∈I をU の開被覆とする．これから得られるcovering sieve Sを取り，上記 の議論から次の図式を得る． Hom(S, P ) ∏ i∈I P (Ui) ∏ i,j∈I P (Ui∩ Uj) Hom(y(U ), P ) P (U ) ⊂ p q i e ∼ = iが同型だからeがp, qのequalizerとなる．よってP は層である． これを使い，一般の圏C 上の前層が層であることを定義することができる．その為に

は，まずc∈ C 上のsieve Sがいつcovering sieveになるかを定めなければならない．

定義. C を圏とする．各対象a ∈ C に対して，a上のsieveからなる集合J (a)が与えら

れ，以下の条件を満たすとき，J をC のGrothendieck位相という．

(1) y(a)∈ J(a)である．(y(a)をmaximal sieveと呼ぶ．) (2) f : a → b，S ∈ J(b)に対してΩf (S)∈ J(a)である．

(3) S ∈ J(a)，Rがa上の sieveで「任意のf ∈ S(b)に対してΩf (R) ∈ J(b)」なら ばR∈ J(a)である．

またJ (a)に含まれるsieveをcovering sieveと呼ぶ．圏CのGrothendieck位相J が与 えられたとき，組_{⟨C, J⟩}を景(site)という．

定義. 景_{⟨C, J⟩}上の層とは，前層P : Cop → Setであって，任意のc∈ CとS ∈ J(c)に 対して_{i : Hom b}

C(y(c), P ) → HombC(S, P )が全単射となるものを言う．⟨C, J⟩上の層全 体がなすCbの充満部分圏をSh(C, J )と書く．

例 4. C =O(X)の場合．J (U ) :={S | SはU 上のcovering sieve}と定義するとJ は

O(X)のGrothendieck位相になる．

.

..) maximal sieve，即ちS =O(U)はU 上のcovering sieveであるから条件1は成 り立つ．

次にf : U → U′ としてSをU′上のsieveとする．V ∈ O(X)に対して

(Ωf (S))(V ) ={k : V → U | f ◦ k ∈ S(V )}

だから

V ∈ Ωf(S) ⇐⇒ V ⊂ U かつV ∈ S

である．よって条件2は「S がU′ 上のcovering sieveならばS∩ O(U) はU 上の

covering sieveである」という条件となり，成り立つ．

最後に，SをU 上のcovering sieve，RをU 上のsieveとする．条件3の「任意の f ∈ S(b)に対してΩf (R) ∈ J(b)」は「V ∈ S ならばR∩ O(V )はV 上のcovering sieveである」という条件になり，この条件が成り立つときRはcovering sieveであ

る，というのが条件3である．故に成り立つ．

この景_{⟨O(X), J⟩}上の層は，定理3より位相空間X上の層となる．

定理 5. Sh(C, J )はトポスである．

定義. ある景_{⟨C, J⟩}に対するSh(C, J )と圏同値になる圏をGrothendieckトポスと呼ぶ．

参考文献