第 二 編
2
"
計 画 お よ び 伊 計 画
第
4
章
2
.
計画乱塊混同配置
[栂畢〕 要因構成'tJ~2"型であるものは，因子組合せが2・個あるが，とれを大き さが2・4 個のプロ，トからなるプロヲグ 2・備に分割霞置させるものを， 2"計画乱 塊混同醍置という.このときプロッダ問自由度2・-1と必然的:こ混同させられる要因 効果があるわけである.またおのおのプロッダ内での2・4 個のプロットへの毘置は， 無作為泊事歪である. これはプロッ9を階層としての層別無作為葱置にほかならな い.すなわち寵a
法の適用である.よって F 計画乱塊混同国置というのである. 2・計画の要因効果の表現:こは， 2を法とする相合式系の利用が'俊立つのである.こ の理論は一般に p.(ただしpは素数}型にあてはまるのであるが，本章では，第3 .で説明したように， 2・塑が応用上大切なので，特:こ諭じたo1つには一般論へのウ ォーミング・アップの意味もある.4.1-4・2にわたって，とれを解説し， 4・4で群論 的な見方からの整理を述べて，しめくくりをつけておし 4・&-4・8までは，最も基刺悦型式のものの例示が眼目である. これを要するに2
・(
2
.
-
.
)
(・〕 という記法であらわされるのが木章の配置法である.贋揖憩障の場面で は.，
，
=
3
-
5程 度 ， 一=2-4程度のものが多いo1
1
包容患の場面でもそのような 例が多い.よって4・@叶・8ではこのような観点から例題を述べるととにした.本章 の諸例題は分散分析までの過程が複雑になってきたので， そ乙に解説のカを注いだか ら紙面の関係上第 I巻第三編 第11巻第一績とくらべると，多重推測論的な細目 に立入っていない.当然そこに進むべきことを忘れてはならない.4
・1 2
・要因計圃@要因効果 "個の因子を，
A，
B，
C，
…，
Nであらわし，その処理組合せを a"'lb""c"" …n
"
'
.
で 表 わ す . こ と に 的=0，l(i=l，
2
，
…，旬).とれを単にX1XSXS'''X.と あらわすことが，配置記号としては便利だから用いられる.例えば鈍=5のと き 10010と い う 記 号 に よ っ て がbO c・d1e・を表わすo 0の項は略し，肩の 1 はとりきって，とれを αdとも書く. さてこのような処理組合せで実施して得られる観測値を {y"，向…"，，，11:} で 表 わ す.kは繰返し回数であって， k=I，
2，
…，
rとしよう.いま， これに関す る情遭模型を考えると第 4章 2・計画乱塊混同配置 Y"'I'"‘.・・"，，，11; = m十a"'l+b，.+c"" ，.+・・・十鈍h という形をとる. +(ab)"'I""+(αC)"'I""+… +~α旬)æIZ"
+
(bc)"，."，.+・・・+(b鈍)"，..，.+・・・+(m悌 )Sta-1S"+
(abC)"'I""'"・
+
.
.
.
+(abcd)"'I"'''''''''‘+・..+
.
.
.
+(abcd…
n )ZlaaaS"'z"+
z
"，向"，，，)1; 径数換えによって，次の如く藁準化されているものとみてよい.2
:
a"'I=O，
:1:1=02
:
(ab)"'1，".=0，
玄
b，.=O"，
三
(αC)"'I""=O，
(i=1，2) (j=1. 3) -・・， 玄鈍"，，，=0 z.=。
三
(mn)均 一 向=0 " ， ， ，=0 (k=純 一1，侭) 165{三刷
ZlZIZS=O， 主ω
…
=0，"'， 1"，‘=0 "'j~Oヱ
(l削)ル."，..-."，..=0 Zk=曲 )I
μ
(
i=1， 2. 3勾) (υj=1. 2. 4の
(k=冗 ー2.旬 ー1.叫l
，，，"主
印
(
…
…
ω
仰
ω
…
ω
α
仰帥
…
b帥
川ccdd山 伽d =0 (k=I.2.….
n)ただし，ここでは，悦は母轍とは限らない.α.，(ab)11o (αbC).11o "'，(abcd…，
mn)l1・1等をそれぞれ
，
a，
α(b)，
(
αbc)，
…
，
(bcd).…
.
α(bcd...mη)等で表わす ととにしよう.これを簡値化という.α.=ーα
。
=a. b.=-bo=b. ・・・，
n.=-no=n( αb)l1=ーα(b)叫 = 一(ab).o=(αb)oo=(αb). ( αbC)l1'=一α(bC)110=ー(αbC)101=ー(abC)Oll =(αbC)lOO=(αbc)o.o=(αbc)oo.=
一
(αbc)ooo=(abc) 等kの関係が成り立つ. 一般模型の立場から，構造模型としては，次のようにとる.166 第 二 鼠 2・計画および伊計画 ( i ) 一 般 平 均 怖
い
i) 主効成分α:
N(α
，2-lqIO，) b: N(，
J
f
2-lq'b).…，n:
N(ν， 2-lq'..) (iii) 二因子交互作用成分 (ab) : N((α，f
，
J
)
4-1σ!b)，
(
αc) : N(Gαr)，
4-1q!.)，…， (mn) : N((μν)， 4-10':....) (iv) 三因子交互作用成分 { αbc} : N((α，βr}，
g-Iq~b..) ，(
αbd) : N((α，s
d)，
g-Iq!bd)等， (v) 鈍因子交互作用成分 ( αbc…
lmπ) : N((αf
J
1
'
.
.
.
μν)， 2-..q!b....m..) (vi) {z...Ic}:NID (0，
ql) (vii)a，
b，
…， 旬， (αb)，
・・・，
(mn)，
(abc)，
…，
(lmn)，
…，
(abc...lmn) のおのおのは， {Z2:1:l'....S叫}と組問互いに独立である. 注意:この構造模型はもちろん要因構成の一般形式の特別のときにすぎない.ただ k孟1のとき k因子交互作用の自由度は (2-1)1c=1なのであるから，一々NH
系 (1， 3・2・5)を引合いに出さないで上のようにしたに過ぎない. 倒 4・
1 2・It蘭flulc=m+a+b+ (ab) +Zl1lc， 仇olc=m+a-bー(ab)+z
，
・
k flo.lc=m-a+bー(ab)+z..lc，
仇・k=m-a-b+(ab)+
向。k 倒 4・
2 2'計画 等々. flllllc=m+a+b+c+ (ab) +(αc) + (bc) + (abc) +ZII'1c 1111・
Ic=m+a+b-c+(ab)ー(ac)ー(bc)ー(abc)+Zl1olc 仇削Ic=m+a-b+c一(ab)+(ac)一(bc)一(abc)+z，
・.Ic 払・・Ic=m+a-b-cー(ab)一(ac)+ (bc) + (abc) +Z..olc 以上の条件のもとで，2
"
計画における平方和の分布を求めてみよう. (1 ) 主 効 SA=r2"ーもヱ弘….-y…..)' ことに (yl
.
.
.
.
-
y…・・)+
(yo
.
.
.
.
-
y...) =0であるから SA=r2"句a…・一首…..)'(2) ととに 交互作用 第4章 2"計画乱塊混同配置 = 伊
(
ι
-
-
b
y
a
-
-
=
-
)
'
=r2"(島 工 手 止r
= 伊(
α
+
亘ヱ手ニ)'
SAB=r2"
-
S
2
2
(iiかヱ
(
i
Jij...-iii.，
..-iiヅ …+ii...)=02
(
お …-iii'…-ii十・+ii....・)=0 であるから また よって SAB=r2" (iill'・.-iil....-ii・2…
+ti…
..)1 iill・・キ雷10'" _ iill'"一宮u・・・ iill...-iil....=宮u… 一 一z
ii吐 ・キ官唱・・一宮中・・一宮・....e
中・.-1/...=宮中・・一 一z
iill'" -iil....-ii.l・・・+ii・....=
÷
胤
1・・-iilO"')ー仇・・-ti.o
…
=!-{(九一九・}ー(iiOl'"一 九 SAB=r2"{1iill…
-
e
w
-
-
7
・
1
.
.
.
+
i
i
o
o
.
.
.
l
}
'
=ゅ{
(
a
b
)
+
.
!
U
H
-
-
z
z
e
-
-
-
Z
E
・
E・.
.
+
Z
.
.
.
.
=
-
}
'
同様にして.3因子以上の交互作用についても求めることができる. 例えば ( i1..i16i1ci1dii ¥ I ~_9" f 1_ L..J¥_ L i1..i16i1oAdzt
'
SABCD=伊¥
-
o
-
o
;
c
-
一 )ar2吋(abcd)+一三~C-.Nr
となる.以下同様の形であることは明らかであろう. ζとで記法としてe
ー ・y. 1 ・ー干2"-戸e - Y L
。
ーーー一r一2ー"一一-…
ー1ー 1町1回 第 二 編 2"計画および伊計画 dd=gau---Bou--=tLT(Lr:.:;.' ・ …- Yo•…)
=
ポ
-
=
1
α(ーl)(b+削 c+l)…(叶1)Y とおいた.(α-l)(b+l)… 加+l)Yというのは観測値に対して演算を施す仕方ー をあらわすものである.ととの α，
b，
…，慨は因子A，
B，
…，
N に対応するも のであって数値ではない.上記のように，
a，
b，
…， πを主効成分として用い たのとは混同しないようにしなければならぬ. との記法は平易にいえば， B. C，…，N については水準はどうでもよい .A についてお1=1の も の は + 組， X1=O
のものは一組にすることを意味する.これを略して次のようにもあ らわす. 同様にして かくして l1a1
/
=
ポ
=
l
α(ー 附 + 川+1)…{悦+1) l1al1"
y
=
Y1
1
.
.
.
+
YO
O
・
ぷ
E
w
-
-
一 九 … ( α-l)(b-l)(c+ l)(d+ 1)…(況+l)Y， r2"-!I SA=r2イ
(αーl)(b+l)(竺
1)…(叶l)Y)' ¥ r:.:;'四 ，
( _ I α(-l)(b+l)(c+l) ... (n+l)Z¥
1
=r2・
(a+¥ r:.即←一一一一一一一:ι;'.. /i
むωB
戸=r2刈
2 =r2棺
伊
"
い
ω
(
ω
州b川
ω)+佐 凶 = 当
2
鴇
7
止
と
位
旦
判
互
勺
)
宮
品B町c=r2伊2"穂で伊(作(α←a一1附)(川(ωb川 (づ
JyFd併+1)ト...( 況+ 肝r
=
何
('_L_____¥ L(α-l)(b-l)…卯一1)Z¥!I SABC，..N=r2"( (abc..・η)+
伊j
ととろがとれを略記して A=_(a-l)(b+l)や'.:+-~)… (π +l)Y r:.:;.'•第4章 2・計画乱塊混同鹿置 AB=iαー1)(b-1)
附止ゴ竺士
!)Y r;;:;'.・ ABC=iαー
1)(ト 1)(c-1)(d+1)・
・
・
(
叶
1)Y T五回 . ABC...N=ia-1)(bー12J)…伸一1)Y 等とおく.多くは Yをも省略する. 1回 これは，主効A，
2因子交互作用 AB，
3因子交互作用ABC等を 2・型のときそれぞ れ，
2a，
2(ab)， 2(abc)等{対立するものの差)によって定義しようとするからにほか ならない. ~為虫厚生自主L改虫景芳芝厚型lである. む = J(a-1)(川
(
広
1)・
・
{叶1)Y器
{(a-1) (b-1) (c+ 1)…加+l)Yドー(AB)' SAB r2・ ， .
2・
SABC {(a-1)(b-1)(c-1)(d+1)…(偽+l)Y}'一 (ABC)tr2" r2・
SABC...N=J(a-1)(b-1)(c-1) (d-1)
・
・
・
加
ー
1)YL=Iさ
BC旦
.
.
.
N
)
・
~-~... r2" r2・
つまり計算上まず次のものを求める算法が便利である.
(A)
=
(a-1)(b+ l)(c+ 1)・
・
・
加
+l)Y (AB)=
(a-1) (b-1)(
c
:
+
1)・
・
・
加
+l)Y等A(3) 眼差項 1 1 1 r SR(AXBX
・・
XN)=SEr=:
L:
L
・
・ :
・
L
:
L
(
l
I
.
"
.
，
.
.
.
.
.
.
"
I
;
-
i
1
.
.
，
.
，
.
.
.
.
.
.
・
"
}
・
.
.
，
=
0
...=0 ，，..=01;=1 1 1 1 ..=
:
L
:
L
.
.
・
:
L:
L
(2'.".，..."1;一ゐ12
:
.
.
.
.
.
.
.
)
'
.
.
，
=0::..=0 ，，，.=01;=1 Erと書いたのは，
A，
B，
…
，
Nのうちに因子Eがふくまれるとき，それと の混同をさけるためである. (4) 平方和の分布SA: KI(l;
ポ
+
，
.
2ト 2σga，ん} SAB: KI(l;a・
+r2"-la!b'ん，，) SABC: K1(1; a'+r2・
-sσbe，んIIY)1叩
ζと}と
第 二 編 2・計画および8・計画 SABC...N: KI(1 ; ol+ro
:
，
.
.
，
.
.
.
.
，
ん防・・....)S
Er:K
・
(2・
(
r
-
l
)
;
0'，
0
)
』 2"-ZTe--一
・一苛P干高"~1石可 んa - 2・
-Iro!
"
一
-~一
2(0'+r2"-'0!b) ん，.， 2. -lro!，.， 2{0・
+r2"-So!".) 2・
R
α
I
_
'
_
"
_
1
2(0・
+r2"-10.1)'U
.
-
<OU 2・
r(α
fJ)' 一ーユニ~~一一，o!o=
4{α
1
3
)
・
2(01+r2.-'0!b)・
p 2骨r(，α
sr)
'
_I _O/~D_. 書 伽=8(αβr)1 2(0・+r2.-lo~G)，
- . 阿 ，
To!，.，..・ν 2.r(αsr
…
ν
)
'
』ん.咽仰蜘叩小..叶. 2(付o'+ro:'"“
e酔“….咽..) 2(何o'+ro!b蜘e酔←凶Mト山..咽..)' ・ 阿 とれらの結果は，第1麗要因計画の特別の場合にすぎない. 違憲:特に ao•， (/61，以下eゐ
0'"ーまで分散成分が悉く Oになれば純母数型とな る.とのとき ん=2・
-'rll<l/ul，ん，，=2鶴-
'
r
(
II<s)I/U' んF・・....=2・
-'r(1I<β…
ν)"/U" となり. .，，{J 以下(i%l
h
・..，.)までの母数に対する検定力が同一程度であると左がわか る.4
・2
相合式@噂入と要因効果@審理A=
話
可
(
a
ー 卵+
1
)
(
c
+
l
)
・・・(叫1)AB=
ポ
可
(
a
-
l
)
(
b
-
l
)
叩 ) … ( 叫1)ABC=
ポポ
a-l)(b-l)(c-1H
州 ) … ( 叫1)ABCD=
ポ
ォ
(
a
-
l
)
(
b
一 助 一l
)
(
d
一 助+1)・・・(叫1) 等について，とれら要因効果の表現に処理a
"
l
b
"
'
c
"
'
l
d
"
'
e
"
"
“."'....をうけて得ら れた観測値は，+飽か一組かのいずれに属するかを観察しよう.(
1
)
主劫A
について
+ 組 a1b
"
'
c
制H・
"
，
"
'
'
'
一 組 a・b""c"3••• "，"'. ととに (x" ・..， x..)lま如何なる値の組でもよい.第 4章 2"計画乱塊混同配置 すなわち
x
1=1 なら + 組 x1=0 な ら 一 組 同様にして主効 Bについてはx
，
=1 なら + 組 x，
=o な ら 一 組 他の主効についても同様である。 (2) 2国手交互作用AB
について ra lb1c"lSd...n"' ..+組~ ---一ー
laoboc""d"'..・・n'" -ra 'boc"'sd"'....'偽t'"旬一
組t
九
αOb仇1匂c'"町s匂d"刷民.札‘九九.叫 .. ことに (町x3'X向九‘れ，“"， x..)は如何なる値の組でもよい. よつて {Z1+zg=0 または 2なら + 組 2:1+
2:.=1 なら 一 組 他の 2因子交互作用についても同様である.例えばCDについては {zs+Z4=0 または 2なら + 組 向+的=1 な ら 一 組 (3) 3因子交互作用 A凪7について ( a'b'c'd"'....n'"・
I
a'bocod'"・
...n.... + 組4
・ ー ー ー laob1c・
d'"・
.
.
.
n
'
"
laob・
c1d"'....n.... f a'b'c・
d"'....'免t
.
.
.
.
￨ α 'bOc
1d'"丸九.“..鈍z‘
一
組α
i
Ob'c1d"刷.民ι
九.“叫.凡‘ la均ocOd"刷..….日.，旬，"‘ ことに (x.，
…
，
x..)は如何なる値の組でもよい. 2:1+
2:II+X
，
=1 または 3なるものは + 組 問+2:.
+
x
，=O または 2 な る も の は 一 組 他の 3因子交互作用についても同様である. (') 多国乎交互作用 171172 第 二 編 2・計画および伊計画 とのような方法で，多因子交互作用の+組と一組とは如何にして表現す るととが出来るか. 相合式@利用以上の諸倒からの観察の結果を次の如く整理出来る. それには， 2を法 modulusとする相合式(合同式)congruenceを導入す るととである.整数a
，
bについて a-b (mod. 2) というととは，
a-b=2kとなるような整数 kの存在するととである. 倒4
・
3
:
5IES (mod. 2); 18--8 (mod. 2) との相合式を用いれば，次のように分割されることがわかる. A: .f+組向車1 (mod. 2) l _組:1:1-0 (mod. 2){~組:1:.
511
(mod.2) B: 一組:1:.-0 (mod.2) AB: .f+組:
1
:
1+
拘 置 。 (mod.2) 一 組:
1
:
1+
:
1
:
.
冨1 (mod.2) BD: .f+組:I:.+iF.冨O (mod.2) 一 組:
1
:
.
+
:
1
:
._1 (mod.2) ABC: .f+組:
1
:
1+
:
1
:
.
+
:
1
:
，
-1 (mod.2) 一組:1:1+
:1:.+:1:，=0 (mod.2) 問機にして ABCD: .f+組:1:1+
:1:.+:1:，+:1:.-0 (mod.2) 一 組 向+
:
1
:
.
+
:
1
:
，
+
約 書1(mod.2) 他の高次交互作用についても同様である.4
・3 2
・m
慣にお砂る乱塊混同法 (1) プ冒ヴタの大をきとその個数 2・個の処理組合せを含む 1揃 を 2・ 個のプロッグに分割して配置することを考えると，各プロックの大きさは 2・1
2
・=2・4，すなわち， 2・--個のプロットから各プロックは成り立つ. (2) 混同要因効果 2・個のプロックがあるのだから，これら相互聞の独 立な比肢は2・-1個存在する. かくして， 2--1個の要因効果が，プロック間比肢と混同されるととになる.第 4章 2・計画乱塊混同配置 173 (3) 混同配置の型の表現 K-M表では次の記法が導入され，その後これ を用いる学者がある. 2"(2ト')(・@…〕という記法では 2・は要因構成， (2ト')はプロックの大きさ; (・@…〕は混同される要因 効果を示す. 側4
・
4 2・
(4)(3，
2) 要因構成:4因子おのおの2水準;プロヲグの大きさ=4. したがって， 2・
14=4個のプロヲグに，処理の1摘 (16通引が分嵐される.4-1=3 個の要因効果がプロッグ比絞と混同されるととになる. との配置では，それは (3，勾である.すなわち混同されるものが S因子交互作用 2つ;2因子交互作用 1つ であることを示す.(
4
)
完全混同と部分混同 反復ごとに，混同要因を変えるものは，部分混 同 partialeonfoundingという.反復ごとにいつでも同ーの混同要因で通し てあるものを，完全混同 eompleteeonfoundingという(例4・
7参照). 4・
3・
1 2・計画退問E
置 (K-M表 Table，
II-1) 例 題 1・
4にあげた 2・
(2)(2)(第3揃)， 2' (2)( 1 )(1・)(第2揃)...(2・)(第1捕} の 8通りがある. 4・
3・
2 21計画混同配置 (K-M表 Table，II-2...I1-3) 倒4・6 Z・
(4)(3)をつくること (3通りの解法は本質的;こ同じものである). 曙 浪1): ABC: (a-1)(b-1)(c-1)=abc+a+b+c-ab-ac-bcー(1) とおける.係数の正負符号により+組と一組とにわかっと 表 4-1，(1) 2'(4)(3)配置 bc I 〔解法2): ABC: x，
+x，
+x.""l，
O (mod. 2)を実際，枚挙的にならベつくして， わける方法である.174 第 二 編 2・計画および伊計圃 因子組合せ a b c :r. +:r.+:r. (mod.2) 組分け 000
。
。
001 1 1+
010 1 1+
011 2。
100 1 1+
101 2。
110 2。
111 3 1+
よって次の結果に達する. 表 4-1，(2) 2・
(4)(3)配置 ! 0 0 1I
i
0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 とれはプロヲダ内の順序はもちろん別 として，内容では[解法 1) と一致してい る. める. [解津町:まず:r.+:r.+:r.・o
(mod. 2)を満足する(
z
.
.z
.
.
z
.
)
を次の手順でもとz
.
+
z
.
・0 の と き 拘 置Oz
.
+
x
.
・1のときz
.
ー
1 .したがって次の結果になる(左側). 他方:r.
+
z
.
+
z
l冨1なるものは右側に示す. a b c { 0 0 0 1 1 0 { 1 0 1 0 1 1 倒4.7 2"( 4 )( 2)(1・)...(3・} AxBxCの2"計画において， 2因子交互作用を混同させるというとき，
AB，
AC，
.BCのいずれをとるかが問題になろう.そこで次のような場合がおとる. ( i ) 特lこハッキリ実存しないと思われるものがあれば.それを混同させる. (ii) いずれも実存しないと恩われるが.特;ことりたててどれが実存しないといわれ ない場合. e 唱 A'AAOAHV L u a u ' A a m 噌 Aa
o
-o
(iりのようなとき，それにもかかわらず，
ABCが実存するというのは稀である. ..ABCが意味があるというととがないならば， AB，
AC，
BC，
ABC175 を幾図かの反復において，代る代るに混同対立にとるという仕方も考えられる. これカ噂分混同法 partialconfoundingである. 3摘が実施できるようなときには， 2
・
(4)(2)(1・)， (2・)， (3・)の Sつを併用し AB，
AC，
BCがそれぞれ1図ずつ混同され，他の 2回では混同されないようにすることが できる. この目的のためには，混同交互作用が何をあらわすかを規定しておく必要がお こる.ごこではその 1っとして次の具体例を解くことにする. 倒 4・8 2'(4)(2)(1・) (AB混同} 〔解法 1): AB: (a-l)(b-l)(c+1) = (ab-a-b+l)(c+l) =abc+ab+c+( 1 )-ac-a-bc-c これを+組，一組に分つ.U
再建 2) AB : ， +1:::1:..0 の解を求める. 2"計画乱塊混同配置 (mod. 2) 第4章 : 1: .•
•
Z 0 1 a Z 唱 A A O 町 -h 0 1 az
o
-ー -4-1，
(3) 2・
(4)(2)(1・}国置 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1•
表 よって 2・
(Z)(詔勾0
・)-(3・} S因子交互作用 ABC 2因子 " AB， AC， BCのいずれか 1っ そのいずれをとるかによって (1・)-(3・}の別を生ずる. ABC: :1:，+:1:.+:1:.
_
0
，1 (mod. 2) AB: +:，:1:1:.
_
0
， 1 (mod. 2) よって， 4つのプロッグのおのおのは，次の条件で，それぞれ規定される. 倒 4・9 : 1 : ， +:1:.+:1:，_0 (2) :1:，+白書1 (2) :1:，+x.+x._O (2) x，
+x.置o
(2) : I:，+x.+
拘 置1(
2
)
只+x.-l (2) 同+x.+x.置 1 (2) : I :，+x.-O
(2) と開催である. さて，この条件をそれぞれ更に具体化する.例えば{
同
+x.+x....o(2) と { z s E O ( 2 } 仇+白書o
(2) - l:l:，+角田o
(2)176 第 二 編 2・計画および伊計画 ( i ) したがって をうる. %.
，
%
%.o
0 0 1 1 0 (ii) またCが必然的に混同されることになる. 4・3・3 2・計画混同配置 (K-M表 Table，11-4-11-8) (10) プロックの大ききとしては， 8，4，2が考えられる. (2" ) プロックの大きさ 8のときには (K-M表参照}。2
・(8
)
(
4
，)2
f (8
)
(
3
)
(
1
・
)-(4
0) 2f ( 8) (2) (1・)-(6・)， 2f( 8)( 1) (10)-(4・) このように表に (i・)の区別が生ずるのは，具体的にどの要因効果を混同さ せるかの仕方が幾通りもあるからである。例えば， 2因子交正作用といっても，AB
，AC
，AD
，BC
，BD
，CD
の 6通りがある 灘反復が実験出来るというとき，各反復ごとに，
(i・)をかえて，全体として 均衡を保つように出来る.そこで K-M表に均衡配置型 types of balanced arrangementsの表がかかげられている. (3・) パタンの個数 No. of patterns 因子組合せの 1揃いを実現させるためのプロック配置をパタンという. パタン個数というのは，均衡配置にするための最小パタン個数をいう.(4・) 失知量Lossof informations
それが混同されている patternsの個数
patternsの個数
(50) 配置型
α
(s)[r) を規定しても，具体的に混同されるr
の内容は， 残通りもあり得る。この具体的内容を示したものを均衡混同配置の構成バ!
I
シconstituent patterns of balanced confounded arrangementsという.
倒 4
・
10 2・
(8)(4) [解法1):ABCD:
αー(l
)
(
b
-
l
)
(
c
ーl
)
(
d
-
l
)
を展開して，+組と一組とにわける. 〔解法 2):ABCD:
%
.
+
%
，
+x.+
仇 量0，1 (mod. 2) を解く.x
.
+
x
，
+
x
.
+
x
，
ー
o
(mod. 2) の内容は，次の2組にわけてっくり，それを合併すればよい.177 (mod. 2) (mod. 2) z. z.
o
1 1 1o
0 1 0 向o
o
-z.+z.-1 z.+z，
-1 z‘
1 0 1 0z
.
+
z
.
・
o
(mod. 2) 2:.+2:，ーo
(mod. 2) :1:. 0 0 1 1 2・計画乱塊混同配置 第 4章 的o
o
-，
Z 0 1 0 1 a z o -0 1 例4
・
n
2
・
(
4)
(
3
.
2) 日野法 1): ABC: (1I-1)(b-l沖-1)(d+
1
)
= (lIb-lI-b+1
)(c-l)(d+l) = (lIbc+lI+b+c-lIb-ac-bc-l) (d+
1
)
=lIbcd+ad+bd+cd+llbc+lI+b+c -lIbd-lIcd-bcd-d-lIb-ac-bcー(1) ABD: (1I-1)(b-l)(c+1
)(d-l)=
(lIb-lI-b+ 1)(cd+d-c-l) =lIbcd-lIcd-bcd+cd+llbd-lId-bc+d -lIbc+llc+bd-c-lIb+lI+bー(1) 双方で共に+なるものを(+， +)組という. 同様にして C+，ー}組 (-， +)鼠 (ー，ー)組をつくる. これは.しかしあまり便利な方法でない. 曙 法2): ABC:的+2:.
+
z
.
_
0
，1 (mod. 2) ABD : 2:.+2:.+:1:.ー0，1 (mod. 2) この4つを分類するのであるから ( i ) 2:.+2:.+2:.田o
(mod. 2) したがって :1:.+2:.
-
0
(mod. 2) (ii)z
.
+
z
.
+
z
.
ー
o
(mod. 2) したがってぬ+仇-1 (mod. 2) (iii)z
.
+
2:.+2:.
-
1
(mod. 2) したがってz
.
+
:，-1 (mod. 22 ) (iv)z
.
+
2:.+2:.ー1 (mod. 2) したがってz
.
+
:，_O (mod. 22 ) とのことから，
CDもまた混同されることがわかる. ( i )の内容 (mod. 2) (mod. 2) (mod. 2) (mod. 2) 2:.+2:.+2:，.0 2:.+2:.+仇.0z
.
+
z
.
+
z
，ー1z
.
+
2:.+2:，-1 2:._0， ，2:.0 2:.・1，向田1 のとき のとき 2:.
+
z
.
・
o
:I:.
+
z
.
_
l
2-計画および伊計画 第 二 絹 178 x.
ー
0， 拘 置1 x.ー
1，
x.。
車
のとき のときx
.
+
x
.
_
O
x
.
+
x
.
・
1 (ii) の内容x
.
-
l
，x
.
-
O
x
.
_
O
，
x
.
-
l
のとき のときx
.
+
x
.
_
O
x
.
+
x
.
-
l
(iii) の内容x
.
-
l
，
x
.
ー
1 拘 置0，
x.。
ー
のとき のときx
.
+
拘 置Ox
.
+
x
.
-
l
(iv) の内容 2・
(4)(3.2) Block 1 2s
4 a b c d a b c d a b c d a b c d。。。。。。。
1。。
1。。。
1 1 1 1。。
1 1。
1 1 1 1。
1 1 1 1 1。
1 1 1。
1。
1。。
1 1。。。
。
1 1 1。
1 1。。
1。
1 1 1。。
表 4-2+++
+
CD ABC ABD+
+
2・
(4)(3.2)のっくり方 (3)￨俳句+仇￨
表 4-3U
男達司x
.
+
x
.
+
+
一
+
+
一
+
+
命 日 唱 A'AO&AU--& 唱 A O Z U A υ 唱 A ' A O &+
一
+
+
+
+
+
au'AAO 噌 A ' i o a ' A O h 唱 A 9 必 'AOGx
.
+
x
.
+
x
.
一++++
一
+
+
nMau--& 唱 A 唱 A'Ant-岨 Z M 噌 A 唱 A n z u。 ゐ
民 子 組 合 せ•
Z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 % o o -0 0 1 1 0 0 1 1針
。
O O O I l -0 0 0 0向
。
0 0 0 0 0 O O I l-179 2・計画乱塊混同配置 第4章 %，+%， 仇 1 1 1 1
+
au'A'AOG %.+%.+%，+
9 a a a e & n s u %.+%.+%，一
+
+
9 h ・ 0 e a s e s -的 0 1 0 1 因 子 組 合 せ 約o
o
-z ' A・
A・
A -A+
とれ民 2・
(2)(3，
2，
1) ABC: %.+%，+%，-0，1 ) ABD : %.+%.+%，-0， 1ト BCD : %.+%.+%，_0， 1 J ( i )-(viii)にわかれる.その1っとして %.+%.+%.-0， %.+%.+%，-0， %.+%，+向車。+
(mod. 2) 倒4
・
1
2
これから %，+%，_0， %.+%，彊0，%.+%，_0， %._0 を得る.(mod. 2は略して書いてないしこれを満足するものは次の通り. 2・(2)(3.
2
.1)の主プロヲダとして次の構成が得られる. % ，。
1 0 1 %. 0 1 %.。
。
iI:.F
計画混同配置と群笛的考蝿 実験計画法では，上述の諸例からさらに進んで，因子数"がもっと多く，ま た混同要因も続適りもあるような， 2"計画混同配置を取り扱う必要があるが， それは結局 2を法とする相合式系の解法に帰着するととは，既述の通りであ る.さらに見透しょくするのには，R
.
A
.
F
i
s
h
e
r
(
3
)
の所説のように，群論 的考察によるのがよい.すなわち， (1・}適当に乗法を定義して群を毒事入し， (2・)"""(3・)混同要因効果に対しては，それの都分群であるようにする. (1・} 群の噂入 2・計画の因子，
A，
B，
C，
…
，
Nのほかに 1を加え，
AB. AC，
…
，
M N，
ABC，
...， LMN，
ABCD，
…
，
ABCD…
LMN等， 2・計画にあ らわれる要因効果のおのおのを，元と見倣すと，ここに T 個の元からなる集 合@ができる.この@のなかに次の結合関係を導入しよう.( i) ~の任意の 2 元 X， Y の結合 X Yが一意にきまり，とれがまた@ の元である{例えば X=ADE
，
Y=GHならば XY=ADEGH).180 第 二 編 2"針画および伊計画
(ii ) 結合員.uassociative law ~の任意の 8 元 X， Y
，
Zについて X(YZ) =(XY)Z=XYZ (例えば X=ADE，
Y=GH，
Z=LMならば X(YZ)= ADE(GHLM)=
(ADEGH) LM=ADEGHLM).(iii) 可換則 commutativelaw ~の任意の 2 元 X， Yについて . X Y = Y X (例えば X = A
，
Y=Bとすれば AB=BA;X=GH，
Y=AKとすれ ば (GH)(AK)ヰ (AK)(GH)さらに (ii)と(iii)とを連用すれば (GH)(AKl=AGHKとなる). (iv) {2， 2，…， 2}型 AA=A'等とおくとき .AI=B1=C1=…=N'=l (v) 単位元 @の任意の元 Xに対して lX=Xl=X. このような結合関 係を導入することは，いままで相互式系によって規定してきた混同要因のっく り方と何ら矛盾しない.のみならずよくその代数的構造の本質をとらえてい る.しかもこの結合関係の規定によって，~は可換糠(ア戸ベル群) commu-tative group (=abelian group)となる.(R. A. Fisher (3)) 倒 4
・
13 2"計画 CI={I，A，
B，
AB} 2・計画 CI={I， A，
B，
C，
A B，
AC，
B C，
ABC} それらおのおのにおいて，元埼目互聞の繋積を表にすると次の通りである. 表4-42"計画 AXB 1 A B AB 1 1 A B AB A A 1 AB B B B AB 1 A AB AB B A 1 (例) (AB)(AC)=A'BC=BC 表4-52・計画 AXBXC 1 A B C AB AC BC ABC 1 1 A B C AB AC BC ABC A A 1 AB AC B C ABC BC B B AB 1 BC A ABC C AC C C AC BC 1 ABC A B AB AB AB B A ABC 1 BC AC C AC AC C ABC A BC 1 AB B BC BC ABC C B AC AB 1 A ABC ABC BC AC AB C B A 1第 4章 2・計画乱塊混同配置 181
0
・) 混同要因効果に対応する@の元金部の集合に 1をも加入した集合を つくると，これは@の部分群をつくる. (3・} 逆に@の任意の部分群に対して，そこにあらわれる 1以外の元に対 応する要因効果を混同するF
型混同配置がある. 例 4・14 AB，
CDを共に混同要因効果とすると (AB)(CD) =ABCD もまた混周される.したがって 1，
AB，
CD，
ABCD も混同される.1つの部分群ができる. (表4-6参照} 例 4・15 2・(8)(i3Z)(&・) (K-.M表 Table，
II-I0) ζれの混同要因は次の通り: ABCDE，
ACE，
BD さて {1， BD，
ACE，
ABCDE}は 1つの部分群をつくる{表4-7参照). 表 4-6部分若干の例 (1) 1 A B CD ABCD 1 1 AB CD ABCD AB AB 1 ABCD CD CD CD ABCD 1 AB ABCD ABCD CD AB 1 表 4-7部分詳の例 (2) 1 BD ACE ABCDE 1 1 BD ACE ABCDE BD BD 1 ABCDE ACE ACE ACE ABCDE 1 BD ABCDE ABCDE ACE BD 1鍋 4・1& 2"(4)(:副3.2.1) (K-M表 Table
，
11-11) (1・} (15・} ABCDE ABCDE BCDE ABCD ADE BCE ABC ADE DE BC BC A D A E1
8
2
第 二 編 ?計画および伊計画 4・
5 2"計画甜塊混同配置の構造横型 2・
(2"-')(
r
)
要因構成が T 型であるものを， 実験因子構成とし， とれを或る実験の場に おいて，実施しようとするとき，混同法が採用される所以は，実験の場の性質 に依るのである.実験の場の変動性からして，乱塊法配置が要求されるとき， 以下本章で解説する標記の配置が必要となる。第1巻第7章で述べたように， 塊とはプロックであり，プロックというのは，いくつかのプロットの集合であ る.高度の均衡性を保つことによって，解析を容易にし，効率の増進をはかつ ている P型計画の混同配置では，プロックの大きさを一定とし，かつ2"の 約数にとらなければ不便である.したがって以下においては，プロックの大き さを 2"-・とし， 2"(2"-・)
(
r
)
型のみを考慮する. このような混同配置の構造模型については， 1， 7・
3 と 4・
1とを結びつけた ような考慮が必要になるo 1， 8.4 では Waldの方法によって， (a) F-検定 方式が近似的には利用できること， (b)処理問平方和の検討が主題となり， プロック聞には一般にはそう立入れないことを示しておいた。これから述べる ?計画乱塊混同配置についても， (a)および (b)は成り立つのである.本 節では，次の最も簡単な場合について，模型の構成を解説しよう. 例. 4・
17 211(2) (2)(
r
反彊) (10) 効果函数 反復番号を k とし，I図の反復を形成する因子組合せのうち， ABの + 組 を 1，ABの 一 組 を
2であらわし， j=1
，
2で区別するo (20) tqψ によって，因子組合せに基づ く効果函数を示す.すなわち t1 (1) =t ((1))=t (00)=一
α-b+(αb) tllω=t(αb) =t(l1)=α十b+(ab) t1 (IIj=t (α) =t(10) =α-b一 (αb) tgt町=t(b)=t(01) =-a+bー(αb) (3・) 構 造 模 型 第k反復，第 hプロック (h=1，
2) 第 Iプロット (l=1. 2) に因子組合せ tq(j】を施すとき得られる観測値 X~{)k は次のようにあら わされるo (j=1，
2; k=1，
2，
…， r; q=1，
2; h=l， 2; l=l，
2) x~{h=m+tq山 +rk+bk1& +Pk1&I+Z~{>lk ここに乱塊配置を行うとすれば，各反復ごとに，互いに独立無作為に， j=l. 2は h=1，2のいずれかと一致し， q=1，2は l=1.2のいずれかと一致す る.なお {z~{h} は ， {tq(j】}， {rk}' {bk1&}.{pk1&dのいずれとも，組問独立で あることを考慮すれば 1，7・
1から 1，7.3の構造へ導いたように第 4章 2"計画乱塊混同配置
ぽ
=m+tq(jJ+
rk +bk (j】 +ω詑 +z~ とおき，次のように前提してよいであろう。 ( i )悦:
一般平均 (ii)t
/
jJ : 上述の通り。 a，
b，
(
αb) に関しては 4・
1に同じ. (iii) {rkい
Lrk=O k=l (iv) {bk'j】}: Lbk(jJ=O，
E{bk叫 =0，(1'{bkψ}=2-1(1'Bl 2 (v) {ω詑}:
L w~{l =O， E{W~{l} =0，
(1'{ω詑
}=σ」
q=l 183 (vi) a，
b，
(ab) と {bk(j】}， {叫官}， {Z~{l}とは互いに組問独立である. (vii) {z~~} : NID(O， (11) 以上の前提をみると，ω
J
C
とz
J
4
3
とは，いつでも+で結びつき離れて存 在するととがない.これが交絡している confoundedといわれる現象の構造模 型にほかならない。 図4-1 2'( 2)( 2)(3反復)の構造 (z-項省略} 反復効果 r，
. "
一
ー
、
Fーー・四.r..._ー"ー『 r，
，....----Aー皿ー「 プ ロ ッ グ 効果 biE3 (1 ) 平均の構造0
・} プロック平均 bi'JW1
W)
bj'l i)_l {_C;J J _C;J¥__ I t，
ψ+t. (j1 I _ ' 1 r.-1 I '"，
1 否.
r
=
玄(xW+xW)=
悦
+
一
一
-TL-+rk+bkEP+E.iZE よって ;=1，
2に対し 言.
2
}
=
悦 +(αb)+rk+bk (11 +Z.~'l x.~.J=悦ー (αb) 十九 +bk(0) +Z.~.l (2・) プロック型平均日3zl 何 fO+否 P1+…+吾~l))
=m+ (ab)+1i~'l+Z~!)
bI')1
8
4
第 二 編 2・計画および伊計画事
h
手
(
否
i・)+言~')+・・・+吾 ~'))=mー (ab) +b~')+z~~)
。
・
}
穆穿芳芳.
Z52=4(zUE+
ぽ+・・・+ぽ
)=m+t，
ψ+
げ+可】+盈
1
3
(
4
・) 反復平均 X.k=m+r.，
+z..，
(5・) 塾ま~ X..=悦+
z
.
.
(2J
l
平方剰の分解 (1・} 総平方和 S-~玄5:ヱz2玄~(拘Z詑一否ゑ.日..)=2
亙
亙
(
何
否
可
ど
f
】
一
→
否
.
日
.
)
'
件
'
斗
+
亙
孟
孟
(
付
Z
s
一
→
吾
可
可
附
r
約
ど
】
ワ
)
'
=SI+S，
とおく0
・) プロック間 2元分類法 2Xrの分散分析法を適用して r 2 2 r SI=42 (z・
k一
事
日
)'+2r2 (語(.f)一
言
.r+222(if-zip-h+LP
1:=1 .f=1 ;=11:=1=
S
1
1
+S
lI+S
13とおく.(
3
・} プロック内 S.=r22(云~)-x~~))'+2
L
L
(x1，.? -x~~) 一主.r)+ 云!!l)' i=lq=1 可 ;=1，
=11:=1=S
I1+
S
.
.
とおく. (2J
.
平方和の構造各反復において，
j=1のもの j=2のものをそれぞ れ集めれば，全体でそれぞれ r個ずつある.との j=1組と j=2組との対 立をプロック対間(
B
，，) という.もとよりプロックそのものにはこのような分 類のしょうもないが，
ABの + 組 かABの一組かというととによって分か れたわけである.これが平方和の分解でも大切な役割をするのはABとの混同 がおとなわれるからである. Sl1=42(
r
l:+z
・l:-
z
.
.
)
'
a
S
R
(反復間} 1:=1S
lI=
2
r
(
{(ab)+b.(l) +z~!)-z..}.+ {ー(ab)+b. (lI)+z~!)-
z
.
.
}
1) 書 SB，，=SAB(プロック対聞と ABとの混同) 2 r S13=22L
(
b
l:(;>-b.(.f)+z.~)-Z~~)-Z・I:+Z..)I=SRxB" . f=II:=1 (プロック対×反復間交互作用)第 4章 2・計画乱塊混同配置
: 1 1:
S剖 =rLL(t~)+面;~)+z~~)-t?)一面Ç!i_ZÇ!))y
;=1
.，
=1=r((-a-b+託1) ー百円'+(a+b+話 !)-e~!))・
+ (a-b+言iP一言Ç~))'+(-a+b+五
i
P
一日】)・〕 =4r((α+4-1(一言J!)+話!)+ë~~) 一説~)))' +(b+4-1(一面~!)+誕!】ー訂~)+説~)))・〕畢 SA+SB fこだし， ことにしばらく eSE初段 +z~i' したがってぽ
)
=
可
)
+
語
F
とおいた.とれを用いると S回 =L
L
L
(e~i' -ëÇ!)-ëiイ)+ë~!))'"，SE とおく. ;=1/c=1.，
=1 185 (2). 平方和の分布乱塊法の建前としては，実験め場から来る影響につい て，なるべく少ない仮定で論ぜられるようにするととが，目槙になる.との例 題では混同法の建前からして，交互作用 (ab)に対する推測は放棄されるべき ものである.したがって，この 2つの方法の併用されている当面の場合には， われわれの目標とするものは STであり，誤差項として利用し得るのは.SE であるo SR. SW. SABのうち，時には推測の目標になったり，誤差項になる ものもあろうが，そのためには，それぞれ，条件を加えた特殊の前提のもとに 行われなければならない. さて .STおよび SEに関しては1
.
8
・
4
で述べた ような A.Waldの方法がことに援用される.すなわち適当な線型変換を行っ たとして考察すれば，次のととが，少なくも近似的には成り立つのである. (1・) SE: K'(2(r-l) ; u'+σ乍.0)(
2
・
)1 SA:K
'
(
I
;
u'+ σ弘+2ru1a• ん}(
2
・). SB:K
'
(
I
;
ポ+σ'"，+2ru'..Aβ)(3・) SA
，
SB，
SEは互いに独立である. ととにん=.---一堂ピι
_
2
r
a
'
2(u・ +u'"，+2r-u'~r
-
-u'+ul旬+2ro~-ru
・
11 _ 2rfl'一 一
(4) 分散分析 第 二 編 F計画およびP計画 1舗 要 因 平 方 和 ￨ 自 由 度 表 4-8 2' ( 2 )( 2 )(γ反復)の分散分析 平均平方の期望値
-F
B ' x R B一
Rs
s
s
P B P R B 対 間 グ Z 対 ツ 間 2 グ ロ グ 閉 ヲ プ ツ 復 ロ × ロ 反 プ 復 プ 反 プロッグ内 処 理 問 T 主効 A 主効 B 誤 差E R ST I 2{
ど
I
{~
r-l 1 r-lI
SI
4r-lI
q'+4q'R q'+2r(σゐ +σ~b) σ'+2q1，} q'+q'甜+2γσ2. q'+σ'
v
，
+2rq'b q'+σ'世4
.
6
.
1
2
3計画の3
因子支互作用完金混同2
'
(4
)
(
3
)
倒.4・18 これはある紡績ヱ場において .A，
B，
C 3因子のおのおのを 2水準ずつ にとり，プロックの大きさを8とし， 3反復のいずれにおいてもいつもS因子交互作用 ABCを混同させたものである.ここでは，技術的な顧慮や分散分析に伴う推測の細部 には立入らないで，分散分析の過程を述べることを主眼とする.表4-9，(1)に示され ている zの値は原観測値に 1次変換を施したものである. 表 4-9，(1) 2'( 4)( 3) (3反復}における観測値 z 反復 I 反復 11J
!
l
i
l
i
τ
i
-14 52 8 ab 70 ac 53 C -25 abc 76 c (1 ) -38ω
一b
m
四 四 一 ﹀ω
一
一
i一
ab 30 a ac二竺￨
-1 プロック和 Iβ=91 1..=187 11..=204 11，，=110 111，，=-57 III..=-32 分散分析までの計算 0・) ・平方和S D
計 算 表 4-9，(l )~(2) によって，187 2・計画乱塊混同商置 S=LLZ~rC.T. =60741-10542 (表4-9
，
(2)参照) =501鈎{総平方和} 第 4章 T=I.+III+・
・
・
+
l
II.+ IIIII =回3(総和) C・
T・
=
雪
旦
=
宅
F
=1侭42.04(補正項} Z~ ii 表4-9，(2) 和 加 畑 捌 仰 蜘 制 鍋 鵬 酬 邸 鏑 1 ⋮ 山 側 捌 凶 側 側 Z!J 111I
0 196 1. I 144 2704 II.!
4761 倒 IIIII
576 錦01 11111I
5776 3お4 111. I 529 1“
4 - 一 一 一 一 一 一 和 I 117部 17573 ず事 7~ 60741 10185 211:釘 要 因 効 果 和 22 3 -28 157 -108 121 59 277 (1) a b ab c ac bc abc+
一 差 T+ + + + + + + +
(
+
)
(ー} 回S(
A
)
一+
一+
一+
一+
5随 一55 613(
B
)
一 一+ +
一 一+ +
ωs
38 427(
A
B
)
+
一 一+ +
一 一+
348 155 193(
C
)
一 一 一 一+ + + +
349 154 195(
A
C
)
+
一+
一 一+
一+
392 111 281(
B
C
)
+ +
一 一 一 一+ +
361 142 219(ABC)
一+ +
一+
一 一+
144 製)9 -215 表 4-9，(3)0
・} 処理平方剥@分解全観測値について，同一処理のものがそれぞれ各反復で 1 回ずつ計S回ある。その和を表 4-9，(1)より求めて表 4-9，(3)の上欄 (1，) a，
以下 abcの項に表記の順:こ記入する. との表:こ示してあるように+，ーをとっ て加算してT
，(
A
)
以下(
A
B
C
)
まで求める.次に平方和SA
以下を求める.ただしSABC
は混同されているから求めない.それはプロッグ対関としてあとで得られる. ~A=l位= 6~~" 24 一語一一一面= 37~-，!69 =1郁，7.04SB=
盟主=空
E =堕型空
=7597.04 24 24-24 rABi" 193" 釘'249 SAB=-'-:竺~=一一一=一一一一=1552.0424 24 241回 第 二 絹 2・計画およびP計画 Sc= (ム三C)L
・
一 一
1961 槌創出5=1路4.38一面一一一扇一一一扇一
c=些笠宮室主=型堕主=鈎
0.04 24 24 24s
BC=
主主芸堕自~.L== 2一一一=一一一
191 = 47961=1銃砲.鑓 24 24 24 品，=31678.920
・} プ11"タ平方和@重量規{反復間およびプロヲタ対間等)S
B
I
=
1
1.)1+ブ
(111"t-C.T.
{187)1+(91)・+仰
}1m
出 三 里 吐 団 し 蹴 倒
S4蝿9+蜘 + “ 今 国 側 + 組 糾 雌 ー
1脚 " 10J.239= 4
一
一
一
1侮42.04 = 銘309.75-1侮42.04=14767.71(プロッグ間} SR=!!.+1，，)1+(11叶ア+(I駈盟~-C.T= 盟 丘 型 炉 日 空t-l
蜘 似= 型 士 学 型
!_-10腿ω
.
1lU国801=
一
- 8一
一
ー
ー
1侮42.04 =12433.伺{反復間}SBp=1
I・
+11.+山 2-IIR-HI，，)1=旦
pL22Lmm
=SABC
(プロヲダ対聞と ABCとの混同}SW=SBl-SR-SABC
=14767.71-12必3.伺-192.61 =2142.01 {プロック×反復間交互作用項にある). (4・} 鶴益平方和SE=Sー(SBHST)
盟 国1問 一(14767.71+31678.92) =501鈎-46446.63=釘52.37第
4
章2
・計爾乱舞混同庖置 1邸 (5・} 分散分続 表 4-9，(4)分 散 分 析 要 因lE11
竺竺￨竺竺
I
F.I
_
_
!
_
_
{
が} プロッグ問 I 14767.71!
5 I 2953.副!9.45.. 反復間 112433.ωI 2 I位16.55119.88.. 1，
，
'
+
8
"
B
'
プロッグ対簡 I 1担.61i
1 I 1偲.61!
一
一
I "'+12("~"ø +，，~，) 反復・プロッダ対! 2142.01 I 2 I 1071.01i
3.43 処 理 I I I ! ! A1
1
鰯 7・叫
11
1
郁 7.04￨
回.07..I，
，
'
+
，
，
:"+12，
，
:
'
B I 7597.似i
1 I 7即•04 124.29肺 I"
'
+
，
，
:"+12，
，
l
AB I 1552.ωI 1. I 1552.ωI 4.96" I，
"
+":"+12，
，
:
'
，
，
C I 1脱 却I 1 I 1584.38 I 5.伊i
，
，
'
+
，
，
:
"
+
1
2
a
:
AC I舗 0.041 1 I鐙 肱041ω.m"162+eL+UeLeBC
I 1蜘 .38i
1 I 1蜘 .3816. 餅 1"・+":"+12，，~.
.
誤 差 I 37回.371 12 I 312.70i
1"'+σL 億￨ ￨ 2 2 ! i
表 4-9，(5) 例 題4・18の構造模型 (z項省略} 反復効果r，
r. r. Fーーー品一--. ，--ー.A..ーー『 ，.-ーー占ーーー『 プ ロ ッ ? 効 果WJ
WJ
b~・3WJ
(6・} 分散成分@点措定 6216.55-312.7'o 59ω.85 63z=8=-1--=7S198 778.21-312.70 必5.ー
ー
51 =116.38 包，
A AWJ
2221硝~=号.:...3!=1278.70
~b= 棚乍却に喝竺=607 偲
~， _1毘2.04-312.70 1239.34一=ー--ー
=1儲.28，
，
-
，
.
"
=
-
-
-
-
1
型 E現WJ
100 第 二 楓 2・計画および伊計画 ~I=_!塑豊=塑こ旦=1271:.・里=1街.釘c 12 12 包90.04--312.70 2977.34 tiz_
=
一一一.一一一一一=一一一一一
=248.11 o C 1-" l ? I鋭調B.38--3l2.70 1伺5.68 'al._=一一一一一一一一ー=一一一一
=140.47 IIc- 12 12 4・
6・
2 2'(4) (3)にお砂る Yateo式計算方式 表 4-10，
(1) abc 1" 11" 111" 和~iI' ~a> ~U)
~11) ~il) ~11) 2:~I)
••
:.
.
t.
.
.
1
S!) 2:~~) 剖ν
.
.
zE0・
2 zif zif T~I
TC一
止
'J 1. TC¥) TC1) TC1) 111. 11. 101 011 000 zfu d :t~心・
1 !J) :tii ~I) Xji zf.
SE.
.
zE.
23 zi13 zif zfsE -ー ~U) zf・
23 2 ZE0・
3・
和 Tft】TW TW
表 4-10，
(2) Xβ ZE23‘
r Tiリ zE23 Ir Ti13 zip T~リ zip T~リ ~i:.?I
Ti~) :t!Ir !? T23 ~W T~~) zipTip
Ttp TÇ~) abcV
C
・
3 V(I) VfO)=Tj~) VjO)=Ti'.) ViO)=T1'.) Vj')=TI~) V1.)=T~'.) Vi・
)=TW VjO)=T~~) V~O)=T~'.) VC';' Vj')= Vfo)+ V~o) Vf')= Vjol+ V~.) Vi')= V10)+ V~o) V!，
)
=
V~.)+ V~O) Vl')= V，
O)__ Vio) V~，)= Vjo)--Vio) V~，)= V10)--V1・
3 V~，)= V~O)--Vlo)、 ，
V+
V一 一
、 ，
VVI")= V~I)+ V~I)
Vi")= V1')+ V~，) V!")= V~，)+ V~，) V1")= V~，)--Vf') Vll) = V!，)--V1') V!I)= V~ ，)--V1') V~I)= V~，)--VI')
第 4章 2"計画乱塊混同配置 191 V('】 { V('l}'/8r Vf
，
l= Vf，
l+ Vi，
l {Vi勺咽r=C.T. Vi，
l= VI，
l+ Vl，
l {Vi叫'/8r=SA Vi')=V~，l+ VP1 {Vi叫 刊r=SB VI，
l= Vi，
l+n
，
l { VI，
lP/8γ=SAB V~，l= Vj'l-V
f
'l {V~勺明γ =Sc V~，l= VP1-Vi，
l { V~，l}刊r=SAC V~ ，l= V~ ，l- V~ ， l { Vj'l}判r=SBC V~，l= V~，l-vi'】 { V~，l}刊r=SABC 修正項 目=
1
5
F
0
・) 総平方和 S=L
:
L
:
L
:
{
x
i
r
}
'
-
c
.
T. (2・} プロッグ間平方和の分解 SBI戸
=
去
か
れ
、
(α(川
州1怠)斗'引++判T(問 Yates の計算方式は原 表 4-10， (1)よ り 上 記 (2) をつくるものである。 機械的な手続きを追うとこ ろは便利であるが，V
(
町か らV
(
町までの計算の途中 の計算に間違いがあると伝 揺する点は警戒を要する。 +(T.f'ρリ)】'+(T尻..iP叫勺〉、)'+(T.~'心勺】う)'+.日….日.+(T.尻'.~，1).門2つ)一
C.T. 反復間平方和 SR=去
{
問
、
T.["1)'+(引斗 T.I'l)'+...+仰l+T.~'l)'}-C.T.=
去
(T.l+T.:+→
η )ーC.T. プロ・yグ対間平方和 pZ3ー {(T.iI1+T.~11+… +T.~11)斗(T.('l+T.♂+… +T.~'l)'} ーC.T-16γ =-1ー {(T:!l)'+(T:~J)'}-C.T. 16γ 反復・プロヅグ対交互平方和 SRBp=SBl-SR-SBp0
・} 処理平方和の分解混同されていない要因効果の和 ST=ム主{
V，
.
i
J}' U f A=2 (40) 誤差平方和 SE=S-SBI-STP計画および伊計画
2
3 (4
)
(
3
)
(rl
i
l
l
)
の構造横型(1・) 反復番号を k(=1
，
2，
…，
r) であらわし， (2・) 混同要因ABC
の + 組 を i=l，ABC
の 一 組 を i=2で表わし， (3・) 23の8つの因子組 合せに対する要因効果函数として，
i=lについては t1(l)=t(α)=t(100) =α-b-cー(ab)一(αc)+
(bc)+
α(bc) t.(I)=t(b)=t(010) =-a+b-cー(ab)+
(αc)ー(bc)+
α(bc) t3 (1J=t(c)=t(001)=-a-b+c+ (αb)一(ac)ー(bc)+
(abc) t，
(J)=t(αbc)=t(111)=a+b+c+ α(b)+(αc)+(bc)+(αbc) j=2については t1U】=t(l)=t(000)=
-a-b-c+ (ab)+
(αc)+
(bc)一(abc) t.UJ=t (ab) =t (110) =α+b-c+(ab)ー(αc)ー(bc)ーα(bc) t.UJ=t (αc)=t (101)=a-b+c-(αb)+ (αc)ー(bc)一α(bc) t.(1】=t(bc)=t(011) =-a+b+cー(αb)ー(ac)+
(bc)ー(αbC) (4・) 構造模型2
"
(
2
)
(
2
)
の場合と同様にまず第k
反復第h
プロック第I
プロットに因子組合せt
q(;】を施して得られる観測値 z訪
kを考え，さらに乱 塊配置が行われた構造模型をとれば z;f=m+tF3+rk+br】 +ω~iJ+z~r とおき，次のように仮定してよいo (i=l，
2; k=l，
2，
…， r;q=l，
2， 3， 4)0 ( i ) 悦:一般平均 (ii) tqψ :上述の通りo a，
b，
c，
(ab)，
例 1，
2重量照 ( αc)，
(bc) ， αb(c) については 第 二 編 1招4
・
6
・
3
{rk} :2
:
rk=O 2 {bk<;】}:玄九
ψ=0 4 {w~r}:
2
:
ωw=O
q=l 、 . ， ， ・1 ・ 1・l ((
i
v
)
とは {b/C叫， {W2}，{zS} 否どJ=(xw+x~t】 +xäLJ +x~tJ)/
4
L 、 ー ( αbc) (ac)，
(bc)，
(v)(
v
i
)
a，
b，
c
，
(ab)，
J互いに独立である。 (vii) {z詑}:
NID(O， u")(
1
)
平均の構遁 (1・) プロック平均第4章 2・計画乱舞混同配置
;
=
1
のときz.r)=m+(abc)
+rl:+b~l) +z.~l);=2
のとき 否.
r
】=m
ー(
a
b
c
)
+rl: +b~1】 +Z.~I)0
・) "!，__r:~7~!，型受勢 互~!)=
(
x
.
P
)
+x.~l) +…+語.~l))/r=m+ (
a
b
c
)
+b~l) +z~!) 亙~!)= (Z.fl)+X.~I)+… +i.~'))/r=m
ー(
a
b
c
)
+五~.)+z~~)0
・} 処理平均 記33={zgE+zgE+・→ x~~) /r=m+t~;J+W)+面JfE+EF (40) &~事受努事.1:=悦+rl: +z・h0・)勢受勢
語.
.
=
m
+
z
.
.
(2 )1平方剰の分解0
・) 績平方和 S冨222(
必 一 言Y
=4LL(蚕.~;)_i..)t+L
L
L
(x~r-i.f!))・ ;=1:
1
=1 ;=1，，=1:
1
=1aSBz+SW(BZ)
とおく0
・)7
.
-
!
:
z
.
!
.
_
I
関
SBz=8L (
X
・l:-
z
.
.
)
1
+
4
r
L
(x~!】ー吾..)11
:
=1 ;=1 +4LL(云.r 一言.1:-i!~l+X..)・ 冨SR+SBp+SRBp
0
・)"!，_竺z
.
.
!
.
O
SW(B
I)=r
L
L
(ま~~)-i!!))I+L
L
L
(ぽ -i.'t'-亙23+亙~!))・ . 1=1，，=1 ;=1，，=11:=1 昌晶・+SE
(
2
)
1
平方剰の構造S
品R=8L(
仇r匂kけ+特z
.
l:-iゑι
幻..)1
:
=1SBp=4r (
{
(
a
b
c
)
+
ii~l) +z~!) -Z..
P
+
{ー(
a
b
c
)
+ii~・)+i~~)-i..} ・〕=SABC
(プロッタ対聞とAB
との混同} 1錨194 第 二 編 2・計画および3・計画
SRB
1>=4
L
:
L
:
(b~)-b~)+z.~)-z~~)-z・k+Z..)'(
交互作用的構造) ;=lk=lST=r
L
:
L
:
(t~】+可】+ず -t~の一日】ー量的意4
・
5におけると同様にして次の表現に到達する.ST=8r((
α+e
1)
"
+
(b+e，
)
'
+
(c+e.)'+ (ab+e，
)
'
+ (ac+e.)"+ (bc+e，)') とこに
{
e
a:
NID(O，
(σ"+σtD')1
8
r
)
ここに 1・
5・
1と同様に <;)-...<;】 _j_~<i>e
qk 富霊視Y-~qk→
I-
z
"qk ;;<;)=;;;;(;)ムー<;) e;.:'=wq. • -q. 寸-
z
とおくとき， {内}は {e~)} の 1 次結合である.同様にして， 2 4 r SE=L
:
L
:
L
:
(e~f-ë~~】ーぽ】 +ë~))1 ;=lq=lk=l であり， とれが {e.，} したがって STと独立なことがわかる. (2 )，平方剰の分布 4・
5で述べたように， 23(4)(3)乱塊配置でも， A. Waldの方法により，次の近似的分布が得られる. (1・) SE: K"(6r-6;ポ+σ弘， 0) (2・) SA: K"(I; 17"+σ""，+4rσga，ん) ととに SB: K'(I;17・
+17"tD+4rl
7
"
'
，
A，，) SC: K'(I; 17'+σ'却+4rσ九
，Aγ} SAB: K'(I;17・
+
ポ
即
+4rσb
，んβ) SAC: K'(I;σ'+σ'世+4rl
7
!
c
，んγ) SBC: K"(I;σ"+17"叫+4rI71
c
，
Attγ) ん =4r17 1./2(σ"+σ""，+4rl
7
'
0
)
=4rα"
1
(17"+σ1"，+4rq1o) ん，=4rl， 7!，， /2(17"+σ弘+4rq!，，)=4r(αs)"/(ポ+σ'"，+4rl
7
!
，
，
)
(3・) SA，
SB，
…
，
SBCのおのおのは SEと独立である。 表4-11 2'(4)(3) (r反復)の分散分析 要 因 平 方 和 ￨ 自 由 度 ! 平 均 平 方 の 期 望 値 E似 } ブロック間 SB' 2r-l 反復間 SR r-l q'+8σR' プロック対間 SB1> 1 q'+4γ (q~bc+ σþ，) 反復Xプロック対 SRB1> r-1 σ'+4qt，
第 4章 2"計画乱塊混同国置 195 要 因 平 方 和 自 由 度 ￨ 平 均 平 方 の 鰹 値 引 が } ST 6 プ A SA 1 ポ+σw'+4rσ主 ロ B SB 1 ポ+σw'+4rσi ヲ C Sc 1 ポ+σw'+4rσも グ AB SAB 1 ポ+q"，'+4γσLb 内 AC SAC 1 q'+σJ+4mle BC SBC 1 σ'+σw'+4rl1
b
c
誤 差 SE 6r-6 q'+σ世2 総 S 8γー1 4・
7 23 ( 4)におげる郁分湿悶去 4・
7
・
1
23 (4) (3) おJ:び 23(4)(Z)W)~(30) 節分混同 例題 4・19(a) 2'(")( 3)および2'(")(2)(1")-(3・)の計4友復を用いる部分 混同法 (a) Ii!量 表 4-12，(1) 配 置 表 11I
III IV ABI
AC BCI
ABC プ ロ ッ グ 1，11， III， IVではそれぞれ，AB， AC， BC， ABCを混周していることを示す. (b) 分散分続@計算方式 和 平均 1 zr1t1〉 xit】 xH) z【・aE】 Tfi} 正E13 I 2 zafa u z2Ea 23 zfSB s】 X~‘a 23 T11》 zf・1a〉 表 4-12，(2) 11 III 1 2 1 2 zii〉 zsts副 xfl】 zfES叫 z2f2 E3 z~:】 xH】 xl・80 zsrs o z2EZ 23 zZESO zEss2】 X~e z‘
f' B】 z‘
fs副"
l
TtiL￨ 刊 1円 X~~)I
x~・~)I
x耐 Q・~)I
五a【・叫2 IV 1 2 zfaρ‘
z1E.0 Xi【・け X~‘)
.
X~ρ • X~‘ 0 zi13 x~‘ z】 T~\】，
.
T113 x~~‘ 】1舗 第 二 編 2・計画および伊計画 表 4-12
，
(2)は上記の配置で実験して得た観測値を(1)に従って順序をあわせて書 きならべたものを示す. a b c 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 表 4-12，
(3) V(・
3 V(・
J=x(IJ+xW +xf~J +xW VloJ=xHJ +x[lJ +xW +xf:J VloJ=xH'+x~ジ +xaJ+xH' V~・J=xl!'+xW +xW +xW V~oJ=x~IJ +xW +xW +xW V~oJ=xW +xl:J +xW +x~~J v~oJ=xlfl +xW +xW +xlIJ V~oJ=xHJ +xW +xW +xW 表4-12，
(
3 )1'18通りの処理(すなわち2・型構成)別に観測値の和をつくることを示す. 表 4-12，
(4) a b c V(・
3 V('J V('J一 一
000 VfoJ V(oJ+ vl，
J= V('J Vj'J+ Vi'J= V(，
J 100 VloJ V~oJ+ VI，
J= Vi，
J V~'J+ VpJ= Vl，
J 010 vp Vj'J+V~.J= VI'J V~ ，J+ V~，J= V~IJ 110 V? VloJ+V~，J= VpJ V¥，
J+ V~，J= VIIJ 001 V~ ，J VI，
J_ Vj'J= Vj'J Vi，
J_ V，J= V¥ i'J 101 V~oJ V;oJ_ Vi，
J= VpJ VI"-V~ρ= V~，J 011 Vl・
3 V~o'_ V~o'= Vj'J V~，J_ V~"= V¥IJ 1 1 1 vp V~oJ_ Vザ= nl) V~，)_ VI')=V~" V(町 V【，
)
1
Vl"+ VI')= (TJ (T) V~')+ VI"= (A) (A) V~，)+ V~IJ= (B) (B)Vl')+V~'J= (AB) (AB)+ T.I'J_ T.l"= (AB)' VI')-V(
，
)
=
(C) (C)VI"-VII'= (AC) (AC)+ T.I'J_ T.I')= (AC)'
V~I'_ V~，)= (BC] (BC)+T.
γ_
T.~')= (BC)' vi23ー
V¥')=(ABC) (ABC)+ T.I'J_ T.I'J= (ABC)'第 4l掌 2-計画乱舞混同配置 197 表 4-12，(4)はYates式の計算方式の渇涯を示す.部分混同のため.(AB)'. (ACY， (BC，'l (ABC)'を導入しなければならないのに注意せよ. (1・) 鍵平方和
s
z
z
z
z
ゅ
-
E
-
-
h
E
Z
Z
ゆ
t-C.T. =4LL(X・~'_i..)t+
L LL
(%~-i.~')t =SBI+SW d.f.=7(=8-1) d.f. =24=2x4X (4-1)0
・} プ12"タ岡jjZ:方剥 ~ ~ 1 = (J') =，
t _ ~ ~(T.!!))t SBI=4LL(Z♂
-a..)t=L L一
一
一
C.T. r=l ;=1 r=1 ;=1 ~0
・) 処理問寧方事国SA=込~. SB=旦~.
SC=盟主 32' -- 32' 招ぬ
B=等 竺 ， ぬ
C=等
1
，
F B C 4巴.山=等笠
(4・} 限益率方剥ST=SA+SB+SC+S' AB+S' AC+S'BC+S' ABC
SE=SW-ST=Sー(SBI+ST) [劉法〕 計算上の手続きとしては，上述の過程も鏑捌であるが，構造をみるのには， 次の方式が見透しがよいし，対応する自由度も見易い. SW=SW.+SWt+SWt+SW. 2
